小學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)題研究自考資料

1、小學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)題研究自考復(fù)習(xí)資料課程代碼：28069第一章小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)及內(nèi)容對(duì)象：數(shù)學(xué)是一種研究客觀(guān)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)。本質(zhì)：數(shù)學(xué)是一種研究思想事物的科學(xué)一一恩格斯。作用：一種科學(xué)只有在成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完美的地步。各門(mén)學(xué)科的數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)作為一種文化，已成為共識(shí)。我國(guó)數(shù)學(xué)課程及演變過(guò)程：1 .萌芽時(shí)期（公元前600年前）2 .初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前600年17世紀(jì)中葉）3 .變量數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉19世紀(jì)20年代）4 .近代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代一一第二次世界大戰(zhàn)）5 .現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（第二次世界大戰(zhàn)以來(lái)）作為一門(mén)學(xué)科，在我國(guó)卻遲到隋唐時(shí)期，才在國(guó)子監(jiān)設(shè)算學(xué)。算

2、學(xué)作為小學(xué)課程則從近代光緒二十八年（1902年）才正式開(kāi)始。1892年編筆算數(shù)學(xué)，則是我國(guó)學(xué)校里的第一部算學(xué)教科書(shū)。1903年春編制最新教科書(shū)我國(guó)自己編寫(xiě)的第一本正式的小學(xué)算學(xué)課本 問(wèn)世。1978年2月全日制十年制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）明確將小學(xué) 算術(shù)改為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)。1992年三個(gè)面向“面向現(xiàn)代化”、“面向世界”、“面向未來(lái)”。國(guó)外數(shù)學(xué)課程變革的簡(jiǎn)況及趨勢(shì)。20世紀(jì)初，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)起并領(lǐng)導(dǎo)了數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)發(fā)展是不平衡的，分三種類(lèi)型：1.革新型 如英美；2.進(jìn)化 型 如蘇聯(lián)；3.中間型 如日本。相似之處：1 .精簡(jiǎn)傳統(tǒng)的算術(shù)內(nèi)容：2 .增減或滲透集合、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等現(xiàn)

3、代數(shù)學(xué)內(nèi)容；3,用結(jié)構(gòu)思想處理傳統(tǒng)內(nèi)容。“回歸基礎(chǔ)”改為“走向基礎(chǔ)”。大眾數(shù)學(xué)：目標(biāo)讓全體學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)而且是需要的數(shù)學(xué)。 小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是小學(xué)教育方向和性質(zhì)的表征，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教育活 動(dòng)，包括組織教學(xué)內(nèi)容、確定教學(xué)要求、選擇教學(xué)方法、進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估、 決定考試命題等進(jìn)行的依據(jù)。小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)及分析1 .理解和掌握最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)。2 , 培養(yǎng)初步數(shù)學(xué)的能力（是核心）解決實(shí)際問(wèn)題的能力是最終母的。3 . 培養(yǎng)良好的思想品德。學(xué)科數(shù)學(xué)及科學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的載體是教材一一教科書(shū)。學(xué)科數(shù)學(xué)的內(nèi)容是依賴(lài)于科學(xué)數(shù)學(xué)二建立和發(fā)展的。1 .作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，它不考慮人們是否能夠理解和接受，只要能

4、完備而 又精確地闡明某種數(shù)學(xué)理論，更深刻地反應(yīng)世界的空間形式和數(shù)量關(guān) 系就行。而作為學(xué)科的數(shù)學(xué)必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點(diǎn)，往 往日常生活、生產(chǎn)中的具體事例出發(fā)，對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行描述，然而轉(zhuǎn)向定 義、定律、性質(zhì)等的揭露。2 .作為科學(xué)數(shù)學(xué)，對(duì)所有的定理、法則等都必須進(jìn)行嚴(yán)格的論證和推導(dǎo), 而作為學(xué)科的數(shù)學(xué)限于學(xué)生的接收水平，往往通過(guò)列舉一些事例用不 完全歸納法得出結(jié)論。3 .作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，完全按照數(shù)學(xué)倫理的邏輯系統(tǒng)進(jìn)行安排，可以難易 起伏不均；作為學(xué)科數(shù)學(xué)在不影響科學(xué)性的前提下，兼顧小學(xué)生的認(rèn) 知規(guī)律。對(duì)某些內(nèi)容可以適當(dāng)調(diào)整。由此可見(jiàn)，科學(xué)數(shù)學(xué)是作為人類(lèi)認(rèn)識(shí)的結(jié)果而呈現(xiàn)的，已完全揭 示數(shù)量關(guān)系

5、和空間形式為目的；而學(xué)科數(shù)學(xué)可看作為認(rèn)識(shí)對(duì)象而存在。對(duì) 作為小學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)而言，除了正確反映科學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)外，還必須充分 遵循小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于使他們學(xué)懂、學(xué)好、學(xué)活。有利于發(fā)展他 們的智能，有利于進(jìn)行思想品德教育。小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容編排原則：1 .以數(shù)及計(jì)算為主線(xiàn)，以數(shù)及形式為重點(diǎn)，把各部分內(nèi)容按其彼此的內(nèi) 在聯(lián)系結(jié)合起來(lái)。2 .由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)，螺旋上升。3 .突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)。4 .把數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用結(jié)合起來(lái)。5 .注重趣味性。數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)：1.高度的抽象性2.嚴(yán)密的邏輯性3.應(yīng)用的廣泛性。悖論：英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出一個(gè)悖論，指出作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論本身就存在著矛盾。

