高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破難點(diǎn)25圓錐曲線綜合題

1、難點(diǎn) 25 圓錐曲線綜合題圓錐曲線的綜合問(wèn)題包括：解析法的應(yīng)用，與圓錐曲線有關(guān)的定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題、應(yīng)用題和探索性問(wèn)題，圓錐曲線知識(shí)的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識(shí)和三角、復(fù)數(shù)等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形認(rèn)識(shí)能力，要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算，推理轉(zhuǎn)換， 并在運(yùn)算過(guò)程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整 . 難點(diǎn)磁場(chǎng)( )若橢圓2222byax=1(ab0)與直線l：x+y=1 在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求 a、b 所滿足的條件，并畫出點(diǎn)p(a,b)的存在區(qū)域 . 案例探究例 1已知圓k 過(guò)定點(diǎn)a(a,0)(a 0),圓心 k 在拋物線c：y

2、2=2ax 上運(yùn)動(dòng)， mn 為圓 k在 y 軸上截得的弦 . (1)試問(wèn) mn 的長(zhǎng)是否隨圓心k 的運(yùn)動(dòng)而變化？(2)當(dāng)|oa|是|om|與 |on|的等差中項(xiàng)時(shí)，拋物線c 的準(zhǔn)線與圓k 有怎樣的位置關(guān)系？命題意圖：本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識(shí)及學(xué)生綜合、靈活處理問(wèn)題的能力，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：弦長(zhǎng)公式，韋達(dá)定理，等差中項(xiàng)，絕對(duì)值不等式，一元二次不等式等知識(shí). 錯(cuò)解分析：在判斷d 與 r 的關(guān)系時(shí)， x0的范圍是學(xué)生容易忽略的. 技巧與方法：對(duì)第(2)問(wèn)，需將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為判斷d=x0+2a與 r=ax20的大小 . 解： (1)設(shè)圓心 k(x0,y0),且 y02=2ax0, 圓 k 的半徑

3、 r=|ak|=2202020)(axyax|mn|=2202202022xaxxr=2a(定值 ) 弦 mn 的長(zhǎng)不隨圓心k 的運(yùn)動(dòng)而變化 . (2)設(shè) m(0,y1)、n(0,y2)在圓 k： (x x0)2+(yy0)2=x02+a2中，令 x=0，得 y22y0y+y02a2=0 y1y2=y02 a2|oa|是|om|與|on|的等差中項(xiàng) . |om|+|on|=|y1|+|y2|=2|oa|=2a. 又|mn|=|y1y2|=2a|y1|+|y2|=|y1y2| y1y2 0，因此 y02a20,即 2ax0a20. 0 x02a. 圓心 k 到拋物線準(zhǔn)線距離d=x0+2a a,而

4、圓 k 半徑 r=220axa. 且上兩式不能同時(shí)取等號(hào)，故圓k 必與準(zhǔn)線相交 . 例 2如圖，已知橢圓122mymx=1(2m5),過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1 的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)閍、b、 c、d，設(shè) f(m)=|ab| |cd| (1)求 f(m)的解析式；(2)求 f(m)的最值 . 命題意圖： 本題主要考查利用解析幾何的知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值， 體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合.屬級(jí)題目. 知識(shí)依托： 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，韋達(dá)定理， 根的判別式， 利用單調(diào)性求函數(shù)的最值. 錯(cuò)解分析：在第(1)問(wèn)中，要注意驗(yàn)證當(dāng)2m5 時(shí)，直線與橢圓恒有交點(diǎn). 技巧與方法：第(

5、1)問(wèn)中，若注意到xa,xd為一對(duì)相反數(shù)，則可迅速將|ab| |cd|化簡(jiǎn) .第(2)問(wèn)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法. 解：(1)設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則 a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1 橢圓的焦點(diǎn)為f1(1,0),f2(1,0). 故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=ca2,即 x=m. a(m,m+1),d(m,m+1) 考慮方程組11122mymxxy,消去 y 得： (m1)x2+m(x+1)2=m(m 1) 整理得： (2m1)x2+2mx+2mm2=0 =4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5, 0 恒成立， xb

6、+xc=122mm. 又 a、b、c、 d 都在直線 y=x+1 上|ab|=|xb xa|=2=(xbxa)22,|cd|=2(xdxc) |ab|cd|=2|xbxa+xdxc|=2|(xb+xc)(xa+xd)| 又 xa=m,xd=m,xa+xd=0 |ab|cd|=|xb+xc|22=|mm212|22=mm222(2m5) 故 f(m)=mm222，m 2,5. (2)由 f(m)=mm222，可知 f(m)=m1222又 2212m1251f(m)324,9210故 f(m)的最大值為324，此時(shí) m=2;f(m)的最小值為9210，此時(shí) m=5. 例 3艦 a 在艦 b 的正東

