城關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)校本課程

1、（校本課程）四、 速算與巧算【知識(shí)要點(diǎn)】（一）四則運(yùn)算的定律、性質(zhì)、法則是進(jìn)行速算與巧算的重要依據(jù)。1、利用運(yùn)算定律使計(jì)算簡便。2、利用運(yùn)算順序的改變使計(jì)算簡便。3、利用運(yùn)算法則使計(jì)算巧妙。（二）轉(zhuǎn)化是速算與巧算的主要技巧。1、當(dāng)一個(gè)數(shù)接近整十、整百、整千的時(shí)候，將其轉(zhuǎn)化為整十、整百、整千的數(shù)，計(jì)算比較簡便。2、利用數(shù)的分解或拆數(shù)，轉(zhuǎn)化后巧算。3、改變計(jì)算方法（變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）使計(jì)算簡便。（三）認(rèn)真觀察算式及數(shù)的特征，剖析數(shù)于數(shù)之間的關(guān)系，是靈活的選擇和合理運(yùn)用計(jì)算技巧的主要方法。一、加法中的速算 1、計(jì)算等差連續(xù)數(shù)的和相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都相等的一串?dāng)?shù)就叫等差連續(xù)數(shù)，又叫

2、等差數(shù)列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差連續(xù)數(shù).（1.） 等差連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，它們的和等于中間數(shù)乘以個(gè)數(shù)，如：例：1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9 中間數(shù)是5 =45 共9個(gè)數(shù)（2.） 等差連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它們的和等于首數(shù)與末數(shù)之和乘以個(gè)數(shù)的一半，如：例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）×5=11×5=55共10個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)的一半是5，首數(shù)是1，末數(shù)是10.例2：3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17

3、）×4=20×4=80共8個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)的一半是4，首數(shù)是3，末數(shù)是17.2、基準(zhǔn)數(shù)法例1：23+20+19+22+18+21解：仔細(xì)觀察，各個(gè)加數(shù)的大小都接近20，所以可以把每個(gè)加數(shù)先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的減去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236個(gè)加數(shù)都按20相加，其和=20×6=120.23按20計(jì)算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20計(jì)算多加了“1”，所以再減去“1”，以此類推.例2：8.17.88.28.47.97.6解：算式中的6個(gè)數(shù)都接近8，可以用8作為基準(zhǔn)數(shù)，先求

4、出6個(gè)8的和，再加上比8大的數(shù)中少加的部分，減去比8小的數(shù)中多加的部分。也可以運(yùn)用湊整法。 8.17.88.28.47.97.6=8×6+0.1-0.2+0.2+0.4-0.1-0.4=8×6=48例3：102+100+99+101+98解：方法1：仔細(xì)觀察，可知各個(gè)加數(shù)都接近100，所以選100為基準(zhǔn)數(shù)，采用基準(zhǔn)數(shù)法進(jìn)行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2：仔細(xì)觀察，可將5個(gè)數(shù)重新排列如下：（實(shí)際上就是把有的加數(shù)帶有符號(hào)搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×

5、;5=500可發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)等差連續(xù)數(shù)的求和問題，中間數(shù)是100，個(gè)數(shù)是5. 3. 利用“補(bǔ)數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。兩個(gè)數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬，就把其中的一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的“補(bǔ)數(shù)”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“補(bǔ)數(shù)”；89叫11的“補(bǔ)數(shù)”，11也叫89的“補(bǔ)數(shù)”.也就是說兩個(gè)數(shù)互為“補(bǔ)數(shù)”。對(duì)于一個(gè)較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補(bǔ)數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字

6、相加得9，到最后個(gè)位數(shù)字相加得10。如： 8765512345， 4680253198，8736212638，（1）互補(bǔ)數(shù)先加。例1 巧算下面各題： 36+87+64 99+136101 136197263928 5.82.320.684.2 解：式=（3664）87 式=（99101）136 =10087=187 =200+136=336 式=（1361639）（97228） 式=（5.8+4.2）+（2.32+0.68） =2000+1000=3000 =10+3=13（2）拆出補(bǔ)數(shù)來先加。例2 188873 548996 98982031999199.919.991.99解：式=（188

