恒成立與存在性問題的解題策略講課稿

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除“恒成立問題 ”與 “存在性問題 ”的基本解題策略一、 “恒成立問題 ”與 “存在性問題 ”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：afx 恒成立afx max ； afx恒成立afx min2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：afx 能成立afx min ； afx 能成立afx max3 、 恰 成 立 問 題 的 轉(zhuǎn) 化 ： a f x在 M 上恰成立af x 的 解 集 為afx 在 M 上恒成立Ma f x 在CR M 上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若 x D , f ( x) A 在 D 上恰成立，等價(jià)于 f (x) 在 D 上的最

2、小值 fmin ( x) A，若 x D , f ( x) B 在 D 上恰成立，則等價(jià)于 f ( x) 在 D 上的最大值 f max (x) B .4、設(shè)函數(shù)f x、 g x，對任意的 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2 ，則f min xgminx5 、設(shè)函數(shù)fx 、 g x，對任意的x1 a , b ，存在 x2c , d ，使得 fx1g x2，則f max xgmax x6 、 設(shè) 函 數(shù) f x 、 g x， 存 在 x1a , b ， 存 在 x2c , d ， 使 得 f x1g x2 ， 則f max xg minx7 、 設(shè) 函 數(shù) f x

3、、 g x， 存 在 x1a , b ， 存 在 x2c , d ， 使 得 f x1g x2 ， 則f min xg maxx8、設(shè)函數(shù) fx 、 gx ，對任意的 x1a , b ，存在 x2c , d ，使得 f x1g x2 ，設(shè) f(x)在區(qū)間 a,b 上的值域?yàn)?A ， g(x) 在區(qū)間 c,d 上的值域?yàn)?B, 則 AB.9、若不等式fxg x 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D 上函數(shù) yfx 和圖象在函數(shù) yg x圖象上方；10、若不等式f xgx 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D 上函數(shù) yf x 和圖象在函數(shù) ygx圖象下方；恒成立問題的基本類型在數(shù)學(xué)問題研究中

4、經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題,其表現(xiàn)形式通常有:在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立; 某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R; 某不等式的解為一切實(shí)數(shù); 某表達(dá)式的值恒大于a 等等恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖

5、象。二、恒成立問題解決的基本策略大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題。等式中的恒成立問題，特別是多項(xiàng)式恒成立問題，常簡化為對應(yīng)次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個方程組來解決問題的。（一）兩個基本思想解決“恒成立問題 ”思路 1、 mf ( x)在 xD 上恒成立m f ( x) max思路 2、 mf ( x)在 xD 上恒成立m f ( x) min如何在區(qū)間 D上求函數(shù) f(x) 的最大值或者最小值問題 ,我們可以通過習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（

6、x）的最值。這類問題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)中注意積累。（二）、賦值型 利用特殊值求解等式恒成立問題等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.例 1 如果函數(shù) y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線 x=對稱，那么 a=（） .8A .1B .-1C . 2D.- 2.略解：取 x=0 及 x=，則 f(0)=f(),即 a=-1，故選 B.44此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.例（備用） 由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1) 4

7、+b1(x+1) 3+ b2(x+1) 2+b3(x+1)+b 4定義映射 f：(a1,a2 ,a3,a4) b1+b2+b3+b4,則 f ： (4,3,2,1) ()A.10B.7C.-1D.0略解 ：取 x=0 ，則 a4=1+b 1+b2+b3+b 4,又 a4=1,所以 b1+b2+b3+b4 =0 ，故選 D（三）分清基本類型，運(yùn)用相關(guān)基本知識，把握基本的解題策略1、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型 ,則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識求解,十分簡捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a 0),若 y=f(x) 在 m,n 內(nèi)恒有 f(x)>0 ，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得

8、上述結(jié)論等價(jià)于f (m)0同理，若在 m,n 內(nèi)恒有 f(x)<0 ， 則有f (m)0f (n)0f (n)0只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除yyo mxo mxnn例 2對于滿足 |a| 2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式 x2+ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范圍 .分析 ：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x 及 a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù) .顯然可將 a 視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2 ，2 內(nèi)關(guān)于 a 的一次函數(shù)大于 0恒成立的問題 .解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x 2 -2x+1>0 在 |a| 2 時恒

9、成立 ,設(shè) f(a)= (x-1)a+x2-2x+1, 則 f(a)在 -2,2 上恒大于 0，故有：f ( 2) 0x24x 3 0或x 3 x 1即2解得：f (2) 0x1 0或1x 1 x x<-1 或 x>3. 即 x ( , 1) (3,+ )此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間 m,n 上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在 x 軸上方（或下方）即可 .2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運(yùn)用。（1）若二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a 大0)于 0 恒成立，則有 a0且0（2）若是