6、“理發(fā)師”悖論。第二章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論依據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然名稱(chēng)不同，敘述內(nèi)容不同,但它們卻有一個(gè)共同的特點(diǎn), 即是在一定的知識(shí)背景中提出的。知識(shí)背景主要包括已有的概念、理論和 方法。因此，我們認(rèn)為依照數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答及知識(shí)背景的關(guān)系，可以把數(shù) 學(xué)問(wèn)題大致分為兩類(lèi)：常規(guī)問(wèn)題和非常規(guī)問(wèn)題。依照數(shù)學(xué)問(wèn)題提法的意義是否明確，數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件是否充分，我們 還可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為：可能問(wèn)題和不可能問(wèn)題。數(shù)學(xué)問(wèn)題的組成成分是條件、目標(biāo)和運(yùn)算。（三大組成部分也叫構(gòu)成 要素）智力兩個(gè)方面：一是天賦的潛力、特性和發(fā)展的容量；即健全的神經(jīng) 代謝的總和。二是發(fā)展得以進(jìn)行下去的大腦功能，即能夠決定操作和理解 的功能。皮亞

7、杰關(guān)于智力階段的劃分1 .感知運(yùn)動(dòng)階段（0一一2歲）2 .前運(yùn)算階段（27歲）3 .具體運(yùn)算階段（7一一11歲）4 .形式運(yùn)算階段（11歲以上）同化和順應(yīng)是相對(duì)立的兩種力量。同化是一個(gè)人按照過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)、圖 示來(lái)活動(dòng)；順應(yīng)則是根據(jù)面臨的新信息所作的改變和思考。智力活動(dòng)方式：1 .根據(jù)基本的心理過(guò)程，分為知覺(jué)方式、記憶方式和思維方式。2 .根據(jù)完成的主要功能，分為定向方式、執(zhí)行和控制方式。3 .根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范化程度，分為計(jì)算性方式、算法指令性方式、啟 發(fā)性方式。4 .根據(jù)動(dòng)作的共同性，分為一般方式和具體方式。5 .另外，根據(jù)智力活動(dòng)在人類(lèi)不同認(rèn)知領(lǐng)域里的運(yùn)用程度，又可以 分為一般方式（如分析、綜合

8、、抽象、概括、比較等）和限于某 一認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的特殊方式。思維：人腦對(duì)客觀(guān)事物的本質(zhì)特征、相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性的 概括的、間接的反映，是人們對(duì)外接輸入的信息的感知的基礎(chǔ)上 經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等智力活動(dòng)方式，對(duì)其加工、 推理和獲得理性認(rèn)識(shí)的心理過(guò)程。思維的本質(zhì)：思維是間接認(rèn)識(shí)事物，是通過(guò)感知及被直接認(rèn)識(shí)的 事物有著合乎規(guī)律的聯(lián)系的另一個(gè)對(duì)象而實(shí)現(xiàn)的。思維的類(lèi)型：1.邏輯性思維2.非邏輯性思維。形式邏輯思維：是以概念、判斷、推理等思維方式，同一律，矛 盾律、排中律等思維規(guī)律，歸納、演繹、類(lèi)比、科學(xué)假設(shè)等思維 方法為其研究對(duì)象。辯證邏輯思維：研究的是思維形式如何正確反映客觀(guān)事物的運(yùn)動(dòng) 變

9、化、事物的內(nèi)部矛盾、事物的有機(jī)聯(lián)系和轉(zhuǎn)化等問(wèn)題，其主要 特點(diǎn)是用有限量來(lái)描述和刻畫(huà)。數(shù)學(xué)思維：又叫數(shù)學(xué)型思維，就是以數(shù)和形為思維的對(duì)象。以數(shù) 學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)為思維的載體，以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的 一種思維。數(shù)學(xué)思維品質(zhì)：靈活性、積極性、目的性、記憶性、廣闊性、深 刻性、批判性、準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)捷性、獨(dú)創(chuàng)性和證明性。數(shù)學(xué)思維水平的評(píng)定：第一級(jí)水平一一第五級(jí)水平前兩級(jí)水平是小學(xué)年級(jí)的學(xué)生所特有的，第三級(jí)水平是初中年級(jí) 學(xué)生所特有的；第四級(jí)水平是高中年級(jí)學(xué)生所特有的，至于第五 級(jí)水平無(wú)論是幾何方面還是代數(shù)方面的，均屬于數(shù)學(xué)思維的現(xiàn)代 水平。一般的中學(xué)階段的學(xué)生是難以達(dá)到的。影響小學(xué)數(shù)學(xué)解題的心理因素：

10、（兩大）一、問(wèn)題解決的特征：1.問(wèn)題情境因素2.解題者的個(gè)體特征（解 題者知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)和個(gè)性品質(zhì)）3.解題中的認(rèn)知策略（解題 者用來(lái)調(diào)節(jié)注意、回憶和思維的技能）二、遷移及思維定勢(shì)：遷移是指一種知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)和應(yīng)用對(duì) 另一種知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)和應(yīng)用所施加的影響。思維定勢(shì)：指的是一種思維的定向預(yù)備狀態(tài)，在思維不受到 新干擾的情況下，人們按照既定的方向或者方法去思考。第三章小學(xué)數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過(guò)程學(xué)習(xí)：從廣義上理解，學(xué)習(xí)是有機(jī)體憑借經(jīng)驗(yàn)的獲得而產(chǎn)生的比較 持久的行為（思維、想象'記憶、感知等內(nèi)部心理活動(dòng)和語(yǔ)言、表情、動(dòng) 作等外部活動(dòng)）變化。從狹義上理解，學(xué)習(xí)是指學(xué)生在老師指導(dǎo)下，有目的、有計(jì)劃

