論文 淺談反證法

1、.華中師范大學(xué)高等教育自學(xué)考試本科畢業(yè)生論文評(píng)審表論文題目：淺談反證法準(zhǔn)考證號(hào)： 姓 名：* 專業(yè)：數(shù)學(xué)教育 學(xué)生類型：獨(dú)立本科段 (助學(xué)班/獨(dú)立本科段)2011年 12 月 20日華中師范大學(xué)高等教育自學(xué)考試辦公室印制論 文 內(nèi) 容 摘 要摘 要：在數(shù)學(xué)的諸多證明方法中,有一種被稱為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”的間接證明方法,這就是反證法。它與一般證明方法不同，反證法又可分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種。只要抓住要領(lǐng)，反證法就能使一些不易直接證明的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、易證，它在數(shù)學(xué)證題中確有奇效。本文闡述反證法的概念、步驟，依據(jù)及分類。反證法如何正確的作出反設(shè)及導(dǎo)出矛盾，及何時(shí)宜用反證法，反證法在中學(xué)

2、中最常用的證明的題型展示，反證法的綜合思路分析。關(guān)鍵詞：反證法 歸謬法 矛盾 假設(shè) Abstract: Of the many ways to prove in mathematics, there is a known as "one of the most sophisticated weapons mathematicians" indirect evidence method, this is required. It and general proof method is different, can divide again to be infallible e

3、xhaustion and their domains required two kinds. As long as the hold the main point, apagoge can make some not easy direct proof of the questions simple, easy card, it in mathematics card questions does surprise effect. This paper expounds the concept, steps required, basis and classification. How to

4、 make the reduction to set and export contradictions, and when appropriate USES counter-evidence method, apagoge is the most commonly used in high school in the proof of the topic show, apagoge is comprehensive thought analysis. Key word: GuiMiuFa contradiction be hypothesis(本欄由論文作者填寫(xiě))目 錄1引言12反證法的定義

5、及步驟22.1反證法的定義22.2反證法的步驟23反證法的邏輯依據(jù)及分類33.1反證法的邏輯依據(jù)33.2反證法的分類34反證法如何正確的作出反設(shè)45反證法如何正確的導(dǎo)出矛盾76何時(shí)宜用反證法86.1基本命題，即學(xué)科中的起始性命題86.2命題結(jié)構(gòu)采取否定形式,結(jié)論反面卻是肯定判斷96.3有關(guān)唯一性的問(wèn)題96.4命題結(jié)論是“至多”“至少”形式106.5命題結(jié)論涉及無(wú)限集或數(shù)目不確定的對(duì)象106.6某些起始命題116.7難證的逆命題116.8命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡(jiǎn)單、直接證明難以下手時(shí)117在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的反證法思想的題型分析127.1結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題例127.2有關(guān)結(jié)論

6、是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的一類命題例127.3關(guān)于存在性、唯一性的命題例127.4結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究和掌握的命題例137.5無(wú)窮性命題138結(jié)論14參考文獻(xiàn)161引言南方某風(fēng)水先生到北方看風(fēng)水，恰逢天降大雪。乃作一歪詩(shī)：“天公下雪不下雨，雪到地上變成雨；早知雪要變成雨，何不當(dāng)初就下雨?！彼耐嵩?shī)又恰被一牧童聽(tīng)到，亦作一打油詩(shī)諷刺風(fēng)水先生：“先生吃飯不吃屎，飯到肚里變成屎；早知飯要變成屎，何不當(dāng)初就吃屎。1”實(shí)際上，小牧童正是巧妙運(yùn)用了反證法，駁斥了風(fēng)水先生否定事物普遍運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，只強(qiáng)調(diào)結(jié)果，不要變化過(guò)程的形而上學(xué)的錯(cuò)誤觀點(diǎn)：假設(shè)風(fēng)水先生說(shuō)的是真理，只強(qiáng)調(diào)變化最后的結(jié)果，