10、二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識求解。類型 1：設(shè) f ( x)ax 2bxc( a0) 在 R 上恒成立，（1）（ 2）f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0 ；f (x)0在 xR 上恒成立a0且0 。類型 2：設(shè) f ( x)ax 2bxc(a0)在區(qū)間 , 上恒成立（1）當(dāng) a0 時， f ( x)0在 x, 上恒成立bbb2a或2a或 2a，f ( )00f ( )0f (x)0在 x , 上恒成立f ()0f ()0只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除（ 2）當(dāng) a0時， f ( x)0在 x, 上恒成立f ()0f ()0

11、f ( x)0在 x, 上恒成立bbb2a或2a或 2af ( )00f ( ) 0類型 3：設(shè) f (x)ax 2bxc(a0) 在區(qū)間(- ,上恒成立。f(x)>0a>0 且 <0 或 -b/2a>且 f()>0f(x)<0a<0 且 <0 或 -b/2a>且 f()<0類型 4：設(shè)f(x)ax2bx(a0) 在區(qū)間 ，+上恒成立。c)f(x)>0a>0,<0 或 -b/2a<且 f()>0f(x)<0a<0,<0 或 -b/2a<且 f()<0例 3 若函數(shù) f (x)

12、(a 21) x2(a1) x21的定義域?yàn)?R，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .a分析 ：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)(a 21) x2(a1) x20 在 R 上恒成立問題，并且注a1意對二次項(xiàng)系數(shù)的討論.解：依題意，當(dāng)xR時，(a21) x 2(a 1) x20 恒成立，a12a 210,1,a1即當(dāng)時， a所以，當(dāng)0,a10,此時 (a21)x 2(a1) x2110, a1.aa 2當(dāng)2時，即當(dāng)10,時，10(a1) 24(a 21) 20aa1有 a 211a9, 綜上所述， f(x) 的定義域?yàn)?R 時， a 1,9210a90,a只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除例 4

13、.已知函數(shù) f (x)x2ax3a ，在 R 上 f ( x)0 恒成立，求 a 的取值范圍 .分析： yf ( x) 的函數(shù)圖像都在X 軸及其上方，如右圖所示：略解 ：a24 3 a a24a 12 06 a 2變式 1：若 x2,2時， f ( x)0 恒成立，求 a 的取值范圍 .解析一 . （零點(diǎn)分布策略 ） 本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)0a2行分類討論，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或2f ( 2)0f (2)00a2，即 a 的取值范圍為 -7， 2.或2f ( 2)0f (2)0解法二分析：（運(yùn)用二次函數(shù)極值點(diǎn)的分布分類討論）要使 x2,2時，

14、 f ( x)0 恒成立，只需 f ( x) 的最小值 g (a)0即可 .2a2略解：（分類討論）f ( x)xaa3 ，令 f ( x) 在2,2 上的最小值為 g (a) .24當(dāng)a2 ，即 a4 時， g( a) f (2)73a0a7又 Q a423a 不存在 .當(dāng)2a2 ，即4a 4 時，aa2a 3 06 a 2又2g (a) f ( )42Q4 a44a2 當(dāng)a2， 即 a4 時 ， g( a)f (2) 7a0a7又 Q a427a4綜上所述，7a2.只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除變式 2：若 x2,2 時， f ( x)2 恒成立，求 a 的取值

15、范圍 .解法一 ：分析：題目中要證明f ( x)2 在2,2 上恒成立，若把2 移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間2,2 時恒大于等于0 的問題 .例 2已知 f ( x)x2ax3a ，若 x 2,2, f ( x)0 恒成立，求a 的取值范圍 .略解： f ( x)x2ax3 a20 ，即 f ( x)x2ax 1 a 0 在2,2 上成立 .a24 1 a 02 2 2 a2 2 2a24(1a)0f (2)0f ( 2)05a2 22aa2或22222綜上所述，5a2 22 .解法二：（運(yùn)用二次函數(shù)極值點(diǎn)的分布）當(dāng)a22 ，即 a4 時， g(a) f ( 2) 7 3a

16、 2 a5a 不4,3存在 .當(dāng)2 2 2a當(dāng)2a5a2 ，即4 a 4 時， g (a)aa22f ( )a 3 2 ，242 a 2224a 2222 ，即 a4時， g (a)f (2)7a 2，5a4綜上所述5a222 .此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)，求最值時， 對于軸變區(qū)間定的情形，對軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反的，軸動區(qū)間定，方法一樣.對于二次函數(shù)在R 上恒成立問題往往采用判別式法（如例4、例 5），而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除3、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其

