必修2數(shù)學第2章知識點和例題

1、第 1 講§平面¤知識要點：1. 點 A 在直線上 , 記作 Aa ；點 A 在平面內(nèi) , 記作 A；直線 a 在平面內(nèi) , 記作 a.2. 平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言” 、“圖形語言”列表如下：公理1公理2公理3圖形語言文字語言符號語言3.公理如果一條直線上的兩點在過不在一條直線上的三點，有如果兩個不重合的平面有一個公一個平面內(nèi)， 那么這條直線且只有一個平面 .共點，那么它們有且只有一條過該在此平面內(nèi) .點的公共直線 .Al , B lA, B, C不共線lAlA, B, C確定平面P, P, BP l2 的三條推論：推論 1 經(jīng)過一條直線和這條直線

2、外的一點，有且只有一個平面；推論 2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論 3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.¤例題精講 ：【例 1】如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面？【例 2】空間四邊形ABCD 中， E、F、G、H 分別是 AB、 BC、CD 、DA 上的點，已知EF 和 GH 交于 P 點，求證： EF、GH 、AC 三線共點 .解： P EF，EF面 ABC，P面 ABC.同理 P面 ADC . P 在面 ABC 與面 ADCCA的交線上，又面 ABC面 ADC =AC， PAC，即 EF、 HG 、 AC 三線共點 .【例 3】求證：兩兩相

3、交且不過同一個點的三條直線必在同一平面內(nèi).B已知：直線 AB , BC ,CA 兩兩相交，交點分別為A, B,C ，求證：直線AB, BC,CA 共面 .證明 ：因為 A，B ，C 三點不在一條直線上，所以過A ，B，C 三點可以確定平面 因為 A ，B ，所以 AB 同理 BC ， AC .所以 AB ，BC，CA 三直線共面【例 4】在正方體 ABCDA1 B1C1D1 中，（ 1） AA1 與 CC1 是否在同一平面內(nèi)？（2）點 B, C1 , D 是否在同一平面內(nèi)？（ 3）畫出平面AC1 與平面 BC1D 的交線，平面ACD1 與平面 BDC1 的交線 .解：（ 1）在正方體 ABCD

4、 A1 B1C1 D1 中， AA1 / CC1， 由公理2 的推論可知， AA1與 CC1可確定平面 AC1 ， AA1 與 CC1 在同一平面內(nèi) .（ 2）點 B, C1 , D 不共線，由公理3 可知，點 B, C1 , D 可確定平面BC1D ， 點 B,C1, D 在同一平面內(nèi) .（ 3） ACBDO ， D1C DC1E， 點O平面 AC1， O平面 BCD1 ， 又 C1平面 AC1， C1平面 BC1D ， 平面 AC1平面 BC1DOC1 ，同理平面 ACD1平面 BDC 1OE 第 2 講§2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系¤知識要點 ：相交直線：

5、同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；1.空間兩條直線的位置關(guān)系：共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.2. 已知兩條異面直線a, b ，經(jīng)過空間任一點O 作直線 a / a, b / b ，把 a ,b所成的銳角（或直角）叫異面直線a, b 所成的角（或夾角）. a ,b 所成的角的大小與點O 的選擇無關(guān)，為了簡便，點O 通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為(0,90 ，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作a b . 求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點平移定角計算.¤例題精講 ：【例 1】已知

6、異面直線a 和 b 所成的角為 50°， P 為空間一定點，則過點P 且與a、 b 所成角都是 30°的直線有且僅有（） .A.1 條B.2 條 C.3條D.4 條解：過 P 作 a a， b b，若 P a，則取 a 為 a ，若 P b，則取 b 為 b 這時 a ， b 相交于 P 點，它們的兩組對頂角分別為50 °和130° . 記 a ， b 所確定的平面為 ，那么在平面 內(nèi)，不存在與a ， b 都成 30°的直線過點 P 與 a ， b 都成 30°角的直線必在平面 外，這直線在平面 的射影是 a ， b 所成對頂角的平分

