數(shù)列與三角函數(shù)練習(xí)題難題

1、例 1已知數(shù)列 an是公差為 d 的等差數(shù)列，數(shù)列 bn是公比為 q 的(qr 且 q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x1)2，且 a1=f(d1)，a3=f(d+1)， b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求數(shù)列 an 和bn 的通項(xiàng)公式；解： (1)a1=f(d1)=( d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2 (d2)2=2d，d=2， an=a1+( n1)d=2(n1)；又 b1=f(q+1)= q2，b3=f(q1)=(q 2)2，2213)2(qqbb=q2，由 q r，且 q1，得 q=2，bn=bqn1=4(2)n1例 2設(shè) an為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)

2、和， an=23(an1)，數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為bn=4n+3; (1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)把數(shù)列 an 與bn 的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，證明：數(shù)列dn 的通項(xiàng)公式為dn=32n+1; 解： (1)由 an=23(an1)，可知 an+1=23(an+11)，an+1an=23(an+1an)，即nnaa1=3，而 a1=a1=23(a11)，得 a1=3，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3 的等比數(shù)列，數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an=3n. (2)32n+1=332n=3(41)2n=3 42n+c12n42n1(1)+c122nn4(1)+( 1)2n=4n+3，32

3、n+1 bn.而數(shù) 32n=(41)2n=42n+c12n 42n1 (1)+c122nn 4 (1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而數(shù)列 an= a2n+1 a2n， dn=32n+1. 例 3 數(shù)列 an 滿足 a1=2，對(duì)于任意的nn*都有 an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知數(shù)列 bn的通項(xiàng)為bn=2n1+1. (1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng) an及它的前n 項(xiàng)和 sn；(2)求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 tn；(3)猜想 sn與 tn的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由. .解： (1）可解得11nnaann，從而 an=2n，有 sn=n2+n，(2)tn=2n+

4、n1. (3)tnsn=2nn21，驗(yàn)證可知， n=1 時(shí)，t1=s1，n=2 時(shí) t2s2；n=3 時(shí)， t3s3;n=4時(shí)， t4s4；n=5 時(shí)， t5 s5；n=6 時(shí) t6s6.猜想當(dāng) n5 時(shí)， tnsn，即 2nn2+1 可用數(shù)學(xué)歸納法證明(略） . 例 4 數(shù)列 an 中， a1=8,a4=2 且滿足 an+2=2an+1an,(nn*). (1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) sn=a1+a2+an,求 sn; (3)設(shè) bn=)12(1nan(nn*),tn=b1+b2+ +bn(nn*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意 nn*均有 tn32m成立？若存在，求出m 的

5、值；若不存在，說(shuō)明理由. 解： (1）由 an+2=2an+1anan+2 an+1=an+1an可知 and=1414aa= 2,an=102n. (2)由 an=102n0 可得 n5，當(dāng) n5 時(shí)， sn=n2+9n，當(dāng) n5 時(shí)， sn=n29n+40，故 sn=540951922nnnnnn(3)bn=)111(21)22(1)12(1nnnnann)1(2)111()3121()211(2121nnnnbbbtnn；要使 tn32m總成立，需32mt1=41成立，即m8 且 mz，故適合條件的m 的最大值為7. 例 5 已知數(shù)列 bn是等差數(shù)列， b1=1,b1+b2+b10=14

6、5. (1)求數(shù)列 bn 的通項(xiàng) bn；(2)設(shè)數(shù)列 an 的通項(xiàng) an=loga(1+nb1)(其中 a0 且 a1),記 sn是數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，試比較 sn與31logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論. 解： (1)設(shè)數(shù)列 bn的公差為d，由題意得：1452)110(1010111dbb解得 b1=1,d=3, bn=3n2. (2)由 bn=3n2,知 sn=loga(1+1)+loga(1+41)+loga(1+231n) =loga(1+1)(1+41)(1+231n) ，31logabn+1=loga313n. 因此要比較sn與31logabn+1的大小，可先比較(1+

7、1)(1+41)(1+231n)與313n的大小，取 n=1 時(shí)，有 (1+1)3113取 n=2 時(shí)，有 (1+1)(1+41)3123由此推測(cè) (1+1)(1+41)(1+231n)313n若式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判定：當(dāng) a1 時(shí)， sn31logabn+1，當(dāng) 0a 1 時(shí)， sn31logabn+1， 例 1 已知 abc 的三內(nèi) 角 a、b、c 滿 足 a+c=2b， 設(shè) x=cos2ca，f(x)=cosb(cacos1cos1). (1)試求函數(shù) f(x)的解析式及其定義域；(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；(3)求這個(gè)函數(shù)的值域 . 解：(1)a+c=2b， b=60，a+

8、c=120,3421221)cos()cos(2cos2cos2coscoscoscos21)(22xxxxcacacacacacaxf0|2ca|60， x=cos2ca(21，1又 4x230，x23，定義域?yàn)?(21，23)(23，1. (2)設(shè) x1x2，f(x2)f(x1)=342342211222xxxx=)34)(34()34)(222212121xxxxxx， 若 x1， x2(23,21)， 則 4x1230， 4x2230， 4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1)，若 x1，x2(23，1 ，則 4x1230. 4x2230，4x1x