7、+12）+（873-12）（熟練之后，此步可略） 200+861=1061式=（548-4）（9964） =544+1000=1544式=（9898102）（203-102） =10000+101=10101式=2000+200+20+2-1-0.1-0.01-0.01=2222-1.12=2220.88二、減法中的速算1.把幾個(gè)互為“補(bǔ)數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。例 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式= 300-（73 27）300-100=200式=1000-（90802010）1000-2008002.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。例 4723-（

8、723189） 2356-159-256解：式=4723-723-1894000-189=3811式=2356-256-1592100-159=19413.利用“補(bǔ)數(shù)”把接近整十、整百、整千的數(shù)先變整，再運(yùn)算（注意把多加的數(shù)再減去，把多減的數(shù)再加上）。例 506-397323-189467997987-178-222-39012.593.245.76解：式=5006-400+3（把多減的 3再加上）=109式=323-200+11（把多減的11再加上）=123+11134式=4671000-3（把多加的3再減去）1464式=987-（178222）-390987-400-400+10=197式

9、=12.59-(3.24+5.76)=12.56-9=3.56三、乘法中的速算1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個(gè)特殊的等式：5×2=10 25×4=100 125×8=1000利用運(yùn)算結(jié)合律進(jìn)行速算。例1 計(jì)算123×4×25 125×2×8×25×5×4解：式=123×（4×25）=123×10012300式=（125×8）×（25×4）×（5×2）=1000×100

10、15;10=10000002.分解因數(shù)，湊整先乘。例 2計(jì)算 24×25 56×125 125×5×32×5解：式=6×（4×25）=6×100=600式=7×8×125=7×（8×125）=7×1000=7000式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=100000練習(xí)：72×125 32×125×25 3.應(yīng)

11、用乘法分配律。例3 計(jì)算 175×34175×6667×12+67×3567×52+6解：式=175×（34+66）=175×100=17500式=67×（1235521） 67×1006700（原式中最后一項(xiàng)67可看成 67×1）例4 計(jì)算 123×101 123×99解：式=123×（1001）=123×10012312300123=12423式=123×（100-1）=12300-123=121774.幾種特殊因數(shù)的巧算。例5 一個(gè)數(shù)

12、15;10，數(shù)后添0；一個(gè)數(shù)×100，數(shù)后添00；一個(gè)數(shù)×1000，數(shù)后添000；以此類推。如：15×10=15015×100=150015×100015000例6 一個(gè)數(shù)×9，數(shù)后添0，再減此數(shù)；一個(gè)數(shù)×99，數(shù)后添00，再減此數(shù)；一個(gè)數(shù)×999，數(shù)后添000，再減此數(shù)； 以此類推。如：12×9120-1210812×99120012118812×99912000-12=11988例7 一個(gè)偶數(shù)乘以5，可以除以2添上0。如：6×53016×580116×

13、5=580。例8 一個(gè)數(shù)乘以11，“兩頭一拉，中間相加”。如 2222×11244422456×1127016例9 一個(gè)偶數(shù)乘以15，“加半添0”.24×15（24+12）×10360因?yàn)?4×15 24×（10+5）24×（1010÷2）=24×10+24×10÷2（乘法分配律）24×10+24÷2×10（帶符號(hào)搬家）（24+24÷2）×10（乘法分配律）例10 個(gè)位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字×（十位數(shù)字加1）×

14、100+25如15×15=1×（1+1）×100+25=22525×25=2×（2+1）×100+25=62535×35=3×（3+1）×100+25=122545×45=4×（4+1）×100+25=202555×55=5×（5+1）×100+25=302565×656×（6+1）×100+25=422575×75=7×（7+1）×100+25562585×85=8×

15、;（8+1）×100+25=722595×959×（9+1）×100259025例11：與25相乘的方法：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大4倍，另一個(gè)因數(shù)縮小4倍積不變。如660×25=（660÷×4）×（25×4）=165×100=165×00，也就是把660÷4的商擴(kuò)大100倍。練習(xí)：52×25 720×25 164×25 224×25 2800×25 1680×25 396×25 476×25 288×

16、;25 912×25例12：（分解法）計(jì)算下面各題（1）18×5.5 （2）8.88×1.25 （3）34.7×0.25（4）238÷1.25 （5）0.25×12.5×3.2 【思路點(diǎn)撥】（1） 運(yùn)用分解法巧算。把18分解為9×2，然后運(yùn)用乘法結(jié)合律，把2×5.5結(jié)合積為11，最后求出9與11的積。（2）把8.88分解為8×1.11，然后運(yùn)用乘法結(jié)合律。（3）因?yàn)?×0.25=1，所以一個(gè)數(shù)乘0.25，就相當(dāng)于這個(gè)數(shù)除以4.（4）因?yàn)?×1.25=10，所以一個(gè)數(shù)除以1.2