7、線其中射影是50 °對頂角平分線的直線有兩條l 和 l ，射E影是 130°對頂角平分線的直線不存在故答案選B.DC1【例 2】如圖正方體ABCDA B CD1和 B11 的中點， P、Q 分別1中， 、F分別為1CQ1 111EDCFA1B1DCPAB為 AC 與 BD、A1C1 與 EF 的交點 . （ 1）求證： D、B、 F、E 四點共面；（ 2）若 A1C 與面 DBFE 交于點 R，求證： P、Q、 R 三點共線 .證明 ：（ 1）正方體ABCDA1B1C1 D1 中， BB1 / DD1，BD / B1D1. 又 B1 D1C1 中， E、 F為中點，1 EF

8、/BD,即、 四點共面（） Q平面 AC，Q平面 BE ，P平面 AC，P平面BE，EF / B1D1 .DBFE. 2112 平面 AC1平面 BEPQ .又AC1平面BE R， R平面AC1， R平面BE， RPQ . 即 P、Q、R三點共線【例 3】已知直線 a/b/c，直線 d 與 a、 b、 c 分別相交于A、 B、 C，求證： a、 b、 c、 d 四線共面 .證明 ：因為 a/b，由公理2 的推論，存在平面，使得a, b.c又因為直線 d 與 a、 b、 c 分別相交于A、 B、 C，由公理1， d.Cc'假設(shè) c，則 cC ,在平面內(nèi)過點 C 作 c / b ，Bb因為

9、 b/c，則 c / c ，此與 ccC矛盾.故直線 c.dAa綜上述， a、 b、 c、 d 四線共面 .【例 4】如圖中，正方體ABCD A1B1C1D1， E、 F 分別是 AD 、 AA1 的中點 .（ 1）求直線 AB1和 CC1 所成的角的大?。?（ 2）求直線 AB1 和 EF 所成的角的大小 .解：（1）如圖，連結(jié) DC 1， DC 1 AB1， DC 1 和 CC1所成的銳角 CC 1D 就是 AB1 和 CC1所成的角 . CC1D=45°， AB 1和 CC 1 所成的角是45° .（ 2）如圖，連結(jié)DA1、 A1C1， EF A1D，AB1 DC 1

10、， A1DC 1 是直線 AB1 和 EF 所成的角 . A1DC 1 是等邊三角形， A 1DC 1=60 o，即直線 AB1 和 EF 所成的角是 60o.第 3講 §2.1.3 直線與平面、平面與平面位置關(guān)系¤知識要點 ：1. 直線與平面的位置關(guān)系：（ 1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；（ 2）直線與平面相交（有且只有一個公共點）；（ 3）直線與平面平行（沒有公共點）. 分別記作： l； lP； l /.2. 兩平面的位置關(guān)系： 平行（沒有公共點） ；相交（有一條公共直線） .分別記作/ ；l.¤例題精講 ：【例 1】已知空間邊邊形ABCD 各邊長與對角線

11、都相等，求異面直線AB和 CD所成的角的大小 .解：分別取 AC 、 AD 、 BC 的中點 P 、 M、 N 連接 PM、 PN ，由三角形的中位線性質(zhì)知PN AB，PM CD ，于是 MPN 就是異面直線 AB 和 CD 成的角（如圖所示） .連結(jié) MN、 DN ，設(shè) AB=2， PM= PN=1. 而 AN=DN = 3 ，由 MN AD， AM=1，得 MN = 2 ，222 MN=MP +NP ， MPN =90 ° .異面直線 AB、 CD 成 90°角 .A【例 2】在空間四邊形ABCD 中， E、H 分別是AB、AD 的中點， F 、G 分別是 CB 、CD

