江蘇高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)(教師版)全解析

1、1.集合【考點(diǎn)與考點(diǎn)要求】集合及其表示a子集b交集、并集、補(bǔ)集b【典型考題】1 （2013江蘇卷）集合-1,0,1共有個子集.【考點(diǎn)】子集的概念【難度】容易題【答案】82. （2011 上海理 2）若全集 u = r，集合 a = xx>xx<0 則cva=【考點(diǎn)】補(bǔ)集的概念【難度】容易題【答案】x|0<x<l3. （2012 高考江蘇 1）已知集合 71 = 1, 2 , 4, = 2,4, 6，則 ab=【考點(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算【難度】容易題【答案】1,2, 4, 64. （2009江蘇11）已知集合a =x|log2 x<2,b =（汽d），若ab則實(shí)數(shù)。的

2、取值范圍是（c, 2）,其中c =_【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算【難度】中檔題【答案】45. （2009江蘇考試說明）設(shè)集合力=x | （兀一 i）' v 3兀+ 7 ,兀丘r,則集合/ az屮有個元素.【考點(diǎn)】解一元二次不等式、集合的運(yùn)算.【難度】容易題.【答案】6.6. （2014 江蘇卷 1）己知集合/=2,1,3,4, 3 = 1,2,3,則 ab=【考點(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算【難度】容易題【答案】-1,32.函數(shù)概念與基本初等函數(shù)i9.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【考點(diǎn)與考點(diǎn)要求】函數(shù)的概念b函數(shù)的基本性質(zhì)b指數(shù)與對數(shù)b指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)b對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)b幕函數(shù)a函數(shù)與方程a函數(shù)模型及其應(yīng)用b導(dǎo)數(shù)

3、的概念a導(dǎo)數(shù)的兒何意義b導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算b利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值b導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用b【典型考題】1. （2012年江蘇）函數(shù)/（x）=#l_21og/的定義域?yàn)椤究键c(diǎn)】函數(shù)的概念，對數(shù)函數(shù)【難度】容易題【答案】（0,2. （2011年江蘇）函數(shù)/（x） = log5（2x + l）的單調(diào)增區(qū)間是【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)圖彖和性質(zhì)【難度】容易題【答案】（一丄,+oo）2m , n 滿足 f(m) > f(n),則 m , n的大小關(guān)系為一【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【難度】容易題【答案】加/74. (2006年上海)已知函數(shù)y = x + 在(0,4上是減函數(shù)，在4,匕)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)xb

4、的值為.一【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性【難度】中檔題【答案】45. (2010年江蘇)已知函數(shù)心)=|1,'二0,貝°滿足不等式/(1-x2)>/(2x)的x的范圍【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【難度】中檔題【答案】(-1,72-1)6. (2014江蘇卷10)已知函數(shù)f(x) = x2 +加-丫一1,若對于任意兀丘加,7 + 1,都有/(兀)<0成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)【難度】屮檔題【答案】(-,0)f f（m - m2 +m2 -1 < 0解得：m g （,0）【解析】據(jù)題意彳2/（加 + 1）=（加+ 1）+ 加（加+ 1）-1<07.

5、(2010年江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)=x (e+aex)(xr)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性【難度】容易題【答案】一18. (2013年江蘇)已知/是定義在r上的奇函數(shù)當(dāng)兀>0時(shí)，/(x) = /-4x,則不等式/(x)> x的解集用區(qū)間表示為【考點(diǎn)】函數(shù)的基本性質(zhì)【難度】中檔題【答案】(-5,0)u(5,+00)9. (2013年上海(理)設(shè)。為實(shí)常數(shù)，y = /(x)是定義在7?上的奇函數(shù)，當(dāng)xvo時(shí),/(%) = 9% + + 7 ,若f(x)> a+ 1對一切成立，則q的取值范圍為x【考點(diǎn)】函數(shù)的基本性質(zhì)【難度】難題【答案】67<-73 110. (2013

6、年上海(理)方程 一+ = 3*"的實(shí)數(shù)解為一31 3【考點(diǎn)】指數(shù)與對數(shù).函數(shù)與方程【難度】容易題【答案】log? 4一，x n 2,11. (2011年北京理)已知函數(shù)/(x) = x若關(guān)于x的方程/(x) = k有兩個不同的(x-l)x<2,實(shí)根，則實(shí)數(shù)s的取值范圍是.【考點(diǎn)】幕函數(shù)的圖像和性質(zhì)，函數(shù)與方程【難度】簡單題【答案】(0, 1)f y 厶 +¥012. 已知函數(shù)/(%)=' 一 ，則滿足不等式a1-兀2)幾2兀)的x的取值范圉1,兀 <0是.【考點(diǎn)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，簡單不等式的解法，以及數(shù)形結(jié)合與分 類討論的思想；考查靈

