高等數(shù)學(xué)：第七章 空間解析幾何

1、第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何如同平面解析幾何那樣，空間解析幾何是通過建立空間直角坐標(biāo)，把空間的點與三元有序數(shù)組對應(yīng)起來，用三元方程及方程組來表示空間幾何圖形，從而可以用代數(shù)的方法來研究空間幾何問題，而這又是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)。1 向量及其線性運算 一.向量的概念1.數(shù)量與向量：僅有數(shù)值大小的物理量稱數(shù)量或標(biāo)量，如溫度、時間等。不僅有大小，還有方向的量稱向量或矢量，如力、速度等。2.向量的表示：一般用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，方向表示向量的方向。3.向量的記法：用粗體字母，如a、I；或上面加箭頭的字母4.向量的模：即向量的大小，MM21用順序?qū)懗鍪键c和終點的記法，如特殊情形：單

2、位向量；零向量：0，其方向可看作任意負(fù)向量：與a大小相等方向相反的向量，記為-a.的模記為| a而其屬性不變，本章中只研究自由向量。5.自由向量：與始點位置無關(guān)的向量，可以對其進(jìn)行平移a1.向量的加法： 定義：將a、b的始點放在一起，以a、b 為鄰邊作平行四邊形，則從始點到對角頂點的向量稱a、b 的和，記a+b（稱平行四邊形法則）。aba+b稱為平行向量，也稱為共線，易知其方向相同或相反。若a與b在同一條直線上或在兩條平行直線上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向相同，記a=b.二.向量的線性運算： 平行向量的和：當(dāng)a與b方向相同時，其和向量的模等于兩向量模之和，其方向與a、b 方向相

3、同；當(dāng)a與b方向相反時，其和向量的模等于兩向量模之差，其方向與a、b 中模較大的向量的方向相同； 運算律： 1）交換律：a+b=b+a 2）結(jié)合律：（a+b）+c= a+(b+c)三角形法則：向量的加法還可以使用三角形法則，如圖： 特殊情況： a+0 = a ； a +（- a ）= 0.babaaba+b0)()4aaaa0)3621aaas3a2a1a4a5as6a2.向量的減法：兩向量a與b的差a-b規(guī)定為a+（-b），可使用三角形法則求出，如圖：aba-b3.向量與數(shù)的乘法： 定義：向量a與數(shù)的乘積仍為一向量，記為a. 其模：aa 其方向：當(dāng)0時與a相同，當(dāng)0時與a相反， =0時為零向

4、 量；特別：1 a= a，（-1） a= - a. 兩個非零向量平行充要條件：存在0，使a= b. 非零向量單位化：設(shè)a 0，與a同向的單位向量記為ao，易知ao=aa1運算律： 結(jié)合律：(a)=( a )=() a 分配律：（+） a = a + a ；（ a + b)= a + b三.向量的坐標(biāo)： 1.空間直角坐標(biāo)系：由過同一原點O作三條相互垂直的數(shù)軸（分別稱ox軸、oy軸、oz軸，又稱橫軸、縱軸、豎軸，按右手法則排列）所組成的坐標(biāo)系稱為空間直角坐標(biāo)系，記為Oxyz。與x軸、y軸、z軸的正向分別相同的單位向量，分別記為i、j、k。設(shè)有空間中點M（x,y,z)，則其坐標(biāo)：zkyjxiOMzy

5、xOM,5.向量線性運算的坐標(biāo)（代數(shù)）表示：設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間中兩點，AB3.向量的坐標(biāo)：易知：AB=x2-x1,y2-y1,z2-z1易知i、j、k的坐標(biāo)分別為1,0,0,0,1,0,0,014.i、j、k的坐標(biāo)：設(shè)有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則有 a=(ax)i+(ay)j+(az)k ab=(ax bx)i+(ay by)j+(az bz)k即ax= bx,ay= by,az= bz,從中消去得zzyyxxbababa其中若上式中某個分母為0，則其分子也為0.6.兩向量平行的充要條件：我們已知兩向量a與b平行的充要條件

