離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案

1、.§2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列一 、基本概念1.隨機(jī)變量：2離散型隨機(jī)變量：3離散型隨機(jī)變量的分布列（離散型隨機(jī)變量X的概率分布）：設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為，X取每一個(gè)值概率記作：_,則表稱為隨機(jī)變量X的概率分布，簡稱X的分布列4離散型隨機(jī)變量的分布列具有以下兩個(gè)性質(zhì)： ； 例1在拋擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令 如果針尖向上的概率為p，試寫出隨機(jī)變量X的概率分布。如果隨機(jī)變量X的分布列為X10PpQq=1-p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為P的兩點(diǎn)分布變式訓(xùn)練: 從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一只球， 求隨機(jī)變量X的概率分布。例2 擲一枚骰子，所擲出的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X

2、：（1）求X的分布列；（2）求“點(diǎn)數(shù)大于4”的概率；（3）求“點(diǎn)數(shù)不超過5”的概率。變式訓(xùn)練: 盒子中裝有4個(gè)白球和2個(gè)黑球，現(xiàn)從盒中任取4個(gè)球，若X表示從盒中取出的4個(gè)球中包含的黑球數(shù)，求X的分布列.例3已知隨機(jī)變量X的概率分布如下：X-1-0.501.83P0.10.20.10.3a求: （1）a； （2）P（X<0）；（3）P（-0.5X<3）；（4）P（X<5）X01P9C2-C3-8C拓展提升:變式訓(xùn)練 若隨機(jī)變量變量X的概率分布如下： 試求出C。練習(xí)1.下列表中能成為隨機(jī)變量X的分布列的是 （ ）X-101P0.30.40.4X123P0.40.7-0.1A BX

3、-101P0.30.40.3X123P0.20.40.5C D2.隨機(jī)變量所有可能的取值為1，2，3，4，5，且，則常數(shù)c= ,= .§2.1.2-2離散型隨機(jī)變量的分布列101P0.512qq2一 基礎(chǔ)鞏固題1設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：則q等于 ()A1 B1± C1 D12已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(Xk)，k1,2，則P(2X4)等于()A. B. C. D.3由于電腦故障，使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失(以“x，y”代替)，其表如下X123456P0.200.100. x 50.100.1y0.20則丟失的兩個(gè)數(shù)據(jù)x、y依次為_4. 拋擲2顆骰子，

4、所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X4)_. 5. 一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，求X的分布列二 綜合應(yīng)用題6設(shè)一汽車在前進(jìn)途中要經(jīng)過4個(gè)路口，汽車在每個(gè)路口遇到綠燈(允許通行)的概率為，遇到紅燈(禁止通行)的概率為.假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地時(shí)才停止前進(jìn)，表示停車時(shí)已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：(1)的分布列；(2)停車時(shí)最多已通過3個(gè)路口的概率三 拓展探究題某人向如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外的概率為0.1，落在靶內(nèi)的各個(gè)點(diǎn)是隨機(jī)的。已知圓形靶中三個(gè)圓為同心圓，半徑分別為30cm，20cm，10cm，飛鏢

5、落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖。設(shè)這位同學(xué)投擲一次得到的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列。 1098 §2.1.3超幾何分布導(dǎo)一、問題引入： 問題1 一個(gè)班級(jí)有10名學(xué)生，其中有3名女生?，F(xiàn)從中任選4名學(xué)生當(dāng)班委，令變量X表示4名班委中女生的人數(shù)，試求X的概率分布。問題2一個(gè)班級(jí)有10名學(xué)生，其中有3名女生?，F(xiàn)從中任選2名學(xué)生當(dāng)班委，令變量X表示2名班委中女生的人數(shù)，試求X的概率分布?！練w納總結(jié)】：設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件（nN），這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為P（X=m）= 。隨機(jī)變量X的分布列為：X01mP二、典例

6、解析： 例1： 從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)X紅球，求X的分布列。  例2：盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取 個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè) 球，求X的分布列。（自己出題試一試?。?#160; 例3：老師要從10首古詩中隨機(jī)抽3首讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2首才能及格。某同學(xué)只能背誦其中的6首。試求：(1)抽到他能背誦的數(shù)量的分布列；(2)他能保證及格嗎？及格的概率有多大？  §2.2.1條件概率一、 新課引入： 問題：拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A=“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，B=“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”問：

