誤差理論習題答疑(合肥工業(yè)大學,費業(yè)泰主編

1、誤差理論習題答疑目錄1. 緒論 2. 誤差基本原理 3. 誤差的合成與分解 4. 最小二乘法原理 5. 回歸分析 緒論緒論1-4§1-4 在測量某一長度時，讀數(shù)值為2.31m, 其最大絕對誤差為20um，試求其最大相對誤差。 §解：最大相對誤差（最大絕對誤差）/測得值，» ´ ´ 緒論1-51-5 使用凱特擺時，由公式。 給定。今測出長度 給定。今測出長度為(1.04230 0.00005)m , 振動時間T為(2.0480 0.0005)s 。試求g 及最大相對誤差。如果測出為 (1.04220 0.0005)m ，為了使g的誤差能小于，T的

2、測量必須精確到多少？ 解：由得對進行全微分，令，得，從而的最大相對誤差為：由得，所以，。緒論1-71-7 為什么在使用微安表時，總希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用？,解：設微安表的量程為 ，測量時指針的指示值為X，微安表的精度等級為S，最大誤差,相對誤差，一般故當X越接近相對誤差就越小，故在使用微安表時，希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用。緒論1-9,1-9 多級彈導火箭的射程為10000km時，其射擊偏離預定點不超過0.1km,優(yōu)秀選手能在距離50m遠處準確射中直徑為2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高？解：火箭射擊的相對誤差：選手射擊的相對誤差：所以，相比較可見火箭的射擊精度高。緒論1-

3、10,1-10 若用兩種測量方法測量某零件的長度L1=100mm，其測量誤差分別為 而用第三種方法測量另一零件的長度L2 =150mm ，其測量誤差為，試比較三種測量方法精度的高低. 解：第一種方法測量的相對誤差為：第二種方法測量的相對誤差為：m 第三種方法測量的相對誤差為：´ =±相比較可知：第三種方法測量的精度最高，第一種方法測量的精度最低。第二章：誤差基本原理§1.算術平均值§2.標準差及算術平均值的標準差§3.測量結(jié)果表達方式§4.粗大誤差判斷及剔除誤差基本原理2-2,2-2 測量某物體共8次，測得數(shù)據(jù)（單位為g）為236.4

4、5，236.37，23.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。試求算術平均值及其標準差., 解：算術平均值為： 算術平均值的標準差是：2-3 用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計算習題2-2的標準差，并比較之。解：別捷爾斯法： 查表得：，所以：,最大誤差法：查表得：所以，綜上所述，用貝塞爾公式得到的標準差是0.0212g，別捷爾斯法計算得到的標準是0.02427g、極差法是0.02109g和最大誤差法是0.01941g，故最大誤差法計算的得到的標準差最小，別捷爾斯法最大。2-9 已知某儀器測量的標準差為0.5 m m 。 若在該儀器上，對某一軸徑測量一次，測

5、得值為26.2025mm，試寫出測量結(jié)果。 若重復測量10次，測得值（單位為mm）為26.2025，26.2028，26.2028，26.2025，26.2026，26.2022，26.2023，26.2025，26.2026，26.2022，試寫出測量結(jié)果。 若手頭無該儀器測量的標準差值的資料，試由中10次重復測量的測量值，寫出上述、的測量結(jié)果。解： m ，測量結(jié)果： = ´測量結(jié)果：,可由測得數(shù)據(jù)計算得： ,所以對，測量結(jié)果為：= ± = ±對，測量結(jié)果為：2-12 甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角a各測量五次，測得值如下：a甲：72'20'

6、;' ° ，73'0'' ° ，72'35'' ° ，72'20'' ° ，72'15'' °a乙：72'25'' ° ，72'25'' ° ，72'20'' ° ，72'50'' ° ，72'45'' °試求其測量結(jié)果。解：對于甲來說 對于乙來說 =所以兩個測量者的權(quán)是：不

7、妨取所以， d s 即為所求。2-16 對某一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結(jié)果如下（單位為mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。試判斷兩組數(shù)據(jù)間有無系統(tǒng)誤差。解：用秩和檢驗法有：將兩組數(shù)據(jù)混合排列，得 因為所以有根據(jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差。2-17 等精度測量某一電壓10次，測得結(jié)果（單位為V）為25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。測量完畢后，發(fā)現(xiàn)測量裝置有接觸松

8、動現(xiàn)象，為判斷是否接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新作了10次等精度測量，測得結(jié)果（單位為V）為25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。試用t檢驗法（取a為0.05）判斷兩測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：用t檢驗法判斷：第一次測量的數(shù)據(jù) ，第二次測量數(shù)據(jù)：； =所以： 因為，取，查t分布表，得 所以，無根據(jù)懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。2-19 對某量進行兩組測量，測得數(shù)據(jù)如下： ;0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39

9、1.41 1.57 ;0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95試用秩和檢驗法判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：將兩組混合排列成下表：得，因為秩和T近似服從正態(tài)分布，所以，數(shù)學期望為，標準差，所以，,故，當置信概率p< 98.36% ，此時 此時有根據(jù)懷疑兩組測量值之間存在系統(tǒng)誤差。而當置信概率p> 98.76% 時， 此時無根據(jù)懷疑兩組測量值之間存在系統(tǒng)誤差。2-20 對某量進行15次測量，測得數(shù)據(jù)為28.53，28.52，28.50，28.52，28.53，28.53，

