2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第五節(jié) 二項分布與正態(tài)分布 教案

1、1第五節(jié)第五節(jié)二項分布與正態(tài)分布二項分布與正態(tài)分布核心素養(yǎng)立意下的命題導向核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.結(jié)合古典概型，考查條件概率、獨立事件的概率的計算，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)結(jié)合古典概型，考查條件概率、獨立事件的概率的計算，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)2結(jié)合結(jié)合 n 次獨立重復試驗的概念，考查隨機變量的二項分布，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)次獨立重復試驗的概念，考查隨機變量的二項分布，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)3結(jié)合頻率分布直方圖結(jié)合頻率分布直方圖，考查正態(tài)分布曲線的特點考查正態(tài)分布曲線的特點、3原則的應用原則的應用，凸顯直觀想象的核心凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)素養(yǎng)理清主干知識理清主干知識1條件概率條件概率(1)

2、條件概率的定義條件概率的定義設設 a，b 為兩個事件為兩個事件，且且 p(a)0，稱稱 p(b|a)p ab p a 為在為在事件事件 a 發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下，事件事件 b 發(fā)發(fā)生的條件概率生的條件概率(2)條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即 0p(b|a)1.如果如果 b，c 是兩個互斥事件，則是兩個互斥事件，則 p(bc)|a)p(b|a)p(c|a)2相互獨立事件的概率相互獨立事件的概率(1)相互獨立事件的定義及性質(zhì)相互獨立事件的定義及性質(zhì)定義：設定義：設 a，b 是兩個事件，若是兩個事件，若 p(ab)p(a)p(b)，則稱事

3、件，則稱事件 a 與事件與事件 b 相互獨立相互獨立性質(zhì)：若事件性質(zhì)：若事件 a 與與 b 相互獨立，那么相互獨立，那么 a 與與b，a與與 b，a與與b也都相互獨立也都相互獨立(2)獨立重復試驗概率公式獨立重復試驗概率公式在相同條件下重復做的在相同條件下重復做的 n 次試驗稱為次試驗稱為 n 次獨立重復試驗，若用次獨立重復試驗，若用 ai(i1,2，n)表示第表示第 i次試驗結(jié)果，則次試驗結(jié)果，則 p(a1a2a3an)p(a1)p(a2)p(an)(3)二項分布的定義二項分布的定義在在 n 次獨立重復試驗中次獨立重復試驗中，設事件設事件 a 發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為 x，在每次試驗中事件在

4、每次試驗中事件 a 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 p，則則 p(xk)cknpk(1p)nk，k0,1,2，n.此時稱隨機變量此時稱隨機變量 x 服從二項分布，記作服從二項分布，記作 xb(n，p)，并稱，并稱 p 為成功概率為成功概率3正態(tài)分布正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的定義正態(tài)曲線的定義函數(shù)函數(shù)，(x)12e22()2x ，x(，)，其中實數(shù)其中實數(shù)和和(0)為參數(shù)為參數(shù)，稱稱，(x)的圖的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)分布的定義及表示正態(tài)分布的定義及表示2如果對于任何實數(shù)如果對于任何實數(shù) a，b(ab)，隨機變量隨機變量 x 滿足滿足 p(axb

5、)錯誤錯誤!，(x)dx，則稱隨機變則稱隨機變量量 x 服從正態(tài)分布，記作服從正態(tài)分布，記作 n(，2)(3)正態(tài)曲線的特點正態(tài)曲線的特點曲線位于曲線位于 x 軸的軸的上方上方，與，與 x 軸不相交軸不相交曲線是單峰的，它關于直線曲線是單峰的，它關于直線 x對稱對稱曲線在曲線在 x處達到峰值處達到峰值1 2.曲線與曲線與 x 軸之間的面積為軸之間的面積為 1.當當一定時，曲線的位置由一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著確定，曲線隨著的變化而沿著的變化而沿著 x 軸軸平移平移當當一定時，曲線的形狀由一定時，曲線的形狀由確定確定越小，曲線越越小，曲線越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越，表示總體的分布越

6、集中集中；越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越，表示總體的分布越分散分散(4)正態(tài)分布中的正態(tài)分布中的 3原則原則p(x)0.682_6.p(2x2)0.954_4.p(3x3)0.997_4.澄清盲點誤點澄清盲點誤點一、關鍵點練明一、關鍵點練明1(條件概率條件概率)甲、乙兩市都位于長江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨甲、乙兩市都位于長江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占天的比例甲市占 20%，乙市占，乙市占 18%，兩地同時下雨占，兩地同時下雨占 12%，記，記 p(a)0.2，p(b)0.18，p(ab)0.12，則，則 p(a|b

7、)和和 p(b|a)分別等于分別等于()a.13，25b.23，25c.23，35d.12，35解析解析：選：選 cp(a|b)p ab p b 0.120.1823，p(b|a)p ab p a 0.120.235.2(正態(tài)分布正態(tài)分布)已知隨機變量已知隨機變量服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(0，2)若若 p(2)0.023，則，則 p(22)()a0.477b0.628c0.954d0.977解析：解析：選選 c0，p(2)p(2)0.023，p(22)120.0230.954.3(二項分布二項分布)設隨機變量設隨機變量 xb6，12 ，則，則 p(x3)等于等于_3解析解析：xb6，12