17、5，相當(dāng)于這個(gè)數(shù)除以10，再乘8，即先把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，再乘8.（5）把3.2分解為4×0.8，在運(yùn)用乘法結(jié)合律 四、除法及乘除混合運(yùn)算中的巧算1.在除法中，利用商不變的性質(zhì)巧算商不變的性質(zhì)是：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），商不變.利用這個(gè)性質(zhì)巧算，使除數(shù)變?yōu)檎?、整百、整千的?shù)，再除。例11 計(jì)算110÷53300÷25 44000÷125解：110÷5=（110×2）÷（5×2）220÷10=223300÷25（3300×4）÷（25×4）1

18、3200÷100132 44000÷125=（44000×8）÷（125×8）352000÷10003522.在乘除混合運(yùn)算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號(hào)“搬家”。例12 864×27÷54864÷54×27=16×27=4323.當(dāng)n個(gè)數(shù)都除以同一個(gè)數(shù)后再加減時(shí)，可以將它們先加減之后再除以這個(gè)數(shù)。例13 13÷95÷9 21÷5-6÷52090÷24-482÷24187÷12-63÷12-52÷12

19、解：13÷9+5÷9=（135）÷9=18÷9221÷5-6÷5（21-6）÷515÷5=32090÷24-482÷24（2090-482）÷241608÷2467187÷12-63÷12-52÷12（187-63-52）÷1272÷12=64.在乘除混合運(yùn)算中“去括號(hào)”或添“括號(hào)”的方法：如果“括號(hào)”前面是乘號(hào)，去掉“括號(hào)”后，原“括號(hào)”內(nèi)的符號(hào)不變；如果“括號(hào)”前面是除號(hào)，去掉“括號(hào)”后，原“括號(hào)”內(nèi)的乘號(hào)變成除號(hào)，原除號(hào)

20、就要變成乘號(hào)，添括號(hào)的方法與去括號(hào)類似。即a×（b÷c）=a×b÷c 從左往右看是去括號(hào)，a÷（b×c）a÷b÷c 從右往左看是添括號(hào)。a÷（b÷c）a÷b×c例14 1320×500÷2504000÷125÷85600÷（28÷6）372÷162×542997×729÷（81×81）解： 1320×500÷2501320×（500

21、47;250）=1320×226404000÷125÷84000÷（125×8）4000÷100045600÷（28÷6）=5600÷28×6=200×6=1200372÷162×54=372÷（162÷54）372÷31242997×729÷（81×81）2997×729÷81÷81（2997÷81）×（729÷81）37×9333六、

22、較復(fù)雜試題的巧算例1：計(jì)算（1）124.68324.68524.68724.68924.68（2）5795.5795÷5.795×579.5【思路點(diǎn)撥】（1）可運(yùn)用拆分法巧算。把每一個(gè)加數(shù)都拆分為一個(gè)整數(shù)和一個(gè)小數(shù)的和，可以使計(jì)算簡便。（2）運(yùn)用改變運(yùn)算順序法式計(jì)算簡便。，先求出579.5除以5.795的商得100，然后再求出5795.5795 ×100的積。例2：計(jì)算下面各題。（1）1990×198.91989×198.8 （2）2.25×0.16264×0.02255.2×2.250.225×20 【

23、思路點(diǎn)撥】（1）利用擴(kuò)縮法巧算。根據(jù)積的變化規(guī)律：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個(gè)因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變的道理，可以把被減數(shù)寫成199×1989，然后利用乘法分配律巧算。（2）同樣利用擴(kuò)縮法簡便計(jì)算，注意選擇最佳方案。例3：計(jì)算：（10.280.84）×（0.280.840.66）（10.280.840.66） ×（0.280.84） 【思路點(diǎn)撥】可以利用設(shè)數(shù)法解題。整個(gè)式子是乘積之差的形式，兩個(gè)乘積斗的構(gòu)成很有規(guī)律：如果把 10.280.84用字母A表示，把 0.280.84用字母B表示，原式就可以變成A×（B0.66）（A0.66） ×B。在