6、是a= b,即兩向量平行的充要條件是其坐標(biāo)對應(yīng)成比例，3a-2b=(18-6)i+(-12-8)j+(30+18)k=12i-20j+48k例例1 已知兩向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k,求a+2b,3a-2b.解解 a+2b=(6+6)i+(-4+8)j+(10-8)k=12i+4j-8k四.模與方向余弦的坐標(biāo)表示： 1.模：222zyxaaaa其余弦稱為該向量的方向余弦。aaaaaazyx cos,cos,cos1coscoscos222 cos,cos,cos oa設(shè)有空間中兩點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，212212212)()()(zzyyxxd2

7、.方向余弦：稱a與三坐標(biāo)軸正向的夾角、為該向量的方向角，易知3.方向余弦的性質(zhì)：4.兩點之間距離公式：則此兩點之間的距離為OA=a,五.向量在軸上的投影 1.兩非零向量的夾角：設(shè)a 、b0，將其始點移至 同一點O，設(shè)OB=b,則規(guī)定向量OA與OB之間不超過的夾角為向量a 與b之間的夾角，記作如圖：BabAO類似地可規(guī)定向量與一坐標(biāo)軸的夾角或空間兩軸的夾角.)()(,abba或2.向量在軸上的投影： 點在軸上的投影：過A作軸u的垂直平面，則與u的交點A稱為A在軸u上的投影. 如圖：AA 向量在軸上的投影：設(shè)A點的坐標(biāo)為（x1，y1），B點坐標(biāo)為（x2，y2），則x2-x1稱為向量 在x軸的投影，

8、記作 ABprjxAB12xxBAprjx同樣12yyBAprjy1x1y2y2x注：相等向量在同一軸上的投影相等。 易知，當(dāng)向量與軸成銳角時投影為正；成鈍 角時投影為 負(fù)；成直角時投影為0.BAAuBB”u3.關(guān)于向量投影的規(guī)定： 規(guī)定：向量 在軸 上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦。ABu其中=)(,ABu即cosABABprju 任何一個向量可在坐標(biāo)軸上的分解，即任何一個向量可在坐標(biāo)軸上的分解，即jaiaayx分別稱為分別稱為 在在 軸，軸， 軸上的向量軸上的向量xyajaiayx,aprjaxxaprjayy稱為投影，或坐標(biāo)，或數(shù)量稱為投影，或坐標(biāo)，或數(shù)量yxaa ,jaia

9、ayxm 若已知向量的坐標(biāo)若已知向量的坐標(biāo) ,則向量的大小和則向量的大小和 方向就被確定由方向就被確定由 可得可得22yxaaaaax cosaay cos cos,cos稱為稱為 的方向余弦的方向余弦a投影形式：六.向量的數(shù)量積：1.數(shù)量積的定義：又稱數(shù)積、內(nèi)積、點積，其值為一個數(shù)量。 ab=b a aa=a2=|a|2 2.數(shù)量積的性質(zhì)：故有 ab= |a| prja b,同理，有 ab= |b| Prjba易知|b|cos= |b|cos（a,b)為b在a上的投影，ab= |a| |b|cos，3.數(shù)量積的坐標(biāo)表示：推論：非零向量a 、b垂直的充要條件是：(a+b)c=a c+b ca

10、b=0ab (當(dāng)a、b非零時）(a b)=(a) b=a (b)a b =axbx+ayby+azbz 設(shè)有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則有由 ab= |a| |b|cos，可得夾角余弦的坐標(biāo)表達(dá)式axbx+ayby+azbz=0；222222.coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa 例2 已知三點M（1，1，1），A（2，2，1），和 B（2，1，2）求 AMB例3 在xoy平面上找一單位向量，使它與向量 垂直jia解：設(shè)在xoy面上所找的向量為jbibbyx則0ba 即 0yxbb11| b |22yxbb解得21yxbbjibjib