8、，p(x3)c361231123516.答案答案：5164(相互獨立事件相互獨立事件)甲、乙、丙三人將參加某項測試他們能達標的概率分別是甲、乙、丙三人將參加某項測試他們能達標的概率分別是 0.8,0.6,0.5，則三人都達標的概率為則三人都達標的概率為_，三人中至少有一人達標的概率為，三人中至少有一人達標的概率為_解析解析：每個人是否達標是相互獨立的，：每個人是否達標是相互獨立的，“三人中至少有一人達標三人中至少有一人達標”的對立事件為的對立事件為“三人均未達標三人均未達標”，設三人都達標為事件設三人都達標為事件 a，三人中至少有一人達標為事件，三人中至少有一人達標為事件 b，則則 p(a)0

9、.80.60.50.24，p(b)10.20.40.50.96.答案答案：0.240.96二、易錯點練清二、易錯點練清1 (條件概率公式使用錯誤條件概率公式使用錯誤)由由 0,1 組成的三位數(shù)編號中組成的三位數(shù)編號中， 若事件若事件 a 表示表示“第二位數(shù)字為第二位數(shù)字為 0”，事件事件 b 表示表示“第一位數(shù)字為第一位數(shù)字為 0”，則，則 p(a|b)_.解析解析：因為第一位數(shù)字可為：因為第一位數(shù)字可為 0 或或 1，所以第一位數(shù)字為，所以第一位數(shù)字為 0 的概率的概率 p(b)12，第一位數(shù)字為，第一位數(shù)字為 0且第二位數(shù)字也為且第二位數(shù)字也為 0，即事件即事件 a，b 同時發(fā)生的概率同時

10、發(fā)生的概率 p(ab)121214，所以所以 p(a|b)p ab p b 141212.答案答案：122(恰有一個發(fā)生理解錯誤恰有一個發(fā)生理解錯誤)計算機畢業(yè)考試分為理論與操作兩部分，每部分考試成績只記計算機畢業(yè)考試分為理論與操作兩部分，每部分考試成績只記“合格合格”與與“不合格不合格”， 只有兩部分考試都只有兩部分考試都“合格合格”者者， 才給頒發(fā)計算機才給頒發(fā)計算機“合格證書合格證書” 甲甲、乙兩人在理論考試中乙兩人在理論考試中“合格合格”的概率依次為的概率依次為45，23，在操作考試中在操作考試中“合格合格”的概率依次為的概率依次為12，56，所有考試是否合格相互之間沒有影響則甲、乙進

11、行理論與操作兩項考試后，恰有一人獲所有考試是否合格相互之間沒有影響則甲、乙進行理論與操作兩項考試后，恰有一人獲得得“合格證書合格證書”的概率為的概率為_解析解析：甲獲得：甲獲得“合格證書合格證書”的概率為的概率為451225，乙獲得，乙獲得“合格證書合格證書”的概率是的概率是235659，兩，兩人中恰有一個人獲得人中恰有一個人獲得“合格證書合格證書”的概率是的概率是25159 125 592345.答案答案：23454考點一考點一事件的相互獨立性及條件概率事件的相互獨立性及條件概率考法考法(一一)條件概率條件概率例例 1(1)現(xiàn)有現(xiàn)有 3 道理科題和道理科題和 2 道文科題共道文科題共 5 道

12、題道題，若不放回地依次抽取若不放回地依次抽取 2 道題道題，則在第則在第 1次抽到理科題的條件下，第次抽到理科題的條件下，第 2 次抽到理科題的概率為次抽到理科題的概率為()a.310b.25c.12d.35(2)2020 年疫情的到來給人們生活學習等各方面帶來種種困難為了順利迎接高考，某省制年疫情的到來給人們生活學習等各方面帶來種種困難為了順利迎接高考，某省制定了周密的畢業(yè)年級復學計劃為了確保安全開學，全省組織畢業(yè)年級學生進行核酸檢測定了周密的畢業(yè)年級復學計劃為了確保安全開學，全省組織畢業(yè)年級學生進行核酸檢測的篩查學生先到醫(yī)務室進行咽拭子檢驗，檢驗呈陽性者需到防疫部門做進一步檢測已的篩查學生

13、先到醫(yī)務室進行咽拭子檢驗，檢驗呈陽性者需到防疫部門做進一步檢測已知隨機抽一人檢驗呈陽性的概率為知隨機抽一人檢驗呈陽性的概率為 0.2%，且每個人檢驗是否呈陽性相互獨立且每個人檢驗是否呈陽性相互獨立，假設該疾病假設該疾病患病率為患病率為 0.1%，且患病者檢驗呈陽性的概率為，且患病者檢驗呈陽性的概率為 99%.若某人檢驗呈陽性，則他確實患病的若某人檢驗呈陽性，則他確實患病的概率為概率為()a0.99%b99%c49.5%d36.5%解析解析(1)法一法一：設第：設第 1 次抽到理科題為事件次抽到理科題為事件 a，第，第 2 次抽到理科題為事件次抽到理科題為事件 b，則，則 p(b|a)p ab