7、活運(yùn)用有關(guān)的基礎(chǔ)知識解決問題的能力.【難度】難題【答案】(1, v2 1).13. (2012年天津理)已知函數(shù)y =的圖象與函數(shù)y = la-2的圖象恰有兩個交點(diǎn)，則x-1實(shí)數(shù)k的取值范圍是一【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)與圖像，函數(shù)與方程【難度】中檔題【答案】(0,1)u(1,4)14. (2014江蘇卷13 )已知/(x)是定義在r上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)xg0,3)時(shí),/=| / _ 2兀+丄|若函數(shù)歹=/(x) 一q在區(qū)間-3,4上有10個零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)q的取值范圍是.【難度】中檔題【答案】(0,1)2【解析】作出函數(shù)/(x)= x2-2x+- ,xe0,3)的圖象，可見/(0)=-,當(dāng)

8、兀=1時(shí)，/(對段大=1,2 2 2/(3) = 2,方程/(x)-a = o在秋-3,4上有10個零點(diǎn),即函數(shù)y = f(x)和圖象與直線尸a在-3,42上有10個交點(diǎn)，由于函數(shù)/(x)的周期為3,因此直線y = a函數(shù)/(x)二-2x+】，xw0,3)的應(yīng)該2【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)，周期函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)間題.2 *15. (2011年江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x) =的x圖象交于p、q兩點(diǎn)，則線段p0長的最小值是【考點(diǎn)】幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應(yīng)用.【難度】中檔題【答案】416.在平面直角坐標(biāo)系xoyf若曲線y = ax2 +-

9、(,方為常數(shù))過點(diǎn)p(2,-5), ii該曲線在 x點(diǎn)p處的切線與直線7x + 2y + 3 = 0平行，貝恂+ b的值是.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與切線斜率.【難度】中檔題【答案】一3【解析】曲線 y = ax1 + 點(diǎn) p(2,5)，則 4q + = 5 ，又y' = 2ax,x2x所以4a- = -?，由解得= 所以a + b = -34 2b =-2*17. (2010年江蘇)將邊長為lm正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=(豊形號腎)2,則s的最小值是 梯形的面積【考點(diǎn)】函數(shù)中的建模應(yīng)用，求函數(shù)的最值【難度】難題【答案】必318. (2012 北京理)已知

10、/(x)= m(x-2m)(x + m + 3),g(x) = 2v -2,若同時(shí)滿足條件： vxg r,/(x)v0或g(x)<0;®3xg (-00,-4), /(x)g(x)<0.則m的取值范圉是【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù).二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像.【難度】難題【答案】(-4,-2)19. (2013年廣東(理)若曲線y=kx+nx在點(diǎn)(1, q處的切線平行于x軸，m k=【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的兒何意義【難度】容易題【答案】120. 函數(shù)/(兀)= xnx(x > 0)的單調(diào)遞增區(qū)間是.【考點(diǎn)】本題主要考查初等函數(shù)的求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 等基礎(chǔ)知識.【難度

11、】中等題.'1 、【答案】-,+oo .« 丿x? + q21. (2009年遼寧文)若函數(shù)f(x)=-在兀=1處取極值，則q二一x + 1【考點(diǎn)】函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【難度】容易題【答案】3*22. (2008 年江蘇)/(x)=«x3-3x+ 1 對于 xw1, 1總有 f(x)>0 成立，則 a=一【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與不等式綜合，分類討論的思想【難度】難題【答案】423. (2011年上海理)已知函數(shù)/(x) = a-2x+z?-3其中常數(shù)q上滿足a-h0.(1) 若qc>0,判斷函數(shù)/(兀)的單調(diào)性；(2) 若a b v 0

12、,求f(x + 1)> f(x)時(shí)的兀的取值范圍.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算【難度】中檔題【答案】 當(dāng)a>09b> 0時(shí),任意x,x2g <x2,則 /(x j - /(兀2)=叭2 “ - 口) + 妍- 3 七)因?yàn)?" v2"2,d>0na(2可一2乃)<0,3y* <yh>o=>h(yi -3x2)<o,所以/(兀i) f(x2 )<0 ,函數(shù)f(x)在r上是增函數(shù).(2)當(dāng)a<0,b< 0時(shí)，同理函數(shù)/任)在/?上是減函數(shù).f(x + l)-/(x) = q 2* + 2b

13、3” > 0 ,當(dāng) a<09b> 0 時(shí)，(一)'> 一上，則 x>log15(-)；22b2b當(dāng) a>0,b< 0 吋，(£)"<獸，則 x<log15(-).22b2b24. (2009 年浙江文)已知函數(shù)/(x) = x3 + (1 -a)x2 -a(a + 2)x + b (a,be r).(1)若函數(shù)/(兀)的圖象過原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3,求的值;*(2)若函數(shù)/在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),求q的取值范圍.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義與運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)與方程思想.【難度】屮檔題【

14、答案】解析：(1)由題意得.廠(x) = 3/+2(l q)x g(a + 2),/ (0) = b = 0又，解得 b = 0, a = -3 或 a =i 廠(0) = -a(a + 2) = -3'(2)函數(shù)/ 在區(qū)間(-1,1)不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)廣在(-1,1)既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)即函數(shù).廠(x)在(-1,1)上存在零點(diǎn)，.廠(一1).廠(1) <0, bp： 3 + 2(1 -a)- a(a 4- 2)3 - 2(1 - a) - a(a 4- 2) < 0整理得：(a + 5)(a + l)(a 1)2 vo,解得5vqv1； >0

