論文 淺談反證法

1、.華中師范大學高等教育自學考試本科畢業(yè)生論文評審表論文題目：淺談反證法準考證號： 姓 名：* 專業(yè)：數(shù)學教育 學生類型：獨立本科段 (助學班/獨立本科段)2011年 12 月 20日華中師范大學高等教育自學考試辦公室印制論 文 內(nèi) 容 摘 要摘 要：在數(shù)學的諸多證明方法中,有一種被稱為“數(shù)學家最精良的武器之一”的間接證明方法,這就是反證法。它與一般證明方法不同，反證法又可分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種。只要抓住要領(lǐng)，反證法就能使一些不易直接證明的問題變得簡單、易證，它在數(shù)學證題中確有奇效。本文闡述反證法的概念、步驟，依據(jù)及分類。反證法如何正確的作出反設(shè)及導(dǎo)出矛盾，及何時宜用反證法，反證法在中學

2、中最常用的證明的題型展示，反證法的綜合思路分析。關(guān)鍵詞：反證法 歸謬法 矛盾 假設(shè) Abstract: Of the many ways to prove in mathematics, there is a known as "one of the most sophisticated weapons mathematicians" indirect evidence method, this is required. It and general proof method is different, can divide again to be infallible e

3、xhaustion and their domains required two kinds. As long as the hold the main point, apagoge can make some not easy direct proof of the questions simple, easy card, it in mathematics card questions does surprise effect. This paper expounds the concept, steps required, basis and classification. How to

4、 make the reduction to set and export contradictions, and when appropriate USES counter-evidence method, apagoge is the most commonly used in high school in the proof of the topic show, apagoge is comprehensive thought analysis. Key word: GuiMiuFa contradiction be hypothesis(本欄由論文作者填寫)目 錄1引言12反證法的定義

5、及步驟22.1反證法的定義22.2反證法的步驟23反證法的邏輯依據(jù)及分類33.1反證法的邏輯依據(jù)33.2反證法的分類34反證法如何正確的作出反設(shè)45反證法如何正確的導(dǎo)出矛盾76何時宜用反證法86.1基本命題，即學科中的起始性命題86.2命題結(jié)構(gòu)采取否定形式,結(jié)論反面卻是肯定判斷96.3有關(guān)唯一性的問題96.4命題結(jié)論是“至多”“至少”形式106.5命題結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的對象106.6某些起始命題116.7難證的逆命題116.8命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡單、直接證明難以下手時117在中學數(shù)學中常用的反證法思想的題型分析127.1結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題例127.2有關(guān)結(jié)論

6、是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的一類命題例127.3關(guān)于存在性、唯一性的命題例127.4結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究和掌握的命題例137.5無窮性命題138結(jié)論14參考文獻161引言南方某風水先生到北方看風水，恰逢天降大雪。乃作一歪詩：“天公下雪不下雨，雪到地上變成雨；早知雪要變成雨，何不當初就下雨。”他的歪詩又恰被一牧童聽到，亦作一打油詩諷刺風水先生：“先生吃飯不吃屎，飯到肚里變成屎；早知飯要變成屎，何不當初就吃屎。1”實際上，小牧童正是巧妙運用了反證法，駁斥了風水先生否定事物普遍運動的規(guī)律，只強調(diào)結(jié)果，不要變化過程的形而上學的錯誤觀點：假設(shè)風水先生說的是真理，只強調(diào)變化最后的結(jié)果，

7、不要變化過程也可，那么，根據(jù)他的邏輯，即可得出先生當初就應(yīng)吃屎的荒唐結(jié)論。風水先生當然不會承認這個事實了。那么，顯然，他說的就是謬論了。這就是反證法的威力，一個原本復(fù)雜難證的哲學問題被牧童運用了“以其人之道，還其人之身”的反證法迎刃而解了。 2反證法的定義及步驟 2.1反證法的定義先提出于結(jié)論相反（相排斥）的假設(shè)，然后推導(dǎo)出和已知證明的定理或公理、定義、題設(shè)、相矛盾的結(jié)果，這樣就證明了于結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，從而肯定了原來的結(jié)論必定成立，這種間接證明的方法叫反證法2。2.2反證法的步驟用反證法證明一個命題的步驟大體上可以分為三個步驟:（1）反設(shè)假設(shè)待證結(jié)論不成立,亦即肯定待證結(jié)論的反面,并將