11、2121212121cba,例4 設(shè) 是單位向量，解： 因0cba323)()()( accbbacabaccbba2332cos|)|b|a| (accbcba構(gòu)成一個等邊三角形且cba,所以1|a|cb且accbba求0cba且 例例5 求與向量a=2i-j+2k共線且滿足ax=-18的向量x.則稱c為a,b的向量積，記為c=ab, 又稱為叉積或矢量積.解解：因為a與x共線，則必存在0，使七.向量的向量積：1.向量積的定義：設(shè)有向量a,b，定義c如下：所以 = -2 x=-4,2,-4 x= a=2 ,- ,2 ,又ax= -18,即 4 + +4 =-18c的方向由a,b按右手法則確定，

12、 c的模|c|=|a|b|sin； (其中為a,b的夾角）注： ab是一個向量；而且其特征為方向與a與b都垂直，模等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積。 2.向量積的性質(zhì)： aa=0; 3.坐標(biāo)表示：設(shè)有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則有 ab =（aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)kkbbaajbbaaibbaabbbaaakjiyxyxxzxzzyzyzyxzyx向量的叉乘積不滿足交換律向量的叉乘積不滿足交換律兩個非零向量a與b互相平行的充要條件是ab=0(ab)=a (b)= (a) b(a+b) c=a c+b c b

13、a=- ab推論：向量a與b平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0zzyyxxbababa上式說明：兩非零向量平行對應(yīng)坐標(biāo)成比例；例例6 求與兩向量a=2,3,-1和b=-3，-1，1都垂直的單位向量。113132kjiC=2i+j+7k再將c單位化得：co=547,541,542解解：顯然，c=ab與兩向量都垂直，先求 c:上式中，若有分母為零，則對應(yīng)的分子也為零。 3.向量的混合積 cprjbacbacbacba |)cos(|)ba(abc,zyxaaaa 設(shè)設(shè),zyxbbbb ,zyxcccc zyxzyxzyxcccbbbaaac)ba( 則則0)ba (

14、cb,a,c共面的充要條件是三個向量的投影，即六面體的高為該六面體的底面積，積：為棱的平行六面體的體為以上在為| |bac|cprjbacb,a,abcba例 求一向量，使得此向量與三個點M1（3，0，2） ， M2（5，3，1）， M3（0，-1，3）所在平面垂直。解： 設(shè)所求向量為 ，因為所求向量與三個點所在平面垂直，c3121MMMMckjikjiMMMMc721131323121) 1 , 1, 3() 1, 3 , 2(3121MMMM321MMM求 的面積。3121,MMcMMc所以3121213211MMMMMMMs例2 求證2222)()(bababa證)(sin)(00222

15、2nnbababa)1)(00nnn0為單位向量2222)()(bababa542121c)(cos)(2222bababa2空間平面與直線 一.平面的點法式方程： 1.平面的法向量：與平面垂直的向量稱為的法向量， 一個平面的法向量有無窮個。 2.點法式方程：設(shè)平面過一定點M0(x0,y0,z0)，且具有法向量n n=A,B,C，則稱A(x-x0)+B(y-y0)+C (z-z0)=0為該平面的點法式方程 例例1 已知平面過M0(3,-2,1),且與M0到M1(-2,1,4)的連線垂 直,求其方程。 解解：所求平面的一個法向量n=-5,3,3，于是平面方程為 (-5)(x-3)+3(y+2)+

16、3(z-1)=0整理得 5x-3y-3z+18=0 二.平面的一般式方程： 1.一般式方程：我們稱形為Ax+By+Cz+D=0的方程為平面的一般式方程，其中A,B, C為其法向量n n. 2.特殊情況： 當(dāng)D=0時，Ax+By+Cz=0過原點； 當(dāng)A=0時，By+Cz+D=0平行于x軸，其他類似；當(dāng)A=B=0時，Cz+D=0平行于xOy面，其他類似； 例例2 求過x軸及點M(1,2,3)的平面方程。 解解 因為平面過原點且平行于x軸，易知平面方程形為By+Cz=0將點M的坐標(biāo)代入得其一組解為B=3, C= -2故所求平面的方程為3y-2z=0 三.平面的三點式方程： 過不共線的三點M1(x1,