14、p a 32a253512.故選故選 c.法二法二：在第：在第 1 次抽到理科題的條件下，還有次抽到理科題的條件下，還有 2 道理科題和道理科題和 2 道文科題，故在第道文科題，故在第 1 次抽到理次抽到理科題的條件下，第科題的條件下，第 2 次抽到理科題的概率為次抽到理科題的概率為12.故選故選 c.(2)設設 a 為為“某人檢驗呈陽性某人檢驗呈陽性”，b 為為“此人患病此人患病”，則，則“某人檢驗呈陽性時他確實患病某人檢驗呈陽性時他確實患病”為為 b|a，由題意知，由題意知 p(b|a)p ab p a 99%0.1%0.2%49.5%，故選，故選 c.答案答案(1)c(2)c方法技巧方法

15、技巧條件概率的條件概率的 3 種求法種求法定義法定義法先求先求 p(a)和和 p(ab)，再由，再由 p(b|a)p ab p a 求求 p(b|a)基本基本事件法事件法借助古典概型概率公式借助古典概型概率公式，先求事件先求事件 a 包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù) n(a)，再求事件再求事件 ab 所包所包含的基本事件數(shù)含的基本事件數(shù) n(ab)，得，得 p(b|a)n ab n a 5縮樣法縮樣法縮小樣本空間的方法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況只研究剩下的情況，用古典用古典概型求解，它能化繁為簡概型求解，它能化繁為簡考法考法(二二)事

16、件的相互獨立性事件的相互獨立性例例 2(2019全國卷全國卷)11 分制乒乓球比賽，每贏一球得分制乒乓球比賽，每贏一球得 1 分，當某局打成分，當某局打成 1010 平后，平后，每球交換發(fā)球權(quán)每球交換發(fā)球權(quán)，先多得先多得 2 分的一方獲勝分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束該局比賽結(jié)束甲甲、乙兩位同學進行單打比賽乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為假設甲發(fā)球時甲得分的概率為 0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為乙發(fā)球時甲得分的概率為 0.4，各球的結(jié)果相互獨立各球的結(jié)果相互獨立在在某局雙方某局雙方 1010 平后，甲先發(fā)球，兩人又打了平后，甲先發(fā)球，兩人又打了 x 個球該局比賽結(jié)束個球該局比賽結(jié)

17、束(1)求求 p(x2)；(2)求事件求事件“x4 且甲獲勝且甲獲勝”的概率的概率解解(1)x2 就是某局雙方就是某局雙方 1010 平后平后，兩人又打了兩人又打了 2 個球該局比賽結(jié)束個球該局比賽結(jié)束，則這則這 2 個球均個球均由甲得分，或者均由乙得分由甲得分，或者均由乙得分因此因此 p(x2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)x4 且甲獲勝，就是某局雙方且甲獲勝，就是某局雙方 1010 平后，兩人又打了平后，兩人又打了 4 個球該局比賽結(jié)束，且這個球該局比賽結(jié)束，且這 4個球的得分情況為前兩球是甲、乙各得個球的得分情況為前兩球是甲、乙各得 1 分，后兩球均為甲得分分，后兩球

18、均為甲得分因此所求概率為因此所求概率為0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.方法技巧方法技巧利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路(1)將待求復雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥簡單事件的和將待求復雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥簡單事件的和(2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個已知將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個已知(易求易求)概率的相互獨立事件的積事概率的相互獨立事件的積事件件(3)代入概率的積、和公式求解代入概率的積、和公式求解針對訓練針對訓練1 從從 1,2,3,4,5 中任取中任取 2 個不同的數(shù)個不同的數(shù)， 事件事件 a

19、“取到的取到的 2 個數(shù)之和為偶數(shù)個數(shù)之和為偶數(shù)”， 事件事件 b“取取到的到的 2 個數(shù)均為偶數(shù)個數(shù)均為偶數(shù)”，則，則 p(b|a)()a.18b.14c.25d.12解析解析：選選 bp(a)c23c22c2541025，p(ab)c22c25110，由條件概率公式由條件概率公式，得得 p(b|a)p ab p a 1102514.2(2021 年年 1 月新高考八省聯(lián)考卷月新高考八省聯(lián)考卷)一臺設備由三個部件構(gòu)成，假設在一天的運轉(zhuǎn)中，部一臺設備由三個部件構(gòu)成，假設在一天的運轉(zhuǎn)中，部件件61,2,3 需要調(diào)整的概率分別為需要調(diào)整的概率分別為 0.1,0.2,0.3，各部件的狀態(tài)相互獨立，各

20、部件的狀態(tài)相互獨立(1)求設備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件求設備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件 1,2 中至少有中至少有 1 個需要調(diào)整的概率；個需要調(diào)整的概率；(2)記設備在一天的運轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個數(shù)為記設備在一天的運轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個數(shù)為 x，求，求 x 的分布列及數(shù)學期望的分布列及數(shù)學期望解：解：(1)設部件設部件 1,2,3 需要調(diào)整分別為事件需要調(diào)整分別為事件 a，b，c，由題知由題知 p(a)0.1，p(b)0.2，p(c)0.3，各部件的狀態(tài)相互獨立，各部件的狀態(tài)相互獨立，所以部件所以部件 1,2 都不需要調(diào)整的概率都不需要調(diào)整的概率 p(ab)p(a)p(b)0.90.80.72，故部件故