11、、有組 織、有步驟地進(jìn)行的獲得知識(shí)、形成技能、培養(yǎng)能力、發(fā)展個(gè)性的過(guò)程。桑代克一一刺激反應(yīng)理論，學(xué)習(xí)是刺激和反應(yīng)的聯(lián)結(jié)。苛勒完形理論，學(xué)習(xí)是零碎和知覺(jué)信息的再組織過(guò)程。托爾曼一一認(rèn)知理論，學(xué)習(xí)是對(duì)環(huán)境中的刺激，依其關(guān)系形成一種新 的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，是意義的獲得和實(shí)現(xiàn)期望的過(guò)程等等。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：是在人為指導(dǎo)下獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)能力, 發(fā)展個(gè)性數(shù)學(xué)品質(zhì)的過(guò)程。由于數(shù)學(xué)自身具有邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、高度的抽象 性及應(yīng)用的廣泛性，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容和最終母的是解決小 學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)解題：作為小學(xué)生的一種特殊心理活動(dòng)，綜合起來(lái)說(shuō)，它屬 于一種認(rèn)知學(xué)習(xí)。小學(xué)數(shù)學(xué)解題是一種逐漸深入的，具

12、體某種程度創(chuàng)新性 和思維對(duì)策的心理活動(dòng)（認(rèn)知）過(guò)程。不求甚解、生搬硬套、機(jī)械呆板等 等，都不是小學(xué)數(shù)學(xué)解題的真實(shí)含義。認(rèn)知結(jié)構(gòu)：是指?jìng)€(gè)體在感知及理解客觀(guān)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上，在頭腦里形成 的一種心理結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是在個(gè)體頭腦里的知識(shí)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)解題作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和方式，其意義也就在于 不斷積極主動(dòng)地建立、擴(kuò)大和重新組織數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并伴隨著同化和順 應(yīng)等特征。小學(xué)數(shù)學(xué)解題并不是數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而是以原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu) 為依據(jù)，對(duì)新知識(shí)進(jìn)行加工。技能：是順利完成某種任務(wù)的一種心智或動(dòng)作的活動(dòng)方式，她需要通 過(guò)練習(xí)才能形成。動(dòng)作：泛指在完成一項(xiàng)具體任務(wù)中所涉及的一系列操作，以完善

13、、合 理方式組織起來(lái)并順利進(jìn)行時(shí)，就成為動(dòng)作技能。心智系指借助于內(nèi)部語(yǔ) 言在頭腦中進(jìn)行的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。它包括感知、記憶、想象和思維，但以抽象 思維為它的主要成分。技能和能力：是不同的概念，二者既有聯(lián)系，又有區(qū)別。技能是指完 成一定任務(wù)的活動(dòng)方式，能力則是順利完成任務(wù)的個(gè)性心理特征。技能的 形成以一定的能力為前提，反過(guò)來(lái)又對(duì)能力的發(fā)展起重要的促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)動(dòng)作技能：指運(yùn)用工具繪圖的技能，測(cè)量技能、使用計(jì)算工具的 技能等。數(shù)學(xué)心智技能：指數(shù)的計(jì)算技能、式的恒等變形技能、解方程、解不 等式的技能，推理論證技能、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的技能等。這兩種數(shù)學(xué)技能既有聯(lián)系又有區(qū)別。一方面數(shù)學(xué)心智技能的形成，及 數(shù)學(xué)動(dòng)作技

14、能有關(guān)；另一方面，數(shù)學(xué)動(dòng)作技能又受數(shù)學(xué)心智技能控制。數(shù)學(xué)認(rèn)知技能：的形成，也有一個(gè)過(guò)程，就小學(xué)數(shù)學(xué)解題而言，可以 概括成認(rèn)知階段、聯(lián)結(jié)形成階段和自動(dòng)階段。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)認(rèn)知技能盡管有上述的幾個(gè)階段，但最終得以 形成，都要經(jīng)歷一個(gè)從“會(huì)”到“熟”的過(guò)程，其間必須不斷通過(guò)有計(jì)劃、 有目的的練習(xí)，才能完成這一轉(zhuǎn)變。發(fā)展：作為一般意義上的理解是指人的各種特性在結(jié)構(gòu)上和機(jī)能上的 變化。發(fā)展有生理發(fā)展和心理發(fā)展之分。認(rèn)知發(fā)展：是指及大腦生長(zhǎng)和知識(shí)技能有關(guān)的發(fā)展方面。涉及人在知 覺(jué)、記憶、思維、語(yǔ)言、智力等方面種種功能的發(fā)展變化。小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展可以理解為小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認(rèn)知技能的發(fā)展，是通過(guò)小

15、學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程來(lái)體現(xiàn)的。認(rèn)知發(fā)展一般包含這幾個(gè)階段:1.輸入階段2.同化和順應(yīng)階段3.應(yīng)用階段。以上三個(gè)階段是密切聯(lián)系的。第四章小學(xué)數(shù)學(xué)解題的實(shí)質(zhì)和結(jié)構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)：即小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問(wèn)題解決，不但要關(guān)心問(wèn)題的結(jié)果, 而且要關(guān)心求得結(jié)果的過(guò)程，也就是問(wèn)題解決的整個(gè)思考活動(dòng)。所以小學(xué) 數(shù)學(xué)解題指的是按照一定的思維對(duì)策進(jìn)行的一個(gè)思維過(guò)程，一步一步地靠 近目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)。其含義就是思考的活動(dòng)及探索的過(guò)程。19世紀(jì)中葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉斯曼才成功地建立了一個(gè)算術(shù)基本公理體系，解決和統(tǒng)一禮物在此之前人們一直混淆的上述問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)解題也就意味著找出這樣一個(gè)數(shù)學(xué)的一般原理（定義、公理、 法則、定律、公式）的

