42直線、射線、線段（基礎）知識講解

1、直線、射線、線段（基礎）知識講解撰稿：孫景艷 審稿：趙煒【學習目標】1. 理解總線、射線、線段的概念，掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；2. 利用直線、線段的性質(zhì)解決相關實際問題；3. 利用線段的和差倍分解決相關計算問題.【要點梳理】要點一、直線1. 概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形z,是一個不作定義的原始概念，直線常用 “一根拉得緊的細線”、“一張紙的折痕”等實際事物進行形象描述.2. 表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個點的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示 為直線ab （或直線ba）.（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線/.3基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點有一條肓線，并且只有一

2、條玄線.簡單說成：兩點確定一條肓線. 要點詮釋： 肓線的特征：（1）肓線沒有長短，向兩方無限延伸.（2）直線沒有粗細.（3）兩點確定一條直線.（4）兩條直線相交有唯一一個交點.4. 點與直線的位置關系:（1）點在直線上，如圖3所示，點a在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點a.（2）點在直線外，如圖4,點b在直線n外，也可以說：直線n不經(jīng)過點b.要點二、線段1. 概念：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段.2. 表示方法：（1）線段可用表示它兩個端點的兩個人寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段ab或線段ba.（2）線段也可用一個小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a.aab圖53“作一條線段

3、等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段.例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線ac±截取ab =a.a法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段.例如：可以先量岀線/ 段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段.atbc 4.基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最如.簡記為：兩點之間,線段最短.如圖6所示，在a, b兩點所連的線中，線段ab的氏度是最煎的.要點詮釋：(1) 線段是直的，它冇兩個端點，它的長度是冇限的，可以度量，町以比較長短(2) 連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.(3) 線段的比較： 度雖法：用刻度尺量出兩條線段的氏度，再比較氏短. 疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段

4、放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個 端點位于重合端點同側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠近來比較長短.5線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的屮點.如圖7所示，點c 是線段ab的中點，則ac = cb =丄ab,或ab = 2ac=2bc.2 acb圖7要點詮釋：若點c是線段ab的中點，則點c 一定在線段ab ±.要點三、射線1概念：直線上一點和它一側(cè)的部分叫射線，這個點叫射線的端點.如圖8所示，直線1上點0和它一旁的部分是一條射線，點o是端點.2.特征：是直的，有一個端點，不可以度量，不可以比較長短，無限長.3表示方法：(1)可以用兩個人寫英文字母表示，其中一

5、個是射線的端點，另一個是射線上 除端點外的任意一點，端點寫在前面，如圖8所示，可記為射線oa.(2)也可以用一個小寫英文字母表示，如圖8所示，射線0a可記為射線要點詮釋：(1)端點相同，而延伸方向不同，表示不同的射線如圖9中射線0a,射線0b是不同的 射線.boa圖9(2)端點和同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線.如圖10中射線0a、射線ob、 射線oc都表示同一條射線.o a b c要點四、直線圖卿線、線段的區(qū)別與聯(lián)系1直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是豈線上的一部分，即整體與部分的關系.在總線上任収一點，則可將 直線分成兩條射線；在直線上取兩點，則可將直線分為一條線段和四

6、條射線.（2）將射線反向延伸就可得到肓線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得 到直線.2.三者的區(qū)別如下表稱類別、直線射線線段圖形ab 1ab 1ab!表示方法 兩個大寫字母； 一個小寫字母 兩個大寫字母（襄示 軸點的字母在前）； 一個小每宇母表示兩端點的兩 個大寫字母;一個 小寫字母端點個數(shù)無1個2個延伸性向兩方無限延伸向一方無限延伸不可延伸性質(zhì)兩點確定一條直線兩點之間，線段聶短不可以不可以可以作圖敘述過作直hab以a為端點作射線連接初要點詮釋：（1）聯(lián)系與區(qū)別可表示如2（2）在表示直線、射線與線段時，勿忘在字母的前面寫上“直.線”“射線”“線段”字樣.【典型例題】類型一、相關概

7、念p 1.下列說法中，正確的是（）a. 射線0a與射線a0是同一條射線b. 線段ab與線段ba是同一條線段c. 過一點只能畫一條直線d. 三條總線兩兩相交，必有三個交點【答案】b【解析】射線0a的端點是0,射線a0的端點是a,所以射線0a與射線a0不是同一條射線, 故a錯誤；過一點能畫無數(shù)條直線，所以c錯誤；三條直線兩兩相交，冇三個交點或一個交 點（三條直線相交于一點時），所以d錯誤；線段ab與線段ba是同一條線段，所以13正確.【總結(jié)升華】直線和線段用兩個大寫字付表示時,與字母的前后順序無關，但射線必須是表示端點的字母寫在前面，不能互換.舉一反三：【變式1】以下說法中正確的是（)a.延長線段

