高等數(shù)學(xué)：第9章課后習(xí)題解答

1、 習(xí)題9.13.設(shè)函數(shù) 在有界閉區(qū)域D上連續(xù)且 試證必存在點 使 . 證：證：因為 在有界閉區(qū)域上連續(xù)，所以 在D 上有最大值M與最小值m，且因 ， 故有 ，積分得 當(dāng) 時， ，使 ，試試證必存在 上連連續(xù)，D在有界 閉有界 設(shè)函數(shù)3. ),(),(yxgyxf0),(yxgD),(DDdyxgfdyxgyxf),(),(),(),(),(yxf),(yxf0),(yxg),(),(),(),(yxMgyxgyxfyxmgDDDdyxgMdyxgyxfdyxgm),(),(),(),(0),(yxgDdyxg0),(習(xí)題9.1于是有從而由二元連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在一點 ，使 即當(dāng)g（x，y

2、）=0時，所證等式顯然成立。MdyxgdyxgyxfmDD),(),(),(D),(DDdyxgdyxgyxff),(),(),(),(DDdyxgfdyxgyxf),(),(),(),(習(xí)題9.28.設(shè)閉區(qū)域D： 為D上的連續(xù)函數(shù)，且 求解：解：設(shè) ，在已知等式兩邊求區(qū)域D上的二重積分有 ),(. 0,22yxfxyyxDdudvvufyxyxf.),(81),(22).,(yxfAdudvvufD),(DDDdxdyAdxdyyxdxdyyxf81),(22AdxdyyxAD221rdrrdA20sin0212).322(31)cos1 (31203d).322(61A).322(341)

3、,(22yxyxf9. 計算 ，其中D是由曲線 (a0) 和直線 y=-x 圍成的區(qū)域. 解：解：區(qū)域D在極坐標(biāo)系下D=I=令 r=2asint，有10.計算 ，其中解：解：設(shè) 則dxdyyxayxD222224xaay22sin20, 04| ),(arrdxdyyxayxD222224drrardasin20222044dttadI)2cos1 (20204da)2sin21(2042).2116(22adxdyeDyx,max22.10, 10| ),(yxyxD.0, 10| ),(1xyxyxD.1, 10| ),(2yxxyxDdxdyeDyx,max22dxdyDxe122dxd

4、yeDyx222,maxdxdyeDyx122,maxdyedxxx0102dxxxe1022. 1 e11.設(shè)g(x)0為已知連續(xù)函數(shù)，在圓域 上計算二重積分 ，其中 為正常數(shù)。解:由于區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，故對連續(xù)函數(shù)f（x，y）有 因此從而有)0(| ),(222aayxyxDdxdyygxgygxgID)()()()(,DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(dxdyxgygygdxdyygxgxgDD)()()()()()(dxdyxgygygygxgxgD)()()()()()(2122121adxdyDdxdyygxgygxgD)()()()(dxdyxgygygdxdy

5、ygxgxgDD)()()()()()(.)(212121222aaa12.設(shè)f(x)為0,1上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，證明：證：由于 同理可得將，相加，并注意到假設(shè)即故即 ，由此可推知命題成立。.)()()()(102103102103dxxfdxxfdxxxfdxxxf101010102323)()()()(dxxxfdxxfdxxfdxxxfIDDdxdyyyfxfdxdyyfxxf)()()()(2323Ddxdyyxyfxf)()(23DdxdyxyyfxfI)()(320)()()(yfxfyx, 0)()()()()(222dxdyyfxfyfxfyxID0I13.設(shè)函數(shù)f（x）在

6、區(qū)間0,1上連續(xù)，并設(shè) ，求解： 所以10)(Adxxf.)()(101xdyyfxfdx222101021)0(21) 1 (21)0() 1 ()1 ()()()() 1 (AFFFFFxdFxFdxxfF10)() 1 ()(dxxFFxf101)()(xdyyfdxxf101)()(xdyyfxfdx.21)()(2101Adyyfxfdxx).0() 1 (),()(FFAxfxF則令習(xí)題9.44.（8）計算 ，其中 為平面曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與平面z=8所圍成的區(qū)域。解法一：解法一：在柱面坐標(biāo)系下，解法二解法二：采用“先二后一”法 ，7.設(shè)函數(shù)f（z）在-1, 1上連續(xù)，

7、證明 其中 為球體證：證：令 ，則 故dVyxI)(22022xzydzrrdrdIr82240202drr)28(2402.31024dxdyyxdzIzyx)(2228022rdrrddzz2028020.31024,)1)()(112dzzzfdVzf. 1222zyx11,1| ),(2221zyxzyx11)()()(1dzzfdxdydVzf).1 (21zSdzSzf111)(.)1)(112dzzzf8.設(shè)f（x）連續(xù)，f（0)= a，函數(shù) ，其中 及 ，求解：解：在球面坐標(biāo)系下化三重積分為三次積分，得 dVzyxfztF)()(222yxtz2220:yxz22.)(lim3

8、0ttFtdVzyxfztF)()(222drrrfrddt2024020)(cossindrrrfddrrdtt202400340)(sincossin2.)()221 (1622024drrrftt.)()221 (42)(223ttfttF故ttFttFtt20303)(lim)(limtttftt222303)(221 (42lim)()221 (4lim3220tftt)0()221 (32f.322a9.假設(shè)f(x)在區(qū)間0, 1上連續(xù)，并且 ，證明：證：證：設(shè) ，則 故Adxxf10)(.! 3)()()(3101yxxAdzzfyfxfyddxxdttfxF0)()(. 0)0

9、(),1 (),()(FFAxfxFyxxdzzfyfxfyddx)()()(101yxxdzzfydyfdxxf)()()(101ydzFyfdxxfxyx101| )()()(101)()()()(xydFxFyFdxxfdxyFxFyFxfx|)()()(21)(1102dxxFxFFxFFxf10222)()(21() 1 ()() 1 (21)()()(21) 1 ()() 1 (211022xdFxFFxFF|)(3121) 1 ()(21)() 1 (21(10322xFFxFxFF因為故)0(! 31) 1 ()0(21)0() 1 (21()1 (! 31) 1 (21) 1

10、 (21(322333FFFFFFFF)0(! 31) 1 ()0(21)0() 1 (21() 1 (! 313223FFFFFF,)()(0 xdxxfxF,)() 1 (10dxxfFA則, 0)()0(00dxxfF.! 3) 1 (! 31)()()(33101yxxAFdzzfyfxfyddx習(xí)題9.59.設(shè)有一半徑為R的球體， 是此球的表面上的一個定點，球體上的任一點的密度與該點到 的距離的平方成正比（比例常數(shù)k0），求球體的質(zhì)心坐標(biāo).解：解：記所考慮的球體為 ，以 的球心為原點O，射線 為正x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示),則點 的坐標(biāo)為（R，0,0），球面的方程為 設(shè) 的重心位置為 ，由對稱性得P0P0PO0P0.2222Rzyx),(zyx, 0, 0zy而故 因此，球體的重心