16、序列，當(dāng)應(yīng)用他們到問(wèn)題的條件或者條件的推論（解 法的中間結(jié)果）時(shí)，就能得到問(wèn)題所要求的答案。奧蘇伯爾解題結(jié)構(gòu)模式：1.呈現(xiàn)問(wèn)題的情境2.明確問(wèn)題的目標(biāo)及已 知條件3.填補(bǔ)空隙的過(guò)程4.解答后的檢驗(yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)解題的幾個(gè)階段：1.分析題意2.尋找解法3.實(shí)行解法4.回 顧解法教育心理學(xué)認(rèn)為根據(jù)解題者尋求解答的趨向可以把解題分為兩種主 要方式，一種是嘗試錯(cuò)誤式，另一種是頓悟式。嘗試錯(cuò)誤式是由進(jìn)行無(wú)定向的嘗試，重復(fù)無(wú)效動(dòng)作，糾正暫時(shí)性嘗試 錯(cuò)誤。直至出現(xiàn)解決問(wèn)題得以成功的一系列反應(yīng)所組成的行動(dòng)。頓悟式解決問(wèn)題嘗試錯(cuò)誤式不同，它具有一定的“心向”，努力發(fā)現(xiàn) 手段及目標(biāo)之間的有意義的聯(lián)系，而這種聯(lián)系正是問(wèn)

17、題賴(lài)以解決的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，嘗試錯(cuò)誤式和頓悟式實(shí)際上司不能絕對(duì)化的，嘗 試錯(cuò)誤式解決可能是隱含在內(nèi)而不表露于外的。所以看不出是嘗試錯(cuò)誤 式，未必就是頓悟式。頓悟式解題也不一定是徹底的、完善的和即時(shí)的， 盡管看上去解答是突然出現(xiàn)的，事實(shí)上卻往往經(jīng)歷著一定的甚至是相當(dāng)曲 折的過(guò)程。常規(guī)問(wèn)題解題規(guī)則：1.公式規(guī)則2.恒等式規(guī)則3.定理規(guī)則4.定義規(guī) 則非常規(guī)問(wèn)題就是沒(méi)有一般解題規(guī)則的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它的解題步驟序列， 可以利用技巧將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的常規(guī)問(wèn)題，或分解為若干個(gè)小常規(guī)問(wèn)題， 或通過(guò)分析、綜合等方法來(lái)尋求。算術(shù)基本公式體系是小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、法則等之間的 邏輯關(guān)系。小學(xué)數(shù)學(xué)解題是

18、以思考為內(nèi)涵，以問(wèn)題目標(biāo)為定向的心理活動(dòng)過(guò)程。 第五章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題的思想方法化歸類(lèi)比歸納美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題數(shù)學(xué)及合情推理一一關(guān) 于數(shù)學(xué)解題的核心觀(guān)點(diǎn)就是發(fā)現(xiàn)及再創(chuàng)造。蘇聯(lián)婭諾夫斯卡婭解題意味著什么一一解題也就意味著把所要 解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已經(jīng)解過(guò)的問(wèn)題。法國(guó)笛卡爾我所解決的每一個(gè)問(wèn)題都將成為范例，以用于解決其他 問(wèn)題。化歸法的一般模式為：10 / 25化歸法的特點(diǎn)：在于它具有較強(qiáng)的目的性、方向性和概括性。基本原則：是由未知到已知，由難到易、由繁到簡(jiǎn)；它的方向就是如何實(shí)現(xiàn)由所要解決的問(wèn)題向已解決的或較容易解決 的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，這里蘊(yùn)含著發(fā)現(xiàn)、發(fā)明及創(chuàng)造性的活動(dòng)。從廣義上的理解化歸是一

19、種思想，如果從狹義上來(lái)看，化歸乃是重要 的常用的和具體的解決方法之一，而且又有分割組合、映射反演等分別。分割組合的一般模式：分割組合：就是把所要求的問(wèn)題，按照可能和需要，分割成若干部分, 使他們更容易于求解，再將這些解答有機(jī)地組合起來(lái)，過(guò)渡到問(wèn)題的最終 結(jié)論。映射反演就是映射和反演兩種方法并用。映射：就是在兩類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象或兩個(gè)數(shù)學(xué)集合的元素之間建立的某種對(duì) 應(yīng)關(guān)系。反演：就是從已知運(yùn)算往回推（每一步運(yùn)算都以其逆運(yùn)算來(lái)代替，相 對(duì)映射而言，反演就是逆映射。）在數(shù)學(xué)解題中，這種映射反演具體表現(xiàn)為坐標(biāo)法、復(fù)數(shù)定向法、換元 法等。萬(wàn)能發(fā)現(xiàn)發(fā)：（笛卡爾）這種模式在某些情況下是不適用的。這種方法包含了 “數(shù)

20、學(xué)化”、“代 數(shù)化”、“計(jì)算化”等合理的化歸思想方法。類(lèi)比法：是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)不同的對(duì)象在某些方面（如特征、屬性、 關(guān)系等）的類(lèi)同之處，猜測(cè)著兩個(gè)對(duì)象在其它方面也可能有類(lèi)同之處，并 作出某種判斷的推理方法?；灸Ｊ剑侯?lèi)比的結(jié)論屬于或然性推論，因?yàn)閺那疤岬浇Y(jié)論并不具備邏輯必然 性。也就是說(shuō)，類(lèi)比也有一定的局限性，其結(jié)論常常是不可靠地的，甚至 是完全錯(cuò)誤的。歸納法：是指通過(guò)對(duì)特殊情形的分析引出普遍的結(jié)論的推理方法。德 國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯就曾說(shuō)過(guò)，他的許多定理靠的是歸納法發(fā)明的，證明只是 一個(gè)補(bǔ)行的手續(xù)。歸納常常是建立在有目的、有計(jì)劃的觀(guān)察和試驗(yàn)基礎(chǔ)上 的。根據(jù)對(duì)象是否完備，歸納法又分為完全歸納法和不完

