2018年全國高考新課標(biāo)3卷理科數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、高考真題高三數(shù)學(xué)第 1 頁 共 7 頁2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課標(biāo)3 卷理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合a=x|x-1 0 ，b=0,1,2，則 ab=( ) a0 b 1 c 1,2 d0,1,2 解析：

2、選c 2(1+i)(2-i)=( ) a-3-i b -3+i c 3-i d3+i 解析：選d 3中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭 若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 ( ) 解析：選a 4若 sin =13，則 cos2 = ( ) a89b79c - 79d- 89解析：選b cos2 =1-2sin2=1-19=895(x2+2x)5的展開式中x4的系數(shù)為 ( ) a10 b 20 c 40 d80 解析：選c 展開式通項(xiàng)為tr+1=c5rx10-2r(2x)r

3、= c5r2rx10-3r，r=2, t3= c5222x4，故選 c 6 直線 x+y+2=0 分別與 x 軸， y 軸交于 a,b 兩點(diǎn)，點(diǎn) p在圓 (x-2)2+y2=2 上，則 abp面積的取值范圍是( ) a2,6 b 4,8 c 2,32 d22,32 解析：選a，線心距d=22,p 到直線的最大距離為32，最小距離為2，|ab|=22,smin=2, smax=6 7函數(shù) y=-x4+x2+2 的圖像大致為 ( ) 高考真題高三數(shù)學(xué)第 2 頁 共 7 頁解析：選d 原函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)t=x2，t 0， f(t)=-t2+t+2, 故選 d 8某群體中的每位成員使用移動支付的概率都

4、為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)x為該群體的10 位成員中使用移動支付的人數(shù)，dx=2.4，p(x=4)p(x=6)= c106(0.4)6(0.6)4，不合。9 abc的內(nèi)角 a，b，c的對邊分別為a， b，c，若 abc的面積為a2+b2-c24，則 c=( ) a2b3c 4d6解析：選c a2+b2-c2=2abcosc,s=12absinc=a2+b2-c24=12abcosc tanc=1 10設(shè) a，b，c，d 是同一個半徑為4 的球的球面上四點(diǎn)，abc為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐d-abc體積的最大值為( ) a123 b 183 c 243 d543 解析：選b ，

5、 abc的邊長為 a=6, abc的高為 33，球心 o到 abc的距離 =42-(23)2=2, 當(dāng) d到 abc的距離為r+2=6時， d-abc體積的最大，最大值=13936=183 11設(shè) f1， f2是雙曲線c: x2a2y2b21(a 0，b 0) 的左，右焦點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)過f2作 c 的一條漸近線的垂線，垂足為p若 |pf1|=6|op| ，則 c的離心率為 ( ) a5 b 2 c 3 d2 解析：選c 設(shè) p(t,- bat),pf2與 y=- bax 垂直，-bta(t-c)=ab解得 t=a2c即 p(a2c,- abc ) |op|=(a2c)2+(-abc)2=a，

6、|pf1|=(a2c+c)2+(-abc)2，依題有 (a2c+c)2+(- abc)2=6a2，化簡得 c2=3a2，故選 c 12設(shè) a=log0.20.3 ，b=log20.3 ，則 ( ) aa+bab0 b aba+b0 ca+b0ab d ab0a+b 解析：選b 0a1 ，b-1,a+b0 ，ab0，0a+bab=1a+1b=1+log20.2log20.3=log22+log20.2log20.3=log20.4log20.3ab 二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1, ) 若 c/(2a+b)，則 =_

7、解析： 2a+b=(4,2), c/(2a+b)則 4=2， =1214曲線 y=(ax+1)ex在點(diǎn) (0,1) 處的切線的斜率為-2 ，則 a=_解析： f (x)= (ax+a+1) ex，f (0)=a+1=-2,a=-3 15函數(shù) f(x)=cos(3x+6) 在0, 的零點(diǎn)個數(shù)為_高考真題高三數(shù)學(xué)第 3 頁 共 7 頁解析：由3x+6=k+2得 x=k3+9,k z，9，49，79為0, 的零點(diǎn)16已知點(diǎn)m(-1,1) 和拋物線c:y2=4x，過 c 的焦點(diǎn)且斜率為k 的直線與c交于 a,b 兩點(diǎn)若 amb=900，則k=_ 解析： k=2三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫出文字說明

8、、證明過程或演算步驟。第17 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 為選考題?？忌鶕?jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17 （ 12 分）等比數(shù)列 an中， a1=1，a5=4a3（1）求 an 的通項(xiàng)公式；（2）記 sn為an 的前 n 項(xiàng)和若sm=63，求 m 解： （1）設(shè) an 的公比為q，由已知得q4=4q2，解得 q=0（舍去），q=-2 或 q=2故 an=(-2)n-1或 an=2n-1（2）若 an=(-2)n-1，則 sm=1-(-2)m3由 sm=63 得(-2)m=-188 ，此方程沒有正整數(shù)解若 an=2n-1，則 sm=2n-1 由 sm=6

9、3 得 2m=64，解得 m=6 綜上， m=6 18 （ 12 分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40 名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20 人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求 40 名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過 m 不超過 m 第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（ 2）中的列表，

10、能否有99% 的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附： k2n(ad bc)2(a b)(a c)(b d)(c d)，臨界值表：p(k2k0) 0.050 0.010 0.001 k03.841 6.635 10.828 解： （ 1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：（i ）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75% 的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80 分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75% 的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79 分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高（ii ）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為855 分鐘，用第二高考真題高三數(shù)學(xué)第 4 頁

11、共 7 頁種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為735 分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80 分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80 分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高（iv ）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8 上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7 上的最多，關(guān)于莖7 大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完