12、EBD =b，求 EG 2FH 2H的中點，若AC + BD = a ， AC.解：四邊形 EFGH 是平行四邊形，B11DEG2FH2(EF22) =22)(a22b) .G=2FG( ACBDF22C【例3】已知空間四邊形ABCD 中， E、H 分別是 AB、AD 的中點， F 、G 分別是BC、ACD 上的點，且 CFCG2 .求證：（ 1）E、F 、G、H 四點共面；（ 2）三條直線EF 、EHCBCD3DGH 、AC 交于一點 .GBFC證明 （： 1）在 ABD 和 CBD 中，E、H 分別是 AB 和 CD 的中點， EH / 1BD .又CFCG222， FG/BD. EH F

13、G . 所以， E、F、G、H 四點共面 .CBCD33第 4 講§2.2.1直線與平面平行的判定¤知識要點 ： 1.定義：直線和平面沒有公共點，則直線和平面平行.2. 判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.符號表示為： a,b, a / ba /. 圖形如右圖所示 .¤例題精講 ：【例1】已知 P 是平行四邊形ABCD 所在平面外一點，E 、F 分別為 AB 、PD 的中點， 求證：AF 平面 PEC證明 ：設(shè) PC 的中點為 G，連接 EG、FG .F為PD中點， GFCD 且 GF= 1 CD.2 ABCD， AB=CD，

14、 E 為 AB 中點，GF AE，GF =AE ， 四邊形AEGF 為平行四邊形. EG AF，又AF平面 PEC， EG平面 PEC， AF平面 PEC.【例 2】在正方體 ABCD -A1B1C1D 1 中， E、F 分別為棱 BC、C1D1 的中點 . 求證： EF 平面BB1D 1D.證明 ：連接 AC 交 BD 于 O，連接 OE，則 OE DC ， OE= 1DC.DC D1C1， DC =D1C12， F 為 D1C1的中點，OE D 1F， OE=D 1F，四邊形 D1 FEO 為平行四邊形 .EF D1O.A又 EF平面 BB1D 1D ， D1O 平面 BB1D 1D ，

15、EF 平面BB1D 1D .【例 3】如圖，已知E、F 、G、M 分別是四面體的棱AD、CD 、BD、BC 的中點，E求證： AM 平面 EFG .DM ，交 GF 于 O點，連結(jié) OE ，證明 ：如右圖，連結(jié)BGD在BCD中， G、F 分別是 BD、CD中點， GF/BC， G 為 BD中點， O為 MD 中點， EO/ AM ，MO F在AMD 中， E、 O為 AD、 MD 中點，C又 AM平面 EFG ， EO平面 EFG ， AM 平面 EFG .點評 ：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了. 注意適當添加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用.【例 4】如

16、圖，已知P 是平行四邊形ABCD 所在平面外一點，M 、N 分別是 AB 、PC 的中點（ 1）求證： MN /平面 PAD ；（ 2）若 MNBC 4， PA4 3 ，求異面直線PA 與 MN 所成的角的大小 .解：（ 1）取 PD 的中點 H，連接 AH，由 N 是 PC 的中點， NH /1DC .由M是AB NH / AM， 即 AMNH 為平行四邊形 .MN/AH.2的中點，由 MN平面 PAD , AH平面PAD ， MN / 平面 PAD .（ 2） 連接 AC 并取其中點為 O，連接 OM 、ON， OM /1，/1PA， 所以O(shè)NMBCON22就是異面直線PA與 MN所成的角

17、，且 MO NO.由 MNBC4，PA 4 3, 得OM=2，ON= 23 所以O(shè)NM300 ，即異面直線PA 與 MN 成 30°的角點評 ：已知中點，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行.求兩條異面直線所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得.第 5 講 §2.2.2平面與平面平行的判定¤知識要點 ：面面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行用符a, b, a bP/號表示為：, b /.a /¤例題精講 ：【例 1】如右圖，在正方體ABCD A1B

