必修三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)--

1、必修 5第一章解三角形1、正弦定理：在C 中， a 、 b 、 c 分別為 角、C的對邊，R為C 的外接 圓的半徑，則有abc2 sinsinsinCR2、正弦定理的變形公式： a2Rsin， b2R sin， c2Rsin C ； sina， sinbcsin:sin :sin C ；2R， sin C； a : b : c2R2Ra bcabcsinsinsinCsinsinsin C（正弦定理主要用來解決兩類問題 ：1、已知兩 邊和其中一 邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。 ） 對于已知兩 邊和其中一 邊所對的角的 題型要注意解的情況。 （一解、兩解、無解三中情況）

2、如：在三角形ABC中，已知 a、 b、 A（ A 為銳角）求 B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出 圖：法一：把 a 擾著 C 點(diǎn)旋 轉(zhuǎn)，看所得 軌跡以 AD有無交點(diǎn)：當(dāng)無交點(diǎn) 則 B 無解、當(dāng)有一個交點(diǎn)則 B 有一解、當(dāng)有兩個交點(diǎn)則 B有兩個解 。C法二：是算出CD=bsinA, 看 a 的情況：當(dāng) a<bsinA ，則 B 無解 當(dāng) bsinA<a b, 則 B 有兩解ba當(dāng) a=bsinA 或 a>b 時， B有一解bsinA注：當(dāng) A 為鈍 角或是直角 時以此 類推既可。3、三角形面 積公式： SC1 bcsin1 absinC 1 acsin222AD4、余弦定理：在

3、C 中，有 a2b2c22bccos ， b2a2 c22accos ， c2a2b22abcosC 5、余弦定理的推 論：cosb 2c 2a 2，cosa 2c 2b 2 ，cos Ca 2b 2c 22 bc2 ac2 ab( 余弦定理主要解決的問題： 1、已知兩 邊和夾角，求其余的量。2、已知三 邊求角 )6、如何判斷三角形的形狀：設(shè) a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的對邊 ，則：若 a2b2c2 ，則 C90 ；BA若 a2b2c2 ，則 C90 ；若 a2b2c2 ，則 C90 正余弦定理的 綜合應(yīng)用：如 圖所示：隔河看兩目 標(biāo) A、 B, 但不能到達(dá)，在岸 邊選 取相距 3

4、千米的OOCDC、 D 兩點(diǎn)，并 測得 ACB=75, BCD=45,OO ADC=30,ADB=45(A 、 B、 C、D 在同一平面內(nèi) ) ，求兩目 標(biāo) A、 B 之間的距離。本題解答過程略附：三角形的五個“心” ；重心：三角形三條中線交點(diǎn) .外心：三角形三 邊垂直平分 線相交于一點(diǎn) .內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn) .垂心：三角形三 邊上的高相交于一點(diǎn)第二章數(shù)列1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)2、數(shù)列的 項：數(shù)列中的每一個數(shù)3、有窮數(shù)列： 項數(shù)有限的數(shù)列4、無窮數(shù)列： 項數(shù)無限的數(shù)列5、遞增數(shù)列：從第2 項起，每一 項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+1>an）6、遞減

5、數(shù)列：從第2 項起，每一 項都不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+1<an）7、常數(shù)列：各 項相等的數(shù)列（即：an+1=an）8、擺動數(shù)列：從第2 項起，有些 項大于它的前一項，有些 項小于它的前一 項的數(shù)列9、數(shù)列的通 項公式：表示數(shù)列an 的第 n 項與序號 n 之間的關(guān)系的公式10、數(shù)列的 遞推公式：表示任一項 an 與它的前一 項 an 1 （或前幾 項）間的關(guān)系的公式11、如果一個數(shù)列從第2 項起，每一 項與它的前一 項的差等于同一個常數(shù)，則這 個數(shù)列稱 為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱 為等差數(shù)列的公差符號表示: an 1and 。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：anan 1d