15、,1 ci 1-l<<l9i(b) 3 解得一 lvqv l且a主一石.廣(-1)>0,2、廠>0.(c) .廣(一l) = °時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；廠(1) = 0時(shí)，不合題意.綜上-5vqv1且g-亍25. (2012江蘇)若函數(shù)y = /(x)在兀=旺處取得極大值或極小值，則稱兀()為函數(shù)y = ,/(x)的極值點(diǎn).己知a, b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x) = x3+ax2bx的兩個極值點(diǎn).(1) 求g和b的值；設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g,(x) = /(x) + 2,求g(x)的極值點(diǎn)；*設(shè)/z(x) = /(/(x)-c ,其中ce -2, 2,求函數(shù)

16、y = h(x)的零點(diǎn)個數(shù).【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)與方程.【難度】中檔題【答案】解：由 /(x) = x3 + ax2 + bx ,得 f(x) = 3x2 4- 2ax + b .因?yàn)?和-1是函數(shù)f(x) = x3+ax2+hx的兩個極值點(diǎn)，所以 /xl) = 3 + 2a + b=0 ,廣(一l) = 3-2a + b=0 ,解得a=0, b=_3 .(2) 由得，./g) = /3x ,g(兀) = /(兀)+ 2=兀3 _3x + 2=(x-l(x + 2),解得 x=x2=1, 乂3 = _2 .當(dāng) x<-2 時(shí)，g'(x) <

17、0 ；當(dāng) 一2 < x < 1 時(shí)，g'(x) > 0 ,x= - 2是g(x)的極值點(diǎn).當(dāng)-2<a<1或x>1時(shí)，gx) > 0 ,所以兀=1不是g(兀)的極值點(diǎn).所以g(x)的極值點(diǎn)是一2.(3) 令 f(x)=t,則 h(x) = /(f) - c .先討論關(guān)于x的方程f(x)=d根的情況：de -2, 2,當(dāng)同=2時(shí)，由(2 )可知，/(兀)=-2的兩個不同的根為1和一 2 ,注意到/(x)是奇函數(shù)，所以/(x)=2的兩個不同的根為1和2.當(dāng) 同<2 時(shí)， 因 為 f(v)_d=r(2)_d=2_d>0,f (1)-d=f

18、(-2) d= -2-d <0 ,所以一 2 ,1, 1 , 2都不是f(x)=d的根.由知 /(兀)=3(x + l)(x-l) 當(dāng)xg(2, + oo)時(shí)，/(x)>0,于是/是單調(diào)增函數(shù)，從而/> /=2 ,此時(shí)f (x)=d在(2, + 8)無實(shí)根.當(dāng)兀w(l,2)時(shí)./(x)>0,于是/(兀)是單調(diào)增函數(shù),又因?yàn)?(l)-j<0, fd>0, y=f(x) - d的圖彖不間斷，所以f(x)=d在(1 ,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.同理，/(兀)=在(一 2 , 一 i)內(nèi)有唯一實(shí)根.當(dāng)xg(-1, 1)時(shí)，f(x)<0,于是/(x)是單調(diào)減兩數(shù)，又/(

19、-1) d > 0 ,/(1)-6/ <0, y=jx)_d 的圖象不間斷，所以f(x)=d在(一 1, 1)內(nèi)有唯一實(shí)根.因此，當(dāng)同=2時(shí)，有兩個不同的根勺兀2滿足卜=1，卜2=2；當(dāng)d<2 時(shí)f (x)=d有三個不同的根兀3，兀1，兀5，滿足|xj<2, z=3, 4, 5 .現(xiàn)考慮函數(shù)= h(x)的零點(diǎn)：(i)當(dāng)c=2時(shí)，/(z)=c有兩個根“，4，滿足|巾=1也|=2.而/(%)=4有三個不同的根，f(x)=r2有兩個不同的根，故y = h(x)有5個零占n 八、(11 )當(dāng)c <2時(shí)，f(t)=c有三個不同的根(3，切&，滿足<2, z=3

20、, 4, 5而/(兀)=專(，=3, 4, 5)有三個不同的根,故y = h(x)有9個零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)c=2時(shí)，函數(shù)y = h(x)有5個零點(diǎn)；當(dāng)|c|<2時(shí)，函數(shù)y = h(x)有9個零點(diǎn).26. (2010年全國新課程卷)設(shè)函數(shù)ax)=ex-l-x-ax2.(1)若q = 0,求.心)的單調(diào)區(qū)間；*(2)若當(dāng)丘0吋_/(x)>0,求°的取值范圍.【考點(diǎn)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問 題；考查分類討論.轉(zhuǎn)化思想；考查運(yùn)算求解能力和推理論證的能力.【難度】難題.【答案】(1) 當(dāng)° = 0時(shí)，血=云一1一兀,廣=孑_1

