知其心然后救其失也,對(duì)《弧度制》一堂課的概念教學(xué)分析及反思

1、知其心，然后能救其失也對(duì)弧度制一堂課的概念教學(xué)分析及反思安徽省宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 馬杰摘要：弧度制是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，本來按照教學(xué)設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)，很容易完成教學(xué)，但是在課堂講解概念時(shí)，出現(xiàn)了預(yù)設(shè)中意料之外的問題，本文從案例背景、案例分析、案例反思三個(gè)方面詳細(xì)敘述問題產(chǎn)生的原因及解決策略。關(guān)鍵詞 弧度制 概念教學(xué) 問題解決 反思 1.案例背景高一上學(xué)期，我上了弧度制一節(jié)內(nèi)容公開課，高一數(shù)學(xué)備課組的全體教師參與了聽課、評(píng)課。為此，我事先做了大量的準(zhǔn)備，查閱了大量的資料，精心制作教案。本節(jié)內(nèi)容我認(rèn)為學(xué)生對(duì)弧度制的概念較難理解，而弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化以及弧長公式、扇形面積計(jì)算等比較簡單。以下是課

2、堂教學(xué)中的幾個(gè)片段：1.1片段一：用類比法講解弧度制教師：初中幾何研究過角的度量，當(dāng)時(shí)是用度來做單位度量角的。那么的角是如何定義的？學(xué)生：將圓周等分成360份，每一份所對(duì)的圓心角的大小叫做的角，這種描述角的方式叫做角度制。 教師：非常正確，角度制是度量角的一種單位制。單位制這個(gè)概念我們并不陌生，比如說測量長度的單位制，古代常以人體的一部分作為長度的單位,現(xiàn)在國際上通用的是國際單位制中的“米制” ，“米制”比之“尺、寸”應(yīng)用起來要方便得多。在角度制下，當(dāng)兩個(gè)帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時(shí)，由于運(yùn)算進(jìn)制非十進(jìn)制，總給我們帶來不少困難。那么我們能否重新選擇角單位，使在該單位制下兩角的加減運(yùn)算與

3、十進(jìn)制下的加減法運(yùn)算一樣呢？今天我們就來研究這種新的單位制。（從熟悉的單位制出發(fā)，讓學(xué)生意識(shí)到給出角度新定義的必要性。意識(shí)到單位制的普遍性。）教師：跟上面類似，長度制的選擇都是要選定一個(gè)不變量來作為基本量。如“米”，“度”，那么我們要找到一種新的度量角度的角度制，則必須也找到相應(yīng)的不變量。分組討論，探索研究以下問題： 角度為，的圓心角，當(dāng)半徑時(shí)，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的弧長，再計(jì)算弧長與半徑的比。學(xué)生：， 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，教師：大家發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？學(xué)生：圓心角不變則比值不變。教師：比值的大小既然只與角的大小有關(guān)，我們可以利用這個(gè)比值來度量角，這就是度量角的另外一種單位制弧度制。

4、（板書課題）教師：（板書）定義：長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。它的單位符號(hào)是，讀作弧度。這種用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制。教師：觀察下圖，依次就是1rad ， 2rad ， 3rad ， rad 學(xué)生：你是怎么知道你標(biāo)識(shí)那一段弧恰好就是等于半徑的？況且半徑是線段，弧是彎曲的？說實(shí)話，對(duì)于這種直觀性的問題我備課時(shí)根本沒考慮過，認(rèn)為這就是一種定義，沒有必要深入思考。于是我沒有作出什么解釋就轉(zhuǎn)向課堂教學(xué)中的下一內(nèi)容。1.2片段二：角度制與弧度制的換算教師：用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量數(shù)相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同但它們

5、既然是表示同一個(gè)角，那這二者之間就應(yīng)該可以進(jìn)行換算，下面我們來討論角度與弧度的換算：若弧是一個(gè)圓，圓心角所對(duì)的弧度數(shù)是多少？學(xué)生：因?yàn)?個(gè)周角360°，所以， 360°2rad教師：若是一個(gè)圓呢？學(xué)生：仿照一個(gè)圓的計(jì)算方法可以得到180°rad進(jìn)一步可以得：1°001745rad，1rad57.30°57°18。教師：在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，關(guān)鍵要抓住180°rad這一關(guān)系式教師：今后我們用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，而只寫這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)例如，角2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角