21、部件 1,2 中至少有中至少有 1 個需要調(diào)整的概率為個需要調(diào)整的概率為 1p(ab)0.28.(2)x 可取可取 0,1,2,3，p(x0)p(abc)p(a)p(b)p(c)0.90.80.70.504，p(x1)p(abc)p(abc)p(abc)0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398，p(x3)p(abc)0.10.20.30.006，p(x2)1p(x0)p(x1)p(x3)0.092，所以所以 x 的分布列為的分布列為x0123p0.5040.3980.0920.006e(x)0p(x0)1p(x1)2p(x2)3p(x3)0.6.考點二考點二獨立重復試驗

22、與二項分布獨立重復試驗與二項分布典例典例(2021合肥模擬合肥模擬)“大湖名城大湖名城，創(chuàng)新高地創(chuàng)新高地”的合肥的合肥，歷史文化積淀深厚歷史文化積淀深厚，民俗和人文民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生景觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生“研學游研學游”的理想之地為了將的理想之地為了將來更好地推進來更好地推進“研學游研學游”項目項目， 某旅游學校一位實習生在某旅行社實習期間某旅游學校一位實習生在某旅行社實習期間， 把把“研學游研學游”項目分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全項目分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類

23、型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生省高一學生“研學游研學游”學校中，隨機抽取了學校中，隨機抽取了 100 所學校，統(tǒng)計如下：所學校，統(tǒng)計如下：研學游類型研學游類型科技體驗游科技體驗游民俗人文游民俗人文游自然風光游自然風光游學校數(shù)學校數(shù)404020該實習生在明年省內(nèi)有意向組織高一該實習生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學游研學游”的學校中，隨機抽取了的學校中，隨機抽取了 3 所學校，并以統(tǒng)所學校，并以統(tǒng)計的頻率代替學校選擇研學游類型的概率計的頻率代替學校選擇研學游類型的概率(假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類，且不受其他學校選擇結(jié)果的影響類，

24、且不受其他學校選擇結(jié)果的影響)(1)若這若這 3 所學校選擇的研學游類型是所學校選擇的研學游類型是“科技體驗游科技體驗游”和和“自然風光游自然風光游”，求這兩種類型都，求這兩種類型都有學校選擇的概率；有學校選擇的概率；(2)設這設這 3 所學校中選擇所學校中選擇“科技體驗游科技體驗游”的學校數(shù)為隨機變量的學校數(shù)為隨機變量 x， 求求 x 的分布列與數(shù)學期望的分布列與數(shù)學期望7解解(1)依題意，學校選擇依題意，學校選擇“科技體驗游科技體驗游”的概率為的概率為25，選擇，選擇“自然風光游自然風光游”的概率為的概率為15，若這若這 3 所學校選擇研學游類型為所學校選擇研學游類型為“科技體驗游科技體驗

25、游”和和“自然風光游自然風光游”，則這兩種類型都有，則這兩種類型都有學校選擇的概率為學校選擇的概率為pc2325215 c2315225 18125.(2)x 可能取值為可能取值為 0,1,2,3.則則 p(x0)c0335327125，p(x1)c132535254125，p(x2)c2325235 36125，p(x3)c332538125，x 的分布列為的分布列為x0123p2712554125361258125e(x)0271251541252361253812565.方法技巧方法技巧與二項分布有關的期望、方差的求法與二項分布有關的期望、方差的求法(1)求隨機變量求隨機變量的期望與方差

26、時的期望與方差時，可首先分析可首先分析是否服從二項分布是否服從二項分布，如果如果b(n，p)，則用公則用公式式 e()np，d()np(1p)求解，可大大減少計算量求解，可大大減少計算量(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時這時，可以綜合應用可以綜合應用 e(ab)ae()b 以及以及 e()np 求出求出 e(ab)，同樣還可求出同樣還可求出 d(ab).針對訓練針對訓練一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所一家面包房根據(jù)以往某種面

27、包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示示8將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立(1)求在未來連續(xù)求在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù)天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于天的日銷售量都不低于 100 個且另個且另 1 天的日銷售量低天的日銷售量低于于50 個的概率；個的概率；(2)用用 x 表示在未來表示在未來 3 天里日銷售量不低于天里日銷售量不低于 100 個的天數(shù)個的天數(shù)，求隨機變量求隨機變量 x 的分布列及數(shù)學期的分布列及數(shù)學期望望解解：(1)設設 a1表示事件表示事件“日銷售量不低于日銷售量

28、不低于 100 個個”，a2表示事件表示事件“日銷售量低于日銷售量低于 50 個個”，b表示事件表示事件“在未來連續(xù)在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù)天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于天的日銷售量都不低于 100 個且另個且另 1 天的日銷售天的日銷售量低于量低于 50 個個”，因此，因此p(a1)(0.0060.0040.002)500.6，p(a2)0.003500.15，p(b)0.60.60.1520.108.(2)xb(3,0.6)，x 可能取的值為可能取的值為 0,1,2,3，相應的概率為，相應的概率為p(x0)c03(10.6)30.064，p(x1)c130.6(10.6)20.