17、y1,z1) ，M2(x2,y2,z2)， )z,y,x(M3333 0zzyyxxz-zy-yxxzzyyx-x:131313121212111 則平面的三點式方程則平面的三點式方程四.平面的截距式方程： 稱形如1czbyax的方程為平面的截距式方程。其中a,b,c為平面 在x,y,z軸上的截距。+五.兩平面的夾角：兩法向量之間的夾角,0，/2+結(jié)論：0DzCyBxA:11111 0DzCyBxA:22222 C,B,An:1111 法法向向量量C,B,An:2222 法法向向量量222222212121212121CBA.CBA|CCBBAA|cos0CCBBAA21212121 2121

18、2121CCAA/ BB +六.點到平面的距離222000CBA|DCzByAx| d)z,y,x(P0000 設(shè)設(shè),0DCzByAx:外外一一點點為為平平面面 d的距離的距離到平面到平面求求 0P七. 空間直線的對稱式與參數(shù)式方程：1.直線的方向向量：任一平行于直線L的非零向量稱為L的方向向量，一般記為S，一直線的方向向量有無限個。 s=l,m,n，l,m,n稱為L的方向數(shù)2.對稱式方程： 設(shè)已知直線L上一點M0(x0,y0,z0)和它的一個方向向量 S=l,m,n，則該直線的方程為nzzmyylxx000稱為該直線的對稱式方程（或稱為點向式、標(biāo)準(zhǔn)式方程）。 在上式中，若l=0, 則應(yīng)理解為

19、nzzyyxx000m其余類推。若有兩個為0，例l=m=0，應(yīng)理解為0000yyxx 3.兩點式方程： 過兩點M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的直線的方程為121121121zzzzyyyyxxxx 4.參數(shù)式方程： 在直線的對稱式方程中令比例系數(shù)為t，則得如下參 數(shù)方程：ntzzmtyyltxx000 例例4 求過點(-2,1,0)且垂直于平面3x-13y-9z-2=0的直線 的對稱式方程與參數(shù)式方程。 解解 顯然平面的法向量可以取作直線的方向向量，取 s=3,-13,-9,由對稱式知直線方程為913132zyx再令上式等于t，便得到直線的參數(shù)式方程：tztytx91313

20、2 八.空間直線的一般式方程： 空間直線可看作兩個平面的交線，設(shè)有兩個平面 1：A1x+B1y+C1z+D1=0 2：A2x+B2y+C2z+D2=0則稱如下方程組為直線的一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA例 將 直線L 化成對稱式方程0220123zyxzyx平面 的法向量0123:1zyx022:2zyx21,nLnLkjikjinns7511212321L的方向量求直線L上一點M0(x0,y0,z0)令x0=1042zyzy得 Y0=4,z0=41 , 2, 3,1111 CBAn1, 1 , 2,2222 CBAn745411zyx所求直線L方程為九 有關(guān)計算

21、1.兩平面的夾角兩平面法向量的夾角,稱為兩平面的夾角.222222212121212121cosCBACBACCBBAA若兩平面互相垂直,則若兩平面互相平行,則,21nn0212121CCBBAA1n/2n212121CCBBAA2 兩直線間的夾角2222211111,:,:nmlsLnmlsL222222212121212121cosnmlnmlnnmml l3 直線與平面之間的夾角當(dāng)直線L與平面不垂直時,直線與平面的夾角規(guī)定為直線與它在平面上的投影直線的夾角（銳角）.)(2ns，)sin()(2cos(cosnsns，222222), (cosCBAnmlnCmBlAns當(dāng) 時,直線與平面

22、垂直,/nspCnBmA0CpBnAm當(dāng) 時 直線與平面平行sn4 點到平面的距離設(shè)M0(x0,y0,z0) 是平面 Ax+By+Cz+D=0 外一點,下面求M0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0 的距離.:解:設(shè)M1(x1,y1,z1)為平面 上任一點, 為 的法向量,且過M0點, A,B,Cnn設(shè)M0到 的距離為 ,則d)cos(010101MMnnMMMMpijdn222000222000)()()(CBADCzByAxCBAzzCyyBxxA222010101)()cos(CBAMMnnMMnnMM5 平面束方程 兩平面決定一條直線L實際上過L的平面有無窮多個，我們稱它