6、的正弦，但用角度制表示角時(shí)，“度”或“°”不能省去而且用“弧度”為單位度量角時(shí)，常把弧度數(shù)寫成多少的形式，如無特別要求，不必把寫成小數(shù)，如45°rad ，不必寫成45°0785弧度學(xué)生：“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，會(huì)不會(huì)產(chǎn)生誤解，不知道是弧度，而認(rèn)為那就是一個(gè)實(shí)數(shù)呢？教師：不會(huì)的。學(xué)生：你有什么理由呢？我又一次語塞，不知道該如何回答，后悔當(dāng)初為什么備課時(shí)就怎么沒想到呢。由于在課堂上，我也只好說沒必要深究這個(gè)問題。（然而在后續(xù)的課堂教學(xué)中學(xué)生又再次拋出了這個(gè)問題。真是屋破偏逢連陰雨，船漏又遭打頭風(fēng)啊。）1.3片段三：一一對(duì)應(yīng)問題教師：正角的弧度數(shù)是什么數(shù)？

7、負(fù)角呢？零角呢？（從正數(shù)，負(fù)數(shù)，零方面去引導(dǎo)）學(xué)生：正數(shù)，負(fù)數(shù)，零教師：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù) 任意角的集合 實(shí)數(shù)集R學(xué)生：一一對(duì)應(yīng)是什么意思啊？是不是兩個(gè)集合相等?。恳粋€(gè)是角，一個(gè)是實(shí)數(shù)呀？教師：對(duì)應(yīng)就是對(duì)應(yīng)，不能說相等。（我含糊的強(qiáng)調(diào)著，怎樣給學(xué)生一個(gè)充分的理由呢？ 這暴露了我講課時(shí)沒去講清弧度與弧度數(shù)的區(qū)別，才導(dǎo)致了學(xué)生產(chǎn)生這樣的疑問。）學(xué)生：那么將來我們看到的1是1rad還是實(shí)數(shù)1呢？說句實(shí)在話，我真是有點(diǎn)不耐煩了，又繞了回來，我為了繼續(xù)講課，況且有備課組老師在聽課，便說道在本節(jié)課里面出現(xiàn)的

8、就是1rad。事實(shí)果真是這樣嗎？說實(shí)話我是帶著學(xué)生的疑問下了課，腦子中始終纏繞著學(xué)生的問題。2 案例分析下課后，備課組的討論會(huì)上，大家討論了一會(huì)，也都講述了他們所教學(xué)生也出現(xiàn)過類似的疑問。會(huì)后，我只好我又重新審視了學(xué)生的問題，查閱了大量的資料，理清了一點(diǎn)頭緒，利用自習(xí)課的時(shí)間再次解答了學(xué)生的問題。2.1 關(guān)于片段一的思考這確實(shí)是一個(gè)問題，半徑是一條線段，是直的，怎樣才能測量彎曲的弧呢？與一位物理老師交流，他說：圓相當(dāng)于一條線段圍成的，用普通的細(xì)繩圍一圈，拉直截取不就可以了嗎？理論上，確實(shí)可以這么做。受這位物理老師的啟發(fā)，我們知道自行車圈在地上滾一周，就是它的周長，那么讓圓動(dòng)起來，沿著半徑滾一部

9、分的弧長，不就是半徑嗎？當(dāng)然這個(gè)問題當(dāng)然也可以用高等數(shù)學(xué)的定積分來解決，自習(xí)課給學(xué)生講這個(gè)時(shí)，我依然強(qiáng)調(diào)不必深究這個(gè)問題。如果當(dāng)時(shí)上課時(shí)，我事先設(shè)計(jì)半徑為10厘米的圓，在截取一條10厘米的細(xì)繩，在圓周上任取一點(diǎn)進(jìn)行度量，就可得到1rad的角，既符合教學(xué)的直觀性原則，又打消了學(xué)生的疑問?；蛘哒f將來學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)也可以解決，多好啊，既解決了學(xué)生的疑問，又能讓有興趣的學(xué)生將來為自己的探索埋下了伏筆?？梢娊處煹慕虒W(xué)機(jī)智以及知識(shí)寬度與深度的重要性。當(dāng)然對(duì)我以后的概念教學(xué)也有啟示作用。22 關(guān)于片段二與片段三的思考 實(shí)際上我們不能說一一對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合相等。如在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但顯然這