7、事件B在事件A發(fā)生的條件下的概率是多少?（書48頁）引入概念：1.對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在 的概率叫做條件概率，記作 。2.由事件A和B 所構(gòu)成的事件D，稱為事件A與B的交（或積），記作 （或 ）。3. 條件概率計(jì)算公式：（前三個(gè)分式適合古典概型）三、典例解析：例1一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩。假定生男、生女是等可能的，已知這個(gè)家庭有一個(gè)女孩，問這時(shí)另一個(gè)小孩是男孩的概率是多少？變式訓(xùn)練 某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物, 問它能活到25歲以上的概率是多少?例2 甲乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄知道，一年中雨

8、天的比例，甲為20%，乙為18%，兩地同時(shí)下雨的比例為12%. 求： 乙地下雨的條件下甲地也下雨的概率； 甲地下雨的條件下乙地也下雨的概率.變式訓(xùn)練 在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2 道題，求： (l）第1次抽到理科題的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科題的概率； (3）在第 1 次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率例3 在一個(gè)盒子中有大小一樣的15個(gè)球，其中10個(gè)紅球，5個(gè)白球。甲，乙兩人依次各摸出1個(gè)球。 （1）求甲得紅球，乙得白球的概率 （2）已知甲得紅球，則乙得白球的概率2.2.2事件的相互獨(dú)立性一：基本概念 1相互獨(dú)立事件的概念設(shè)A、B是兩個(gè)事件

9、，如果_，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。如果事件A的發(fā)生 影響事件B發(fā)生的概率，或者事件B的發(fā)生 影響事件A發(fā)生的概率，則事件A與事件B相互獨(dú)立。 2相互獨(dú)立事件的性質(zhì) （1）若事件A與事件B獨(dú)立，那么_，_，_。 （2）如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么_與_，_與_，_與_也都相互獨(dú)立。二：想一想1兩人打靶，甲擊中的概率是0.8，乙擊中的概率是為0.7，若兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)，則他們都中靶的概率是 （ ）A、0.56 B、0.48 C、0.75 D、0.62袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回的摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是 （ ）A、互斥事件 B、相

10、互獨(dú)立事件 C、對(duì)立事件 D、不相互獨(dú)立事件3一袋中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，另一袋中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，從每袋中任取一球，則至少取一白球的概率是 （ ）A、 B、 C、 D、4某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.8，他重復(fù)射擊三次，且各次射擊是否擊中相互之間沒有影響，那么他第一、二次未擊中，第三次擊中的概率_。三：課堂探究例 1.某商場(chǎng)推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是 0 . 05 ，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率： (1)都抽到中獎(jiǎng)號(hào)碼； (2)恰有一次抽到中獎(jiǎng)號(hào)碼； (3)至少有一次

11、抽到中獎(jiǎng)號(hào)碼例2.甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求：（1）人都射中目標(biāo)的概率； （2）人中恰有人射中目標(biāo)的概率；（3）人至少有人射中目標(biāo)的概率； （4）人至多有人射中目標(biāo)的概率？（變式訓(xùn)練）1.在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開開關(guān)，只要其中有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作。假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率。2.2.3-1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1、 新課引入 1、相互獨(dú)立事件：事件（或）是否發(fā)生對(duì)事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互

12、獨(dú)立.2、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，.思考：擲一枚圖釘，針尖向上的概率為，則針尖向下的概率為=q問題（1）:每一次針尖向上的概率是多少?問題（2）：用 表示第次擲得針尖朝上的事件，這次試驗(yàn)相互獨(dú)立么？問題（3）：若連續(xù)拋擲3次，3次中恰有1次針尖向上，有幾種情況？問題（4）：每種情況的概率分別是多少？問題（5）：投擲3次恰有1次針尖向上的概率是多少？問題（6）：連續(xù)擲次，恰有次（k）針尖向上的概率是多少？根據(jù)上述問題，你能得出那些結(jié)論？二、概念歸納：1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：在 重復(fù)做次的試驗(yàn),每次試驗(yàn)的結(jié)果 那

13、么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn).2、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次（k）的概率 , 隨機(jī)變量的概率分布：01思考：分布列中概率之和是多少？結(jié)論：這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為n,p的 ，記做 二、 典型例題例1某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0 . 8.求這名射手在 4 次射擊中，(1)恰有 2 次擊中目標(biāo)的概率； (2)至少有 1次擊中目標(biāo)的概率 （3）設(shè)射手擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的分布列。2.2.3-2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布典例分析：1、從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中有放回隨機(jī)取兩次球，每次取

14、一個(gè)，設(shè)取到紅球的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的概率分布列為012P思考：若條件改為不放回抽取呢？2、某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響(1)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；(2)任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列3、某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)在連續(xù)射擊4次， 求擊中目標(biāo)的次數(shù)X的概率分布。4、 今天你低碳了嗎？近來，國內(nèi)網(wǎng)站流行一種名為“碳排