21、.當(dāng) jg(-oo, 0)時(shí)，廣(x)<0；當(dāng) %e(0, +oo)時(shí)，.廠(x)>0故/(兀)在區(qū)間(-00, 0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0, +oo)單調(diào)遞增.(2) 廠(x)=e' 1 2ax.由知.心)埶0)，即ea>l+x,當(dāng)且僅當(dāng)兀=0時(shí)等號成立.故 flax=(1 2a)x.因此當(dāng) 1一2°20,即 q#時(shí)，/'(x)n0(總0),而.0) = 0,于是當(dāng)丘0時(shí)，由 ev> 1 +x(j#0),可得 '> 1 x(?#0),從而當(dāng) a>*時(shí)，廠(x)ve丫一 1 +2tz(e l) = e y(ev1)( ex2

22、a)» 故當(dāng) %e(0, ln2tz)時(shí)，廠(x)<0,而/0)=0, 于是當(dāng) xg(0, ln2a)時(shí)，/(x)<0.綜上可得a的取值范圍為(一8,*)27. (2011 年湖南文)設(shè)函數(shù) f(x) = x- -anx(ae r).x討論/(x)的單調(diào)性；*若/有兩個極值點(diǎn)x和兀2，記過點(diǎn)/任】,/(西),(兀2丿(兀2)的直線的斜率為力,問：是否存在q,使得k = 2-a ?若存在，求出q的值，若不存在，請說明理由. 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；方程與函數(shù)思想.【難度】難題【答案】解：/的定義域?yàn)?0,+8).八滬1 +亠厶亡笄x xx令g(x) = x2-ar

23、 + l,其判別式='4當(dāng) | g |5 2時(shí)口5 0, f x) > 0,故./、(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.當(dāng)a<-2時(shí)jd>0,g(x)=0的兩根都小于0,在(0,+oo)上，廠(x)>0,故/在(0,2) 上單調(diào)遞增.當(dāng) a > 2時(shí)匚 >0, g (x) =0 的兩根為 x. = a,x2 = a當(dāng)0<x<xx 時(shí)，fx)>0 ；當(dāng)xx<x<x2時(shí)，f v)<0；當(dāng)x>x2時(shí)，f x) > 0 ,在(0, xj,(兀2，)上單調(diào)遞增，在匕,工2)上單調(diào)遞減(2)由(1)知，a>2.

24、因?yàn)?(?！?一/(兀2)=(再一兀2)+-a(lnxj-lnx2),所以k = /(州)一/(兀2)= *_ _ °-fn x, - in x2x 兀2xx2x x2f 宀in x - in x.又由(1)知，x,x2=l.于是ic = 2_a _1-x x2in x. - in,若存在q,使得k = 2-a則一! =1.兀-x2亦即 x221nx2 = 0(x2 > 1)(*)再由(1)知，函數(shù)h(t) = t-2nt在(0,+oo)上單調(diào)遞增，而x2>l, t所以兀2 一丄一21nx2 > 1 -；一21111 = 0.這與(*)式矛盾.故不存在a ,使得&#

25、163; = 2-a.28. (2011 年浙江理)己知函數(shù) /(x) = 2a ln(l + x) -x(a > 0).(1)求/(兀)的單調(diào)區(qū)間和極值;*(2)求證：41gf +座 + 座+ +座丁s + l)(/?wnj. 23n【考點(diǎn)】函數(shù)與不等式綜合【難度】難題【答案】解：定義域?yàn)?l,+oo)，/v) =-1-1 + x令 f '(x)>0n-lvxv2a-l,令/'(x) v 0 => x > 2q 1故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)i'可為(-1,26/-!), f的單調(diào)遞減區(qū)i'可為(267-1,4-00)/(x)的極大值為 2d

26、 in 2。一 2。+1. 1 1 (1+*(2)證：要證41g幺+暨+堅(jiān)+ +里£>覽幺丁s + 1)2 3n即證 4+丄亠丄里 e(川+ 1),即證4 +丄+丄+ . +丄>1叱(刃+ 1)2 3 n lge23 n即證1 +丄+丄+丄+ 3>1口(/7 + 1) + (1 +丄)"2 3 nn令a=-f rtl可知/(x)在(0,+oq)上遞減，故 f(x) < / (0) = 0.=n(n +1) - in /? < n即 ln(l + x) < x ,令x = (ne ?/*),故ln(l + ) =nnn累加得,ln(w +

27、l)<14-丄+丄+ + -,2 3 nln(l + -)<-=>ln(l + -)z, <1=>(1 + -)/, <e<3. n nnn13 > ln(a? + 1) + (1 )"故 23 nn ,得證.29. (2009 年天津文)設(shè)函數(shù) f(x) = -x3 +x2+(m2 -1)x,(xg /?,)其中加>0(1) 當(dāng)加=10寸，曲線y = f(x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線斜率;(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；*已知函數(shù)/'(兀)有三個互不相同的零點(diǎn)0, xi?x2,且“ < x2.若對任意的xg