10、是兩個(gè)不同的集合，再如教室里的每個(gè)同學(xué)對(duì)應(yīng)著一個(gè)座位，顯然不能說這兩個(gè)集合相等。弧度（有單位的）是指一個(gè)角，但弧度數(shù)（沒有單位的，是個(gè)量數(shù)）就是一個(gè)實(shí)數(shù)，簡而言之，弧度制的呈現(xiàn)形式是一個(gè)實(shí)數(shù)，因此1rad與實(shí)數(shù)1不能說是相等的。實(shí)際問題中我們要看具體的上下文情境來區(qū)分，就像（a,b）,既可以指點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以指區(qū)間，若沒有具體的情境，我們就不知道它是指點(diǎn)的坐標(biāo)還是區(qū)間。這種問題，同樣出現(xiàn)在弧度制中，當(dāng)省略了rad時(shí)，根據(jù)上下文便可推斷出是角還是實(shí)數(shù)。例如sin3,是指一個(gè)3rad的角的正弦值,只是rad省略了。每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(例如這個(gè)角的弧度數(shù)或度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也

11、都有唯一的一個(gè)角(例如弧度數(shù)或度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)。以后我們將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)如正弦函數(shù)y=sinx,x是指一個(gè)角，省略了rad,只保留弧度數(shù)（是個(gè)量數(shù)），所以我們才有xR.看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，當(dāng)然它的自變量的意義可以有多種解釋，從而使三角函數(shù)的應(yīng)用更加廣泛，在數(shù)學(xué)與科學(xué)研究中普遍采用弧度制，這是重要的原因之一.任意角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這兩個(gè)集合是不能說相等的，但是弧度數(shù)的集合就是一個(gè)實(shí)數(shù)集。總之，我們把等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用弧度作單位來度量角的制度叫做弧度制，它是用“別人”來度量角，就像可以用水銀柱的高度來度量大氣壓?；《戎频膬?yōu)點(diǎn)在于把角

12、與長度進(jìn)行了統(tǒng)一?；《葦?shù)就是一個(gè)量數(shù)，與實(shí)數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)一。這是我備課中沒有講清概念的枝節(jié)所造成的，雖然知道了學(xué)生對(duì)“弧度制”概念的理解是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，但我依然過高估計(jì)學(xué)生的理解能力，才造成了學(xué)生出現(xiàn)了諸多疑問，但亡羊補(bǔ)牢，未為晚也，這也為我今后對(duì)概念的教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性給予了警示。3案例反思3.1概念教學(xué)的重要性實(shí)際上，大部分教師在上課時(shí)喜歡“輕”概念教學(xué)，“重”習(xí)題教學(xué)，雖然大家都知道概念教學(xué)非常重要，關(guān)于教育教學(xué)理論的書籍、雜志鋪天蓋地都是講述概念等教學(xué)的重要性。但是對(duì)于本節(jié)課，大部分教師依然喜歡講解后面的內(nèi)容，如弧度制與角度制的換算、弧長計(jì)算公式、扇形面積計(jì)算公式等而且教學(xué)效果很好，但是如果在弧

13、度制概念上花費(fèi)大量時(shí)間，則最后的教學(xué)效果不夠理想。如果單純地追求教學(xué)效果顯然應(yīng)該大量練習(xí)，但如果想讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有一個(gè)長效的記憶則應(yīng)該加強(qiáng)概念的教學(xué)。學(xué)生能否理解好概念，對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的。而高中數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)是抽象性很強(qiáng)，學(xué)生比較難以較為深入透徹地理解?；谶@個(gè)特點(diǎn)，概念教學(xué)對(duì)教師提出了更高、更苛刻的要求。3.1.1要講清概念的由來數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為歷史是教學(xué)的指南.對(duì)于弧度制歷史來說，我們完全可以簡略地?cái)⑹鏊挠蓙? 弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長有同一度量單位，然后用對(duì)應(yīng)的弧長與圓半徑之比來度量角度，這一思想的雛型起源于印度。印度著名數(shù)學(xué)家阿利耶毗陀476？-550？定圓