15、放計(jì)算器”的軟件，人們可以擾此計(jì)算出自己每天的碳排放量。例如：家居用電的碳排放量（千克）=耗電度數(shù)×.785，汽車的碳排放量（千克）=油耗公升數(shù)×0.785等。某班同學(xué)利用寒假在兩個(gè)小區(qū)逐戶進(jìn)行了一次生活習(xí)慣進(jìn)否符合低碳觀念的調(diào)查。若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”。這二族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例P數(shù)據(jù)如下：B小區(qū)低碳族非低碳族比例PA小區(qū)低碳族非低碳族比例P （I）如果甲、乙來自A小區(qū)，丙來自B小區(qū)，求這3人中恰有1人是低碳族的概率； （II）A小區(qū)經(jīng)過大力宣傳，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。如果2周后隨機(jī)地從A小區(qū)中任選3個(gè)人

16、，記表示3個(gè)人中低碳族人數(shù)，求的分布列2.3.1離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、新課引入問題1：某射手射擊所得的環(huán)數(shù)的分布列如下；45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射擊之前，雖然不能確定各次射擊所得的環(huán)數(shù)，但是可以根據(jù)已知的分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)。根據(jù)這個(gè)射手射擊所得的環(huán)數(shù)的分布列，在n次射擊中，預(yù)計(jì)大約有P(=4)×n=0.02n次得4環(huán), P(=5)×n=0.04n次得5環(huán),P(=6)×n=0.06n次得6環(huán), P(=10)×n=0.22n次得10環(huán),n次射擊的總環(huán)數(shù)約等于：4×0.02n+5

17、×0.04n+6×0.06n+10×0.22n =（4×0.02+5×0.04+6×0.06+10×0.22）n從而，n次射擊的平均環(huán)數(shù)約等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+10×0.22=8.32類似地，對(duì)任一射手，若已知其射擊所得的環(huán)數(shù)的分布列，即已知各個(gè)P(=i)（i=1，2，3，10），則可預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)是 E=0×P(=0)+1×P(=1)+2×P(=2)+10×P(=10)我們稱E為此射手射擊所得的環(huán)數(shù)的期望

18、，它刻化了隨機(jī)變量所取的平均值，從另一方面反映了射手的射擊水平。一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱E=x1p1+x2p2+xnpn+為的 或平均數(shù)、均值數(shù)學(xué)期望簡稱為期望問題一中，若得分Y=2+1，則Y的分布列是：EY=結(jié)論：E(a+b)= 二、探究服從兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布及超幾何分布的隨機(jī)變量的期望：服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的期望 （2）服從參數(shù)為N,M,n超幾何分布的隨機(jī)變量的期望 (3)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望：若B(n,p)，則E=np證明過程：三、 典型例題：例1、籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰球不中得0分，已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7

19、，求他罰球一次的得分的期望。例2、一次測(cè)驗(yàn)由5個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作答或答錯(cuò)不得分，滿分20分。某學(xué)生選對(duì)任意一題的概率為0.9。求此學(xué)生做對(duì)題數(shù)X的分布列和期望，求此學(xué)生在這次英語單元測(cè)驗(yàn)中的成績的期望。例3、為了測(cè)試某一射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平，讓他向目標(biāo)靶射擊10次，他擊中目標(biāo)7次，若再讓他向目標(biāo)靶射擊3次，求：（I）這個(gè)運(yùn)動(dòng)員恰好擊中目標(biāo)2次的概率是多少？（II）求這個(gè)運(yùn)動(dòng)員擊中目標(biāo)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望EX的值。2.3.2-1離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)方差一、知識(shí)回顧1：若隨機(jī)變量，則 ；又若，則 2：已知隨機(jī)變量的分布列為 ：01P且，則 ； 二、新課引入1、離散型隨機(jī)變量的方差：當(dāng)已知隨機(jī)變量的分布列為 時(shí)，則稱 為的方差， 為的標(biāo)準(zhǔn)差。意義：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于 的 大小（或說離散程度）越小，波動(dòng)越 ，穩(wěn)定性越 2、常見的一些離散型隨機(jī)變量的方差：（1）兩點(diǎn)分布： ；（2）二項(xiàng)分布： 三、典例分析例1已知隨機(jī)變量的分布列：P求DX 例2隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差例3運(yùn)動(dòng)員投籃時(shí)命中率（1）求一次投籃時(shí)命中次數(shù)的期望與方差；（2）求重復(fù)3次投籃時(shí)，命中次數(shù)的分布列、期望與方差例4設(shè)，且，則與的值分別