28、xx2,/(x) /(i)恒成立，求m的取值范圍.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值；函數(shù)與方程的根的關(guān)系；圖像的 應(yīng)用，分類討論思想.【難度】難題【答案】解：當(dāng)加=1 時(shí),/(x) = -x3 + x2jf(x) = x2 + 2x,i!iv，(l) = 1,所以曲線y= f在點(diǎn)(1, /(i)處的切線斜率為1一.(2)解：/ (x)= 一兀2 + 2兀+ 加2一1,令 f(x)= 0 ,得到 x = -m.x = 14- m ,因?yàn)榧?0,所以1 +加 1 一7 ,當(dāng)x變化時(shí)，/(x),f(x)的變化情況如下表:x(-oom)(1 -+ m)1 +加(1 +2,+oo)/&#

29、39;(x)+0-0+/(x)極小值/極大值/(x)在(-00,1 - m)和(1 +加,+8)內(nèi)減函數(shù)，在(1 一加,1 +加)內(nèi)增函數(shù),2 1 函數(shù)/(x)在x = 1 +加處取得極大值/(i + m),且/(i + m)= 一滬+加2 一 一，2 , . 1 函數(shù)/(x)在x = -m處取得極小值/ (i -m),且/(i -m) =加'+加.1 9 9 1(3) fm = x(-x2 + 兀 + 加2 _1) = _§兀(兀一旺)(兀一兀2),所以方程一丄工4-x + /772 -1 = 0由兩個相異的實(shí)根xpx2 ,故兀+x2 =3 , h4?a = 1 + -(w

30、2-1)>0,解得 in < (舍)，m > ,2 2-3x v兀2 ,所以2兀2 >兀1 +兀2 = 3,故兀2 > > 1，2若x, <1<x2,貝 1卩(1)=丄(1 “)(1 x2)>0,而/(x1) = 0,不合題意;若 1 vx v 兀 2,則對任意的 xg x15x2有x-x n 0,x-x2 < 0,則 /(x)= -x(x - xj )(x - x2 ) > 0 又 /(x ) = 0,所以函數(shù) /(x)在兀 w “ 宀的最小值為0,于是對任意的xw xpx2 , /(x) > f恒成立的充要條件是/(l

31、) = m2-<0,解得</w<,±, m的取值范圉是）3 32 330. (2008江蘇)某地有三家工廠，分別位于矩形abcd的頂點(diǎn)力，b及cd的屮點(diǎn)p處， 已知m=20km,cb=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形abcd的區(qū)域上(含 邊界)，且兒b與等距離的一點(diǎn)o處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道/o, b0, op ,設(shè)排污管道的總長為ykm.(1) 按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： 設(shè)zbao=0(r 將y表示成&的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)op=x(km),將尹表示成xx的函數(shù)關(guān)系式.(2) 請你選用(i )中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，

32、使三條排污管道總長度最短. 【解】本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用.(i )由條件知尸0垂直平分力3，若zbao=0 (rad),則04 = 也 =一,故cos& cos&ob =,又 op= 10-10 tan & 10lotan,cos0所以 y = o4 + o3 + of = - + - + 10 lotan0,cos 0 cos 0十土pm 乂玄亠、i20 losin0(八 7i所求函數(shù)關(guān)系式為y 10 ov&v cos&v4 丿若 of=x(km),則 o0=10兀，所以 oa =ob= -(10-x)2 +102 = vx2-20x4-200

33、,所求函數(shù)關(guān)系式為尹=x + 2x2-20x + 200(0<x<10).cos2 0(2)選擇函數(shù)模型，y =一10沖九歸-(210$噸)(7詢_ 10(2sin_l)cos 0令y=0得sin 0 = -t因?yàn)? <0<蘭，所以& =蘭， 24671(兀、(兀 7t、當(dāng)0,-時(shí)，<0 ,尹是&的減函數(shù)；當(dāng),一時(shí)，y >0 , y是&的增函6 4丿數(shù)，所以當(dāng)&=蘭時(shí)，min=10 + 10>/3.這時(shí)點(diǎn)p位于線段m 的中垂線上，且距離仙 邊 6嘰處.331. (2011年江蘇)請你設(shè)計(jì)一個包裝盒，如圖所示，abcd是邊

34、長為60cm的正方形硬紙片, 切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得abcd四個點(diǎn)重合 于圖中的點(diǎn)卩，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，e. f在ab ±是被切去的等腰直角 三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)ae=fb=xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積5(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值?(2)若廣告商要求包裝盒容積r(cm3)最人， 試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與 底面邊長的比值.60【考點(diǎn)】本題主要考查空間想彖能力數(shù)學(xué)閱讀能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力建 立數(shù)學(xué)函數(shù)模型求解能力.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用【難度】中檔題.【答案】$ = 60(602x)2