24、運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡便。 例4：計(jì)算 4.82×0.590.41×1.590.323×5.9【思路點(diǎn)撥】先改變?cè)\(yùn)算順序（加法交換律），先求出4.82×0.59與0.323×5.9的差，可運(yùn)用擴(kuò)縮法把0.323×5.9寫成3.23×5.9,后運(yùn)用乘法分配律計(jì)算，然后再加上0.41×1.59，再次運(yùn)用乘法分配律巧算。例5：計(jì)算654321×123456654322×123455.【思路點(diǎn)撥】觀察算式中數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)被減數(shù)中的兩個(gè)因數(shù)分別比減數(shù)中的兩個(gè)因數(shù)少1和多1，即654321比654322少

25、1,123456比123455多1，可以利用乘法分配律簡算。解：654321×123456654322×123455=654321×（1234551） （6543211）×123455=654321×123455654321654321×123455123455=654321123455=530866例6：計(jì)算1998×1999199919991999×199819981998【思路點(diǎn)撥】可以運(yùn)用數(shù)的分解和乘法分配律簡算。因?yàn)閍bab=ab×101,abcabc=abc×1001,所以19991

26、9991999=1999×100010001,199819981998=1998×100010001.這樣被減數(shù)和減數(shù)都有相同因數(shù)100010001，就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡算了。解： 1998×1999199919991999×199819981998= 1998×1999×1000100011999×1998×100010001=0例7：計(jì)算（1351999） （2461998） 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)減法的性質(zhì)，將原式拆開后，在配對(duì)組合，進(jìn)行等量變形。即（32）為一組，（54）為一組（19991998）為一組，這

27、樣每組的差都是1，共分為（1998÷2）組，所以結(jié)果為1000.當(dāng)然本題也可以運(yùn)用等差數(shù)列求和的方法進(jìn)行計(jì)算。例8：計(jì)算1009998979695949387654321.【思路點(diǎn)撥】本題按順序計(jì)算太繁，觀察算式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)每兩個(gè)數(shù)相加后，又會(huì)減去兩個(gè)數(shù)，我們可以考慮把它們四個(gè)數(shù)分為一組，每組結(jié)果都是4，共分為100÷4=25組。所以結(jié)果是4×25=100.三、同步練習(xí)計(jì)算下面各題（1） 0.125×0.25×32 （2）16×4.5 （3） 0.25×1.25×22.4（4）0.90.990.9990.99990

28、.99999 （5）（72×357357×28）÷（51×7×4） （6）98989898×99999999÷1010101÷11111111 （7）3.14×6.54.5×3.143.14（8）1240×3.8124×511.24×1400760×9.60.76×700（9）1÷（2÷3） ÷（3÷4）÷（4÷5） ÷÷（1999÷2000） 123456

29、9899100100（10）（2582000） （1471999） 20112012×2012201120112011×20122012（11）123456789101112131415161985198619871988198919901991199219931994巧題妙解1、分類數(shù)圖形我們?cè)跀?shù)數(shù)的時(shí)候，遵循不重復(fù)、不遺漏的原則，不能使數(shù)出的結(jié)果準(zhǔn)確。但是在數(shù)圖形的個(gè)數(shù)的時(shí)候，往往就不容易了。分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地?cái)?shù)出圖形的個(gè)數(shù)。 例題1 右面圖形中有多少個(gè)正方形？【思路點(diǎn)撥】圖中的正方形的個(gè)數(shù)可以分類數(shù)，如：由一個(gè)小正

30、方形組成的有6×3=18個(gè)，2×2的正方形有5×2=10個(gè)，3×3的正方形有4×1=4個(gè)。因此圖中共有18104=32個(gè)正方形。例題2 右圖中共有多少個(gè)三角形？【思路點(diǎn)撥】為了保證不漏數(shù)又不重復(fù)，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再把數(shù)出的各類三角形的個(gè)數(shù)相加。（1）圖中共有6個(gè)小三角形；（2）由兩個(gè)小三角形組合的三角形有3個(gè)；（3）由三個(gè)小三角形組合的三角形有4個(gè)；（4）由六個(gè)小三角形組合的三角形有1個(gè)。所以共有6341=14個(gè)三角形。例題3 如下圖，平面上有12個(gè)點(diǎn)，可任意取其中四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，這樣的正方形有多少個(gè)？ 【思路點(diǎn)撥】把相鄰的兩