23、為平面束用 表示0)(22221111DzCyBxADzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA12L上的點一定在 和 上，因而也一定在平面束上，通過L的任意平面（除 外）都包含在平面束內(nèi)。 122例 求直線L：0101zyxzyx在平面 x+y+z=0 的投影直線方程解：要求投影直線方程，實際上是求一個與平面0:zyx垂直，且過直線L的平面，為此，建立平面束方程0) 1(1zyxzyx01) 1()1 ()1 ( :1zyx0) 1()1 ()1 (由于1101zy代入平面束方程得所以投影直線方程為001zyxzy此平面與 的交線即為所求。例 求通過兩平面 和04 zx05

24、zyx的交線且與平面 成 角的平面04501284zyx0) 4(5zxzyx解 建立過已知兩平面交線的平面束方程1 , 5 ,1n其法向量為01284zyx而平面 的法向量為8, 4, 11n01272043,64161)1 (25)1 ()1 ( 820122zyx平面方程：02145cos)cos(nn3 曲面與空間曲線例1：求與A(2,3,1)和B(4,5,6)等距離的點的運動規(guī)跡。1.曲面方程的一般概念：而滿足此方程的點都在曲面上，則稱此方程為該曲面的方程，而曲面稱為此方程的圖形。定義：若曲面上的點的坐標(biāo)(x,y,z)一.曲面及其方程： 都滿足方程F(x,y,z)=0，解： 設(shè)M(x

25、,y,z)為動點的坐標(biāo)，動點應(yīng)滿足的條件是 |AM|=|BM|由距離公式得222222) 6() 5() 4() 1() 3() 2(zyxzyx整理得 0631044zyx此即所求點的規(guī)跡方程，為一平面方程。 2.坐標(biāo)面及與坐標(biāo)面平行的平面方程：坐標(biāo)面yOz、坐標(biāo)面zOx以及過（a,b,c)點且分別與之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 過點（a,b,c)且與xOy面平行的平面方程：z=c坐標(biāo)平面xOy的方程：z=0 3. 球面方程： 球面的標(biāo)準(zhǔn)方程：以M0(x0,y0,z0)為球心，R為半徑 的球面方程為 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例例2：求x2

26、+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此為一個球心在（-1,1,0)，半徑為2的球。球面方程的特點：平方項系數(shù)相同；沒有交叉項。 球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 一般我們將動直線l沿定曲線c平行移動所形成的軌跡稱為柱面。 分析：母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點為：分析：母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點為：平行于某軸，則在其方程中無此坐標(biāo)項。平行于某軸，則在其方程中無此坐標(biāo)項。 若柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線c是xoy面上的一條曲線，其方程為F(x,y)=0,則該柱面的方程為F(x,y)=0.4.母線平行于坐標(biāo)軸的

27、柱面方程：此時有以下結(jié)論：本章中我們只研究母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。定曲線c稱為柱面的準(zhǔn)線。其中直線l稱為柱面的母線，同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面。222ayx圓柱面；12222byax橢圓柱面；12222byax雙曲柱面；pyx22拋物柱面。以上所舉例均為母線平行于z軸的情況，其他情況類似。幾種常見柱面：x+y=a 平面；其幾何意義為：無論z取何值，只要滿足F(x,y)=0，則總在柱面上。 一般情況下我們將一平面曲線c繞同一平面內(nèi)的定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。其中c稱為母線，L稱為其軸。本章中只研究繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的曲面。 設(shè)y

28、Oz平面上有一已知曲線c 其方程為f(y,z)=0，將c繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的以z軸 為軸的曲面方程為：0),(22zyxf此時有以下結(jié)論：4.旋轉(zhuǎn)曲面：同理，曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為：0),(22zxyf同理,以xOy面上曲線f(x,y)=0為母線繞x軸得曲面0),(22zyxf繞y軸為0),(22yzxf以xOz面上曲線f(x,z)=0為母線繞x軸得曲面0),(22zyxf繞z 軸得曲面0),(22zyxf例例3 求頂點在原點，旋轉(zhuǎn)軸為z軸， 半頂角為a的圓錐面方程。解解：將yOz面上的直線z=yctg 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即得圓錐曲面 ctgyxz22整理后得：)(2222yxaz其