6、(n2,d為常數(shù) ) 2 a na n 1an 1 ( n2 ) an knb ( n, k 為常數(shù)12、由三個數(shù) a ， ，b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡單 的等差數(shù)列， 則稱為 a 與 b 的等差中 項 若acb，則稱 b 為 a 與 c 的等差中 項213、若等差數(shù)列an的首 項是 a1 ，公差是 d ，則 ana1n1 d 14、通項公式的 變形： anamn m d； a1ann 1 d； dana1；n1ana1； danamnd1nm15、若 an是等差數(shù)列， 且 mnp q （ m 、 n 、 p 、 q*），則 aman apaq ；若 a 是n等差數(shù)列，且2np q （ n

7、 、 p 、 q*a paq ），則 2ann a1an； Snna1n n116 、 等 差 數(shù) 列 的 前 n 項 和 的 公 式 ： Sn2d 2sn a1 a2an17 、 等 差 數(shù) 列 的 前 n 項 和 的 性 質(zhì) ： 若 項 數(shù) 為 2n n*， 則 S2nn anan 1， 且S 偶S奇S奇an，n danS偶1若 項數(shù)為 2n1 n*，則 S2 n 1S奇n （其中 S奇na n ，2n 1 an ，且 S奇 S 偶 a n ，S偶n 1S偶n 1 an ）18、如果一個數(shù)列從第2 項起，每一項與它的前一 項的比等于同一個常數(shù)，則這 個數(shù)列稱 為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱 為等比

8、數(shù)列的公比符號表示：an 1q （注：等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為 0 的項；同號位an上的 值同號）注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法： anan 1q( n2, q為常數(shù) ,且0) an2an 1 an 1 ( n2 ， an an 1an 10 ) an cq n ( c, q 為非零常數(shù) ).正數(shù)列 an 成等比的充要條件是數(shù)列 log x an （ x1 ）成等比數(shù)列 .19、在 a 與 b 中間插入一個數(shù) G ，使 a ，G ，b 成等比數(shù)列， 則 G 稱為 a 與 b 的等比中 項 若 G 2ab，則稱 G 為 a 與 b 的等比中 項 （注：由 G 2ab 不能得出 a ， G

9、， b 成等比，由 a ， G ， bG 2ab ）20、若等比數(shù)列a 的首 項是 a1 ，公比是 q ，則 ana1qn1 n21、通項公式的 變形： anamqnm ； aaq n1； q n 1a n ； q nma n1na 1am22、若 an 是等比數(shù)列，且 m np q （ m 、 n 、 p 、 q*anap aq ；若an），則 am是等比數(shù)列，且 2npq （ n 、 p 、 q*2ap aq ），則 anna1q 123 、 等 比 數(shù) 列 an 的 前 n 項 和 的 公 式 ： Sna1 1 qna1anq q1 1 q1qsn a1 a2an24、對任意的數(shù)列 a

10、n 的前 n 項和 Sn 與通 項 an 的關(guān)系 ： ans1a1 (n 1)snsn 1 (n2) 注 ： a na1n 1 d nda1 d（ d 可為零也可不 為零 為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）若d 不為 0，則是等差數(shù)列充分條件） .等差 a n 前 n 項和 Sn An 2Bnd n2a1dn d 可以為零也可不 為零 為等差的充要條件222若 d 為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d 不為零，則是等差數(shù)列的充分條件 .非零 常數(shù)列既可 為等比數(shù)列，也可 為等差數(shù)列 . （不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附：幾種常 見的數(shù)列的思想方法：1、等差數(shù)列的前 n 項和為 Sn ，

11、在 d 0 時，有最大 值 .如何確定使 Sn 取最大 值時的 n 值，有兩種方法：一是求使 an0, an 1 0 ，成立的 n 值；二是由 Sndn2(a1 d )n 利用二次函數(shù)的性 質(zhì)求 n 的值 .22數(shù)列通 項公式、求和公式與函數(shù) 對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項公式對應(yīng) 函數(shù)等差數(shù)列（時為一次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列前 n 項和公式對應(yīng) 函數(shù)等差數(shù)列（時為 二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的 觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面 紗 ”，將數(shù)列的通 項公式以及前 n 項和看成是關(guān)于 n 的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān) 問題 提供了非常有益的啟示。例題： 1、等差數(shù)列 an 中 an m,

