通用版2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第24講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用學(xué)案理新人教A版20190313369

1、第24講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用1.仰角和俯角:與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線的叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線的叫俯角,如圖3-24-1(a)所示.  (a) (b) (c) (d)圖3-24-12.方位角:指從順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如圖3-24-1(b)中b點(diǎn)的方位角為. 3.方向角:相對于某正方向的,如北偏東,即由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖3-24-1(c),其他方向角類似. 4.坡角:坡面與所成的二面角的度數(shù)(如圖3-24-1(d)所示,坡角為). 坡比:坡面的鉛直高度與之比(如圖3-24-1(d)所示

2、,i為坡比). 題組一常識題1.教材改編 海上有a,b,c三個小島,a,b相距53海里,從a島望c和b成45°視角,從b島望c和a成75°視角,則b,c兩島間的距離是海里. 2.教材改編 某人向正東方向走了x km后,向右轉(zhuǎn)150°,然后沿新方向走了3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好3 km,那么x的值為. 3.教材改編 如圖3-24-2所示,長為3.5 m的木棒ab斜靠在石堤旁,木棒的一端a在離堤足c處1.4 m的地面上,另一端b在離堤足c處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為,則tan 等于.  圖3-24-2圖3-24-34.

3、教材改編 如圖3-24-3所示,測量河對岸的塔高ab時,可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)c與d.現(xiàn)測得bcd=,bdc=,cd=s,并在點(diǎn)c處測得塔頂a的仰角為,則塔高ab=. 題組二常錯題索引:仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能將空間問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.5.在某次測量中,在a處測得同一半平面方向的b點(diǎn)的仰角是60°,c點(diǎn)的俯角是70°,則bac=. 圖3-24-46.如圖3-24-4所示,兩座燈塔a和b與海岸觀察站c的距離相等,燈塔a在觀察站南偏西40°的方向,燈塔b在觀察站南偏東60°的方向,則燈

4、塔a相對于燈塔b的方向角是. 7.已知點(diǎn)a在點(diǎn)b南偏西20°的方向,若以點(diǎn)b為基點(diǎn),則點(diǎn)a的方位角是. 8.某起重裝置的示意圖如圖3-24-5所示,已知支桿bc=10 m,吊桿ac=15 m,吊索ab=519 m,則起吊的貨物與岸的距離ad為m. 圖3-24-5探究點(diǎn)一測量距離問題例1 2018·南京師大附中月考 如圖3-24-6所示,a,b,c三個警亭有直道相通,已知a在b的正北方向6千米處,c在b的正東方向63千米處.(1)若警員甲從c出發(fā),沿ca行至點(diǎn)p處,此時cbp=45°,求p,b兩點(diǎn)間的距離.(2)若警員甲從c出發(fā)沿ca前

5、往a,警員乙從a出發(fā)沿ab前往b,兩人同時出發(fā),甲的速度為3千米/時,乙的速度為6千米/時.兩人通過專用對講機(jī)保持聯(lián)系,乙到達(dá)b后原地等待,直到甲到達(dá)a時任務(wù)結(jié)束.若對講機(jī)的有效通話距離最大為9千米,試求兩人通過對講機(jī)能保持聯(lián)系的總時長.圖3-24-6    總結(jié)反思 求距離即是求一條線段的長度,把該線段看作某個三角形的邊,根據(jù)已知條件求出該三角形的部分元素后,即可使用正弦定理或者余弦定理求該邊的長度.變式題 2018·青島二模 如圖3-24-7所示,a,b兩點(diǎn)在河的兩岸,一名測量者在a的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)c,測出a,c兩點(diǎn)的距離為50 m,a

6、cb=45°,cab=105°,則a,b兩點(diǎn)間的距離為()圖3-24-7a.502 mb.503 mc.252 md.2522 m探究點(diǎn)二測量高度問題例2 2018·衡水中學(xué)月考 如圖3-24-8所示,在山頂有一座信號塔cd(cd所在的直線與地平面垂直),在山腳a處測得塔尖c的仰角為,沿傾斜角為的山坡向上前進(jìn)l米后到達(dá)b處,測得c的仰角為.圖3-24-8(1)求bc的長;(2)若l=24,=45°,=75°,=30°,求信號塔cd的高度.    總結(jié)反思 高度也是兩點(diǎn)之間的距離,其解法同求解水平