7、 6 千米處，艦c 在艦 b 的北偏西30且與 b 相距 4 千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動(dòng)物，某時(shí)刻a發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，4秒后 b、c 同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)，a 發(fā)射麻醉炮彈 .設(shè)艦與動(dòng)物均為靜止的，動(dòng)物信號(hào)的傳播速度為1 千米 /秒，炮彈的速度是3320g千米 /秒，其中g(shù) 為重力加速度，若不計(jì)空氣阻力與艦高，問(wèn)艦a 發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？命題意圖：考查圓錐曲線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托： 線段垂直平分線的性質(zhì)，雙曲線的定義，兩點(diǎn)間的距離公式，斜拋運(yùn)動(dòng)的曲線方程 . 錯(cuò)解分析：答好本題，除要準(zhǔn)確地把握好點(diǎn)p 的位置 (既在線段bc 的垂直平分線上，

8、又在以 a、b 為焦點(diǎn)的拋物線上)，還應(yīng)對(duì)方位角的概念掌握清楚. 技巧與方法：通過(guò)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題來(lái)求解.對(duì)空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時(shí)間差來(lái)建立方程. 解：取 ab 所在直線為x 軸，以 ab 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由題意可知， a、 b、c 艦的坐標(biāo)為 (3，0)、(3，0)、(5，23). 由于 b、c 同時(shí)發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，記動(dòng)物所在位置為p，則 |pb|=|pc|.于是 p 在線段 bc 的中垂線上，易求得其方程為3x 3y+73=0. 又由a、b 兩艦發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)的時(shí)間差為4 秒，知 |pb| |p a|=4，故知p 在雙曲

9、線5422yx=1 的右支上 . 直線與雙曲線的交點(diǎn)為(8，53)，此即為動(dòng)物p 的位置，利用兩點(diǎn)間距離公式，可得|pa|=10. 據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式，得kpa=3,所以直線p a 的傾斜角為60,于是艦a 發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30. 設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是，初速度v0=3320g，則cos10sin200vgv, sin2=231020vg,仰角 =30 . 錦囊妙計(jì)解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、 圖形與幾何性質(zhì)， 注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的 . (1)對(duì)于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，需構(gòu)造

10、參數(shù)滿足的不等式，通過(guò)求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域. (2)對(duì)于圓錐曲線的最值問(wèn)題，解法常有兩種：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義， 可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( )已知 a、b、c 三點(diǎn)在曲線y=x上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1 m 4)，當(dāng) abc 的面積最大時(shí)，m 等于 ( ) a.3 b.49c.25d.232.( )設(shè) u,vr，且 |u|2,v0,則(uv)2+(vu922)2的最小值為 ( ) a.4 b.2 c

11、.8 d.22二、填空題3.( )a 是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，o 是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)p，使opa=2,則橢圓離心率的范圍是_. 4.( )一輛卡車高3 米，寬1.6 米，欲通過(guò)拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長(zhǎng)，若拱口寬為a 米，則能使卡車通過(guò)的a 的最小整數(shù)值是_. 5.( )已知拋物線y=x21 上一定點(diǎn)b(1，0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)p、q，當(dāng) p 在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)， bppq，則 q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_. 三、解答題6.( )已知直線y=kx1 與雙曲線x2y2=1 的左支交于a、 b 兩點(diǎn)，若另一條直線 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(2，0)及線段 ab 的中點(diǎn) q，求直線l 在 y

12、軸上的截距b 的取值范圍 . 7.( )已知拋物線c：y2=4x. (1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線c 的焦點(diǎn) f 及準(zhǔn)線 l 分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn) b 與焦點(diǎn) f 連線中點(diǎn) p 的軌跡方程；(2)若 m(m,0)是 x 軸上的一定點(diǎn)，q 是(1)所求軌跡上任一點(diǎn)，試問(wèn)|mq|有無(wú)最小值？若有，求出其值；若沒有，說(shuō)明理由. 8.( )如圖，為半圓， ab 為半圓直徑， o 為半圓圓心，且 odab， q 為線段 od 的中點(diǎn)，已知|ab|=4，曲線 c 過(guò)q 點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 在曲線 c 上運(yùn)動(dòng)且保持|pa|+|pb|的值不變 . (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線c 的方程；(2)