17、中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。 運(yùn)用不等式的相關(guān)知識不難推出如下結(jié)論：若對于 x 取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)都有 f(x)>g(a) 恒成立，則g(a)<f(x) min ;若對于 x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)，都有f(x)<g(a) 恒成立，則 g(a)>f(x) maxmax和 f(x)min分別為 f(x) 的最大值和最小值).( 其中 f(x)例 5.已知三個不等式x24x3 0， x26x80， 2x 29x m 0 要使同時滿足的所有x 的值滿足，求m

18、的取值范圍 .略解：由得 2<x<3,要使同時滿足的所有x 的值滿足 ,即不等式 2x 29xm0 在 x(2,3)上恒成立，即 m2x 29x在 x(2,3) 上恒成立，又 2x2 9x在 x (2,3)上大于 9，所以m9例 6.函數(shù) f (x) 是奇函數(shù)， 且在 1,1 上單調(diào)遞增， 又 f ( 1)1 ，若 f ( x) t 22at 1對所有的 a 1,1都成立，求 t 的取值范圍 .解： 據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，f (1)1,又f ( x)在 1,1上單調(diào)遞增 f (x) maxf (1) 1f (x)t 22at1 對所有的 a 1,1都成立 .因此，只需 t 22at

19、1大于或等于f ( x)在 1,1上 的最大值1，t 22at 11t 22at0又對所有 a1,1都成立 ，即關(guān)于 a 的一次函數(shù)在 -1， 1上大于或等于0 恒成立，t 22t0t 22t0t2或t0或 t2只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除即： t (,2 02,)利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題補(bǔ)例 已知 f (x)x | xa |b, xR 若 b0，且對任何 x0,1不等式 f ( x)0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：當(dāng) x0 時， a 取任意實(shí)數(shù)，不等式f (x)0恒成立，故只需考慮 x0,1 ，此時原不等式變?yōu)閨 xa

20、|bxbb即 xaxxx故 (xb )maxa( xb ) min , x0,1xb 在xb )max又函數(shù) g(x)x0,1 上單調(diào)遞增，所以( xg(1)1b ；xb , xx對于函數(shù) h(x)x0,1xb當(dāng) b1 時，在0,1 上 h(x) 單調(diào)遞減，又1b1 b，( xx) minh(1) 1b所以，此時 a 的取值范圍是 (1b,1b) 當(dāng)1b 0 ，在0,1上， h(x)xb2b ，xb當(dāng) xb 時，(x)min2b，此時要使a 存在，x必須有 1b2b即 1b223，此時 a 的取值范圍是 (1b, 2b )1b0綜上，當(dāng) b1 時， a 的取值范圍是(1b,1b) ；當(dāng)1b2

21、23 時， a 的取值范圍是(1 b, 2b ) ；當(dāng) 22 3 b0 時， a 的取值范圍是4、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù) f(x) 是奇 (偶)函數(shù)，則對一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函數(shù) y=f(x) 的周期為 T，則對一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除5、直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例 7. 對任意實(shí)數(shù) x，不等式 x1

22、 x 2a恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .分 析 ： 設(shè) y=|x+1|-|x-2|,對任意實(shí)數(shù) x，不等式 x 1 x 2a恒成立 即 轉(zhuǎn) 化 為 求 函 數(shù)y=|x+1|-|x-2| 的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得a 的取值范圍 .解：令 y x 1 x 23x 12x 1 1 x 23 x 2在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使對任意實(shí)數(shù) x，不等式 x 1 x 2a 恒成立，a3.只需故實(shí)數(shù) a的取值范圍是（， 3）.注：本題中若將 對任意實(shí)數(shù) x，不等式 x1x2a恒成立，求實(shí)數(shù) a 改為 對任意實(shí)數(shù) x，不等式 x1x2a恒成立，求實(shí)數(shù) a ，同樣由圖象可得 a

23、>3; 對任意實(shí)數(shù) x，不等式 x1x2a恒成立，求實(shí)數(shù) a ,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得 a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)， 作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.例 8. 設(shè)常數(shù) a R,函數(shù) f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x. 若函數(shù) y=f(x) 與 y=g(x) 的圖像有公共點(diǎn)，則a 的取值范圍為。解： 1） a<=0x<=a/2<=0 時， f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0 時， f(x)=-3x+(2x-a)=-x

24、-ax>=0 時， f(x)=3x+(2x-a)=5x-a ，最小值為 -a<=2 則與 g(x) 有交點(diǎn)，即：-2<=a<=0 。2） a>0x<=0 時， f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2 時， f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2 時， f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值 a<=2 時與 g(x) 有交點(diǎn)，即： 0<a<=2只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除綜上所述， -2<=a<=2 時 f(x)=3|x|+|2x-a| 與