12、成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分（2）由莖葉圖知m=79+812=80列聯(lián)表如下：超過 80 不超過 80 第一種生產(chǎn)方式15 5 第二種生產(chǎn)方式5 15 （3）由于 k2=40(15 15-5 5)220 202020=106.635 ，所以有99% 的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異19 （ 12 分）如圖，邊長為2 的正方形abcd所在平面與半圓弧cd?所在平面垂直，m是cd?上異于 c，d的點(diǎn)（1）證明：平面amd 平面 bmc ；（2）當(dāng)三棱錐m-abc體積最大時，求面mab與面 mcd 所成二面角的

13、正弦值19解：（1）由題設(shè)知，平面cmd 平面 abcd ，交線為cd 因?yàn)?bc cd ，bc平面 abcd ，所以 bc平面 cmd ，故 bc dm 因?yàn)?m為 cd?上異于 c，d的點(diǎn)，且dc為直徑，所以 dmcm 又 bccm=c ，所以 dm 平面 bmc 而 dm平面 amd ，故平面amd 平面 bmc （2）以 d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da的方向?yàn)閤 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d- xyz 當(dāng)三棱錐m - abc體積最大時，m為cd?的中點(diǎn)由題設(shè)得d(0,0,0),a(2,0,0),b(2,2,0),c(0,2,0),m(0,1,1), am=(-2,1,1)，ab=(0,

14、2,0)，da=(2,0,0) 設(shè) n=(x,y,z)是平面 mab 的法向量，則-2x+y+z=0 2y=0可取 n=(1,0,2)da是平面 mcd 的法向量，因此cos=55，sin=255高考真題高三數(shù)學(xué)第 5 頁 共 7 頁所以面 mab 與面 mcd 所成二面角的正弦值是25520 （ 12 分）已知斜率為k 的直線 l 與橢圓 c: x24y231 交于 a，b兩點(diǎn)線段ab的中點(diǎn)為m(1,m)(m0) （1）證明： k- 12；（2）設(shè) f 為 c的右焦點(diǎn)， p為 c上一點(diǎn)，且 fp+fa+fb=0證明： |fa|,|fp|,|fb| 成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差解： （1）設(shè)

15、a(x1,y1) ，b(x2,y2) ，則x124y1231，x224y2231兩式相減，并由k=y1-y2x1-x2得x1+x24+y1+y23k=0 由題設(shè)知x1+x22=1，y1+y22=m ，于是 k= - 34m由題設(shè)得0m32，故 k- 12（2）由題意得f(1,0) ，設(shè) p(x3,y3) ，則 (x3-1,y3)+( x1-1,y1)+( x2-1,y2)=(0,0) 由（ 1）及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1 ，y3=-(y1+y2)=-2m0 又點(diǎn) p在 c上，所以m=34，從而 p(1,- 32) ，|fp|=32于是 |fa|=(x1-1)2+y12=(x1-1)2

16、+3(1-x124)=2-x12同理 |fb|=2-x22所以 |fa|+|fb|=3 故 2|fp|=|fa|+|fb| ，即 |fa|,|fp|,|fb| 成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為d，則 2|d|=12|x1-x2|=12(x1+x2)2-4x1x2將 m=34代入得k=-1 所以 l 的方程為y=-x+74，代入 c的方程，并整理得7x2-14x+14=0故 x1+x2=2, x1x2=128，代入解得 |d|=32128所以該數(shù)列的公差為32128或-3212821 （ 12 分）已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x（1）若 a=0，證明：當(dāng) -1x0 時， f(

17、x)0 時， f(x)0；（2）若 x=0 是 f(x)的極大值點(diǎn)，求a解： （ 1）當(dāng) a=0 時， f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x，f (x) =ln(1+x)- x1+x設(shè)函數(shù) g(x)= f (x) =ln(1+x)- x1+x，則 g(x) = x(1+x)2當(dāng)-1x0 時， g(x) 0 時， g(x) 0故當(dāng) x-1 時， g(x) g(0)=0 ，且僅當(dāng)x=0 時， g(x)=0 ，從而 f (x) 0，且僅當(dāng)x=0 時，f (x)=0所以 f(x) 在(-1,+ ) 單調(diào)遞增又 f(0)=0 ，故當(dāng) -1x0 時， f(x)0 時， f(x)0 高考真題高三數(shù)學(xué)第

18、6 頁 共 7 頁（2）（i ）若 a0，由 (1) 知，當(dāng) x0 時， f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0)，與 x=0 是 f(x)的極大值點(diǎn)矛盾（ii ）若 a0，設(shè)函數(shù)h(x)= f(x)2+x+ax2=ln(1+x)- 2x2+x+ax2由于當(dāng) |x|0，故 h(x) 與 f(x)符號相同又 h(0)=f(0)=0，故 x=0 是 f(x)的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x=0 是 h(x) 的極大值點(diǎn)h(x) = 11+x - 2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)(2+x+ax2)2=x2(a2x2+4ax+6a+1)(x+1)(2+x+ax2)2如果 6a+10，則當(dāng) 0 x

19、- 6a+14a，且 |x|0，故 x=0 不是 h(x) 的極大值點(diǎn)如果 6a+10，則 a2x2+4ax+6a+1=0 存在根 x10，故當(dāng) x(x1,0) ，且 |x|min1, 1|a|時， h(x) 0； 當(dāng) x(0,1)時， h(x) 0 所以 x=0 是 h(x) 的極大值點(diǎn)，從而x=0 是 f(x) 的極大值點(diǎn)綜上， a= -16（二）選考題：共10 分。請考生在第22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （ 10 分）在平面直角坐標(biāo)系xoy 中， o的參數(shù)方程為x=cos y=sin （為參數(shù)） ，過點(diǎn) (0,- 2) 且傾斜角為的直線 l 與 o交于 a,