21、全歸納法兩種。完全歸納法：是根據(jù)某類(lèi)事物中每一個(gè)對(duì)象的情況或每一個(gè)子類(lèi)的情 況，而作出該類(lèi)事物的一般性結(jié)論的推理。上面兩種安全歸納推理，前者根據(jù)每一個(gè)情況而得出一般性結(jié)論，后 者根據(jù)每一類(lèi)特殊（子類(lèi)）情況而得出一般性結(jié)論。它們子本質(zhì)上是相互 聯(lián)系的，前者是后者的特例，后者死前者的推廣。所以，通常也可以把后 者作為完全歸納推理的一般形式。完全歸納法實(shí)質(zhì)上也是一種演繹推理。不完全歸納法：是根據(jù)對(duì)某類(lèi)事物中的一部分對(duì)象的情況，而作出關(guān) 于該事物的一般性結(jié)論的推理。不完全歸納法的推理形式：和歸納法不同，數(shù)學(xué)歸納法屬于論證的范疇，而不是猜測(cè)的方法。但 是在歸納法及數(shù)學(xué)歸納法之間也存在著相互依賴(lài)、相互滲透

22、的辯證關(guān)系。 換言之，數(shù)學(xué)歸納法所證明的往往是由歸納法所得出的猜測(cè)，而歸納法所 得出的猜測(cè)有些可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。而且，更為重要的是，歸納的過(guò) 程往往為應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法去證明相應(yīng)的結(jié)論打下了基礎(chǔ)；反之證明的過(guò)程 則加深了對(duì)原來(lái)猜測(cè)的理解。創(chuàng)造：一般是指創(chuàng)造者的主觀(guān)意識(shí)活動(dòng)，通過(guò)科學(xué)實(shí)踐而對(duì)自然界的 某一方面或某些方面的合乎規(guī)律的反映，它是一種現(xiàn)象。創(chuàng)造的三大基本特征：1.實(shí)踐性2.創(chuàng)造者的創(chuàng)造能力充分發(fā)揮3.創(chuàng) 新性，即開(kāi)創(chuàng)性和新穎性。創(chuàng)造性作為一個(gè)認(rèn)知范疇的概念，系指一種能力或特性，按教育心理 學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，它和人的智力、智慧品質(zhì)以及人格等有著密切的關(guān)系。創(chuàng)造和創(chuàng)造性不能等同，不可相互替代，但兩

23、者共處一體。因?yàn)槿绻?強(qiáng)調(diào)過(guò)程，著眼于心理機(jī)制的話(huà)，那么創(chuàng)造即是一種特殊的解決問(wèn)題的活 動(dòng)，是解決問(wèn)題的最高表現(xiàn)。而任何問(wèn)題的解決都需要一定的創(chuàng)造性作為 基礎(chǔ)。創(chuàng)造性既然貫穿在始于問(wèn)題提出，終于問(wèn)題解決這一創(chuàng)造過(guò)程中，就 起內(nèi)涵來(lái)說(shuō)，它也具有一定的階段性。想象、靈感和直覺(jué)，通常被人們稱(chēng)做創(chuàng)造性的精華。（核心）想象：是在頭腦中改造記憶中的表象而創(chuàng)造新形象的過(guò)程。它既是一 種具有極大的自由度的思維活動(dòng)形式，同時(shí)又是可以自覺(jué)地引導(dǎo)進(jìn)行的一 種積極主動(dòng)的心理形象。靈感：是指人們?cè)趧?chuàng)造過(guò)程中，由于某種誘因的作用而突發(fā)的一種非 邏輯的思維活動(dòng)。靈感的特點(diǎn)：靈感引發(fā)的隨機(jī)性、靈感顯現(xiàn)的暫時(shí)性、靈感顯現(xiàn)過(guò)程中

24、的情感性。靈感的產(chǎn)生不是憑空生產(chǎn)的，不是考等待就能來(lái)臨的。它的誘發(fā)有著 漫長(zhǎng)的有意識(shí)的活動(dòng)，有著相當(dāng)?shù)男燎谂蛯?shí)踐為基礎(chǔ)。如愛(ài)迪生說(shuō)： 天才乃是99%的勤奮加上1%的靈感。小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，我們也應(yīng)該通過(guò)有意識(shí)的思考，去誘發(fā)靈感。直覺(jué)簡(jiǎn)單得說(shuō)就是直接去覺(jué)察。直覺(jué)的三個(gè)明顯的特征：1 .它對(duì)問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律（即客觀(guān)事物的本質(zhì)聯(lián)系）的深刻理 解。2,這種理解來(lái)自經(jīng)驗(yàn)的積累。3 .經(jīng)驗(yàn)積累到一定的程度突然理性及感性產(chǎn)生共鳴時(shí)，表現(xiàn) 為豁然貫通的一種頓悟式的理解。直覺(jué)：是從感性經(jīng)驗(yàn)達(dá)到理性飛躍的人的認(rèn)識(shí)過(guò)程的一種特殊 表現(xiàn)形式，是邏輯順序的高度簡(jiǎn)縮。總之想象、靈感、直覺(jué)的出現(xiàn)，不僅意味著常規(guī)思維中的“跳

25、 躍”，邏輯順序的“中斷”，及由此而得到的創(chuàng)造性。而且三者 常常又是緊密聯(lián)系和相互作用的，或是想象誘發(fā)了靈感和直 覺(jué)，或是靈感和直覺(jué)喚起了活躍的想象。第六章小學(xué)數(shù)學(xué)解題能力分析從廣義上講，數(shù)學(xué)能力是順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)所必備的，且直接影響其 活動(dòng)效率的一種心理特征，它是在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的，并 在這類(lèi)活動(dòng)中主要變現(xiàn)出來(lái)的比較穩(wěn)定的心理特征。從狹義上講，數(shù)學(xué)能 力即理解為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的個(gè)性特征。運(yùn)算能力：這些運(yùn)算能力最初表現(xiàn)為對(duì)其知識(shí)的理解和技能的形成 上，進(jìn)而體現(xiàn)在根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)睾侠磉\(yùn)用運(yùn)算，及其他各種 運(yùn)算的靈活運(yùn)用和巧妙的結(jié)合上。這也就表現(xiàn)出一種解題的能力，即運(yùn)算 能力