7、面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的,基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入到一個可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識求出該高度.變式題 如圖3-24-9所示,為了測量一棵樹的高度,在地上選取a,b兩點(diǎn),從a,b兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30°,45°,且a,b兩點(diǎn)之間的距離為60 m,則樹的高度為()圖3-24-9a.(30+303) mb.(30+153) mc.(15+303) md.(15+33) m探究點(diǎn)三測量角度問題例3 如圖3-24-10所示,某漁船在航行中不幸遇險,發(fā)出呼救信號,某艦艇在a處獲悉后,立即測出該漁船在方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線

8、的水平角)為40°,距離為15海里的c處,并測得漁船正沿方位角為100°的方向,以15海里/時的速度航行,該艦艇立即以153海里/時的速度沿直線前去營救,若艦艇與漁船恰好在b處相遇,求艦艇與漁船相遇所需的時間和艦艇的航向.圖3-24-10   總結(jié)反思 測量“角度”即是求一個角的大小,把該角看作某個三角形的內(nèi)角,根據(jù)已知條件求出該三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得.變式題 如圖3-24-11所示,在坡角為的山坡上的一點(diǎn)a處測得山頂上一建筑物cd的頂端c對于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)10米后到達(dá)點(diǎn)b,又從點(diǎn)b測得c對于山

9、坡的斜度為,建筑物的高cd為5米.圖3-24-11(1)若=30°,求ac的長;(2)若=45°,求此山坡的坡角的余弦值. 第24講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用考試說明 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.水平視線上方下方2.正北方向3.水平角4.水平面水平長度對點(diǎn)演練1.52解析 由題可知acb=60°,由正弦定理得absinacb=bcsinbac,即53sin60°=bcsin45°,得bc=52.2.23或3解析 如圖所示,應(yīng)有兩種情況.由正弦定理,得acsin

10、30°=bcsina,sin a=3×123=32,a=60°或a=120°.當(dāng)a=60°時,ab=23;當(dāng)a=120°時,ab=3.3.2315解析 由題意可得,在abc中,ab=3.5 m,ac=1.4 m,bc=2.8 m,且+acb=.由余弦定理可得ab2=ac2+bc2-2ac·bc·cosacb,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(-),解得cos =516,所以sin =23116,所以tan =sincos=2315.4.s·tansi

11、nsin(+)解析 在bcd中,cbd=-.由正弦定理得bcsinbdc=cdsincbd,所以bc=cdsinbdcsincbd=s·sinsin(+).在rtabc中,ab=bctanacb=s·tansinsin(+).5.130°解析 60°+70°=130°.6.南偏西80°解析 由條件及圖可知,a=abc=40°,又bcd=60°,所以cbd=30°,所以dba=10°,因此燈塔a在燈塔b南偏西80°的方向.7.200°解析 根據(jù)方位角的概念可得.8.1

12、532解析 在abc中,cosabc=102+(519)2-1522×10×519=7219,所以sinabc=33219,所以在abd中,ad=ab·sinabc=519×33219=1532(m).【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)先求出apb,再由正弦定理可得bp;(2)設(shè)甲、乙之間的距離為f(t),若兩人通過對講機(jī)能保持聯(lián)系,則需要f(t)9,然后分0t1和1<t4兩種情況討論,分別求得對應(yīng)的時長,再求和即得到結(jié)論.解:(1)在abc中,ab=6,bc=63,abbc,所以a=60°,c=30°,又cbp=45

13、6;,所以apb=75°,由正弦定理得,absinapb=bpsina,即bp=6×322+64=1236+2=123(6-2)4=92-36,故pb的距離是(92-36)千米.(2)由題知,ac=12千米,則甲從c到a需要4小時,乙從a到b需要1小時.設(shè)甲、乙之間的距離為f(t),若兩人通過對講機(jī)能保持聯(lián)系,則需要f(t)9.當(dāng)0t1時,f(t)=(6t)2+(12-3t)2-2·6t·(12-3t)cos60°=37t2-16t+16,由f(t)9,得7t2-16t+70,解得8-157t8+157,又t0,1,所以8-157t1,此時通過