7、不要變化過(guò)程也可，那么，根據(jù)他的邏輯，即可得出先生當(dāng)初就應(yīng)吃屎的荒唐結(jié)論。風(fēng)水先生當(dāng)然不會(huì)承認(rèn)這個(gè)事實(shí)了。那么，顯然，他說(shuō)的就是謬論了。這就是反證法的威力，一個(gè)原本復(fù)雜難證的哲學(xué)問(wèn)題被牧童運(yùn)用了“以其人之道，還其人之身”的反證法迎刃而解了。 2反證法的定義及步驟 2.1反證法的定義先提出于結(jié)論相反（相排斥）的假設(shè)，然后推導(dǎo)出和已知證明的定理或公理、定義、題設(shè)、相矛盾的結(jié)果，這樣就證明了于結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，從而肯定了原來(lái)的結(jié)論必定成立，這種間接證明的方法叫反證法2。2.2反證法的步驟用反證法證明一個(gè)命題的步驟大體上可以分為三個(gè)步驟:（1）反設(shè)假設(shè)待證結(jié)論不成立,亦即肯定待證結(jié)論的反面,并將

8、其作為增加條件,添加到給定的題設(shè)中去。（2）歸謬從題設(shè)和反設(shè)出發(fā),通過(guò)推理和論證,最終推出矛盾。（3）結(jié)論說(shuō)明待證命題結(jié)論的反面不能成立,再根據(jù)排中律（否定反面,肯定正面）,從而肯定欲證命題的結(jié)論3。例2.1.1已知： 求證：直線和是異面直線。                           證明：【提出假設(shè)】假設(shè)直線和在同

9、一平面內(nèi)，那么這個(gè)平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)和直線。     【推出矛盾】因?yàn)?，?jīng)過(guò)點(diǎn)和直線 只能有一個(gè)平面                 所以直線與應(yīng)在平面內(nèi)             所以 ,這與已知矛盾。   3反證法的邏輯依據(jù)及分類3.1反證法的邏輯依據(jù)

10、反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)矛盾的思想必有一個(gè)是真的4。排中律常用公式排中律用公式表示為“A或者非A”，即“AØA”。意即真或Ø真。其中和Ø表示兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷。排中律要求人們思維有明確性，避免模柃兩可。它是同一律和矛盾律的補(bǔ)充和發(fā)揮，進(jìn)一步指明正確的思維不僅要求確定，不互相矛盾而且應(yīng)該明確地表示肯定還是否定，不能模柃兩可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允許有邏輯矛盾，違反了排中律，同時(shí)也違反了矛盾律，所以兩者是互相聯(lián)系的。它們的區(qū)別在于：矛盾律指出兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中律則

11、指出兩個(gè)矛盾判斷，不能同假，必有一真。排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)，當(dāng)直接證明某一判斷的正確性有困難時(shí)，根據(jù)排中律，只要證明這一判斷的矛盾判斷是假就可以了。例如，要證明a不是有理數(shù)有困難時(shí)，只要證明a是有理數(shù)為假就可以了。3.2反證法的分類按照反設(shè)所涉及到的情況的多少,反證法可以分為歸謬反證法與窮舉反證法。（1）若結(jié)論的反面只有一種情況,那么,反設(shè)單一,只須駁倒這種情形,便可達(dá)到反設(shè)的目的,這叫歸謬反證法。例3.2.1已知m為整數(shù),且m2是偶數(shù),求證:m為偶數(shù)。分析:本題如果用直接法來(lái)證明的話,給人一種無(wú)從下手的感覺(jué),題目給我們的已知條件是很簡(jiǎn)單的,我們只能從反面去考慮它,由已知條件,我們知道,m

12、為整數(shù),且m2是偶數(shù),所以,我們只需證當(dāng)m為奇數(shù)的時(shí)候m2不是偶數(shù)就可以了。證明:假設(shè)m不是偶數(shù),則m為奇數(shù)。設(shè)m=2k+1(k為整數(shù)),所以于是,m2為奇數(shù),這與已知條件m2是偶數(shù)矛盾。故m為偶數(shù)。（2）若結(jié)論的反面不止一種情形,那么,要將各個(gè)反面情形一一駁倒,才能肯定原命題正確,這叫窮舉反證法。4反證法如何正確的作出反設(shè)運(yùn)用反證法證明命題的第一步是：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。在這一步驟中，必須注意正確的反設(shè)，這是正確運(yùn)用反證法的基礎(chǔ)、前提，正確作出反設(shè),是使用反證法的一大關(guān)鍵否則，如果錯(cuò)誤地“否定結(jié)論”，即使推理、論證再好也都會(huì)前功盡棄。要想正確的做出反設(shè)，必須注意以下幾