35、=2408;?(0<皿0),所以x=15cm時(shí)側(cè)面積最大， v = (2x)2 (60-2x) = 4v2x2(30-x)(0 < x < 30),所以，/ = 12>/2x(20-x), 當(dāng)0 vxv20,時(shí)，7遞增，當(dāng)20vxv30h寸，7遞減，所以，當(dāng)x=20時(shí)，v最大.此時(shí)，包裝盒的高與底面邊長的比值為(60-2x)2v2x32. (2014江蘇卷19)已知函數(shù)/(x) = ea +e-y,m中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1) 證明:/(x)是r上的偶函數(shù)；(2) 若關(guān)于x的不等式rnf(x)<ex +?-1在(0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；*己知正數(shù)

36、q滿足：存在x0 e l,+oo),使得/(x0)<tz(-x +3x0)成立.試比較與 /t的大小，并證明你的結(jié)論.【難度】(1)容易題；(2)中檔題；(3)難題.【答案】證明見解析；m<-.(3)當(dāng)時(shí)，產(chǎn)】3叫當(dāng)“g時(shí)，嚴(yán)二十1, 32 e當(dāng)時(shí),嚴(yán)>嚴(yán)【解析證明:函數(shù))定義域?yàn)樨佬闹甿/(x), 5)是偶函數(shù).由疥蘭八+加一 1得加(/(x)-l)蘭曠"一1,由于當(dāng)x>0時(shí)，孑>1,因此= +八>2,即)we所加兀廠=令匚2丿+：_,'設(shè)心1-幾則t <0, = = z + -1, '.* / <0, *. /+-

37、< -2 (么=一1 時(shí)等號成立)，bp <-2-1 = -3»y ttty<0,所以叨蘭一 1.3 3(3 )由題意，不等式/«<-? + 3x)在1,他)上有解，由/« s(-f+3x)得ax基本初等函數(shù)ii (三角函數(shù))、三角恒等變換) 解三角形【考點(diǎn)與考點(diǎn)要求】三角函數(shù)的概念b同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式b正弦函數(shù).余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式b函數(shù)尹=asm(cox + (p)的圖象與性質(zhì)a兩角和(差)的正弦.余弦及正切c二倍角的正弦.余弦及正切b正弦定理.余弦定理及其應(yīng)用b【典型考題】1. (2011 江蘇)函數(shù) f(x) = asin(69

38、x(p),(a,co,(p是常數(shù),+<0,記力(x)=處'一3處 + &"+廠，妒二 3a(h-l)+e"-廠，顯然h'(1) = 0 ,當(dāng)x>l時(shí)，hx) >0 (因?yàn)槊?gt;0),故函數(shù)蟲0)在1,+oo)上増函數(shù)，蟲0)越卜=加1),于是/?(x) <0在1,400)上有解，等價(jià)于h(x) = a-3a + -<0 ,即>-( + -) >1考察函數(shù) e2 eg(x) = (e-l)ln x-(x-l),(x> 1), g'(x) = - 一1,當(dāng) x = e-1 時(shí)，g'(x)

39、 = 0 ,當(dāng) 1 <x <e-lxg'(x)>0,當(dāng)xm-1時(shí)$(x)<0,即g(x)在上是増函數(shù)，在-1,他)上是減函數(shù)，又g(l) = 0, g(&) = 0, 1 + 】)> 1,所以當(dāng) l(e + l) <x "時(shí),g(x) > 0,即(-l)lnx > x-1,嚴(yán) >嚴(yán),當(dāng) x >e2 q2 q時(shí)，g(x) <0, > 即(e-1)in x <x-1,產(chǎn)】心叫 因此當(dāng)-(e4-) <a <e時(shí)，<ae1 當(dāng)a = e時(shí), 2 e冶i二獷1,當(dāng)qg時(shí)，產(chǎn)i>

40、獷i.【考點(diǎn)】(1)偶函數(shù)的判斷；(2)不等式恒成立間題與函數(shù)的交匯；(3)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，比較大小.所示，則/（0）=【考點(diǎn)】函數(shù)y = asm（cox-（p）的圖象和性質(zhì).特殊角的三角函數(shù)值.【難度】中等題.【答案】雖22. （2011 江蘇考試說明）函數(shù)y=asin（cox+（p）（a, 兀，0上的圖象如圖所示，則少=【考點(diǎn)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與周期.【難度】容易題.【答案】3.3, 0為常數(shù)，力>0, co>0）在閉區(qū)間-3. （2013山東）將函數(shù)y = sin（2x + ）的圖象沿x軸向左平移壬個單位后，得到一個偶函數(shù)8的圖象，則。的一個可能取值為（填序號）

41、“ 3 兀7171 ；一；0；4 44【考點(diǎn)】函數(shù)y = asin（cox（p）的圖象和性質(zhì).【難度】容易題.【答案】*4.（2014江蘇卷5）已知函數(shù)y = cosx與尹二sin（2x + 0）（0w卩v龍），它們的圖象有一個7t橫坐標(biāo)為彳的交點(diǎn)，則0的值是.【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像的交點(diǎn)與已知三角函數(shù)值求角.【難度】容易題.7t【答案】-65. （2010江蘇）定義在區(qū)間（0,號）上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為p, 過點(diǎn)p作ppi丄x軸于點(diǎn)p）,直線pp與尸sinx的圖像交于點(diǎn)凡，則線段ppi的長 為.【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合思想.【難度】中檔題.2【答案】