18、1C1D 1 中， M 、 N、 P 分別是 C1C、C1 D1 的中點，求證：平面 MNP 平面 A1 BD .證明 ：連結(jié) B1D 1， P、 N 分別是 D1C1、 B1C1 的中點，PN B1D 1.又 B1D 1 BD，又 PN 不在平面 A1BD 上， PN平面 A1BD.同理， MN平面 A1BD. 又 PN MN =N， 平面 PMN 平面 A1 BD .【例 2】正方體 ABCD A1B1C1D 1 中（ 1）求證：平面A1 BD 平面 B1 D1 C；（ 2）若 E、 F 分別是 AA1， CC1 的中點，求證：平面EB1D1平面 FBD 證明 ：（ 1）由 B1 B /

19、DD 1 ，得四邊形 BB1D 1D 是平行四邊形，B1D 1 BD ，又 BD 平面 B1D 1C，B1D1平面 B1 D1C， BD 平面 B1D 1C同理 A1D平面 B1D 1C而A1D BD D，平面 A1BD平面 B1CD （ 2）由 BD B1D 1，得 BD平面 EB1D1取 BB1 中點 G， AE B1G從而得 B1E AG，同理 GF AD AG DF B1E DF DF 平面 EB1D 1 平面 EB 1D1平面 FBD 【例 3】已知四棱錐P-ABCD 中 , 底面 ABCD 為平行四邊形. 點 M、N、Q 分別在PA、BD、PD上,且PM：MA=BN：ND=PQ：Q

20、D.求證：平面MNQ 平面 PBC.證明 ：PM ： MA =BN： ND= PQ： QD . MQ /AD ， NQ/BP，而 BP平面 PBC， NQ平面 PBC, NQ /平面 PBC.B1C1 、PN BD.D 1C1A1B1FEGDCABPMQCDNBA又 ABCD 為平行四邊形， BC /AD ， MQ /BC ，而 BC平面 PBC， MQ平面 PBC , MQ /平面 PBC.由 MQNQ= Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理， 平面 MNQ 平面PBC.點評 ：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行 . 一般

21、證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行 .第 6 講§2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)¤知識要點 ：線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這aa /個平面相交，那么這條直線和交線平行. 即： aba / b .b¤例題精講 ：【例 1】經(jīng)過正方體ABCD - A1 B1 C1D 1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D 1D 于 E1 E，求證： E1 EB 1 B證明 ： AA1/ BB1 , AA1 平面 BEE1B1 , BB1平面 BEE1 B1 ，D1AA1 / 平面 BEE1 B1 .C1又AA1 平面 ADD1 A1，平

22、面 ADD1 A1 平面 BEE1B1EE1 ，E1A1B1AA1 / EE1 .AA1 / BB1則AA1 / EE1【例 2】如圖，證明 ：連結(jié) CDBB1 / EE1 .DCEAAB/ ， AC/BD， C， DB，求證： AC BD .， AC/BD，AB直線 AC 和 BD 可以確定一個平面，記為， C,D， C,D，CD ，AB/，AB，CD AB /CD ，又 AC/BD，CD 四邊形 ACDB 為平行四邊形， AC BD.第 7 講§2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)¤知識要點 ： 1. 面面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交A線平行

23、.用符號語言表示為：/ ,a,b a / b.2. 其它性質(zhì)：/ , ll /； / ,ll；夾在平行平面間的平行線段相等.C¤例題精講 ：【例 1】如圖，設(shè)平面 平面 ，AB、 CD 是兩異面直線，M、N 分別是 AB、MNCD 的中點，且 A、 C ， B、 D . 求證： MN .E證明 ：連接 BC ，取 BC 的中點 E，分別連接 ME 、 NE，D則 MEAC，ME 平面 ，又 NE BD ， NE ，B又 ME NE= E，平面 MEN 平面 ， MN 平面MEN ， MN .【例 2】如圖， A， B， C， D 四點都在平面， 外，它們在內(nèi)的射影 A1， B1， C