29、288，p(x2)c230.62(10.6)0.432，p(x3)c330.630.216.故故 x 的分布列為的分布列為x0123p0.0640.2880.4320.216e(x)30.61.8.考點三考點三正態(tài)分布正態(tài)分布典例典例為提高城市居民生活幸福感為提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力確保公交車的準點率某城市公交公司大力確保公交車的準點率，減少居民減少居民乘車候車時間，為此，該公司對某站臺乘客的候車時間進行統(tǒng)計乘客候車時間受公交車乘車候車時間，為此，該公司對某站臺乘客的候車時間進行統(tǒng)計乘客候車時間受公交車準點率、交通擁堵情況、節(jié)假日人流量增大等情況影響，在公交車準點率正常、交通

30、擁堵準點率、交通擁堵情況、節(jié)假日人流量增大等情況影響，在公交車準點率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，乘客候車時間隨機變量情況正常、非節(jié)假日的情況下，乘客候車時間隨機變量 x 滿足正態(tài)分布滿足正態(tài)分布 n(，2)在公交在公交車準點率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，調(diào)查了大量乘客的候車時間，經(jīng)車準點率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，調(diào)查了大量乘客的候車時間，經(jīng)過統(tǒng)計得到如圖頻率分布直方圖過統(tǒng)計得到如圖頻率分布直方圖9(1)在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點值代表該組中的各個值，試估計在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點值代表該組中的各個值，試估計，2的值；的值；(2)在統(tǒng)計

31、學中，發(fā)生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般認為，在正常情況下，在統(tǒng)計學中，發(fā)生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般認為，在正常情況下，一次試驗中，小概率事件是不可能發(fā)生的在交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的某天，隨機一次試驗中，小概率事件是不可能發(fā)生的在交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的某天，隨機調(diào)查了該站的調(diào)查了該站的 10 名乘客的候車時間，發(fā)現(xiàn)其中有名乘客的候車時間，發(fā)現(xiàn)其中有 3 名乘客候車時間超過名乘客候車時間超過 15 分鐘，試判斷分鐘，試判斷該天公交車準點率是否正常，并說明理由該天公交車準點率是否正常，并說明理由參考數(shù)據(jù)參考數(shù)據(jù)： 19.24.38， 21.44.63， 26.6

32、5.16，0.841 3570.298 4,0.841 3560.3547,0.158 6530.004 0，0.158 6540.000 6，p(x)0.682 7，p(2x2)0.954 5，p(3x14.38)1p x0.003，即準點率正常即準點率正常方法技巧方法技巧正態(tài)分布下兩類常見的概率計算正態(tài)分布下兩類常見的概率計算(1)利用利用 3原則求概率問題時原則求概率問題時， 要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的， 進行對比聯(lián)系進行對比聯(lián)系，確定它們屬于確定它們屬于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個中的哪一個(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究

33、相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線線 x對稱，及曲線與對稱，及曲線與 x 軸之間的面積為軸之間的面積為 1.注意下面結(jié)論的活用：注意下面結(jié)論的活用：對任意的對任意的 a，有，有 p(xa)p(xa)；p(xx0)1p(xx0)；p(axb)p(xb)p(xa)針對訓練針對訓練(2021濰坊模擬濰坊模擬)為了嚴格監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，某企業(yè)每天從該生產(chǎn)線為了嚴格監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，某企業(yè)每天從該生產(chǎn)線10上隨機抽取上隨機抽取 10 000 個零件，并測量其內(nèi)徑個零件，并測量其內(nèi)徑

34、(單位：單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，認為這條生產(chǎn)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑 x 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(，2)如果加工的零件內(nèi)徑小于如果加工的零件內(nèi)徑小于3或大于或大于3均為不合格品，其余為合格品均為不合格品，其余為合格品(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，請估計一天內(nèi)抽取的假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，請估計一天內(nèi)抽取的 10 000 個零件中不合格品的個數(shù)；個零件中不合格品的個數(shù)；(2)若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為合格品則該件產(chǎn)品盈利；若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為不合格品則該件產(chǎn)品若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為合格品則該件產(chǎn)品盈利；若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為不合格品則該件產(chǎn)品虧損已知每

35、件產(chǎn)品的利潤虧損已知每件產(chǎn)品的利潤 l(單位：元單位：元)與零件的內(nèi)徑與零件的內(nèi)徑 x 有如下關系：有如下關系：l5，x3，4，3x3.求該企業(yè)一天從生產(chǎn)線上隨機抽取求該企業(yè)一天從生產(chǎn)線上隨機抽取 10 000 個零件的平均利潤個零件的平均利潤附附：若隨機變量若隨機變量 x 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(，2)，有有 p(x)0.682 7，p(2x2)0.954 5，p(3x3)0.997 3.解：解：(1)抽取的一個零件的尺寸在抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為之內(nèi)的概率為 0.997 3，從而抽取一個零件，從而抽取一個零件為不合格品的概率為不合格品的概率為為 0.002 7，

