淺析勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、    淺析勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用    蘭東平勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，在中國，周髀算經(jīng)記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理 三國時(shí)代的蔣銘祖對蔣銘祖算經(jīng)內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明。直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是初中幾何里最重要的定理之一，它在初中幾何里的應(yīng)用也十分廣泛，我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，

2、勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用具有典型性和普遍性。下面我就具體說明它在這個(gè)方面的應(yīng)用。在幾何學(xué)習(xí)中，圖形的平移，旋轉(zhuǎn)，軸對稱是基本變形，其中，圖形的軸對稱也就是圖形的折疊一類題型中，計(jì)算題比較多，而這類計(jì)算題通常用勾股定理來解決就簡單得多。一、勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知線段為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或用含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出所求的線段長度。下面我從線段的折疊，三角形的折疊，四邊形的折疊三個(gè)方面探究勾股定理在其中的應(yīng)用。1.線段折疊問題例1.如圖，有一塊直角三角形紙片，

3、兩直角邊ac=6cm，bc=8cm.現(xiàn)將直角邊ac沿直線ad折疊，使它落在斜邊ab上，且與ae重合，則cd等于（ ）此題是關(guān)于線段折疊的計(jì)算題，在計(jì)算過程中我們可以先選定rtbde，在此三角形中應(yīng)用勾股定理，首先設(shè)要求cd=x，則ae=ac=6，be=10-6=4，bd=8-x，de=，得，求得x=3，即cd=3.2.三角形折疊問題例2.如圖，正方形abcd中，ab=6，點(diǎn)e在邊cd上，且cd=3de.將ade沿ae對折至afe，延長ef交邊bc于點(diǎn)g，連接ag，cf.有下列結(jié)論：abgafg bg=gc agcf sfgc=3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）此題是三角形的折疊計(jì)算題，在證明bg=

4、cg相等的過程中，我們可以先選定rtceg，在此三角形中應(yīng)用勾股定理，首先設(shè)線段bg為，則cg=，ce=4，ge=則有，得出=3，則cg=3，從而得出bg=cg正確。3.四邊形折疊問題例3.折疊矩形abcd的一邊ad，點(diǎn)d落在bc邊上的點(diǎn)f處，已知ab=8cm，bc=10cm，求cf、ec、ae的長各是多少？在解決此題時(shí)，先選定rtabf，由題目中給出的邊長利用勾股定理求出bf=6，則cf=4，接著在rtcef中，設(shè)ec為，則ef=de=，由勾股定理得出方程，即可求出ec，之后ae即可迎刃而解。4.三角形與四邊形折疊種類（1）.三角形：（2）.四邊形：在解決線段、三角形及四邊形的折疊問題中，首

5、先用題目中的已知量利用勾股定理直接得出需要的邊長，然后選定直角三角形，確定未知量，并用這個(gè)未知量表示該直角三角形中其他的邊長，再次利用勾股定理列出方程即可求出所需線段長度。在平時(shí)教學(xué)中要鼓勵學(xué)生，善于觀察，仔細(xì)把握每一個(gè)已知量，靈活應(yīng)用勾股定理求解，因此深刻理解勾股定理是關(guān)鍵。二、勾股定理在最短距離問題中的應(yīng)用利用勾股定理求幾何體表面上某兩點(diǎn)之間的最短距離，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以要求幾何體表面上兩點(diǎn)之間的最短距離，我們可設(shè)法將幾何體側(cè)面展開成為平面圖形，從而利用平面圖形的有關(guān)性質(zhì)使問題得以解決。以下我會從初中常見的臺階及立體圖形方面探究勾股定理在其中的應(yīng)用。1.臺階中的最短距離例4.如圖，

6、是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，a和b是這個(gè)臺階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，a點(diǎn)上有一只螞蟻，想到b點(diǎn)去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從a點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬到b點(diǎn)，最短線路是多少？臺階中求最短距離是比較常見的題型，對于此題要善于觀察圖形，并能從立體圖形中抽象出平面圖形（如右圖），從而找到出發(fā)點(diǎn)a與終點(diǎn)b，由兩點(diǎn)確定一條直線ab，直線ab即為最短距離。構(gòu)造rtabc，由即可得到，最終求得ab=13.2.圓柱（錐）中的最短距離例5.有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的a處爬行到對角b處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？由于老鼠是沿著圓

7、柱的表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以發(fā)現(xiàn)a在圓柱側(cè)面展開圖的寬1m處，b分別在圓柱側(cè)面展開圖長24m的中點(diǎn)處，即ab長為最短路線（如右圖）。由此得ac=5，bc=12，由得，解得所以老鼠爬行的最短距離是13米。3.正方體中的最短距離例6.如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)a出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)b的最短距離是（ ）.（a）3 （b） （c）2 （d）1由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如右圖）。連接ab，則ab即為螞蟻爬行的最短距離。在rtabc中利用勾股定理即可求得螞蟻爬行的最短距離為。4.長方體中的最短距離例7.如圖

8、，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)a出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)c1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況（如下圖）。在三個(gè)圖形中分別確定最短路徑，選定直角三角形，由勾股定理可求得圖1中ac1=5 圖2中ac1= 圖3中ac1=，因此圖1中爬行的路線ac1最短為5。5.選址問題中的最短距離例8.如圖，一條河同一側(cè)的兩村莊a、b，其中a、b到河岸最短距離分別為am=2km，bn=1km，mn=4km，現(xiàn)欲在河岸上建一個(gè)水泵站向a、b兩村送水，當(dāng)建在河岸上何處時(shí)，使到a、b兩村鋪設(shè)水管總長度最短，并求出最短距離。此類確定選址地點(diǎn)問題，在教學(xué)中較為常見，可找出a、b兩點(diǎn)關(guān)于直線 的對稱點(diǎn)a1與b1，連接a1b，則易知a1b即為梁村鋪設(shè)管道的最短長度，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求出水管的最短長度（如右圖）。由以上分類可以得出，勾股定理在空間圖形中求最短距離問題中的應(yīng)用比較廣泛，而且對于求解過程簡便，難點(diǎn)在于學(xué)生如何將空間圖形抽象為平面圖形，并準(zhǔn)確確定原立體圖形中的點(diǎn)，在展開的平面圖上相應(yīng)的位置，如何準(zhǔn)確選擇直角三角形，利用勾股定理得出方程。因此要努力培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，深刻理解勾股定理。而在選址問題中確定最短距離，通常會運(yùn)用對稱知識，通過圖形對稱變換，找到對段距離，進(jìn)而在直角三角形中應(yīng)用勾股定理進(jìn)