9、2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0. 即 f(x2)f(x1)，f(x)在(21,23)和(23，1上都是減函數(shù) . (3)由(2)知，f(x)f(21)=21或 f(x)f(1)=2. 故 f(x)的值域?yàn)?(，21) 2，+). 例 2在abc 中，已知 a、b、c 成等差數(shù)列， 則2tan2tan32tan2tancaca的值為 _. .解析： a+b+c =，a+c= 2b，.32tan2tan32tan2tan)2tan2tan1(32tan2tan,3)2tan(,32cacacacacaca故3、 已知 abc的三個(gè)內(nèi)角 a、 b、 c滿足 a+c=2b.bcacos2

10、cos1cos1， 求 cos2ca的值. 解法一：由題設(shè)條件知b=60，a+c=120. 設(shè)=2ca，則 ac=2，可得 a=60+，c=60，,43coscossin43cos41cossin23cos211sin23cos211)60cos(1)60cos(1cos1cos1222ca所以依題設(shè)條件有,cos243coscos2b.2243coscos,21cos2b整理得 42cos2+2cos32=0(m) (2cos2)(22cos+3)=0，22cos+30，2cos2=0.從而得 cos222ca. 解法二：由題設(shè)條件知b=60，a+c=12022cos1cos1,2260co

11、s2ca，把式化為 cosa+cosc=22cosacosc，利用和差化積及積化和差公式，式可化為)cos()cos(22cos2cos2cacacaca，將 cos2ca=cos60=21，cos(a+c)=21代入式得：)cos(2222coscaca將 cos(ac)=2cos2(2ca)1 代入 ： 42cos2(2ca)+2cos2ca32=0，(*)，.222cos:,022cos2,032cos22,0)32cos22)(222cos2(cacacacaca從而得例 4、在 abc 中，a 為最小角， c 為最大角，已知 cos(2a+c)=34，sinb=54，則 cos2(b

12、+c)=_. 解析： a 為最小角 2a+c=a+a+ca+b+c =180. cos(2a+c)=54，sin(2a+c)=53. c 為最大角， b為銳角，又 sinb=54.故 cos b=53. 即 sin(a+c)=54，cos(a+c)=53. cos(b+c)=cosa=cos(2a+c)(a+c)=2524，cos2(b+c)=2cos2(b+c)1=625527. 5、已知圓內(nèi)接四邊形abcd 的邊長(zhǎng)分別為 ab=2，bc=6，cd=da=4，求四邊形abcd 的面積 . 解：如圖：連結(jié) bd，則有四邊形 abcd 的面積：s=sabd+scdb=21abadsina+21b

13、ccdsinca+c=180， sina=sinc故 s=21(abad+bccd)sina=21(24+64)sina=16sina由余弦定理，在 abd 中，bd2=ab2+ad22abadcosa=2016cos a在cdb 中，bd2=cb2+cd22cbcdcosc=5248cosc2016cos a=5248cosc，cosc=cosa，64cos a=32， cosa=21， 又 0a180， a=120故 s=16sin120=83. 6、如右圖，在半徑為r的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離

14、 r 的平方成反比，即i=k2sinr，其中 k 是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？解：r=rcos，由此得：20,cos1rr，rrhrkirkrkirkrkrki22tan,33sin,392)32()()sin1)(sin1(sin2)(2)cos(sincossinsin232222222222222此時(shí)時(shí)成立等號(hào)在由此得7、在abc 中，a、b、c 分別為角 a、b、c 的對(duì)邊，27cos22sin42acb. (1)求角 a 的度數(shù)；(2)若 a=3，b+c=3，求 b 和 c 的值. .1221:232:3,3.3)(21221cos

15、2cos:)2(60,1800,21cos,01cos4cos45cos4)cos1(4,271cos2)cos(12:,180272cos2sin4)1(:.222222222222cbcbbccbbccbabcacbbcacbabcacbaaaaaaaaacbcbaacb或得由代入上式得將由余弦定理得即得及由解8、在abc 中，a、b、c 所對(duì)的邊分別為a、b、c，且 a、b、3c 成等比數(shù)列，又 ac=2，試求 a、b、c 的值解：由 a、b、3c 成等比數(shù)列，得： b2=3acsin2b=3sincsina=3(21)cos(a+c)cos(ac)b=(a+c).sin2(a+c)=23cos(a+c)cos2即 1cos2(a+c)=23cos(a+c)，解得 cos(a+c)=21. 0a+c，a+c=32.又 ac=2a=127，b=3，c=12. 9、在正三角形 abc 的邊 ab、ac 上分別取 d、e 兩點(diǎn)，使沿線段 de 折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn) a 正好落在邊 bc 上，在這種情況下，若要使ad 最小，求 adab的值. . .解：按題意，設(shè)折疊后a 點(diǎn)落在邊 bc 上改稱 p 點(diǎn)，顯然 a、p 兩點(diǎn)關(guān)于折線 de 對(duì)稱，又設(shè) bap=，dpa=，bdp=2，再設(shè) ab=a，ad=x，