36、因此一天內(nèi)抽取因此一天內(nèi)抽取的的 10 000 個零件中不合格品的個數(shù)約為個零件中不合格品的個數(shù)約為100000.002 727.(2)結(jié)合正態(tài)分布曲線和題意可知：結(jié)合正態(tài)分布曲線和題意可知：p(x3)0.001 35，p(3x3)0.001 35，故隨機抽取故隨機抽取 10 000 個零件的平均利潤為：個零件的平均利潤為：10 000l10 000(50.001 3540.157 360.840 050.001 35)56 557 元元一、創(chuàng)新命題視角一、創(chuàng)新命題視角學通學活巧遷移學通學活巧遷移二項分布與超幾何分布的辨別方法二項分布與超幾何分布的辨別方法典例典例寫出下列離散型隨機變量的分布列

37、寫出下列離散型隨機變量的分布列， 并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？何分布的是哪些？(1)x1表示表示 n 次重復拋擲次重復拋擲 1 枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是 3 的倍數(shù)的次數(shù)的倍數(shù)的次數(shù)(2)x2表示連續(xù)拋擲表示連續(xù)拋擲 2 枚骰子，所得的枚骰子，所得的 2 個骰子的點數(shù)之和個骰子的點數(shù)之和(3)有一批產(chǎn)品共有有一批產(chǎn)品共有 n 件件，其中次品有其中次品有 m 件件(nm0)，采用有放回抽取方法抽取采用有放回抽取方法抽取 n 次次(nn)，抽出的次品件數(shù)為抽出的次品件數(shù)為 x3.(4)有一批產(chǎn)品共有有一批產(chǎn)品共有 n 件件

38、，其中其中 m 件為次品件為次品，采用不放回抽取方法抽采用不放回抽取方法抽 n 件件，出現(xiàn)次品的件數(shù)出現(xiàn)次品的件數(shù)11為為 x4(nmn0)解解(1)x1的分布列為的分布列為x1012npc0n13023nc1n13123n1c2n13223n2cnn13nx1服從二項分布服從二項分布，即即 x1bn，13 .(2)x2的分布列為的分布列為x223456789101112p136236336436536636536436336236136(3)x3的分布列為的分布列為x3012npc0n1mnnc1nmn1mnn1c2nmn21mnn2cnnmnnx3服從二項分布服從二項分布，即即 x3bn，

39、mn .(4)x4的分布列為的分布列為x401knpcnnmcnnc1mcn1nmcnnckmcnknmcnncnmcnnx4服從超幾何分布服從超幾何分布名師微點名師微點二項分布與超幾何分布的辨別方法二項分布與超幾何分布的辨別方法二項分布二項分布超幾何分布超幾何分布特點特點在在 n 次獨立重復試驗中次獨立重復試驗中， 設事設事在含有在含有 m 件次品的件次品的 n 件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中，任任取取12件件 a 發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為 x， 在每次在每次試驗中事試驗中事件件a發(fā)生的概率發(fā)生的概率為為pn 件，其中恰有件，其中恰有 x 件次品件次品概率概率公式公式p(xk)cknpk(1p)nk，k0

40、,1,2，np(xk)ckmcnknmcnn， k0,1,2， ， m(mminn，m，且且 nn，mn，n，m，nn n*)期望、方差期望、方差公式公式e(x)np，d(x)np(1p)e(x)nmn，d(x)nm nm nn n2 n1 當當 n時，超幾何分布近似為二項分布時，超幾何分布近似為二項分布二、創(chuàng)新考查方式二、創(chuàng)新考查方式領悟高考新動向領悟高考新動向1夏秋兩季，生活在長江口外淺海域的中華魚洄游到長江，歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊夏秋兩季，生活在長江口外淺海域的中華魚洄游到長江，歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長大到產(chǎn)后待幼魚長大到 1

41、5 厘米左右厘米左右，又攜帶它們旅居外海又攜帶它們旅居外海一個環(huán)一個環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個體能長成熟的概率為該批魚苗中的雌性個體能長成熟的概率為 0.15，雌性個體長成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為雌性個體長成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為 0.05，若該批魚苗中的一個雌性個體在長，若該批魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域已長成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為江口外淺海域已長成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為()a0.05b0.007 5c.13d16解析：解析：選選 c設事件設事件 a 為魚苗中的一個雌性個體在長江

42、口外淺海域長成熟，事件為魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域長成熟，事件 b 為該雌為該雌性個體成功溯流產(chǎn)卵繁殖性個體成功溯流產(chǎn)卵繁殖，由題意可知由題意可知 p(a)0.15，p(ab)0.05，p(b|a)p ab p a 0.050.1513.故選故選 c.2(多選多選)(2021泰安模擬泰安模擬)“雜交水稻之父雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，發(fā)明了與推廣，發(fā)明了“三系法三系法”秈型雜交水稻，成功研究出秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學

43、發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻某雜雜交稻技術體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高(單位：單位：cm)服從正態(tài)分布，其密度曲線服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為函數(shù)為 f(x)110 2e2100200 x（）- -，x(，)，則下列說法正確的是，則下列說法正確的是()13a該地水稻的平均株高為該地水稻的平均株高為 100 cmb該地水稻株高的方差為該地水稻株高的方差為 10c隨機測量一株水稻，其株高在隨機測量一株水稻，其株高在 120 cm 以上的概率比株高在以上的概率比株高在

