2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 教案

1、第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式最新考綱1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2 cos2 1，tan ；2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±，±的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系：tan 2誘導(dǎo)公式組序一二三四五六角2k(kz)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限1同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sin ±cos )21±2si

2、n cos ；sin tan ·cos 2誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若，為銳角，則sin2cos21.()(2)若r，則tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的條件是為銳角()(4)若sin(k)(kz)，則sin .()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1化簡(jiǎn)sin 690°的值是()a. b c. dbsin 690°sin(720°30°)s

3、in 30°.選b.2若sin ，則tan _，cos ，tan .3已知tan 2，則的值為_3原式3.4化簡(jiǎn)·sin()·cos(2)的結(jié)果為_sin2原式·(sin )·cos sin2.考點(diǎn)1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用技巧(1)弦切互化：利用公式tan 實(shí)現(xiàn)角的弦切互化(2)和(差)積轉(zhuǎn)換：利用(sin ±cos )21±2sin cos 進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化(3)“1”的變換：1sin2cos2cos2(tan21)sin2(1)“知一求二”問題(1)一題多解已知cos k，kr，(，)，則sin(

4、)()ab.c± dk(2)(2019·福州模擬)若(，)，sin()，則tan ()a b.c d.(1)a(2)c(1)法一：(直接法)由cos k，(，)得sin ，所以sin()sin .故選a.法二：(排除法)易知k0，從而sin()sin 0，排除選項(xiàng)bcd，故選a.(2)因?yàn)?，)，sin ，所以cos ，所以tan .利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用、變形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程，對(duì)于一些題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過解方程組達(dá)到解決問題的目的，此時(shí)

5、應(yīng)注意在利用sin2cos21求sin 或cos 時(shí)，符號(hào)的選取弦切互化(1)(2019·鄭州模擬)已知5，則cos2sin 2的值是()a. bc3 d3(2)已知為第四象限角，sin 3cos 1，則tan _(1)a(2)(1)由5得5，可得tan 2，則cos2sin 2cos2sin cos .故選a.(2)由(sin 3cos )21sin2cos2，得6sin cos 8cos2，又因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以cos 0，所以6sin 8cos ，所以tan .若已知正切值，求一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時(shí)除以一個(gè)余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于正切

6、的分式，代入正切值就可以求出這個(gè)分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型sin ±cos 與sin cos 關(guān)系的應(yīng)用(1)若|sin |cos |，則sin4cos4()a. b.c. d.(2)已知為第二象限角，sin ，cos 是關(guān)于x的方程2x2(1)xm0(mr)的兩根，則sin cos ()a. b.c. d(1)b(2)b(1)因?yàn)閨sin |cos |，兩邊平方，得1|sin 2|.所以|sin 2|.所以sin4cos412sin2cos21sin22.故選b.(2)因?yàn)閟in ，cos 是方程2x2(1)xm0(mr)的兩根，所以sin cos ，sin &

7、#183;cos ，可得(sin cos )212sin ·cos 1m，解得m.因?yàn)闉榈诙笙藿牵詓in 0，cos 0，即sin cos 0，因?yàn)?sin cos )212sin ·cos 1m1，所以sin cos .故選b.對(duì)于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，知一可求二，若令sin cos t(t，)，則sin cos ，sin cos ±(注意根據(jù)的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用1.已知sin()，則tan()值為()a2 b2c. d±2d因?yàn)閟in()，所以sin ，cos ±，tan

8、()±2.故選d.2已知tan 2，則sin2的值為()a. b.c. d.c原式sin2，將tan 2代入，得原式.故選c.3已知sin xcos x，x(0，)，則tan x()a b.c. dd因?yàn)閟in xcos x，且x(0，)，所以12sin xcos x1，所以2sin xcos x0，所以x為鈍角，所以sin xcos x，結(jié)合已知解得sin x，cos x，則tan x.4若3sin cos 0，則的值為_3sin cos 0cos 0tan ，.考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用應(yīng)用誘導(dǎo)公式的一般思路(1)化大角為小角，化負(fù)角為正角；(2)角中含有加減的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉的整

9、數(shù)倍(1)設(shè)f()(12sin 0)，則f()_(2)已知cos()a，則cos()sin()的值是_(1)(2)0(1)因?yàn)閒()，所以f().(2)因?yàn)閏os()cos()cos()a，sin()sin()cos()a，所以cos()sin()0.(1)已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的應(yīng)用(2)對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化特別要注意每一個(gè)角所在的象限，防止符號(hào)及三角函數(shù)名出錯(cuò)1.化簡(jiǎn)：_1原式·1.2已知角終邊

10、上一點(diǎn)p(4，3)，則的值為_原式tan ，根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan .考點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用求解誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系綜合問題的基本思路和化簡(jiǎn)要求基本思路分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；利用公式化成單角三角函數(shù)；整理得最簡(jiǎn)形式化簡(jiǎn)要求化簡(jiǎn)過程是恒等變換；結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值已知f(x)(nz)(1)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式；(2)求f()f()的值解(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n2k(kz)時(shí)，f(x)sin2x；當(dāng)n為奇數(shù)，即n2k1(kz)時(shí)，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得f()f()sin2sin2

11、sin2sin2()sin2cos21.(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響教師備選例題已知x0，sin(x)cos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)由已知，得sin xcos x，兩邊平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x，由x0知，sin x0，又sin xcos x0，cos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.(2).1.已知為銳角，且2tan()3co