13、點(diǎn)：（1）分清命題的條件與結(jié)論,結(jié)論與反設(shè)間的邏輯關(guān)系。 例4.1.1試證合適xy+yz+zx=1的實(shí)數(shù)x、y、z必不能滿足x+y+z=xyz。分析:首先我們要弄清楚題目的意思,根據(jù)題目給我們的意思,我們很難用直接法對(duì)它進(jìn)行證明,所以我們考慮用反證法,同時(shí)我們要注意正確作出反設(shè),由題目我們知道實(shí)數(shù)x、y、z能滿足方程xy+yz+zx=1但不滿足方程x+y+z=xyz,所以我們作出反設(shè)的時(shí)候要設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z既能滿足xy+yz+zx=1,又能滿足x+y+z=xyz。我們知道實(shí)數(shù)x、y、z就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz聯(lián)立起來(lái)的方程組的一個(gè)實(shí)數(shù)根,我們可以根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)去尋找矛

14、盾。對(duì)于含有多個(gè)字母的給定式,在計(jì)算時(shí)盡量設(shè)法減少字母的個(gè)數(shù),這是一個(gè)原則。（2）結(jié)論的反面常常不止一種情形,則需反設(shè)后,分別就各種情況歸謬,做到無(wú)一遺漏。例4.1.2已知： ，求證：。 分析：此題的結(jié)論有兩種情況，其否定只有一種情況>2，因此用反證法證明時(shí)，只要否定了這種情況，就能肯定的這種情況了。證明：假設(shè)>2，則>                      

15、60;                                     > > = = 由此可知：，這與已知矛盾。 例4.1.3已知：平面平面，直線，求證：與也相交。 分析：此題結(jié)論的否定有兩種情況： 

16、;                                     1；2.用反證法證明時(shí)，           

17、;                                 只有把這兩種情況都否定了，才能               &

18、#160;                    肯定與相交。             總之，在否定命題的結(jié)論之前，首先要弄清命題的結(jié)論是什么，當(dāng)命題的結(jié)論的反面非常明顯并且只有一種情形時(shí)是比較容易做出否定的，但命題的結(jié)論的反面是多種情形或者比較隱晦時(shí)，就不太容易做出否定。這時(shí)必

19、須認(rèn)真分析、仔細(xì)推敲，在提出“假設(shè)”后，再回過(guò)頭來(lái)看看“假設(shè)”的對(duì)立面是否恰是命題的結(jié)論。例如：1）結(jié)論：至少有一個(gè)S是P。錯(cuò)誤假設(shè)：至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上S是P,正確假設(shè)：沒(méi)有一個(gè)S是P。例如；2）結(jié)論：最多有一個(gè)S是P。錯(cuò)誤假設(shè)：最少有一個(gè)S是P。正確假設(shè)：至少有兩個(gè)S是P。例如：3）結(jié)論：全部S都是P。錯(cuò)誤假設(shè)：全部的S都不是P。正確假設(shè)：存在一個(gè)S不是P?，F(xiàn)將一些常用詞的否定形式列表如下：原結(jié)論詞假設(shè)詞原結(jié)論詞假設(shè)詞是不是存在不存在都是不都是至少有 n 個(gè)至多有n1個(gè)大（?。┯诓淮螅ㄐ。┯谥炼嘤幸粋€(gè)至少有兩個(gè)    5反證法如何正確的導(dǎo)出矛盾歸謬,

20、是反證法的關(guān)鍵,也是困難所在。初學(xué)者往往作出反設(shè)以后,就邁不開(kāi)步子了,不知往哪里走才能找到矛盾。導(dǎo)出矛盾的過(guò)程,沒(méi)有固定的模式可以套用。要憑借解題者擁有的知識(shí)與具備的能力,要善于從反設(shè)與條件中,抓住蛛絲馬跡,發(fā)現(xiàn)矛盾。此外,有兩點(diǎn)應(yīng)該引起我們注意:1、 導(dǎo)出矛盾,要從反設(shè)出發(fā),否則,推導(dǎo)將成為無(wú)源之水,無(wú)本之木。2、 推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。有人以為反證法就可以不講依據(jù),那是詭辯,只能導(dǎo)致荒謬。一般來(lái)說(shuō),歸謬的情況大致有如下幾種: （1） 推出與公理相矛盾的結(jié)論;（2） 推出與已知定理相矛盾的結(jié)論;（3） 推出與已知定義相矛盾的結(jié)論;（4） 推出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)論;（5） 推出與原命題題設(shè)條件相矛盾的結(jié)