14、周長為21600分，相度地定圓半徑為3438分即取圓周率3.142，但阿利耶毗陀沒有明確提出弧度制這個(gè)概念。嚴(yán)格的弧度概念是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1707-1783于1748年引入。這對(duì)以后對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)以及高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)極為有利(可以讓學(xué)生參閱教材的閱讀材料和其他課外資料)。3.1.2既重視概念的理解又要關(guān)注概念的枝節(jié)數(shù)學(xué)的本質(zhì)活動(dòng)是思維。思維的對(duì)象是概念，思維的方式是邏輯。當(dāng)這種思維與新事物接觸時(shí)，將出現(xiàn)“相容”和“不容”的兩種可能。出現(xiàn)“相容”時(shí)，產(chǎn)生新結(jié)果，且被原概念吸收，并發(fā)展成新概念；當(dāng)出現(xiàn)“不容”時(shí)，則產(chǎn)生了所謂的問題。這也是本節(jié)課學(xué)生產(chǎn)生疑問的原因。因此思維出現(xiàn)迂回，甚至?xí)簳r(shí)退回原

15、地。此時(shí)教師就要去用最言簡意賅的話語進(jìn)行解釋，將原概念擴(kuò)大或?qū)⒃壿嬜兪?，直到新思維與事物相容為止，至此概念被徹底掌握，也產(chǎn)生新的結(jié)果，也被原思維吸收，這就是一個(gè)思維活動(dòng)的全過程。因此本節(jié)中我認(rèn)為除了弧度制這個(gè)關(guān)鍵概念以外，還要順便提到角、弧度、弧度數(shù)等相關(guān)概念，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)主概念的理解，有助于學(xué)生理解概念的內(nèi)涵。3.2用建構(gòu)主義觀點(diǎn)分析學(xué)生的知識(shí)層次性新課程改革提出，教師要“引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、調(diào)查、探究，在實(shí)踐中學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下積極主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)”。 備課對(duì)一些新概念，不但要了解學(xué)生的“表”也要了解學(xué)生的“里”，一般來講，“表”的東西，容易摸得到，直接按照概念、定義、公式、定

16、理便可解決，是一種表象。“里”是概念的內(nèi)涵、本質(zhì)，須花大的力氣來建構(gòu)學(xué)生的知識(shí)觀。建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)是層疊的，步步推進(jìn)的，學(xué)生學(xué)習(xí)不是被動(dòng)地接受東西，而是主動(dòng)地生成自己的經(jīng)驗(yàn)、解釋、假設(shè)。那種只讓學(xué)生被動(dòng)地接受，將課本的內(nèi)容復(fù)制，只是將課本知識(shí)“拿過來、裝進(jìn)去、存起來”，而不是在疑問中學(xué)習(xí)，是非常有害的，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)造性是十分無益的。 禮記·學(xué)記云：知其心，然后能救其失也，教也者，長善而救失也。因此教師在教學(xué)中，要站在學(xué)生的角度來考慮學(xué)生的疑問所在，知道了學(xué)生的所想，自然可以解決學(xué)生的疑問。張奠宙教授曾指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，是要把數(shù)學(xué)的本質(zhì)呈現(xiàn)出來，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)在于返璞歸真。這就要求教師具有多重作用，會(huì)設(shè)計(jì)“本源性數(shù)學(xué)問題”，分層次地驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，使學(xué)生的思維經(jīng)歷有具體到抽象、在抽象的過程，從而使學(xué)生運(yùn)用概念時(shí)不但“知其然”，也“知其所以然”。參考文獻(xiàn)：1 張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài).數(shù)學(xué)通報(bào)，2001.52 張奠宙，王振輝.關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)型態(tài)和教育