12、 amn ， (nm) 則 an m.分析：因 為 an 是等差數(shù)列，所以an 是關(guān)于n 的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線， 則nman mn（ n,m） ,(m,n), (n m, an m ) 三點(diǎn)共 線，所以利用每兩點(diǎn)形成直 線斜率相等，即(n m)，m nm得 an m0 （圖像如上），這里利用等差數(shù)列通 項公式與一次函數(shù)的對應(yīng) 關(guān)系，并 結(jié)合圖像，直 觀、簡潔。例題： 2、等差數(shù)列 an 中， a125 ，前 n 項和為 Sn ，若 S9 S17， n 為何值時 Sn 最大？分析：等差數(shù)列前 n 項和 Sn 可以看成關(guān)于 n 的二次函數(shù) Snd n 2(a1d ) n22是拋物 線

13、 f (n)d n 2( a1 d )n 上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意， S9S17 ，22則因為欲求 Sn 最大值，故其 對應(yīng) 二次函數(shù) 圖像開口向下， 并且 對稱軸為 x91713 ，即當(dāng) n 132時， Sn 最大。例題： 3 遞增數(shù)列 an ，對任意正整數(shù) n， ann2n 恒成立，求分 析 ： 1) 構(gòu) 造 一 次 函 數(shù)， 由 數(shù) 列 an 遞 增 得 到： an 1an 0 對 于 一 切恒成立，即恒成立，所以(2n 1)對一切恒成立， 設(shè) f (n)(2n 1)，則只需求出 f (n)的最大 值即可， 顯然 f (n) 有最大 值 f (1)3 ，所以的取值范圍是：3 。2) 構(gòu)造二次

14、函數(shù)，看成函數(shù)，它的定 義域是，因為是遞增數(shù)列，即函數(shù)為遞 增函數(shù)， 單調(diào)增區(qū) 間為,拋物線對稱軸，因為函數(shù)f(x) 為離散函數(shù)，要函數(shù) 單調(diào)遞 增，就看 動軸 與已知區(qū) 間的位置。從 對應(yīng)圖 像上看， 對稱軸在的左側(cè)，也可以（如 圖），因為此時 B點(diǎn)比 A 點(diǎn)高。于是，得2、如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項 乘積，求此數(shù)列前 n 項和可依照等比數(shù)111列前 n 項和的推倒 導(dǎo)方法： 錯位相減求和. 例如：12,34,.(2n 1)2 n ,.3、兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差 d1，d2的最小公

15、倍數(shù) .4.判斷和 證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法 : 對于 n2的任意自然數(shù) , 驗證an an 1 ( an)為 同一常 數(shù) 。(2)通項公式法。(3)中 項公式法:驗證an12an 1anan 2(an21an an 2 )n N 都成立。5.在等差數(shù)列 an中,有關(guān)n 的最 值問題 ：(1)當(dāng)a1 >0,d<0時，滿足am 0的項數(shù) m使得 s取Sam 10m最大 值 . (2) 當(dāng) a1 <0,d>0am0時，滿足am 1的項數(shù) m使得 sm 取最小 值 。在解含 絕對值 的數(shù)列最 值問題時 ,0注意 轉(zhuǎn)化思想的 應(yīng)用。附：數(shù)列求和的常用

16、方法1. 公式法 : 適用于等差、等比數(shù)列或可 轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2. 裂項相消法 : 適用于c其中 an 是各項不為 0的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含anan 1階乘的數(shù)列等。例題：已知數(shù)列 a n 的通項為 an=1, 求這個數(shù)列的前 n 項和 Sn.n(n1)解： 觀察后 發(fā)現(xiàn)： an= 1n1n1sna1a2an(1 1) (1 1)( 11 )223nn 1111n3. 錯位相減法 : 適用于nn其中 an 是等差數(shù)列， bn是各 項不為 0 的等比數(shù)列。ab例題：已知數(shù)列 a n 的通項公式 為 ann 2n ，求 這個數(shù)列的前 n 項之和 sn 。解：由 題