31、點(diǎn)連接起來可以得到上面圖形，從圖中可以看出：（1）最小的正方形有6個(gè)；（2）由4個(gè)小正方形組合而成的正方形有2個(gè)；（3）中間還可圍成3個(gè)正方形。所以共有623=11個(gè)。例題4 數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個(gè)三角形？多少個(gè)正方形？【思路點(diǎn)撥】 我們可以分類來數(shù)：三角形 正方形1，單一的小三角形有16個(gè)； 1，單一的小正方形有8個(gè)；2，兩個(gè)小三角形組合的有10個(gè)； 2，四個(gè)小正方形組合的有3個(gè)；3，四個(gè)小三角形組合的有8個(gè)； 3，中間4個(gè)小三角形組合成正方形1個(gè)；4，八個(gè)小三角形組合的有2個(gè)。 所以，正方形有831=12個(gè)所以，圖中一共有161082=36個(gè)三角形。【同步練習(xí)】1.下右圖中共有多少個(gè)正方

32、形？ 2. 數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)三角形？3. 下圖中共有多少個(gè)正方形？ 4. 下圖中共有9個(gè)點(diǎn)，連接其中的四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)梯形，一共能圍成多少個(gè)梯形？5.下圖中有三角形多少個(gè)？ 6.下圖中共有多少個(gè)正方形？7.下圖中共有多少個(gè)正方形，多少個(gè)三角形？ 8. 圖中共有多少個(gè)三角形，多少個(gè)梯形？ 、長方形、正方形的周長同學(xué)們都知道，長方形的周長=（長寬）×2，正方形的周長=邊長×4。長方形、正方形的周長公式只能用來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的長方形和正方形的周長。如何應(yīng)用所學(xué)知識(shí)巧求表面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學(xué)們靈活應(yīng)用已學(xué)知識(shí)，掌握轉(zhuǎn)化的思考方法，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的

33、圖形，以便計(jì)算它們的周長。例1 有5張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長6厘米的正方形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長?！舅悸放c導(dǎo)航】根據(jù)題意，我們可以把每個(gè)正方形的邊長的一半同時(shí)向左、右、上、下平移（如圖b），轉(zhuǎn)化成一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的周長和原來5個(gè)小正方形重疊后的圖形的周長相等。因此，所求周長是18×4=72厘米?！就骄毩?xí)】1.求這個(gè)圖形的周長。 4.5cm2.下圖由1個(gè)正方形和2個(gè)長方形組成，求這個(gè)圖形的周長。3.有6塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形的周長。例2 一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米

34、，截掉的面積為192平方厘米?，F(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？【思路導(dǎo)航】 把截掉的192平方厘米分成A、B、C三塊（如圖），其中AB的面積是1924×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一個(gè)寬4厘米的長方形，而此長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。176÷4=44（厘米），現(xiàn)在這塊木板的周長是44×2=88（厘米）。 【同步練習(xí)】 七、邏輯推理第七講：邏輯推理（1）一、知識(shí)要點(diǎn)四年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過用列表法和假設(shè)法解答邏輯推理問題。從廣義上說，任何一道數(shù)學(xué)題，任何一個(gè)思維過程，都需要邏輯分析、判斷和推理。我們這里所說的邏輯問題，是指那些主要不是通過計(jì)算，

35、而是通過邏輯分析、判斷和推理，得出正確結(jié)論的問題。邏輯推理必須遵守四條基本規(guī)律：（1）同一律。在同一推理過程中，每個(gè)概念的含義，每個(gè)判斷都應(yīng)從始至終保持一致，不能改變。（2）矛盾律。在同一推理過程中，對(duì)同一對(duì)象的兩個(gè)互相矛盾的判斷，至少有一個(gè)是錯(cuò)誤的。例如，“這個(gè)數(shù)大于8”和“這個(gè)數(shù)小于5”是兩個(gè)互相矛盾的判斷，其中至少有一個(gè)是錯(cuò)的，甚至兩個(gè)都是錯(cuò)的。（3）排中律。在同一推理過程中，對(duì)同一對(duì)象的兩個(gè)恰好相反的判斷必有一個(gè)是對(duì)的，它們不能同時(shí)都錯(cuò)。例如“這個(gè)數(shù)大于8”和“這個(gè)數(shù)不大于8”是兩個(gè)恰好相反的判斷，其中必有一個(gè)是對(duì)的，一個(gè)是錯(cuò)的。（4）理由充足律。在一個(gè)推理過程中，要確認(rèn)某一判斷是對(duì)的