21、論;（6） 推出與逆否命題假設(shè)相矛盾的結(jié)論。6何時(shí)宜用反證法曾有數(shù)學(xué)家贊揚(yáng)反證法是“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”,它在數(shù)學(xué)證題中確有奇效。應(yīng)該指出的是,多數(shù)題目用直接法證明較為簡(jiǎn)捷。究竟什么類型的數(shù)學(xué)題可用這精良的武器去解決呢？對(duì)于“若A則 B”一類的數(shù)學(xué)命題,一般都可以用反證法來(lái)加以證明,當(dāng)然沒(méi)有絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn),但是遇到以下幾類問(wèn)題時(shí)不妨試一試。6.1基本命題，即學(xué)科中的起始性命題此類命題由于已知條件及能夠應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推得的結(jié)論很少，因而直接證明入手較難，此時(shí)應(yīng)用反證法容易奏效。例6.1.1：直線與平面相交于，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)引直線、，求證：。證明：假設(shè)PO不垂直平面。作

22、并與平面相交于H，此時(shí)H、O不重合，連結(jié)OH。由P作于E，于F，根據(jù)三垂線定理可知，。因?yàn)?，PO是公共邊，所以所以又所以所以因此，OH是的平分線。同理可證，OH是的平分線。但是，OB和OC是兩條不重合的直線，OH不可能同時(shí)是和的平分線，產(chǎn)生矛盾。6.2命題結(jié)構(gòu)采取否定形式,結(jié)論反面卻是肯定判斷例6.2.1已知a、b、c、dR，且ad-bc1，求證：。證明：假設(shè)，把a(bǔ)dbc1代入前式得： 即（a+b）2+（b+c）2+（c+d）2+（a-d）20 a、b、c、dRa+bb+cc+da-d0 abcd，從而ad-bc0與ad-bc1矛盾.故假設(shè)不成立，原命題成立.例6.2.2證明2不是方程2x1=

23、0的根。證明：假設(shè)2是方程2x1=0的根，則2×21應(yīng)等于0，實(shí)際上2×21=5，結(jié)果與假設(shè)產(chǎn)生矛盾，故2不是方程2x1=0的根。例6.2.3求證：在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角。已知：A，B，C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角。求證：A，B，C中不能有兩個(gè)鈍角。證明：假如A，B，C中有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)A900,且B900，則A+B+C1800。這與“三角形內(nèi)角和為1800”這一定理相矛盾。 故 A，B均大于900不成立。所以，一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)鈍角。6.3有關(guān)唯一性的問(wèn)題例6.3.1求證：兩條相交直線只有一個(gè)交點(diǎn)。已知：如圖，直線a、b相交于點(diǎn)P,求證：a、b只有一個(gè)交點(diǎn)

24、。證明：假定a，b相交不只有一個(gè)交點(diǎn)P，那么a, b至少有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q。于是直線a是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，直線b也是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，即由P、Q兩點(diǎn)確定了兩條直線a, b。與已知公理“兩點(diǎn)只確定一條直線”相矛盾，則a, b不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，于是兩條相交直線只有一個(gè)交點(diǎn)。例6.3.2求證過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行。已知：點(diǎn)p 直線a。求證：過(guò)點(diǎn)p和直線a平行的直線b有且只有一條。證明：點(diǎn)p a，點(diǎn)p和直線a確定一個(gè)平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)p能作出一條直線與直線a平行(由平面幾何知識(shí)知),故直線b存在。假設(shè)過(guò)點(diǎn)p還有一條直線c與a平行。ab，bc，ac，這與直線b、c共點(diǎn)p矛盾

25、，故假設(shè)不成立，因此直線b唯一。故過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行。6.4命題結(jié)論是“至多”“至少”形式例6.4.1在半徑為 的圓中，有半徑等于1的九個(gè)圓，證明：至少有兩個(gè)小圓的公共部分的面積不小于 。證明：每個(gè)小圓的公共部分的面積都小于 ，而九個(gè)小圓共有 個(gè)公共部分，九個(gè)小圓的公共部分面積要小于 ，又大圓面積為 ，則九個(gè)小圓應(yīng)占面積要大于 ，這是不可能的，故至少有兩個(gè)小圓的公共部分面積不少于 。例6.4.2已知下列三個(gè)方程：x24ax4a3=0，x2(a1)xa2=0，x22ax2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍5。解：假設(shè)方程沒(méi)有一個(gè)實(shí)根，則16a24(34a)&l