17、設(shè) 得：sna1a2 a3an=1 212 223 23n 2n即 sn =1 212 223 23n 2n把式兩 邊同乘 2 后得2sn =1 222 233 24n 2n 1用 - ，即：sn =1 212 223 23n 2n2sn =1 222 233 24n 2n 1得sn12 22232nn 2n 12(12n )n 2n 1122n12n2n 1(1n)2 n12 sn(n1)2n 124. 倒序相加法 :類似于等差數(shù)列前n 項和公式的推 導(dǎo)方法 .5. 常用結(jié)論1） : 1+2+3+.+n =n(n 1)2 ） 1+3+5+.+(2n-1) =n 22123） 1323n 3n

18、(n 1)24）22221123n(1)( 21)n nn65）11111 ( 11 )n(n 1) n n 1n(n 2) 2 n n 26）11( 1 1 ) ( p q)pqq ppq第三章不等式1、 a b 0a b ； a b0 a b ； a b 0 a b 2、不等式的性質(zhì)： a bba ； ab, bcac ； abac b c ； a b,c 0acbc ， ab,c0 acbc； ab,cda cbd ； a b 0, c d 0ac bd ； a b0anbnn, n1 ； a b 0n an b n, n1 3、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2

19、 的不等式4、含絕對值 不等式、一元二次不等式的解法及延伸（ 1）整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零點(diǎn)分段法）求解不等式：a0 x na1x n 1a2 xn 2an0(0)( a00)解法：將不等式化 為 a0 (x-x 1)(x-x 2 ) (x-x m)>0(<0) 形式，并將各因式 x 的系數(shù)化“ +”； ( 為了統(tǒng)一方便 )求根，并將根按從小到大的在數(shù)軸上從左到右的表示出來；由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶次根穿而不過，奇次根一穿而過），經(jīng)過 數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（ 為什么？）；若不等式（ x 的系數(shù)化“ +”后）是“ >0”, 則找“ 線 ”在 x 軸上

20、方的區(qū) 間；若不等式是“ <0”, 則找 “ 線 ”在 x 軸下方的區(qū) 間 .+（自右向左正負(fù)相間）例題：求不等式 x23x26 x 80 的解集。解：將原不等式因式分解為： ( x2)( x 1)(x4)0由方程： ( x 2)( x1)(x 4)0 解得 x12, x21, x3 4將這三個根按從小到大順序在數(shù) 軸上標(biāo)出來，如 圖+x-214由圖可看出不等式x23x26x80的解集為：x | 2 x 1, 或x4例題：求解不等式( x1)(x2)( x5)0 的解集。( x 6)( x4)解：略一元二次不等式的求解：特例一元一次不等式ax>b 解的討論 ；一元二次不等式ax 2

21、+bx+c>0(a>0) 解的 討論 .000二次函數(shù)yax 2bxc（ a0 ）的 圖象一元二次方程有兩相等 實根有兩相異 實根ax2bx c0x1 , x2 (x1x2 )x1ba0 的根x2無實根2aax2bx c0x xx1或x x2b(a0)的解集x xR2aax2bx c0x x1xx2(a0)的解集對于 a<0 的不等式可以先把a(bǔ) 化為正后用上表來做即可。（ 2） . 分式不等式的解法1）標(biāo)準(zhǔn)化：移 項通分化 為 f ( x) >0( 或 f ( x) <0) ； f ( x)0( 或 f ( x) 0) 的形式，g( x)g( x)g( x)g(

22、x)2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（ 組）f (x)f ( x) g (x)0;f ( x)f ( x) g(x) 000g( x) 0g( x)g (x)11例題：求解不等式：x解：略x例題：求不等式1 的解集。x1(3).含絕對值 不等式的解法：基本形式：型如： |x| a(a 0)的不等式的解集 為： x | ax a型如： |x| a(a 0)的不等式的解集 為： x | xa, 或xa變型：| axb |c(c0)型的不等式的解集可以由 x |cax bc 解得。其中 -c<ax+b<c 等價于不等axbc在解 -c<ax+b<c 得注意 a 的符號式組bcaxaxbc

