高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.6.3曲線的交點學(xué)案蘇教版選修2-1-蘇教版高二選修2-1

1、2.6.3 曲線的交點 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握直線與曲線的交點的求解方程.2. 會求曲線與曲線的交點問題.3. 會解決有關(guān)曲線的交點的實際應(yīng)用知識點一直線與曲線的交點求解直線與曲線的交點問題時通常將直線方程與曲線方程聯(lián)立起來后得到一個二次方程利用二次方程的判別式確定交點的個數(shù)0? 兩個交點 0? 一個交點0，即k63或k63時，直線與曲線有兩個公共點；當(dāng) 3k220，即k63時，直線與曲線僅有一個公共點；當(dāng) 3k220，即63k0，即k1 時，l與c相交當(dāng)1 時，l與c相離(2) 當(dāng)k0 時，直線l：y1 與曲線c：y24x相交綜上所述，當(dāng)k1 時，l與c相離題型二弦長問題例 2 頂點在原點，焦

2、點在y軸上的拋物線被直線x2y 10 截得的弦長為15，求拋物線方程解設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)，由方程組x2ay，x2y10.消去y得： 2x2axa 0，直線與拋物線有兩個交點，( a)242a0，即a0 或a8. 設(shè)兩交點坐標(biāo)為a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，則x1x2a2，x1x2a2，y1y212(x1x2) ，弦長為abx1x22y1y2254x1x2254x1x224x1x2 145a2 8a. ab15，145a2 8a15，即a28a480，解得a 4或a 12. 所求拋物線方程為x2 4y或x212y. 反思與感悟求直線被雙曲線截得的弦長，一般利用弦長公式ab1

3、k2|x1x2| 11k2|y1y2| 及公式 |x1x2| b24ac|a|較為簡單跟蹤訓(xùn)練2 已知直線y 2xb與曲線xy2 相交于a、b兩點， 若ab 5，求實數(shù)b的值解設(shè)a(x1，y1) ，b(x2，y2) 聯(lián)立方程組y2xb，xy2，消去y，整理得 2x2bx20. x1、x2是關(guān)于x的方程的兩根，x1x2b2，x1x2 1. 又ab1k2x1x224x1x2，其中k2，代入則有ab122b21625，b24，則b2.故所求b的值為 2.題型三與弦的中點有關(guān)的問題例 3 拋物線y28x上有一點p(2,4)， 以點p為一個頂點，作拋物線的內(nèi)接pqr， 使得pqr的重心恰好是拋物線的焦點

4、，求qr所在的直線的方程解拋物線y28x的焦點為f(2,0) f為pqr的重心，qr的中點為m(2， 2) ，如圖所示設(shè)q(x1，y1) 、r(x2，y2) ，則有y218x1，y228x2，得y21y228(x1x2) 又y1y2 4，直線qr的斜率為ky1y2x1x28y1y284 2. qr所在直線的方程為y2 2(x2)，即 2xy20. 反思與感悟本題設(shè)出q、r的坐標(biāo)，得出y218x1，y228x2，再作差的解法稱為點差法，點差法是解決圓錐曲線的中點弦問題的有效方法，應(yīng)熟練掌握它跟蹤訓(xùn)練3 直線l與拋物線y24x交于a、b兩點，ab中點坐標(biāo)為 (3,2) ，求直線l的方程解設(shè)a(x1

5、，y1) 、b(x2，y2) ，則y214x1，y22 4x2，相減，得 (y1y2)(y1y2) 4(x1x2) ，又因為y1y24，所以kaby1y2x1x21. 所以直線l的方程為y 2x3，即xy10. 1以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點的圓，交橢圓于四個不同的點，順次連結(jié)這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率為_答案31 解析2ac3c，eca31. 2已知兩條直線2xym0 與xy10 的交點在曲線x2y21 上，則m的值為_答案1 或 2 解析由2xym0，xy1 0得交點為 (m1，m2) 將交點代入方程x2y21 中得 ( m1)2 (m2)21，化簡得：m

6、23m20，m 1 或m 2. 3已知橢圓x2a2y2b2 1(ab0) 的左、右焦點分別為f1、f2. 過f1作傾斜角為30的直線與橢圓的一個交點p，且pf2x軸，則此橢圓的離心率e為_答案33解析由題意得pf2b2a，pf12b2a，由橢圓定義得3b2a2a,3b23a23c22a2，則此橢圓的離心率e為33. 4雙曲線的焦點在y軸上，且它的一個焦點在直線5x2y200 上，兩焦點關(guān)于原點對稱，離心率e53，則此雙曲線的方程是_答案y236x2641 解析焦點坐標(biāo)為 (0,10) ，故c10，a6，b8. 5拋物線x2 4y與過焦點且垂直于對稱軸的直線交于a，b兩點，則ab_. 答案4 解

7、析由拋物線方程x2 4y得p2，且焦點坐標(biāo)為 (0 ，1) ，故a，b兩點的縱坐標(biāo)都為1，從而ab|y1| |y2| p11 24. 1. 解方程組axbyc0，fx，y0時，若消去y，得到關(guān)于x的方程ax2bxc 0，這時，要考慮a0 和a0兩種情況， 對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況要考慮全面，除a0，0 外，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，只有一個交點；當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，只有一個交點(0 不是直線和拋物線只有一個公共點的充要條件) 2 求 解 與 弦 長 有 關(guān) 的 問 題 ， 一 般 用 “ 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 ” 來 處 理 ， 即 聯(lián) 立 方 程 組axbyc0，fx，y0消去y，得ax2bxc 0(a0)，設(shè)其兩根為x1，x2，則p1p21k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2 1k2b2a24ca. 3求解與弦的中點有關(guān)的問題，除可用“根與系數(shù)的關(guān)系”外，還可以用“平方差法” ( 設(shè)而不求 ) 即設(shè)p1(x1，y1) 、p2(x2，y2