高等數(shù)學(xué)：第八章 第三節(jié)--多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

1、第三節(jié)第三節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)微分法多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)微分法第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)的微分法一一. 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)的微分法一元復(fù)合函數(shù)的微分法則-鏈導(dǎo)法:dxdududydxdy推廣)(),().1 (xxfz定理 設(shè) 和 都在點(diǎn)x可導(dǎo),而z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v)可微,則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)x可導(dǎo),且)(xv)(),(xxfz)(xudxdvvfdxduufdxdz注:1.上述定理可推廣到所有的多元復(fù)合函數(shù).全導(dǎo)數(shù)2. 因?yàn)槎嘣獜?fù)合函數(shù)類型復(fù)雜,所以不要死記公式,要學(xué)會(huì)用 復(fù)合關(guān)系圖.(證明略)uzvx例如:)(),(),(),(xhwxvxuwvufzdx

2、dwwfdxdvvfdxduufdxdz),(),().2(yxyxfz定理8.3.1 設(shè) 和 都在點(diǎn)(x,y)可偏導(dǎo),而z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)可微,則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)(x,y)可偏導(dǎo),且),(yxv),(yxu),(),(yxyxfzxvvzxuuzxzyvvzyuuzyzzuvwxzuvxy),(),(),(),(yxhwyxvyxuwvufz類似的:xwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyzzuvwxy類似的:,),(),(),(yxyxfzyxuyxufzxfxuufxzyfyuufyz 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),),(yxyxfz),(yxufz 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)注意符號(hào)的區(qū)

3、別zxuyxy其它形式：),(),(1yxuufz）（yududzyzxududzxz,),(),().2(yxuuxfzxuufxfxzyuufyzz xuxyzuxy例1.,sinyxvxyuvezu求yzxz,解法一: 將 u,v 帶入解出偏導(dǎo)數(shù);解法二: 用鏈導(dǎo)法:xvvzxuuzxz1cossinveyveuu)cos()sin(yxyxyexyyvvzyuuzyz1cossinvexveuu)cos()sin(yxyxxexy由此例看出,鏈導(dǎo)法對(duì)于具體函數(shù)幫助不大例2.yxzezyxfuzyxsin,),(2222，求xu解法一: 解法二: yxyxeu2422sin)sin42(

4、23sin2422yxxexuyxyxxzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222例3.)(),(ufxyfz 可微,證明0yzyxzx)()(2xyufxududzxzxufyududzyz1)(0yzyxzx例4.)(,)(22ufyxfyz可微,證明211yzyzyxzx2)2(fxf yxz yfyzyxzx11122ffxy 2)2(fyf yfyz 222ffyf2yz二二. 復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)例5.fxyyxfz),(22具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求yxzxz222,xyvyxuvufz,),(22xvvzxuuzxz212yfxf 注意:),

5、( 1vuffu),( 2vuffv22 22 21 12 11122xvfxufyxvfxufxfxz 222 12 1121442fyxyffxf2 22 212 12 112yvfyufyfyvfyufxyxz 22 1222 112)(24xyffyxxyff例6.fxyzzyxfw),(具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求zxw221yzffxw)( 22 212 12 112xyffyzyfxyffzxw 2222 12 11)(zfxyyfyfzxf三三. 全微分形式不變性全微分形式不變性dxxvvzxuuz)(dyyvvzyuuz)(dvvzduuzdzvufz: ),(),(yxv),(y

6、xu若:),(),(yxyxfz則對(duì)dyyzdxxzdz)()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdvvzduuz全微分形式不變性注:(1).利用全微分形式不變性可得出與一元函數(shù)類似的微分 法則;(2).可以利用全微分形式不變性及微分法則求微分和偏導(dǎo)數(shù).例如前面例1:vdvevdueveddzuuucossin)sin(解法三:)cos()sin(yxyxyexzxy)cos()sin(yxyxxeyzxyxdyydxxyddu)(dydxyxddv)(dxyxyxyexy)cos()sin(dyyxyxxexy)cos()sin(. 4 )cossin(e2 cossinecose)

7、2cose (2) 2cose (sinecose2sine,2sine 2212112122x2112x11x121221xyffyxyyyfyyfyfyfxyfyfyyfxffyyyxzxfyfxzxxxxxxyxzfyxyfzx222,),sine (. 1求有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)其中練習(xí).d) (d) (d) (d, , ,322131322131zxfyfyzfxfxzfyfsxfyfzszfxfyszfyfxsdsfzxyzxyfs求有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)其中,),(. 2 隱函數(shù)及其微分法隱函數(shù)及其微分法一一.一個(gè)方程的情形一個(gè)方程的情形0),().1 (yxF所確定的隱函數(shù):已經(jīng)介紹過求導(dǎo)方法