26、?？臻g想象能力：在空間形式的問(wèn)題中，所要研究的是圖形的形狀，圖 形的大小，圖形及圖形的位置的關(guān)系等。在研究過(guò)程中，除直接給出一些 基本圖形的性質(zhì)外，總是要根據(jù)所給具體圖形的特點(diǎn)和解決它的需要，把 它分解和重新組合，即在頭腦中進(jìn)行感知和操作，出現(xiàn)或構(gòu)造出一些異于 所給圖形的新圖形，并找到新的關(guān)系。這又表現(xiàn)出一種解題的能力即空間 想象能力。邏輯思維能力：數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是解題者從感知獲得的感性材料出 發(fā)，通過(guò)分析和綜合、抽象和概括、判斷和推理等邏輯思維方法，去粗取 精、去偽取真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到理性認(rèn)識(shí)，從而領(lǐng) 會(huì)和掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律和本質(zhì)。因此，這仍然表現(xiàn)出一種解題的能力，邏輯 思維

27、能力這三者之間的關(guān)系既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系和制約的，所以習(xí)慣 上把他們概括成數(shù)學(xué)解題能力的主要成分。瑞典心理學(xué)家魏德林為代表的歐美心理學(xué)家認(rèn)為組成數(shù)學(xué)解題能力 的因素有：1 . 一般因素G （主要指智力因素）2 .數(shù)因素N （對(duì)數(shù)概念的理解和應(yīng)用）3 .空間因素S （對(duì)空間形式的理解、想象和抽象）4 .語(yǔ)言因素V （用語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系）5 .推理因素R （運(yùn)用邏輯思維、形象思維和直覺(jué)思維）日本的大橋正夫等學(xué)者，認(rèn)為數(shù)學(xué)解題能力包括以下三個(gè)方面：A、 數(shù)理性的領(lǐng)會(huì)能力：具體要求是使之抽象化，使之?dāng)?shù)量化和圖形化，使之記號(hào)化或形式化。B、 概括能力：具體要求是使之?dāng)U展，集中歸納，改變觀(guān)點(diǎn)和改變條件。

28、C、 思維能力：具體要求是有計(jì)劃按步驟地進(jìn)行思考，進(jìn)行類(lèi)比或?qū)Ρ龋懈鶕?jù)地進(jìn)行證明。蘇聯(lián)心理學(xué)家魯捷茨基：1.使數(shù)學(xué)材料形式化能力2.概括數(shù)學(xué) 材料的能力3.用數(shù)學(xué)和其他符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算能力4.連續(xù)而有節(jié)奏的邏 輯推理能力5.縮短推理過(guò)程的能力6.逆轉(zhuǎn)心理過(guò)程的能力7.靈活的 思維能力8.數(shù)學(xué)記憶能力9.形成空間概念的能力10.借助形象化（直 觀(guān)）努力。我們認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)解題能力是取決于數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)活動(dòng)的個(gè) 人特性，是小學(xué)生順利完成解題這種特殊的數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的 心理品質(zhì)的綜合。概括數(shù)學(xué)材料、逆轉(zhuǎn)心理過(guò)程、靈活性、借助形象 化等即是這種心理品質(zhì)綜合體中的具體成分。概括數(shù)學(xué)材料能力主要表現(xiàn):1

29、.在從所給數(shù)學(xué)材料的形成和結(jié)構(gòu) 中，能迅速抓住事物的“數(shù)”和“形。找出或發(fā)現(xiàn)具有數(shù)學(xué)意義的 關(guān)系及特征2.正確辨認(rèn)出或分離出某些對(duì)解決問(wèn)題有效的成分及有數(shù)學(xué)意義的結(jié)構(gòu)。概括數(shù)學(xué)材料，還在于感知題目的形式結(jié)構(gòu)。所謂題目的形式結(jié) 構(gòu)是指構(gòu)成題目實(shí)質(zhì)的相互關(guān)聯(lián)的量的綜合體。概括數(shù)學(xué)材料的能力還充分體現(xiàn)在這樣兩個(gè)方面:一是從特殊的 和具體的事物中，概括出某些一般的熟識(shí)的教學(xué)模式；二是從孤立的 和特殊的事物中，概括出未知的數(shù)學(xué)模式。綜合起來(lái)也就是從具體內(nèi) 容擺脫出來(lái)，并且在各種對(duì)象、關(guān)系和運(yùn)算的結(jié)構(gòu)中，概括出相似的、 一般的和本質(zhì)的東西。克魯捷茨基認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)材料的概括能力，還應(yīng)表現(xiàn)在問(wèn)題的類(lèi)型 上即從不

30、同的題目中發(fā)現(xiàn)一般類(lèi)型，能從較簡(jiǎn)單的題目過(guò)渡到相同類(lèi) 型較復(fù)雜的題目，以及怎樣吧一種類(lèi)型從表面上相似的其他類(lèi)型的題 目中區(qū)分出來(lái)。這樣有助于在解決問(wèn)題時(shí)，解題者也就能夠迅速概括 出所要解決的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)和過(guò)去所熟悉的問(wèn)題的相似之處，從而將解 法平移過(guò)來(lái)。逆轉(zhuǎn)心理的能力：指的是重建一種心理過(guò)程的方向的能力，即不 僅取向而且取逆向；不僅從正面而且從反面；不僅從因到果，而且執(zhí) 果索因地進(jìn)行分析，是問(wèn)題得以解決。小學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程,逆轉(zhuǎn)心理過(guò)程還具體體現(xiàn)在正逆雙方面的理 解、思考和應(yīng)用上，這樣不僅有利于深入領(lǐng)會(huì)概念、公式、法則，而 且能達(dá)到解題迅速，簡(jiǎn)捷的目的。靈活性又稱(chēng)變通性：愛(ài)因斯坦看成是創(chuàng)造你的典型