8、ab到cb.延長射線abc.自線ab的端點之一是ad.延長射線0a到c【答案】a【變式2】如圖所示，請分別指出圖屮的線段、射線和直線的條數(shù)，并把它們分別表示出來.ab c 【答案】解：如下圖所示，在直線上點a左側(cè)和點c右側(cè)分別任取點x和y.ab c11ii1xy圖中有6條射線:射線ax、射線ay、射線bx、射線by、射線cx、射線cy.有3條線段：線段ab （或ba）、線段bc （或cb）、線段ac （或ca）有1條直線：直線ac （或ab, bc）.類型二、有關作圖p 2.如圖所示，線段a, b,且a>b.,b |用圓規(guī)和直尺畫線段：（l）a+b； （2）a-b.【答案與解析】解：（1

9、）畫法如圖（1）,畫直線af,在直線af上畫線段ab=a,再在ab的延長線上畫線段 bc=b,線段ac就是a與b的和,記作ac=a+b. 畫法如圖（2）,畫直線af,在直線af上畫線段ab=a,再在線段ab上畫線段bd=b, 線段ad就是a與b的差，記作ad=ab.b士a b c f ad bf（1） （2）【總結(jié)升華】在畫線段時，為使結(jié)果更準確，一般用直尺畫在線，用圓規(guī)最取線段的長度. 舉一反三：【變式1】下列語句正確的是（）a.畫直線ab = 10cmb.畫直線ab的垂直平分線c.畫射線0b = 3cmd.延長線段ab到c使bc=ab【答案】d【高清課堂：直線、射線、線段397363按語句

10、畫圖3 （3）【變式2】用直尺作圖：p是直線曰外一點，過點p冇一條線段&與直線日不相交.【答案】解：類型三、有關條數(shù)及長度的"計算w 3.如圖，a、b、c、d為平面內(nèi)任意三點都不在同一條宜線上的四點，那么過其中兩點，可呵出條直線.【思路點撥】根據(jù)兩點確定一條直線即可計算出宜線的條數(shù).【答案】6條直線【解析】由兩點確定一條直線知，點a與b, c,d三點各確定一條直線，同理點b與c、d各 確定一條直線，c與d確定一條直線，綜上：共有直線：3+2+1二6 （條）【總結(jié)升華】平而上有”個點，其中任意三點不在一條直線上，則最多確定的直線條數(shù)為：1 + 2 + 3 + . + （比一1）

11、=篤1）舉一反三：【變式1】如圖所示，已知線段ab上有三個定點c、d、e. iili一i（1）圖中共育兒條線段？acdee（2）如果在線段cd上增加一點，則增加了幾條線段？你能從屮發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？【答案】解：（1）線段的條數(shù)：4 + 3 + 2+1 = 10（條）；（2）如果在線段cd上增加一點p,則1）與其它五個點各組成一條線段，因此，增加了 5 條線段.（注解：若在線段ab上增加一點，則增加2條線段，此時線段總條數(shù)為1+2；若再增加一 點，則又增加了 3條線段，此時線段總條數(shù)為1 +2 + 3；當線段ab上增加到n個點（即 增加口一2個點）時，線段的總條數(shù)為1+2 +（n-l）=丄門（n-

12、1）.）2【變式2】）如圖直線m上有4個點a、b、c、d,則圖屮共有條射線.【答案】8 莎4.如圖所示，ab=40,點c為咖中點，點d為cb上的點，點e是的中點, 且eb=5,求cd的長.ac deb【思路點撥】顯然cd=cb-bd，要求cd的長，應先確定03和bd的長.【答案與解析】解：因為ab=40，點c為ab的中點，所以 cb = -ab = -x40 = 20.2 2因為點e為bd的中點,eb=5,所以 bd=2eb=10.所以 cd=cb-bd=20-10=10.【總結(jié)升華】求線段的長度，注意圍繞線段的和、差、倍、分展開，若每一條線段長度均已 確定，所求問題便可迎刃而解.【高清課堂：

13、直線、射線、線段397363畫圖計算例2】舉一反三：【變式】在直線/上按指定方向依次取點a、b、c、d,且使ab： bc： cd二2： 3： 4,如圖所 示,若ab的中點m與cd的中點n的距離是15cm,求ab的長.【答案】解:依題意,設ab=2x cm,那么bc=3x cm, cd=4x cm.則有：mn二bm+bc+cn二 x+3x+2x=15m： x=-2所以 ab=2x =2x= 5cm.2類型四、最短問題p 5.如圖所示，在一條筆直公路a的兩側(cè)，分別冇a、b兩個村莊，現(xiàn)要在公路。上建 一個汽車站c,使汽車站到a、b兩村的距離z和最小，問汽車站c的位置應如何確定？b【答案與解析】解：如圖，連接ab與直線a交于點c,這個點c的位宜就是符合條件的汽車站的位直./ a7c4【總結(jié)升華】“兩點z間線段最短”在實際生活中冇廣泛的應用，此類問題要與線段的性質(zhì) 聯(lián)系起來，這里線段最短是指線段的長度最短，連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離, 線段是圖形，線段長度是數(shù)值.舉一