44、70 cm 以下的概率大以下的概率大d隨機測量一株水稻，其株高在隨機測量一株水稻，其株高在(80,90)和在和在(100,110)(單位：單位：cm)的概率一樣大的概率一樣大解析解析：選選 acf(x)110 2e2100200 x（）- -，故故100，2100，故故 a 正確正確，b 錯誤錯誤；p(x120)p(x80)p(x70)，故，故 c 正確；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知：正確；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知：p(100 x110)p(90 x100)p(80 x90)，故，故 d 錯誤故選錯誤故選 a、c.課時跟蹤檢測課時跟蹤檢測1甲甲、乙兩人同時報考某一所大學乙兩人同時報考某一所大學，甲被錄

45、取的概率為甲被錄取的概率為 0.6，乙被錄取的概率為乙被錄取的概率為 0.7，兩人兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()a0.12b0.42c0.46d0.88解析：解析：選選 d因為甲、乙兩人是否被錄取相互獨立，又因為所求事件的對立事件為因為甲、乙兩人是否被錄取相互獨立，又因為所求事件的對立事件為“兩人兩人均未被錄取均未被錄取”， 由對立事件和相互獨立事件概率公式由對立事件和相互獨立事件概率公式， 知知 p1(10.6)(10.7)10.120.88.2用電腦每次可以自動生成一個用電腦每次可以自動生成一個(0,1)內(nèi)的實數(shù)

46、，且每次生成每個實數(shù)都是等可能的，若用內(nèi)的實數(shù)，且每次生成每個實數(shù)都是等可能的，若用該電腦連續(xù)生成該電腦連續(xù)生成 3 個實數(shù)，則這個實數(shù)，則這 3 個實數(shù)都大于個實數(shù)都大于13的概率為的概率為()a.127b23c.827d49解析解析： 選選 c由題意可得由題意可得， 用該電腦生成用該電腦生成 1 個實數(shù)個實數(shù)， 且這個實數(shù)大于且這個實數(shù)大于13的概率為的概率為 p11323，則用該電腦連續(xù)生成則用該電腦連續(xù)生成 3 個實數(shù)，這個實數(shù)，這 3 個實數(shù)都大于個實數(shù)都大于13的概率為的概率為233827.故選故選 c.3(多選多選)(2021濟南模擬濟南模擬)已知在某市的一次學情檢測中，學生的數(shù)

47、學成績已知在某市的一次學情檢測中，學生的數(shù)學成績 x 服從正態(tài)分服從正態(tài)分布布n(100,100)，其中，其中 90 分為及格線，分為及格線，120 分為優(yōu)秀線下列說法正確的是分為優(yōu)秀線下列說法正確的是()附：隨機變量附：隨機變量服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(，2)，則，則 p()0.682 7，p(22)0.954 5，p(33)0.997 3.a該市學生數(shù)學成績的期望為該市學生數(shù)學成績的期望為 100b該市學生數(shù)學成績的標準差為該市學生數(shù)學成績的標準差為 100c該市學生數(shù)學成績及格率超過該市學生數(shù)學成績及格率超過 0.8d該市學生數(shù)學成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等該市學生數(shù)學成績不

48、及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等解析解析：選選 ac數(shù)學成績數(shù)學成績 x 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(100,100)，則數(shù)學成績的期望為則數(shù)學成績的期望為 100，數(shù)學成績數(shù)學成績14的標準差為的標準差為 10， 故故 a 正確正確， b 錯誤錯誤； 及格率為及格率為 p111p 1001010010 20.84135，c 正確正確； 不及格概率為不及格概率為 p20.158 65，優(yōu)秀概率優(yōu)秀概率 p31p 1002010020 20.02275，d 錯誤故選錯誤故選 a、c.4某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為 p，各成員的支付方式相互獨立設

49、，各成員的支付方式相互獨立設 x 為為該群體的該群體的 10 位成員中使用移動支付的人數(shù)，位成員中使用移動支付的人數(shù)，d(x)2.4，p(x4)p(x6)，則，則 p()a0.7b0.6c0.4d0.3解析：解析：選選 b由題知由題知 xb(10，p)，則，則 d(x)10p(1p)2.4，解得，解得 p0.4 或或 0.6.又又p(x4)p(x6)，即，即 c410p4(1p)6c610p6(1p)4(1p)2p2p0.5，p0.6，故選，故選 b.5某個電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍某個電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈

50、的概率為12，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為15，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為出現(xiàn)紅燈的概率為()a.110b15c.25d12解析解析： 選選 c設設“開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件為事件 a， “第二次閉合后出現(xiàn)紅燈第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事為事件件 b，則由題意可得則由題意可得 p(a)12，p(ab)15，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是出現(xiàn)紅燈的概率是 p(b|a)p ab p a 15

51、1225.故選故選 c.6一臺機床有一臺機床有13的時間加工零件的時間加工零件 a，其余時間加工零件其余時間加工零件 b.加工零件加工零件 a 時時，停機的概率為停機的概率為310，加工零件加工零件 b 時，停機的概率是時，停機的概率是25，則這臺機床停機的概率為，則這臺機床停機的概率為()a.1130b730c.710d110解析：解析：選選 a假設總時間為假設總時間為 1，則在，則在 1 時間內(nèi)，加工零件時間內(nèi)，加工零件 a 停機的概率是停機的概率是13310110，加工，加工零件零件 b 停機的概率是停機的概率是113 25415，所以這臺機床停機的概率是，所以這臺機床停機的概率是110