13、過(guò) d 點(diǎn)的直線l 與曲線 c 相交于不同的兩點(diǎn)m、 n，且 m 在 d、n 之間，設(shè)dndm=，求 的取值范圍 . 學(xué)法指導(dǎo)怎樣學(xué)好圓錐曲線圓錐曲線將幾何與代數(shù)進(jìn)行了完美結(jié)合.借助純代數(shù)的解決手段研究曲線的概念和性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了坐標(biāo)系那天就已經(jīng)開始. 高考中它依然是重點(diǎn)，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有.為此需要我們做到：1.重點(diǎn)掌握橢圓、 雙曲線、 拋物線的定義和性質(zhì).這些都是圓錐曲線的基石，高考中的題目都涉及到這些內(nèi)容. 2.重視求曲線的方程或曲線的軌跡，此處作為高考解答題的命題對(duì)象難度較大.所以要掌握住一般方法：定義法、直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法

14、、參數(shù)法等. 3.加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題的復(fù)習(xí).此處一直為高考的熱點(diǎn).這類問(wèn)題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問(wèn)題， 因此分析問(wèn)題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決.這樣加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查 . 4.重視對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡(jiǎn)化解題過(guò)程. (1)方程思想解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡(jiǎn)化解題運(yùn)算量. (2)用好函數(shù)思想方法對(duì)于圓錐曲線上的一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量， 從而使一些線的長(zhǎng)

15、度及a,b,c,e 之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問(wèn)題時(shí)就很有效. (3)掌握坐標(biāo)法坐標(biāo)法是解決有關(guān)圓錐曲線問(wèn)題的基本方法.近幾年都考查了坐標(biāo)法，因此要加強(qiáng)坐標(biāo)法的訓(xùn)練 . 參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：由方程組112222byaxyx消去 y,整理得 (a2+b2)x22a2x+a2(1b2)=0 則橢圓與直線l 在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件是方程在區(qū)間(0，1）內(nèi)有兩相異實(shí)根，令f(x)=(a2+b2)x22a2x+a2(1b2),則有0101010100)1() 1(0)1()0(0)1)(442222222222222222baabbababaabaabfbafbbaaa同時(shí)滿足

16、上述四個(gè)條件的點(diǎn)p(a,b)的存在區(qū)域?yàn)橄聢D所示的陰影部分：殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、 1.解析：由題意知a(1，1)，b(m,m),c(4,2). 直線 ac 所在方程為x 3y+2=0, 點(diǎn) b 到該直線的距離為d=10|23|mm. |41)23( |21|23|2110|23|1021|212mmmmmdabsabcm(1,4),當(dāng)23m時(shí)， sabc有最大值，此時(shí)m=49. 答案： b 2.解析： 考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2 上的點(diǎn)與雙曲線xy=9 上的點(diǎn)的距離的最小值 . 答案： c 二、 3.解析：設(shè)橢圓方程為2222byax=1(ab0),以 oa 為直徑的圓：x2ax

17、+y2=0,兩式聯(lián)立消y 得222abax2ax+b2=0.即 e2x2ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達(dá)定理x2=2eaa,0 x2a，即 02eaaa22e1. 答案：22e1 4.解析：由題意可設(shè)拋物線方程為x2=ay,當(dāng) x=2a時(shí)，y=4a；當(dāng) x=0.8 時(shí)，y=a64. 0.由題意知aa64.043,即 a212a2.560.解得 a 的最小整數(shù)為13. 答案： 13 5.解析：設(shè)p(t,t21)，q(s,s21) bppq,tststt)1()1(11222=1, 即 t2+(s1)ts+1=0 tr,必須有 =(s1)2+4(s1)0.即 s2+2s30, 解

18、得 s 3 或 s1. 答案： ( ,31,+) 三、 6.解：設(shè) a(x1,y1）,b(x2,y2). 由1122yxkxy,得(1 k2） x2+2kx2=0, 又直線 ab 與雙曲線左支交于a、b 兩點(diǎn)，故有0120120)1(8)2(01221221222kxxkkxxkkk解得2k 1 .222),22, 1(22)1,2(,222, 0).2(221221211120111,12),(22222200200221000bbkkkkkbxxkkylkkkkkxylkkxykkxxxyxq或即又則令的方程為的斜率為則設(shè)7.解：由拋物線y2=4x,得焦點(diǎn) f(1,0),準(zhǔn)線 l：x=1. (1)設(shè) p(x,y)，則 b(2x1,2y),橢圓中心o,則|fo|bf|=e,又設(shè)點(diǎn)b 到 l 的距離為d,則|bf|d=e, |fo |bf|=|bf|d,即(2x2)2+(2y)2=2x(2x 2),化簡(jiǎn)得 p 點(diǎn)軌跡方程為y2=x1(x1). (2)設(shè)q(x,y),則 |mq|=22)(y