高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法預(yù)習(xí)學(xué)案新人教A版選修2

1、2.2.3 數(shù)學(xué)歸納法自學(xué)目標(biāo)（1）了解數(shù)學(xué)歸納法原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的概念；（2）掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)重點(diǎn)，難點(diǎn)一問題情境1情境：我們已經(jīng)用歸納法得到許多結(jié)論，例如，等差數(shù)列na的通項(xiàng)公式1(1)naand，自然數(shù)平方和公式2222(1)(21)1236n nnn這些命題都與自然數(shù)有關(guān)，自然數(shù)有無限多個(gè)，我們無法對所有的自然數(shù)逐一驗(yàn)證2問題：怎樣證明一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題呢？二 討論以下兩個(gè)問題的解決方案：我們有時(shí)會做一種游戲，在一個(gè)平面上擺一排磚（每塊磚都豎起），假定這排磚有無數(shù)塊，我們要使所有的磚都倒下，只要做兩件事就行了第一，使第一塊磚倒下

2、；第二，保證前一塊磚倒下后一定能擊倒下一塊磚三建構(gòu)數(shù)學(xué)一般地，對于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法公理：如果（ 1）當(dāng)n取第一個(gè)值0n（例如01,2n等）時(shí)結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)nk（*kn，且0kn）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)1nk時(shí)結(jié)論也正確那么，命題對于從0n開始的所有正整數(shù)n都成立數(shù)學(xué)歸納法公理是證明有關(guān)自然數(shù)命題的依據(jù)四數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列na中，1a為首項(xiàng)，d為公差，則通項(xiàng)公式為1(1)naand證： （1）當(dāng)1n時(shí)，等式左邊1a，等式右邊110ada，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即1(1)kaakd，那么，當(dāng)1nk時(shí)，有111(1)(1)1k

3、kaadakddakd這就是說，當(dāng)1nk時(shí)等式也成立根據(jù)（ 1）和（ 2） ，可知對任何*nn，等式都成立注意： （1）這兩個(gè)步驟是缺一不可的數(shù)學(xué)歸納法的步驟（1）是命題論證的基礎(chǔ)，步驟（2）是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證；（2） 在數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵，在第二步， 即1nk時(shí)為什么成立？1nk時(shí)成立是利用假設(shè)nk時(shí)成立， 根據(jù)有關(guān)的定理、 定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證1nk出時(shí)成立，而不是直接代入，否則1nk時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明；（3）用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析變式練習(xí) ：用數(shù)學(xué)歸納法

4、證明：等比數(shù)列na中，1a為首項(xiàng)，q為公比，則通項(xiàng)公式為11nnaa q例 2用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)*nn時(shí)，2222(1)(21)1236n nnn證： （1）當(dāng)1n時(shí)，211，1 (1 1)(21 1)16，結(jié)論成立（2）假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即2222(1)(21)1236k kkk，那么22222222(1)(21)(1)(266)123(1)(1)66(1)(276)(1)(2)(23)(1)(1) 12(1) 1666k kkkkkkkkkkkkkkkkkk所以當(dāng)1nk時(shí)，命題也成立根據(jù)（ 1）和（ 2） ，可知結(jié)論當(dāng)*nn時(shí)都成立變式練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)*nn時(shí)1111111

5、11234212122nnnnn例 3. 求證當(dāng)n取正奇數(shù)時(shí)，nnxy能被xy整除。證明： （1）1n時(shí)，11xyxy，能被xy整除，命題成立。（2）假設(shè)nk (k為正奇數(shù) ) 時(shí)，有kkxy能被xy整除 , 當(dāng)2nk時(shí)，22222222kkkkkkkkxyxxyyxxyxyxyy2222()()()()()kkkkkkxyxyxyxyxyxyxy以上兩項(xiàng)均能被xy整除，22kkxy能被xy整除，即當(dāng)2nk時(shí)命題仍成立。由（ 1） 、 （2）可知，對一切正奇數(shù)n，都有nnxy能被xy整除變式練習(xí) . 求證 : 對于整數(shù)0n時(shí) ,2211112nn能被 133 整除 . 例 4已知*1111(1,)23nsnnnn，求證：212nns*(2,)nnn證明： （1）當(dāng)2n時(shí)，211125211234122ns，即2n時(shí)命題成立（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即2111112322kkks，當(dāng)1nk時(shí)，112111111232212kkkks11112111111221222222222