42、-3*6. （2014 江蘇卷 14）若bc 的內(nèi)角滿足sin+ v2sinb = 2sinc ,510 cosc 的最小值是【難度】中檔題.【答案遁二4【解析】由已知sin j4 + sin5 = 2sinc及正弦定理可得a + 2b = 2c反當(dāng)球冷吟書時(shí)等號成立,所5的最小值為t【若點(diǎn)】正弦定理與余弦定理.tt7t7. （2012全國）已知69>0,函數(shù)廣（兀）= sin（qx + ）在（一，兀）上單調(diào)遞減則e的取值范4 2圍是.【考點(diǎn)】函數(shù)y = asin（a）兀+。）的圖象和性質(zhì).【難度】難題.【答案】2 48. （2013 重慶）求值：4cos50o-tan4（）o=【考點(diǎn)】

43、查兩角和差的正弦公式以及倍角公式. 【難度】中檔題.【答案】v39. （2012江蘇11）設(shè)q為銳角，若cos（cc+¥）=£,則sin（2a+令）的值為.【考點(diǎn)】兩角和（差）的正弦.余弦及正切，二倍角的正弦.余弦及正切. 【難度】難題.【答案】v250*10. （2010江蘇）在銳角三角形 mc中，a. b. c的對邊分別為a. b. c,號+=6cosc,tanc . tarutanc tan5【考點(diǎn)】正弦定理.余弦定理的應(yīng)用，兩角和（差）的正弦.余弦及正切.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.一 題多解.【難度】難題.【答案】411. （2012安徽）設(shè)山bc的內(nèi)角a,b,c所對的邊為a,

44、b,c ,則下列命題正確的有.（填序號）若ab>c則cv務(wù)若q + >2c,則c<|； 若 a3 +d3 =c3,則 c<號；若（a + b）c < lab ,則 c>務(wù)若（a2 +b2）c2 < 2a2b2,則 c>j.【考點(diǎn)】正眩定理.余眩定理的應(yīng)用以及基本不等式.【難度】屮檔題.【答案】*12.滿足條件ab = 2,ac = 42bc的三角形abc的面積的最大值是.【考點(diǎn)】本題主要考查靈活運(yùn)用有關(guān)的基礎(chǔ)知識解決問題的能力. 【難度】難題.【答案】2213. （2008江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以ox軸為始邊做兩個銳角0 , 0,

45、它 們的終邊分別與單位圓相交于力，b兩點(diǎn)，已知b的橫 他標(biāo)分別為返,跡7, tan 0 =扌.105求tan（g + 0）的值； （2）求0 + 20的值.【考點(diǎn)】三角函數(shù)的定義.兩角和的正切.二倍角的正切公式.【難度】容易題.【答案】由條件的c0s6t = ,cos = ,105因?yàn)閍, 0為銳角，所以sino=?返,sin0 =5 ,因此tana105c tan” + tan0(l) tan(” + 0)= =-3 -1一 tana tan p聞20 =理為，所以tan("+20) =竺竺竺込-11-tan23' f i_tanatan20:為銳角，0<+20<

46、;琴，©+20=手.14-（2014江蘇卷15）已知處（討,sinx半(1) 求 sin( + a)的值；4(2) 求 cos(la)的值.6【難度】容易題.【答案】(1)邁；(2) 一上色蘭.10 10【解析】(1)由題意cw卜=_洋,叱八.用、.開咒.v2 .2書、罷75 y/w所以 sin(1-&) = sincos of + cos sm of =x(一) + x= 444252510(2) 由(1)得sin2a = 2sinofcosa. = , cos 2a= 2cos2 ct 1 =,5 5h、. 5tt c . 5tt . _ 羽 3 1 / 4、 3羽+ 4

47、所以 cos(一 2d) - cos cos 2a+sm sin2a = -x- + x(-)=-.6 66252510【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角和與差的正弦、余弦公式.15. (2013上海)已知函數(shù)/(x) = 2sin(ex),其中常數(shù)0)>q.(1) 若卩=門力在上單調(diào)遞增，求/的取值范圍；4 37t(2) 令q=2,將函數(shù)y = /(x)的圖像向左平移一個單位，再向上平移1個單位，得到6函數(shù)y = g(x)的圖像，區(qū)間a,6(a,z?e r且avb)滿足:y = g(x)在a,b上至少含有30 個零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的a,b中，求b-a的最小值.【考點(diǎn)】三

48、角函數(shù)的圖像和性質(zhì).【難度】中檔題.(0 【答案】(1)因?yàn)閝>0,根據(jù)題意有<4 2 0<6><-.2兀兀4cd< 3 2(2)由題意知/(x)= 2sin(2x),所以g(x) = 2sin(2(x + ) + 1 = 2sin(2x + ) +1.63711717g(x) = 0sin(2x h) = x = k7t或 x = kzrk w z、3 2312即g(x)的零點(diǎn)相離間隔依次為蘭和空，故若y = g(x)在a,h上至少含有30個零點(diǎn)，則h-a的最小值為16. (2013 江蘇)已知向:s a=(cosa,sino),方=(cos0,sin0)