29、中a=ctg二.空間曲線及其方程： 1.空間曲線的一般方程： 空間曲線一般可看作兩個曲面的交線，若兩個曲面的方程分別為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，則易知其交線c的方程為0),(0),(zyxGzyxF稱此方程組為曲線c的一般方程。 例例4：方程組25222zzyx表示怎樣的曲線？解解：平面z=2上以(0,0,2)為圓心的單位圓。表示母線平行于Z 軸，準(zhǔn)線在xoy面上半徑為1的上半球面例 方程 表示怎樣曲線222222)2()2(ayaxyxaZ22yxz解： 表示中心在原點，222)2()2(ayax半徑為1的圓柱面，它們的交線是xoy面上的一個圓，其圓心在 ，半徑為)0 ,2

30、(a2a2.空間曲線的參數(shù)方程： 方程組)()()(tzztyytxx稱為空間中曲線的參數(shù)方程。設(shè)空間曲線方程例 如果空間一點M在圓柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度 繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時以等速度v沿平行于z軸的正方向 移動，則點M運動的軌跡叫螺旋線，求其參數(shù)方程zvtMNtMNvtztaytaxsincosRzayaxsincos螺旋線有一個重要性質(zhì)，當(dāng) 從 變到 時，Z由 變到 這說明當(dāng) 轉(zhuǎn)過角 時， 點沿螺旋線升了高度 ，即上升的高度與 轉(zhuǎn)過角度成正比。000bbb0MoMbMo 三.空間曲線C在坐標(biāo)面上的投影：0),(0),(zyxGzyxF在該方程組中消去z得H(x,y)=0，此為

31、一個通過曲線C母線平行于z軸的柱面，稱為曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面。此投影柱面與xOy平面的交線即為C在xOy平面上的投影曲線，簡稱投影，其方程為00),(zyxH同理可得C在yOz面及xOz面上投影方程為00),(yzxT00),(xzyR和解 消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程為3x2+2y2 =1例 求曲線L： 在三個坐標(biāo)面上的投影曲線22213yzzyx012322zyx投影曲線方程001232yzx投影曲線方程消去x得z=1-y2012xyz投影曲線方程消去y得3x2+1-2z=0投影柱面方程為3x2-2z+1=0投影柱面方程為z=1-y2的交線是一條空間曲線例 兩個柱面

32、和 222azx222ayx 例例5：求曲線1) 1() 1(1222222zyxzyx在xOy面上的投影方程。 解解：上式減下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程為02222yyx從而曲線在xOy面上的投影方程為002222zyyx四 二次曲面通過截痕法，了解二次曲面的全貌1.橢球面1222222czbyax與三個坐標(biāo)面的交線均為橢圓012222zbyax012222yczax012222xbyaz k1)ck1 ()ck1 (22222222zbyax2 單葉雙曲面為為正正數(shù)數(shù)）cbaczbyax,(1222222 Z=h 截,截痕為一橢圓。hzchbychax1)1 ()1 (2222

33、2222hxahczahby1)1 (-)1 (22222222x=h ，或y=h截,截痕為一雙曲線。hybhczbhax1)1 (-)1 (222222222）當(dāng) 時，截痕為一對直線bh 1）當(dāng) 時，曲線為雙曲線，實軸平行與x軸，虛軸平行與z軸，當(dāng) 由零增大到b時，曲線的兩半軸縮小至零。bh h3）當(dāng) 時，曲線仍為雙曲線，但實軸平行于z軸，虛軸平行與x軸，當(dāng) 由 b增大時，曲線的兩半軸也增大。bh h同樣用平行于yoz的平面相截時截痕也是雙曲線，可用同樣的方法討論。這是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。當(dāng)a=b時，方程變?yōu)?22222czayx3 雙葉雙曲面為正數(shù)）cbaczbyax,(1222222雙葉雙曲面對稱于坐標(biāo)原點及三個坐