26、t;0 ,(a1)24a2<0 , 4a28a<0 ,聯(lián)立解得：<a<1 三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根時(shí),a的取值范圍是aa 1,或a 。例6.4.3求證一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)最多有兩個(gè)不相等的實(shí)根。證明：假設(shè)方程有三個(gè)不相等的實(shí)根x1、x2、x3則： ax12+bx1+c=0 ax22+bx2+c=0 ax32+bx3+c=0 由-式得：a(x1+x2)+b=0 由-式得：a(x1+x3)+b=0 由-式得：a(x2-x3)=0因?yàn)閍0，所以x2-x3=0，即x2=x3，這與假設(shè)x1x2x3矛盾，所以原方程最多只有兩個(gè)不相等的實(shí)根。6.5命題結(jié)論涉

27、及無(wú)限集或數(shù)目不確定的對(duì)象例6.5.1證明素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)。 證明:假設(shè)素?cái)?shù)是有限個(gè),則必有最大的素?cái)?shù)。記此最大的素?cái)?shù)為p,n=(2· 3· 5· 7p)+1n被任一個(gè)素?cái)?shù)除時(shí)它的余數(shù)必等于1。即n除掉1與n外已無(wú)其他的約數(shù)。因此,n是個(gè)素?cái)?shù)且是比p大的數(shù)。但這是與p為最大的素?cái)?shù)相矛盾的。命題成立。6.6某些起始命題例6.6.1在同一平面設(shè)有四條直線a,b,c,d。若a與b相交,ca,db,則c與d也相交。證明:假設(shè)cd。因?yàn)閍c,所以ad;又因?yàn)閎d,所以ab。這與已知條件a與b相交矛盾。故c與d也相交。6.7難證的逆命題注意:許多問(wèn)題的證明,需要用反證法,但又不

28、僅僅局限于反證法,常常要將反證法與其他數(shù)學(xué)方法聯(lián)合使用,正面與反面同時(shí)考慮才能解決。6.8命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡(jiǎn)單、直接證明難以下手時(shí)例6.8.1設(shè)a、b都是整數(shù)，a2+b2 能被3整除，求證：a和b都能被3整除.證明：假設(shè)a、b不都能被3整除，分三種情況討論：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不能被3整除，矛盾.同理可證第三種情況.由（1）（2）（3）得，原命題成立.例6.8.3證明素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)。證明:

29、假設(shè)素?cái)?shù)是有限個(gè),則必有最大的素?cái)?shù)。記此最大的素?cái)?shù)為p,作n=(2· 3· 5· 7p)+1n被任一個(gè)素?cái)?shù)除時(shí)它的余數(shù)必等于1。即n除掉1與n外已無(wú)其他的約數(shù)。因此,n是個(gè)素?cái)?shù)且是比p大的數(shù)。但這是與p為最大的素?cái)?shù)相矛盾的。命題成立?？傊?，反證法證明問(wèn)題均是兩面性的問(wèn)題，即一個(gè)問(wèn)題只有正反兩個(gè)方面的結(jié)論，若否定了其中一個(gè)方面，就能肯定另一個(gè)方面。證明的方法不是直接地證明，而是首先假設(shè)問(wèn)題的反面，然后根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理、論證，從而得到與事實(shí)或條件不相符合的結(jié)論，從而證明原命題的正確性 ！對(duì)于“若p則q”型的數(shù)學(xué)命題，一般都能用反證法證明，但難易程度會(huì)有所不同

30、。因此，盡管反證法是一種重要的證明命題的方法，也不能把所有的命題都用反證法來(lái)證明。在證明命題時(shí)，要首先使用直接證法，若有困難時(shí)再使用反證法。7在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的反證法思想的題型分析7.1結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題例 例7.1.1設(shè)a,b,c,d為自然數(shù),且滿足條件n2abcd(n+1)2,n是大于1的自然數(shù)。試證:adbc分析:題中a,b,c,d四個(gè)數(shù)均不是具體的數(shù),所以我們想辦法減少未知量的個(gè)數(shù),再對(duì)他們進(jìn)行巧妙的變形,使之成為我們可利用的資源。7.2有關(guān)結(jié)論是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的一類命題例 例7.2.1設(shè)ABC不是正三角形,則A,B,C在之中至少有一個(gè)大于60°。分析:同學(xué)們?cè)谧鲞@類題的時(shí)候反設(shè)容易出錯(cuò),由題目我們知道,至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°的意思是:A,B,C中,有一個(gè)不小于60°,或者有2個(gè)不小于60°,或者有3個(gè)不小于60°。那么,它的反面當(dāng)然是有0個(gè)不小于60°,即A,B,C都小于60°