36、或不對(duì)的，必須有充足的理由。我們?cè)谌粘Ｉ詈蛯W(xué)習(xí)中，在思考、分析問題時(shí)，都自覺或不自覺地使用著上面的規(guī)則，只是沒有加以總結(jié)。例如假設(shè)法，根據(jù)假設(shè)推出與已知條件矛盾，從而否定假設(shè)，就是利用了矛盾律。在列表法中，對(duì)同一事件“”與“×”只有一個(gè)成立，就是利用了排中律。二、例題精講例1 張聰、王仁、陳來三位老師擔(dān)任五（2）班的語文、數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)、體育六門課的教學(xué)，每人教兩門?，F(xiàn)知道：（1）英語老師和數(shù)學(xué)老師是鄰居；（2）王仁年紀(jì)最??；（3）張聰喜歡和體育老師、數(shù)學(xué)老師來往；（4）體育老師比語文老師年齡大；（5）王仁、語文老師、音樂老師三人經(jīng)常一起做操。請(qǐng)判斷各人分別教的是哪兩門課程

37、。分析與解：題中給出的已知條件較復(fù)雜，我們用列表法求解。先設(shè)計(jì)出右圖的表格，表內(nèi)用“”表示肯定，用“×”表示否定。因?yàn)轭}目說“每人教兩門”，所以每一橫行都應(yīng)有2個(gè)“”；因?yàn)槊块T課只有一人教，所以每一豎列都只有1個(gè)“”，其余均為“×”。由（3）知，張聰不是體育、數(shù)學(xué)老師；由（5）知，王仁不是語文、音樂老師；由（2）（4）知，王仁不是體育老師，推知陳來是體育老師。至此，得到左下表。 由（3）知，體育老師與數(shù)學(xué)老師不是一個(gè)人，即陳來不是數(shù)學(xué)老師，推知王仁是數(shù)學(xué)老師；由（1）知，數(shù)學(xué)老師王仁不是英語老師，推知王仁是美術(shù)老師。至此，得到右上表。由（4）知，體育老師陳來與語文老師不是一

38、個(gè)人，即陳來不是語文老師，推知張聰是語文老師；由（5）知，語文老師張聰不是音樂老師，推知陳來是音樂老師；最后得到張聰是英語老師，見下表。所以，張聰教語文、英語，王仁教數(shù)學(xué)、美術(shù)，陳來教音樂、體育。以上推理過程中，除充分利用已知條件外，還將前面已經(jīng)推出的正確結(jié)果作為后面推理的已知條件，充分加以利用。另外，還充分利用了表格中每行只有兩個(gè)“”，每列只有一個(gè)“”，其余都是“×”這個(gè)隱含條件。例1的推理方法是不斷排斥不可能的情況，選取符合條件的結(jié)論，這種方法叫做排他法。例2 小明、小芳、小花各愛好游泳、羽毛球、乒乓球中的一項(xiàng)，并分別在一小、二小、三小中的一所小學(xué)上學(xué)。現(xiàn)知道：（1）小明不在一小

39、；（2）小芳不在二?。唬?）愛好乒乓球的不在三?。唬?）愛好游泳的在一?。唬?）愛好游泳的不是小芳。問：三人上各愛好什么運(yùn)動(dòng)？各上哪所小學(xué)？分析與解：這道題比例1復(fù)雜，因?yàn)橐袛嗳?、學(xué)校和愛好三個(gè)內(nèi)容。與四年級(jí)第26講例4類似，先將題目條件中給出的關(guān)系用下面的表1、表2、表3表示：因?yàn)楦鞅碇?，每行每列只能有一個(gè)“”，所以表3可補(bǔ)全為表4。由表4、表2知道，愛好游泳的在一小，小芳不愛游泳，所以小芳不在一小。于是可將表1補(bǔ)全為表5。對(duì)照表5和表4，得到：小明在二小上學(xué)，愛好打乒乓球；小芳在三小上學(xué)，愛好打羽毛球；小花在一小上學(xué)，愛好游泳。例1、例2用列表法求解。下面，我們用分析推理的方法解例3、例