25、g(x)=2-x 有交點(diǎn)。三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會把問題分類、歸類，熟練基本方法。（一）換元引參，顯露問題實(shí)質(zhì)1、對于所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a 的取值范圍。解：因?yàn)榈闹惦S著參數(shù)a 的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實(shí)質(zhì)是“當(dāng) t 為何值時，不等式恒成立 ”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價(jià)于求解關(guān)于t 的不等式組：。 解得，即有，易得。2、設(shè)點(diǎn) P（ x，y）是圓 x2( y1) 24上任意一點(diǎn)，若不等式x+y+c0 恒成立，求實(shí)數(shù)c 的取值范圍。（二）分離參數(shù)，化歸為求值域問題3、若對于任意角總有成立，求m

26、的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價(jià)變形為恒成立。根據(jù)邊界原理知，必須小于 f (cos2的最小值，這樣問題化歸為怎樣求)cos2的最小值。因?yàn)閏os2f ( )2cos只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除即時，有最小值為0，故。（三）變更主元，簡化解題過程4、若對于，方程都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍。解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m 的根，再由 m 的范圍來確定根x 的范圍， 但這樣會遇到很多麻煩，若以m 為主元，則，由原方程知，得又，即解之得或。5、當(dāng) a 1 時，若不等式x 2( a6) x 9 3a 0恒成立，求 x 的取值范圍。（四）圖

27、象解題，形象直觀6、設(shè) x (0，4，若不等式x( 4x)ax 恒成立，求 a 的取值范圍。yy2解：若設(shè) y1x(4 x) ，則為上半圓。y 1設(shè)，為過原點(diǎn)，a 為斜率的直線。04x在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時，只有時成立，即 a 的取值范圍為。7、當(dāng) x(1,2)時，不等式 (x-1)2a<log x 恒成立，求 a 的取值范圍。解：設(shè) y1=(x-1) 2 ,y2=log ax,則 y1 的圖象為右圖所示的拋物線要使對一切 x(1,2),y 1<y 2 恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2 時 y2 的函數(shù)值大于等于y1 的函數(shù)值。故 lo

28、g a2>1,1<a 2.8、已知關(guān)于 x 的方程 lg(x 2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x 2+4x)=lg(2x-6a-4), 從而得 x2+4x=2x-6a-4>0, 注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y= x 2+4x 及一次函數(shù) y=2x-6a-4 ，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x 軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解：令 y1=x 2+4x= （ x+2） 2-4,y 2=2x-6a-4,和 y在 x 軸上方y(tǒng) 的圖象為一個定拋物線y的圖象是 k=2 ，

29、而截距不定的直線， 要使 y1212有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1 和 l2 之間。（包括l1 但不包括 l2）當(dāng)直線為 l 1時，直線過點(diǎn)（-4，0），此時縱截距為 -8-6a-4=0,a=2;當(dāng)直線為 l 2時，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為 -6a-4=0 ， a=2 a 的范圍為 2, 2)33（五）合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì)9、不論 k 為何實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，求 a的范圍。分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個參數(shù)， 用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。若考慮到直線過定點(diǎn)A （ 0， 1），而曲線為圓 ,圓心 C（ a， 0），要使直線恒與圓有交點(diǎn)，那么定點(diǎn)A(0,1

30、) 必在圓上或圓內(nèi)。解：，C（ a， 0），當(dāng)時，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點(diǎn) A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)， 即點(diǎn) A（0，1）到圓心距離不大于半徑， 則有，得。（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏10、當(dāng)時，不等式恒成立，求 x 的范圍。解：使用的條件，必須將m 分離出來，此時應(yīng)對進(jìn)行討論。當(dāng)時，要使不等式恒成立，只要，解得。 當(dāng)時，要使不等式恒成立，只要， 解 得。 當(dāng)時，要使恒成立，只有。綜上 得只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除。解法 2：可設(shè)，用一次函數(shù)知識來解較為簡單。我們可以用改變主元的辦法，將m 視為主變元，即將元不等式化為：(21) (2x1)0，；令m

31、xf ( m)m(x21)(2x1) ，則2 m 2 時， f (m)0 恒成立，所以只需f (2)0f ( 2)即02( x21)(2x1)0，所以 x 的范圍是 x(1 7,13 ) 。此類題本質(zhì)上是利用了2(x 21) (2x1)022一次函數(shù)在區(qū)間 m,n 上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x 軸上方（或下方）即可 .111x3時，不等式x22ax 60恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。、當(dāng)解： ax32x當(dāng) 1x3時， x3236 ，當(dāng) x3，即 x6時等號成立。2x22x故實(shí)數(shù) a 的取值范圍 : a6（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想12、（ 1990 年全國高考題）設(shè)，其中 a 為實(shí)數(shù)， n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時有意義，求a 的取值范圍。解：本題即為對于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a 的范圍，可先將a 分離出來，得，對于恒成立。構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除上的值域。由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)。于是有的最大值為：，從而可得。（八）利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系