8、定理4.3.2(一元隱函數(shù)存在定理)設(shè)方程F(x,y) =0確定隱函數(shù)y=f(x)，且函數(shù)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則當(dāng) 時(shí)，有求導(dǎo)公式0yFyxFFdxdy因?yàn)?)(,xfxF兩邊對(duì)x求導(dǎo):0dxdyFFyxyxFFdxdy注:1.若存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則)(22yxFFdxddxyd2)()(yxyyyxyxyxxFFdxdyFFFdxdyFF3222yxyyyxxyyxxFFFFFFFF2.可推廣到二元隱函數(shù).此公式不實(shí)用證:類似地：對(duì)于方程F(x,y,z)=0所確定的二元隱函數(shù)z=f(x,y),若函數(shù)F(x,y,z)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ，則有:zyzxFFyzFFxz,0),().2

9、(zyxF所確定的隱函數(shù):因?yàn)?),(,yxfyxF兩邊分別對(duì) x,y 求偏導(dǎo):0 xzFFzx0yzFFzyzyzxFFyzFFxz,證:0zF例1.133 xyzz求yzxz,),(zyxF133 xyzzxyzFxzFyzFzyx33,3,32xyzxzFFyzzy2xyzyzFFxzzx2注意注意:上述公式和證明方法都可以用做隱函數(shù)求導(dǎo)上述公式和證明方法都可以用做隱函數(shù)求導(dǎo).解法一:解法二:將 z 視為 x , y 的函數(shù),方程兩邊分別對(duì) x , y 求偏導(dǎo)(過程略)例2.設(shè) y = f ( x, t ),而 t 是由 所確定的函數(shù),且 可微.求dxdy0),(tx0),(txdxdt

10、tfxfdxdy xy t x隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)0),(tx方程 兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo):, 0dxdttx,txdxdttxtftxfdxdy例3.zzyx4222求22xz42,2zFxFzxzxFFxzzx2),(zyxFzzyx422222xz)2(zxx2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz322)2()2(zxz注注:上述隱函數(shù)存在定理及微分法可以推廣到方程組情形上述隱函數(shù)存在定理及微分法可以推廣到方程組情形.二二.方程組情形方程組情形例如0),(0),(vuyxGvuyxF在一定條件下確定兩個(gè)二元函數(shù).存在定理略去,只討論其微分法.例4.求.,dxdzdxdy01222

11、zyxzyx各方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo):010dxdzdxdydxdzzdxdyyx解方程組得:,zyxzdxdy)0( zy.zyyxdxdz),(),(yxvvyxuu例5.求.,yvxvyuxu0022yvuxvu各方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo):02012xvvxuxvxuu解方程組得:141uvxv,142uvvxu)014(uv同理,各方程兩邊對(duì)y求偏導(dǎo),可得:,141uvyu.142uvuyv)014(uv思考練習(xí).)( 23)( dd.)( 23dd:)ln(23223223yxxyxzfxyfxfxuyxxyxxzxyxz故求導(dǎo)并整理得兩邊關(guān)于對(duì)方程xufyxzxyzyxfudd,. )ln(

12、),(),(. 123均為可微函數(shù)，求其中而設(shè). 2) 1(31) 1 , 1 , 1 ( ,3. 1|:1, 1, 1. 05522:0532232)1 , 1 , 1(222xxfxzzxyzyfxzzyxxzxyyzxzzxxxyzzyx故而代入上式得把求導(dǎo)得兩邊關(guān)于對(duì)方程) 1 , 1 , 1 ( ,053),(,),(. 222232xfxyzzyxyxzzzxyzyxf求確定由方程其中設(shè)1 . 空間曲線的切線和法平面（1）設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 x= (t),y=(t),z=(t) ( t)假定這三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn) 的切線方程為：切線MT的方向向量（的切向量） ：（2）曲線

13、在點(diǎn)M處的法平面：過點(diǎn)M且與切線垂直的平面)t (),t (),t (T000 )z,y,x(M000 )t (zz)t (yy)t (xx000000 0)zz)(t ()yy)(t ()xx)(t (000000 （3）若空間曲線的參數(shù)方程為 x=x,y=(x),z=(x) ( x)則曲線在 的切線方程為：曲線在點(diǎn)M處的法平面：（4）若曲線：F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0則切向量可由方程組對(duì)x求導(dǎo)解出。)z,y,x(M000 )x(zz)x(yy1xx00000 0)zz)(x()yy)(x()xx(00000 2. 空間曲面的切平面和法線 (1)設(shè)曲面: F(x,y,z)=0, 點(diǎn) 在曲面上,函數(shù)F(x,y,z)在該點(diǎn)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且不同時(shí)為零,則在M的切平面為:在M處的法線曲面在M處的法向量: )z,y,x(M000 0)zz)(z ,y,x(F)yy)(z,y,x(F)xx)(z,y,x(F0000z0000y0000 x )z,y,x(Fzz)z,y,x(Fyy)z,y,(x