40、4。例3小說鏡花緣中有一段林之祥與多久公飄洋過海的故事。有一天他們來到了“兩面國”，卻忘記了這一天是星期幾。迎面見了“兩面國”里的牛頭和馬面。他們知道，牛頭在星期一、二、三說假話，在星期四、五、六、日說真話；馬面在星期四、五、六說假話，在星期一、二、三、日說真話。牛頭說：“昨天是我說假話的日子?！瘪R面說：“真巧，昨天也是我說假話的日子?！闭?qǐng)判斷這一天是星期幾。分析與解：因?yàn)榕ｎ^、馬面只有星期日都說真話，其它時(shí)間總是一個(gè)說真話，另一個(gè)說假話，所以這一天不是星期日，否則星期六都說假話，與題意不符。由題意知，這一天說真話的，前一天必說假話；這一天說假話的，前一天必說真話。推知這一天同時(shí)是牛頭、馬面說

41、假話與說真話轉(zhuǎn)換的日子。因?yàn)樾瞧诙?、三、五、六都不是說假話與說真話轉(zhuǎn)換的日子，所以這一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛頭由說真話變?yōu)檎f假話的日子，但不是馬面由說假話變?yōu)檎f真話的日子，所以這一天也不是星期一；星期四是牛頭由說假話變?yōu)檎f真話的日子，也是馬面由說真話變?yōu)檎f假話的日子，所以這天是星期四。例4 A，B，C，D四個(gè)同學(xué)中有兩個(gè)同學(xué)在假日為街道做好事，班主任把這四人找來了解情況，四人分別回答如下。A：“C，D兩人中有人做了好事?！盉：“C做了好事，我沒做?！盋：“A，D中只有一人做了好事?！盌：“B說的是事實(shí)?！弊詈笸ㄟ^仔細(xì)分析調(diào)查，發(fā)現(xiàn)四人中有兩人說的是事實(shí)，另兩人說的與事實(shí)有出入。到

42、底是誰做了好事？分析與解：我們用假設(shè)法來解決。題目說四人中有兩人說的是事實(shí)，另兩人說的與事實(shí)有出入。注意，此處的“與事實(shí)有出入”表示不完全與事實(shí)相符，比如，當(dāng)B，C都做了好事，或B，C都沒做好事，或B做了好事而C沒做好事時(shí)，B說的話都與事實(shí)有出入。因?yàn)锽與D說的是一樣的，所以只有兩種可能，要么B與D正確，A與C錯(cuò)；要么B與D錯(cuò)，A與C正確。（1）假設(shè)B與D說的話正確。這時(shí)C做了好事，A說C，D兩人中有人做了好事，A說的話也正確，這與題目條件只有“兩人說的是事實(shí)”相矛盾。所以假設(shè)不對(duì)。（2）假設(shè)A與C說的話正確。那么做好事的是A與C，或B與D，或C與D。若做好事的是A與C，或C與D，則B說的話也

43、正確，與題意不符；若做好事的是B與D，則B說的話與事實(shí)不符，符合題意。綜上所述，做好事的是B與D。三、同步練習(xí)1.A，B，C，D，E五個(gè)好朋友曾在一張圓桌上討論過一個(gè)復(fù)雜的問題。今天他們又聚在了一起，回憶當(dāng)時(shí)的情景。A說：“我坐在B的旁邊?！盉說：“坐在我左邊的不是C就是D。”C說：“我挨著D。”D說：“C坐在B的右邊?！睂?shí)際上他們都記錯(cuò)了。你能說出當(dāng)時(shí)他們是怎樣坐的嗎？沒有發(fā)言的E的左邊是誰？2.從A，B，C，D，E，F(xiàn)六種產(chǎn)品中挑選出部分產(chǎn)品去參加博覽會(huì)。根據(jù)挑選規(guī)則，參展產(chǎn)品滿足下列要求：（1）A，B兩種產(chǎn)品中至少選一種；（2）A，D兩種產(chǎn)品不能同時(shí)入選；（3）A，E，F(xiàn)三種產(chǎn)品中要選兩