31、特征。在數(shù)學(xué) 解題過(guò)程中，靈活性指的是解題思路的靈活轉(zhuǎn)換盒迅速重組。從認(rèn)知心理學(xué)的角度看，所謂的靈活性系指解題途徑的多樣化,判斷其強(qiáng)弱的標(biāo)準(zhǔn)一般是指解題者從一種心理運(yùn)算到另一種心理運(yùn) 算的輕快平衡和敏捷程度。靈活性和深刻性。思維深刻的小學(xué)生容易擺脫通常方法的羈絆, 靈活自如地考慮問(wèn)題；而靈活性很強(qiáng)的小學(xué)生，也常常能發(fā)現(xiàn)一些出 乎意料的解題方法，更深刻地認(rèn)識(shí)問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，小學(xué)生應(yīng)努力完善語(yǔ)言一+邏輯和視覺(jué)一 一形象這兩個(gè)方面的相互轉(zhuǎn)換，即在一定程度上依靠視覺(jué)意象，把數(shù) 學(xué)關(guān)系視覺(jué)化，對(duì)比較抽象的數(shù)學(xué)系統(tǒng)也作出一種形象的解釋?zhuān)@就 是所謂的“借助形象化”的全部?jī)?nèi)涵。借助于想象化的根本目的

32、在于從直觀(guān)上來(lái)理解較為抽象的數(shù)學(xué) 關(guān)系，形成再現(xiàn)性想象，從而促進(jìn)創(chuàng)造性的活動(dòng)。從其模式（視覺(jué)的 形象）來(lái)看，它和語(yǔ)言一一邏輯模式有著不同的特征，但在具體解題 過(guò)程中，它們是相互聯(lián)系和作用的，因此，單純地強(qiáng)調(diào)解題中的視覺(jué) 一一形象化作用則也是片面的。借助形象化所得到的數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)、數(shù) 學(xué)知識(shí)系統(tǒng)和推證模式等，比起其他方式來(lái)，更能保持記憶。數(shù)學(xué)氣質(zhì)有如下的三種類(lèi)型：分析型：傾向于用語(yǔ)言一一邏輯的詞語(yǔ)去思考幾何型：習(xí)慣于用視覺(jué)一一形象的詞語(yǔ)去思考混合型：綜合上述兩類(lèi)特征。數(shù)學(xué)能力是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種個(gè)體心理特征。數(shù)學(xué)能力的成分取決于數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)活動(dòng)的個(gè)人特性，在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，

33、數(shù)學(xué)能力的主要內(nèi)容是概括數(shù)學(xué)材料，逆轉(zhuǎn)心理過(guò)程、 靈活性、借助形象化。概括數(shù)學(xué)材料，逆轉(zhuǎn)心理過(guò)程、靈活性、借助形象化在小學(xué)數(shù)學(xué) 解題過(guò)程中的具體應(yīng)用。第七章 小學(xué)數(shù)學(xué)研究專(zhuān)題導(dǎo)引小學(xué)數(shù)學(xué)教育存在的一些誤區(qū)：1. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育貧乏化：即忽視了基礎(chǔ)教育u是以培養(yǎng)本學(xué)科的專(zhuān)家為目標(biāo)這個(gè)事實(shí)。除了一般的數(shù)學(xué)知識(shí)外，數(shù)學(xué)留給 學(xué)生的東西，應(yīng)含有作為一個(gè)公民所必需的，有利于發(fā)展人 的素質(zhì)的那些因素。2. 學(xué)科教育專(zhuān)門(mén)化：小學(xué)數(shù)學(xué)教師受的大都是本學(xué)科的專(zhuān)門(mén)教育，這對(duì)進(jìn)行學(xué)科教學(xué)實(shí)踐是完全必要的，但也可能帶來(lái)片 面和狹隘的學(xué)科的局限性，不了解本學(xué)科在整個(gè)培養(yǎng)人的工 作中的地位及作用，往往不自覺(jué)地夸大了本學(xué)科的

34、次要矛盾, 而忽視了同培養(yǎng)人的素質(zhì)聯(lián)系較為密切的具體根本性的矛 盾。3. 忽視科學(xué)數(shù)學(xué)同作為小學(xué)學(xué)科數(shù)學(xué)的區(qū)別。4. 現(xiàn)行考試制度不合理數(shù)學(xué)學(xué)科品格：1 .積極的思維態(tài)度：這種不斷的抽象化，一般化和統(tǒng)一化為數(shù)學(xué)思 維的不斷升華，提供必要的以及可能的條件，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。2 .科學(xué)的思維方式：（1）是數(shù)學(xué)通過(guò)秩序、和諧、對(duì)稱(chēng)、整齊、簡(jiǎn) 約等形式來(lái)表現(xiàn)及之聯(lián)系的思維情趣，并在此基礎(chǔ)上，形成學(xué)習(xí) 或研究科學(xué)以及從事創(chuàng)造性的勞動(dòng)具體方法。（2）“技術(shù)化”向“科 學(xué)化”的過(guò)渡?！凹夹g(shù)化”是指只注意具體實(shí)用的技巧，而沒(méi)有形 成某種思想，停留在經(jīng)驗(yàn)和技術(shù)層面。而科學(xué)化則表現(xiàn)為注重定 量分析，注重形式邏輯，注

35、重抽象思維。3 .強(qiáng)烈的思維內(nèi)驅(qū)動(dòng)：從數(shù)學(xué)發(fā)展這一角度來(lái)看，思維內(nèi)驅(qū)動(dòng)主要 是由數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展和外部需要相適應(yīng)而產(chǎn)生的。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)這一 角度來(lái)看，思維內(nèi)驅(qū)動(dòng)主要是來(lái)源于數(shù)學(xué)材料及人的認(rèn)識(shí)的矛盾 沖突。4 .密集的腦力當(dāng)量。某種學(xué)科知識(shí)總量為T(mén),其腦力總付出為R,這 兩者之反比，即為單位知識(shí)所含有的腦力付出，通稱(chēng)腦力當(dāng)量C 用公式表示，即C=R/T。數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)觀(guān)：由于數(shù)學(xué)本身是一種演繹法及結(jié)構(gòu)法相互矛盾 又相互作用的活動(dòng)過(guò)程，所以它的教學(xué)就必須還其本來(lái)面目，不 僅注重演繹法，而且還設(shè)計(jì)出一種符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律和數(shù)學(xué)發(fā) 展規(guī)律的教學(xué)過(guò)程，這就是數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)觀(guān)。數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)可分為這樣三個(gè)階段：1 .