10、28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若這些測得值以消除系統(tǒng)誤差，試用萊以特準則、格羅布斯準則和狄克松準則分別判斷該測量列中是否含有粗大誤差 測量值。思路： 萊以特準則：計算得，s=´ =根據(jù)萊以特準則，第14次測量值的殘余誤差所以它含有粗大誤差，故將它剔除。再根據(jù)剩下的14個測量值重復上述步驟。 格羅布斯準則：按照測量值的大小，順序排列得，現(xiàn)在有2個測量值可懷疑，由于 = - 故應該先懷疑X(1)是否含有粗大誤差，計算, 。故第14個測量值X(1) 含有粗大誤差，應剔除。注意：此時不能直接對x（15）進行判斷，一

11、次只能剔除一個粗差。重復上述步驟，判斷是否還含有粗差。§狄克松準則同理，判斷后每次剔除一個粗差后重復。第三章：誤差的合成與分解§知識點：§1.系統(tǒng)誤差合成§2.隨機誤差合成§3.相關系數(shù)§4.微小誤差取舍原則§5.誤差的分解及等作用原則3-2 為求長方體體積V，直接測量其各邊長為 161.6 a mm = ， 44.5 b mm = ， 11.2 c mm = ，已知測量的系統(tǒng)誤差為 1.2 a mm D= ， 0.8 b mm D=- ，0.5 c mm D= ，測量的極限誤差為 0.8 a mm d =± ，0

12、.5 b mm d =± ， 0.5 c mm d =± ，試求立方體的體積及其體積的極限誤差。思路：1. 按測得值計算得V；2. 根據(jù)系統(tǒng)誤差的合成原理求得V的系統(tǒng)誤差；3. 計算長方體的體積；4. 根據(jù)極限誤差的合成原理求得極限誤差；此時可寫出測量結(jié)果表達式。 解：因為 體積的系統(tǒng)誤差： 所以，長方體的體積是： 極限誤差為（局部誤差方和根）： 所以，立方體的體積是，體積的極限誤差是3-4 測量某電路的電流 22.5 I mA = ，電壓12.6 U V = ，測量的標準差分別為，求所耗功率P UI = 及其標準差p s 。解：先求所耗功率： 所以， -所以，該電路所耗功

13、率為0.2835W，其標準差為 解：因為 所以， 解：如圖所示，由勾股定理得 §然后對d1，d2，H1,H2分別求偏導，即得出誤差傳遞系數(shù)。3-10 假定從支點到重心的長度為L的單擺振動周期為T，重力加速度可由公式 給出。若要求測量g的相對標準差試問按等作用原則分配誤差時，測量L和T的相對標準差應該是多少？ 因為測量項目有兩個，所以n= 2。按等作用原理分配誤差，得 同理， 綜上所述，測量L和T的相對標準差分別是0.07072%和0.03536%。第五章：最小二乘法原理§知識點：§1.最小二乘法原理§2.正規(guī)方程§3.兩種參數(shù)估計的方法

14、7;4.精度估計§推薦掌握：基于矩陣的的最小二乘法參數(shù)估計參數(shù)最小二乘法估計矩陣形式的簡單推導及回顧：由誤差方程= -且要求最小，則： 所以：理論基礎： 5-1 由測量方程試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。解：方法一（常規(guī)）：1.列出誤差方程組： 即， 由上式可解得結(jié)果：2. 直接列表計算給出正規(guī)方程常數(shù)項和系數(shù)可得正規(guī)方程 將 y x，的結(jié)果代入分別求得： 得， 由題已知， ， 得 由不定乘數(shù)的方程組 ý- + = þ方法二（按矩陣形式計算）：由誤差方程Ù上式可以表示為ú即解得， 將最佳估計值代入誤差方程可得， 將計算得到的數(shù)據(jù)代入式中

15、 為求出估計量 y ，x，的標準差，首先求出不定常數(shù)由已知，不定常數(shù)的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而是矩陣中各元素，即 5-3 測力計示值與測量時的溫度t的對應值獨立測得如下表所示。t/C ° 15 18 21 24 27 30/ FN 43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78設t 無誤差，F(xiàn)值隨t 的變化呈線性關系試給出線性方程中系數(shù)k0和k的最小二乘估計及其相應精度。解：利用矩陣求解，誤差方程可寫成試中，ú所以 û將最佳估計值代入誤差方程得 ê ú -ê為求出估計量 k 0,、k，的標準差,需要求出不

16、定乘數(shù) dji 的系數(shù)，而不定乘數(shù)Dji 的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而Dij是矩陣中各元素，即- ë û ë û則 可得估計量的標準差為55 不等精度測量的方程組如下： 試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。解：利用矩陣計算- 57 將下面的非線性誤差方程組化成線性的形式，并給出未知參數(shù) X1， x2，的二乘法處理及其相應精度。Ù 所以 解得 則 第六章回歸分析§知識點：§1.一元線性回歸§2.多元線性回歸§3.方差分析及顯著性檢驗LOGO第六章回歸分析6-1 材料的抗剪強度與材料承受的正應力有關。

17、對某種材料試驗的數(shù)據(jù)如下：正應力/ x Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9抗剪強度 / y Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9/ x Pa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6/ y Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9假設正應力的數(shù)值是精確的，求抗剪強度與正應力之間的線性回歸方程。當正應力為24.5Pa時，抗剪強度的估計值是多少？解：6-7 在4 種不同溫度下觀測某化學反應生成物含量的百分數(shù)，每種在同一溫度下重復觀測三次，數(shù)據(jù)如下：求y對x的線性回歸方程，并進行方差分析和顯著性檢驗6-11 用表差法法驗證下列數(shù)據(jù)可以用曲線表示。x 0.20 0.50 0.70 1.20 1.60 2.10 2.50 2.80 3.20 3.70y 4.22 4.32 4.45 5.33 6.68 8.91 11.22 13.39 16.53 21.20解：將表中 y x，畫圖得曲線如圖所示，從