44、種；（4）B，C兩種產(chǎn)品都入選或都不能入選；（5）C，D兩種產(chǎn)品中選一種；（6）若D種產(chǎn)品不入選，則E種也不能入選。問：哪幾種產(chǎn)品被選中參展？3.三戶人家每家有一個(gè)孩子，分別是小平（女）、小紅（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老張和老陳，媽媽是劉英、李玲和方麗。（1）老王和李玲的孩子都參加了少年女子體操隊(duì)；（2）老張的女兒不是小紅；（3）老陳和方麗不是一家人。請(qǐng)你將三戶人家區(qū)分開。4.甲、乙、丙三人，他們的籍貫分別是遼寧、廣西、山東，他們的職業(yè)分別是教師、工人、演員。已知：（1）甲不是遼寧人，乙不是廣西人；（2）遼寧人不是演員，廣西人是教師；（3）乙不是工人。求這三人各自的籍貫和職業(yè)。5.

45、甲說：“乙和丙都說謊?！币艺f：“甲和丙都說謊?！北f：“甲和乙都說謊?！备鶕?jù)三人所說，你判斷一下，下面的結(jié)論哪一個(gè)正確：（1）三人都說謊；（2）三人都不說謊；（3）三人中只有一人說謊；（4）三人中只有一人不說謊。6.五號(hào)樓住著四個(gè)女孩和兩個(gè)男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲，最大的女孩比最小的男孩大4歲，最大的男孩比最小的女孩也大4歲，求最大的男孩的歲數(shù)。第八講 邏輯問題（2）一、例題精講例1老師拿來五頂帽子，兩頂紅的三頂白的。他讓三個(gè)聰明的同學(xué)甲、乙、丙按甲、乙、丙的順序排成一路縱隊(duì)，并閉上眼睛，然后分別給他們各戴上一頂帽子，同時(shí)把余下的帽子藏起來。當(dāng)他們睜開眼后，乙和丙都判

46、斷不出自己所戴帽子的顏色，而站在最前面的甲卻根據(jù)此情況判斷出了自己所戴帽子的顏色。甲戴的帽子是什么顏色？他是怎樣判斷的？分析與解：這是一個(gè)典型的邏輯推理問題。甲站在最前面，雖然看不見任何一頂帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是紅帽子，因?yàn)橐还仓挥袃身敿t帽子，那么丙就會(huì)判斷出自己戴的是白帽子。丙判斷不出自己戴的帽子的顏色，說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。甲接著想：乙也很聰明，當(dāng)他看到丙判斷不出自己戴的帽子的顏色時(shí)，他也能判斷出我們兩人戴的帽子是兩白或一白一紅。此時(shí)，如果他看到我戴是紅帽子，那么他就會(huì)知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子時(shí)，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一

47、定是白帽子。例1中，甲的分析非常精采，嚴(yán)密而無懈可擊。例2三個(gè)盒子各裝兩個(gè)球，分別是兩個(gè)黑球、兩個(gè)白球、一個(gè)黑球一個(gè)白球。封裝后，發(fā)現(xiàn)三個(gè)盒子的標(biāo)簽全部貼錯(cuò)。如果只允許打開一個(gè)盒子，拿出其中一個(gè)球看，那么能把標(biāo)簽全部糾正過來嗎？分析與解：因?yàn)椤叭齻€(gè)盒子的標(biāo)簽全部貼錯(cuò)”了，貼錯(cuò)的情況見下圖（表示白球，表示黑球）:如果從標(biāo)簽是兩黑的盒子中拿一個(gè)球，那么最不利的情況是拿出一個(gè)白球，此時(shí)無法判定是實(shí)際情況1，還是實(shí)際情況2，也就無法把標(biāo)簽全部糾正過來；同理，從標(biāo)簽是兩白的盒子中拿一個(gè)球，若拿的是黑球，則也無法把標(biāo)簽全部糾正過來；從標(biāo)簽是一黑一白的盒子中拿出一個(gè)球，若拿出的是黑球，則能確定出是實(shí)際情況1，若拿出的是白球，則能確定出是實(shí)際情況2，因此能把標(biāo)簽全部糾正過來。所以，只要從標(biāo)簽是一黑一白的盒子中拿一個(gè)球，就能糾正全部標(biāo)簽。例3 A，B，C三名同學(xué)參加了一次標(biāo)準(zhǔn)化考試，試題共10道，都是正誤題，每道題10分，滿分為100分。正