36、具體材料的數(shù)學(xué)化，即從實(shí)際生活中提取數(shù)學(xué)模型2 .數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化，即通過(guò)辨析、歸納、直覺(jué)、類(lèi)比、想 象、尋找方向和線(xiàn)索，用邏輯方法吧數(shù)學(xué)材料組織到邏輯材料 體系中去。3 .數(shù)學(xué)結(jié)論的應(yīng)用化。即把理解和掌握結(jié)論轉(zhuǎn)變?yōu)楦泳唧w的思維,并能同所面臨的實(shí)際情境相結(jié)合,從而創(chuàng)造性地應(yīng)用結(jié)論。上述階段其實(shí)就是思維活動(dòng)由上升性一一探索性一一再 上升性這樣一個(gè)循環(huán)發(fā)展過(guò)程。數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)是提高人的素質(zhì)的一個(gè)有效途徑。它能最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，變被動(dòng)接收知識(shí)為主 動(dòng)地尋求知識(shí)，變脫離學(xué)生的認(rèn)識(shí)實(shí)際為符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī) 律，通過(guò)創(chuàng)設(shè)一些引人入勝的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在的學(xué) 習(xí)動(dòng)機(jī)。數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)提供了個(gè)體

37、探求和獲得知識(shí)的過(guò)程,使之鍛 煉了意志，增強(qiáng)了思維能力，領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)的基本思想和方法。 學(xué)生掌握的結(jié)論不僅不少，而且得到的思想方法更具有廣泛的 遷移意義，久而久之，可以使學(xué)生從愛(ài)學(xué)到學(xué)會(huì)，再到會(huì)學(xué)。數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)，因?yàn)橥F(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來(lái)，所以既培養(yǎng)了辯證 唯物主義的科學(xué)世界觀(guān)，又發(fā)展了人頭腦中的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)認(rèn)識(shí)。 數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，用于現(xiàn)實(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)現(xiàn)代心理學(xué)、教育心理學(xué)、數(shù)學(xué)教育學(xué)的相關(guān)研究成果, 構(gòu)成了數(shù)學(xué)活動(dòng)及其教學(xué)的理論基礎(chǔ)。首先，從智力發(fā)展理論 中的劃分來(lái)看，小學(xué)生處于具體運(yùn)算和形成運(yùn)算這兩個(gè)階段， 已經(jīng)能從特殊到特殊這種傳遞性的推理。逐漸過(guò)渡到特殊到一 般或一般到特殊這兩種不完

38、全歸納和演繹推理：能從具體直觀(guān) 入手，通過(guò)語(yǔ)言復(fù)述和部分描述，逐漸過(guò)渡到經(jīng)驗(yàn)型的抽象。 所以小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，對(duì)此就應(yīng)該具有依賴(lài)性和適應(yīng)性， 就不能是單純的結(jié)論教學(xué)，而應(yīng)該強(qiáng)調(diào)多種多樣的活動(dòng)教學(xué)。 否則就不能激起學(xué)生的共鳴，達(dá)不到應(yīng)有的效果。其次，概念學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)從廣義上講就是一種概念 學(xué)習(xí)。概念的形成過(guò)程，也就是活動(dòng)的過(guò)程，如果注意感性的, 具體的描述方法，就一定能夠使學(xué)生正確理解和掌握概念。所 以，對(duì)小學(xué)生而言，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該是處理概念一一數(shù)和 量的分類(lèi)，及他們之間的關(guān)系，記憶概念一一數(shù)和量的表達(dá)方 式；應(yīng)用概念一一數(shù)和量的相互作用。完成這些目標(biāo)的形成主 要是：活動(dòng)、游戲、尋找

39、共性、表達(dá)和符號(hào)化。再次，認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)不單純簡(jiǎn)單的刺激反應(yīng)，而 且以人的意識(shí)為中介的認(rèn)知過(guò)程,所以，學(xué)習(xí)者是認(rèn)識(shí)的主體。小學(xué)教學(xué)活動(dòng)，就是以學(xué)生為主體，讓他們自覺(jué)地、主動(dòng) 地探索，掌握認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的方法，及步驟，研究客觀(guān)事物 的屬性，發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的起因和事物內(nèi)部的聯(lián)系，從中找出規(guī) 律，形成自己的概念和理論。小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)符合小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，體現(xiàn)了辯證邏 輯和形式邏輯的矛盾統(tǒng)一，突出了因材施教及面向全體的和諧 統(tǒng)一。但是，也必須注意，小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)必須有鮮明的目 標(biāo)性，必須選擇最合適學(xué)生年齡特征的材料，必須設(shè)計(jì)合理、 經(jīng)濟(jì)、有效的活動(dòng)步驟，也不能照搬學(xué)生中心論，更不能吳管 理的“放羊式”。某知識(shí)點(diǎn)A推導(dǎo)出其他知識(shí)點(diǎn)的數(shù)目，習(xí)慣上稱(chēng)之為知識(shí)點(diǎn)A的“基本度”，用J (A)表示。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，使其具有這樣的兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：1 .知識(shí)點(diǎn)之間不等重，有的知識(shí)點(diǎn)起著關(guān)鍵的作用，而有的知識(shí)點(diǎn)則 是次要的；2 .知識(shí)點(diǎn)