14、對講機(jī)保持聯(lián)系的時長為1-8-157=15-17(小時).當(dāng)1<t4時,f(t)=36+(12-3t)2-2×6×(12-3t)cos60°=3t2-6t+12,由f(t)9, 得t2-6t+30,解得3-6t3+6,又t(1,4,所以1<t4,此時通過對講機(jī)保持聯(lián)系的時長為3小時.綜上,兩人通過對講機(jī)能保持聯(lián)系的總時長為3+15-17=15+207(小時).變式題a解析 在abc中,ac=50 m,acb=45°,cab=105°,所以abc=30°,則由正弦定理absinacb=acsinabc,得ab=ac·

15、;sinacbsinabc=50×2212=502(m).故選a.例2思路點(diǎn)撥 (1)在abc中,由正弦定理可得bc;(2)結(jié)合(1),在bdc中,利用正弦定理化簡求解即可.解:(1)在abc中,ab=l,cab=-,abc=180°-(-),acb=-.由正弦定理bcsincab=absinacb,得bc=sin(-)sin(-)l.(2)由(1)及條件知,bc=sin(-)sin(-)l=sin15°sin30°×24=126-2.因為bcd=90°-=15°,cbd=-=45°,所以bdc=120°

16、.由正弦定理得cd=sin45°sin120°·bc=24-83.變式題a解析 設(shè)樹高為x m,則bp=2x m.在abp中,ab=60,bp=2x,a=30°,apb=15°,由正弦定理absin15°=bpsin30°,得60sin15°=2xsin30°,解得x=30+303.故選a.例3思路點(diǎn)撥 設(shè)所需時間為t小時,利用余弦定理列出含有t的方程,再解方程得到t的值,然后求出cab的值,即可求得艦艇航行的方位角.解:設(shè)所需時間為t小時,則ab=153t,cb=15t.由題可知,acb=120

17、6;.在abc中,由余弦定理,得ab2=ac2+bc2-2ac×bc×cosacb,可得(153t)2=152+(15t)2-2×15×15tcos 120°,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-12(舍去),即艦艇與漁船相遇需要1小時.在abc中,ab=153,bc=15,ac=15,acb=120°,所以cab=30°,所以艦艇航行的方位角為70°.變式題解:(1)當(dāng)=30°時,abc=150°,acb=bac=15°, 所以bc=ab=10,由余弦定理得ac2=102+1

18、02-2×10×10×cos 150°=200+1003,故ac=56+52.(2)當(dāng)=45°時,acb=30°,在abc中,由正弦定理得bc=ab·sinbacsinacb=20×6-24=5(6-2).在bcd中,由正弦定理得sinbdc=bc·sindbccd=5(6-2)×225=3-1,所以cos =cos(adc-90°)=sinadc=3-1.【備選理由】 例1是距離問題,體現(xiàn)了正、余弦定理在解三角形方面的實際應(yīng)用,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決實際問題的能力;例2是角度問題.

19、例1配合例1使用 如圖所示,某小區(qū)準(zhǔn)備將一塊閑置的直角三角形地開發(fā)成公共綠地,圖中ab=a,b=2,bc=3a.設(shè)計時要求綠地部分(如圖中陰影部分所示)有公共綠地走道m(xù)n,且兩邊是兩個關(guān)于走道m(xù)n對稱的三角形(amn和a'mn).現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則,要求點(diǎn)m與點(diǎn)a,b均不重合,a'落在邊bc上且不與端點(diǎn)b,c重合,設(shè)amn=.(1)若=3,求此時公共綠地的面積;(2)為方便小區(qū)居民的行走,設(shè)計時要求an,a'n的長度最短,求此時綠地公共走道m(xù)n的長度.解:(1)設(shè)公共綠地的面積為s,由圖得bma'=-2=3,bm=12a'm=12am,又bm+am=ab=a,32am=a,am=23a.又ab=a,bc=3a,b=2,a=3,amn為等邊三角形,mn=am=23a,s=2samn=2×12×am·mn·sin3=49a2·32=239a2.(2)由題知am+a'm·cos(-2)=ab=a且am=a&#