23、(c0) 型的不等式的解法可以由x | axbc, 或axb c 來解。 對于含有兩個或兩個以上的絕對值 的不等式：用“零點(diǎn)分區(qū) 間法”分 類討論 來解 . 絕對值 不等式解法中常用幾何法：即根據(jù)絕對值 的幾何意 義用數(shù)形 結(jié)合思想方法解 題 .例題：求解不等式 | x2 |1解：略例題：求解不等式： | x 2 | | x 3|10解：零點(diǎn)分 類討論 法：x32分別令 x20和 x3 0解得： x3和 x2在數(shù) 軸上， -3 和 2 就把數(shù) 軸分成了三部分，如右上圖當(dāng) x3時，（去絕對值 符號）原不等式化為：( x2)( x3)10x11112x3x3x32當(dāng)3x2 時，（去 絕對值 符號）

24、原不等式化為：3x23x23x 2( x 2) ( x3)10xR當(dāng) x2 時，（去 絕對值 符號）原不等式化為：x2x2992 x(x2)( x3)10x22由得原不等式的解集為：x |11x9（注：是把的解集并在一起）22函數(shù) 圖像法：y令 f ( x) | x 2 | | x 3|2x1( x3)5則有： f (x)5( 3 x 2)2x1 ( x2)11o23在直角坐 標(biāo)系中作出此分段函數(shù)及f ( x) 10 的圖像如 圖2由圖像可知原不等式的解集為： x |11x922(4). 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a>0) 的實根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：設(shè) ax 2+b

25、x+c=0 的兩根 為、， f(x)=ax 2 +bx+c, 那么：y0若兩根都大于0，即0,0 ，則有00f (x) =10x92oxb對稱軸 x=2a0若兩根都小于 0，即0,0b0y，則有2af (0)0對稱軸 x=oxb2a若兩根有一根小于0 一根大于0，即0，則有 f (0)0yoxy若兩根在兩 實數(shù) m,n 之間，即 mn ，0xmbomnn則有2abf ( m)0X=f ( n)02ay若兩個根在三個 實數(shù)之 間，即 mtn ，f ( m )0則有 f ( t )0onxf ( n )0mtbX=常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在 a、b、 c 位置上的參數(shù)2a例如：若方程 x22(

26、m1)x m22m3 0 有兩個正 實數(shù)根，求 m 的取 值范圍。解：由型得04( m 1) 24( m 22 m 3) 0m1m 302( m1)0m10m 22 m 3 0m1, 或 m 3所以方程有兩個正實數(shù)根 時， m3 。又如：方程 x2xm210的一根大于1，另一根小于1，求 m 的范 圍 。解：因 為有兩個不同的根，所以由0(24(m21) 0551)m1 m 1f (1) 0121m210221m 15、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式6、二元一次不等式 組：由幾個二元一次不等式組成的不等式 組7、二元一次不等式（ 組）的解集： 滿足二元一次不等式組的 x 和 y 的取 值構(gòu)成有序數(shù) 對 x, y ，所有這樣 的有序數(shù) 對 x, y 構(gòu)成的集合8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直 線 xyC0，坐 標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0 , y0 若0，x0y0C0 ，則點(diǎn)x0, y0在直線xyC0 的上方若0，x0y0C0 ，則點(diǎn)x0, y0在直線xyC0 的下方9、在平面直角坐 標(biāo)系中，已知直 線 xyC0（一）由 B 確定：若0， 則xyC0表示直線xyC0 上方的區(qū)域；xy C 0 表示直 線x y C 0 下方的區(qū)域若0， 則xyC0 表示直 線xyC0 下方的區(qū)域；xyC0 表示直 線x y C 0 上方的區(qū)域（二）由