24、1， D1 是平行四邊形的四個頂點，在內(nèi)的射影 A2 ，B2 ，C2 ，D 2 在一條直線上，求證：ABCD 是平行四邊形證明 ： A， B， C， D 四點在 內(nèi)的射影 A2， B2， C2， D2在一條直線上， A， B， C， D 四點共面又 A， B， C， D 四點在內(nèi)的射影A1， B1， C1， D 1 是平行四邊形的四個頂點，平面 ABB1 A1 平面 CDD 1 C1 AB， CD 是平面 ABCD 與平面 ABB 1 A1 ，平面 CDD 1 C1 的交線 ABCD 同理 AD BC 四邊形 ABCD 是平行四邊形第 8 講§ 直線與平面垂直的判定¤知識要

25、點：1. 定義：如果直線l 與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l 與平面互相垂直，記作l. l 平面的垂線，直線 l 的垂面，它們的唯一公共點P 叫做垂足 .（線線垂直線面垂直 ）2. 判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直. 符號語言表示為：若l m ， l n ， m n B ， m， n，則 l 3. 斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角. 求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡述為“作（作出線面角）證（證所作為所求） 求（解直角三角形） ” . 通常，通過斜線

26、上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵 .¤例題精講 ：【例1】四面體 ABCD 中， ACBD ,E,F 分別為 AD ,BC 的中點，且 EF2BDC 90 ，求證：AC ，2BD 平面 ACD .證明 ：取 CD 的中點 G ，連結(jié) EG , FG ， E, F 分別為 AD, BC 的中點， EG / 1AC，F(xiàn)G/1BD .22又AC BD,1EFG22122E GB DFGAC， 在中 ，EGFGAC， ， ， 又2EFF GA C2BDC90，即 BDCD，ACCDC， BD平面 ACD .【例2】已知棱長為1 的正方體 ABCD A1 B1

27、C1 D1中，E 是 A1B1 的中點， 求直線 AE 與平面ABC1D1 所成的角的正弦值.解：取 CD 的中點 F ，連接 EF 交平面 ABC1D1 于 O，連 AO .由已知正方體，易知EO平面 ABC1D1， 所 以EAO為所求.在 Rt EOA中，EO11A D2E F1，222AE(1) 2125， sinEAOEO10.22AE5所以直線 AE 與平面 ABC1 D1 所成的角的正弦值為10 .5【例3】三棱錐 PABC 中， PABC，PBAC ，PO平面 ABC，垂足為 O，求證：O 為底面 ABC 的垂心 .證明 ：連接 OAOB、OC ，PO平面 ABC， POBC,

28、POAC.、又 PA BC，PBAC ， BC平面 PAO，AC平面 PBO ，得 AOBC，BOAC , O 為底面 ABC 的垂心 .點評 ：此例可以變式為“已知PABC，PBAC ，求證 PCAB ”其思路是接著利用射影是垂心的結(jié)論得到，OCAB后進行證明 .三條側(cè)棱兩兩垂直時，也可按同樣的思路證出.第 9 講§2.3.2平面與平面垂直的判定¤知識要點 ：1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角（dihedral angle ）. 這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面 .記作二面角 AB. （簡記 PAB Q ）2.二面角的平面角：在二面

29、角l 的棱 l 上任取一點O ，以點 O 為垂足，在半平面,內(nèi)分別作垂直于棱 l的射線OA 和 OB ，則射線 OA 和 OB 構(gòu)成的AOB 叫做二面角的平面角.范圍：0180.3.定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.記作.4.判定：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.（線面垂直面面垂直 ）¤例題精講 ：【例 1】已知正方形ABCD 的邊長為1，分別取邊 BC、 CD 的中點 E、F，連結(jié) AE、EF、 AF，以 AE、EF 、FA 為折痕，折疊使點B、C、D 重合于一點 P.（ 1）求證： AP EF；（ 2）求證：平面 APE平面 APF .證明 ：（ 1）如右圖， APE = APF =90°， PE PF=P，