52、4151130.157箱子里有箱子里有 5 個黑球，個黑球，4 個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第取球；若取出白球，則停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率為次取球之后停止的概率為()a.c35c14c45b59349c.3514dc1459349解析解析：選選 b由題意知由題意知，第四次取球后停止是當且僅當前三次取的球是黑球第四次取球后停止是當且僅當前三次取的球是黑球，第四次取的第四次取的球是白球的情況球是白球的情況，此事件發(fā)生的概率為此事件發(fā)生的概率為59349.8(2

53、021南昌月考南昌月考)已知已知 1 號箱中有號箱中有 2 個白球和個白球和 4 個紅球個紅球、2 號箱中有號箱中有 5 個白球和個白球和 3 個紅球個紅球，現(xiàn)隨機從現(xiàn)隨機從 1 號箱中取出一球放入號箱中取出一球放入 2 號箱，然后從號箱，然后從 2 號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是球的概率是_解析：解析：設設“從從 1 號箱取到紅球號箱取到紅球”為事件為事件 a，“從從 2 號箱取到紅球號箱取到紅球”為事件為事件 b.由題意，由題意，p(a)42423，p(b|a)318149，所以所以 p(ab)p(b|a)p(a)4923827，所以兩次都取

54、到紅球的概率為所以兩次都取到紅球的概率為827.答案答案：8279(2020天津高考天津高考)已知甲已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為乙兩球落入盒子的概率分別為12和和13.假定兩球是否落入盒子互不假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為率為_解析解析：依題意得依題意得，甲甲、乙兩球都落入盒子的概率為乙兩球都落入盒子的概率為121316；甲甲、乙兩球都不落入盒子的概乙兩球都不落入盒子的概率為率為112 113 13，則甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為，則甲、乙兩

55、球至少有一個落入盒子的概率為 11323.答案：答案：162310(2021 年年 1 月新高考八省聯(lián)考卷月新高考八省聯(lián)考卷)對一個物理量做對一個物理量做 n 次測量，并以測量結(jié)果的平均值作次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果為該物理量的最后結(jié)果已知最后結(jié)果的誤差已知最后結(jié)果的誤差nn0，2n ，為使誤差為使誤差n在在(0.5,0.5)的概率的概率不小于不小于 0.954 5，至少要測量，至少要測量_次次(若若 xn(，2)，則，則 p(|x|2)0.954 5)解析解析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知：要使誤差要使誤差n在在(0.5,0.5)的概率不小于的概率不小

56、于 0.954 5，則則(2，162)(0.5，0.5)且且0，2n，0.522nn32.答案：答案：3211春天即將來臨，某學校開展以春天即將來臨，某學校開展以“擁抱春天，播種綠色擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活為主題的植物種植實踐體驗活動動已知某種盆栽植物每株成活的概率為已知某種盆栽植物每株成活的概率為 p，各株是否成活相互獨立各株是否成活相互獨立該學校的某班隨機領該學校的某班隨機領養(yǎng)了此種盆栽植物養(yǎng)了此種盆栽植物 10 株，設株，設 x 為其中成活的株數(shù)，若為其中成活的株數(shù)，若 x 的方差的方差 d(x)2.1，p(x3)p(x7)，則，則 p_.解析：解析：由題意可知，由

57、題意可知，xb(10，p)，10p 1p 2.1，p x3 0.5，解得解得 p0.7.答案：答案：0.712某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的個人單打資格選拔賽，本次某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的個人單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況若一個運動員出線記選拔賽只有出線和未出線兩種情況若一個運動員出線記 1 分，未出線記分，未出線記 0 分假設甲、分假設甲、乙、丙出線的概率分別為乙、丙出線的概率分別為23，34，35，他們出線與未出線是相互獨立的，他們出線與未出線是相互獨立的(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；求在這次選拔

58、賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員所得分之和為隨機變量記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員所得分之和為隨機變量，求隨機變量，求隨機變量的分的分布列和數(shù)學期望布列和數(shù)學期望 e()解：解：(1)記記“甲出線甲出線”為事件為事件 a，“乙出線乙出線”為事件為事件 b，“丙出線丙出線”為事件為事件 c，“甲、乙、甲、乙、丙至少有一名出線丙至少有一名出線”為事件為事件 d，則則 p(d)1p(abc)11314252930.(2)的所有可能取值為的所有可能取值為 0,1,2,3.p(0)p(abc)130，p(1)p(abc)p(abc)p(abc)

59、1360，p(2)p(a bc)p(abc)p(ab c)920，p(3)p(abc)310.所以所以的分布列為的分布列為0123p130136092031017故故 e()0130113602920331012160.13高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展，據(jù)統(tǒng)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展，據(jù)統(tǒng)計，在計，在 2019 年這一年內(nèi)從年這一年內(nèi)從 a 市到市到 b 市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為 50 萬人次為了萬人次為了解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機抽取解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機抽取 100 人次作為樣本，得到下表人次作為樣本，得到下表(單位：人次單位：人次)：滿意度滿意度老年人老年人中年人中年人青年人青年人乘坐乘坐高鐵高鐵乘坐乘坐飛機飛機乘坐乘坐高鐵高鐵乘坐乘