49、,其中 0v 0vav?r.若ab=yl2,求證：a丄；(2)設(shè)向量c=(0, 1),若a+=c,求a, 0的值.【考點(diǎn)】向量與三角的綜合，向量的運(yùn)算，同角三角函數(shù)關(guān)系以及方程思想. 【難度】屮檔題.-* -*ii(f f2 -* 2if f 2【答案】(l)v|a-&|=v2:.a-b2=2 即a-b) =a 一2ab + b =2,2 又ta =| a |2= cos2 6z + sin2 a = lf 2fh =h |2=cos2 /? + sin2 /? = 1, / 2 - 2ab = 2 ,即 ab = 0 , a 丄乙.(2) t a + b = (cos a + cos

50、 0, sin a + sin 0) = (0,1),coscr = -cos/?9 sina = l-sin0，.jcosa + cos0 = o, 即 <sin ° + sin/? = 1,兩邊分別平方相加得1 = 2 2sin0,所以sin0 =丄，所以sina =丄2 2"鼻0=丄廠6 617. (2012江蘇)在abc中，己矢口喬口疋 =3厲萬.求證：tan = 3 tan a ；(2)若cosc =豐，求/的值.【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積，三角形屮的基本關(guān)系，兩角和的正切公式，解三角形. 【難度】容易題.【答案】(i)：屈口疋=3厲口龍，a ab ag to

51、s a=3ba bc bos ,即ac tosa=3bc tosb .由正眩定理，得"c = bc ,.sin bos?l=3sin /llosb sin b sin a又 t 0 < / + b < 龍，*. cos a>0, cos b > 0 snbcosb=3曲 cos a即 tan b = 3 tan a .cosc = f,0vc5, sinc =琴.伽c = 2tan龍一(/ + b) = 2,即 tan(/ + b) = 2. tan a + tan 8 = -2 . l '丿'>_ tan/lian b由(1), 得一&

52、quot;an_ = _2 , 解得tan/=l, tan/= 丄.l-3tan23: cosa>q , :. tan a=x , :. a=.4jr118. 在 abc 中，c-a = -f sinb = .23求sin a值；(2)設(shè)ac = y/6 ,求abc的面積.【考點(diǎn)】本題主要考查三角恒等變換.正弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力. 【難度】容易題.tttttt【答案】(1)由 / + b + c = 及c a = ,得2a = 一故0,3224jri并且 cos2 = cos(y - 5) = sin b.即 1 -zsin? =,得sin / =bcsin/由得cos/二

53、聾.又由正弦定理得上£3sin b所以二竺沁=3返因?yàn)閏/ + 4sin b2所以 sinc = sin( + a) = cos a因此，subc =丄y4c-5c sinc =丄/cbccos/=丄x亦><3血 x草= 3“.2 2 2 '19. (2008 北京)已知函數(shù) /'(x) = sin2(ox-4?>sincoxsin(cox + )(69> 0)的最小正周期為兀. 2(1)求。的值；2龍求函數(shù)/(x)在區(qū)間0,上的取值范圍.【考點(diǎn)】二倍角公式，兩角和與差的的三角函數(shù)，函數(shù)y = asin(a)x(p)性質(zhì).【難度】容易題.g&q

54、uot; / 、1-cos269x 巧 c v3 . if 1【査案】(1) f(x) =+ sin2cox=sma)x cos269x4-2 2 2 2 2sin(269x) h.6 2 2龍因?yàn)楹瘮?shù)7w的最小正周期為兀，且少>0,所以 =兀.解得婦1.2697t j由，得 f (x) = sin(2x).6 22tt17t1tt因?yàn)?,所以<2%s 所以<sin (2x) <1. 32626八7t 13所以 0ssin(2x) <.6 2 23即xx)的取值范圍為0,-20. (2010江蘇卷)某興趣小組測量電視塔力e的高度h(單位：m).如示意圖，垂直放置的

55、標(biāo)桿3c的高度力=4m,仰角zabe=a, zlade=p./ * 該小組已經(jīng)測得一組么.0的值，tana=1.24, tan0=1.2o,請據(jù)此算出h的值；g /(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離冰單位：m)，使。與0之差較大，可以提高測量d只精確度.若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問d為多少時(shí)，q 0最大?【考點(diǎn)】解三角形，兩角差的正切以及不等式的應(yīng)用.【難度】中檔題.【答案】=tanp => ad = ,同理 4b =, bd = -. adab=db,adtan ptanatan /?htana4xl24故得麗一石r麗，解得”喬說=?亍刃“24.因此，算出的電視塔的高度h是124m.(2)由題設(shè)知 d = ab ,得 tanz = , tan/? = = = dad db clh _h-hhd所以 trmd tana_tan0 = d_ d()-1 + 嘰伽一| h h_h