8、其作為增加條件,添加到給定的題設(shè)中去。（2）歸謬從題設(shè)和反設(shè)出發(fā),通過推理和論證,最終推出矛盾。（3）結(jié)論說明待證命題結(jié)論的反面不能成立,再根據(jù)排中律（否定反面,肯定正面）,從而肯定欲證命題的結(jié)論3。例2.1.1已知： 求證：直線和是異面直線。                           證明：【提出假設(shè)】假設(shè)直線和在同

9、一平面內(nèi)，那么這個平面一定經(jīng)過點和直線。     【推出矛盾】因為，經(jīng)過點和直線 只能有一個平面                 所以直線與應(yīng)在平面內(nèi)             所以 ,這與已知矛盾。   3反證法的邏輯依據(jù)及分類3.1反證法的邏輯依據(jù)

10、反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思維過程中，兩個矛盾的思想必有一個是真的4。排中律常用公式排中律用公式表示為“A或者非A”，即“AØA”。意即真或Ø真。其中和Ø表示兩個互相矛盾的概念或判斷。排中律要求人們思維有明確性，避免模柃兩可。它是同一律和矛盾律的補充和發(fā)揮，進一步指明正確的思維不僅要求確定，不互相矛盾而且應(yīng)該明確地表示肯定還是否定，不能模柃兩可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允許有邏輯矛盾，違反了排中律，同時也違反了矛盾律，所以兩者是互相聯(lián)系的。它們的區(qū)別在于：矛盾律指出兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中律則

11、指出兩個矛盾判斷，不能同假，必有一真。排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)，當直接證明某一判斷的正確性有困難時，根據(jù)排中律，只要證明這一判斷的矛盾判斷是假就可以了。例如，要證明a不是有理數(shù)有困難時，只要證明a是有理數(shù)為假就可以了。3.2反證法的分類按照反設(shè)所涉及到的情況的多少,反證法可以分為歸謬反證法與窮舉反證法。（1）若結(jié)論的反面只有一種情況,那么,反設(shè)單一,只須駁倒這種情形,便可達到反設(shè)的目的,這叫歸謬反證法。例3.2.1已知m為整數(shù),且m2是偶數(shù),求證:m為偶數(shù)。分析:本題如果用直接法來證明的話,給人一種無從下手的感覺,題目給我們的已知條件是很簡單的,我們只能從反面去考慮它,由已知條件,我們知道,m

12、為整數(shù),且m2是偶數(shù),所以,我們只需證當m為奇數(shù)的時候m2不是偶數(shù)就可以了。證明:假設(shè)m不是偶數(shù),則m為奇數(shù)。設(shè)m=2k+1(k為整數(shù)),所以于是,m2為奇數(shù),這與已知條件m2是偶數(shù)矛盾。故m為偶數(shù)。（2）若結(jié)論的反面不止一種情形,那么,要將各個反面情形一一駁倒,才能肯定原命題正確,這叫窮舉反證法。4反證法如何正確的作出反設(shè)運用反證法證明命題的第一步是：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。在這一步驟中，必須注意正確的反設(shè)，這是正確運用反證法的基礎(chǔ)、前提，正確作出反設(shè),是使用反證法的一大關(guān)鍵否則，如果錯誤地“否定結(jié)論”，即使推理、論證再好也都會前功盡棄。要想正確的做出反設(shè)，必須注意以下幾

13、點：（1）分清命題的條件與結(jié)論,結(jié)論與反設(shè)間的邏輯關(guān)系。 例4.1.1試證合適xy+yz+zx=1的實數(shù)x、y、z必不能滿足x+y+z=xyz。分析:首先我們要弄清楚題目的意思,根據(jù)題目給我們的意思,我們很難用直接法對它進行證明,所以我們考慮用反證法,同時我們要注意正確作出反設(shè),由題目我們知道實數(shù)x、y、z能滿足方程xy+yz+zx=1但不滿足方程x+y+z=xyz,所以我們作出反設(shè)的時候要設(shè)實數(shù)x、y、z既能滿足xy+yz+zx=1,又能滿足x+y+z=xyz。我們知道實數(shù)x、y、z就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz聯(lián)立起來的方程組的一個實數(shù)根,我們可以根據(jù)這個特點去尋找矛

14、盾。對于含有多個字母的給定式,在計算時盡量設(shè)法減少字母的個數(shù),這是一個原則。（2）結(jié)論的反面常常不止一種情形,則需反設(shè)后,分別就各種情況歸謬,做到無一遺漏。例4.1.2已知： ，求證：。 分析：此題的結(jié)論有兩種情況，其否定只有一種情況>2，因此用反證法證明時，只要否定了這種情況，就能肯定的這種情況了。證明：假設(shè)>2，則>                      

15、60;                                     > > = = 由此可知：，這與已知矛盾。 例4.1.3已知：平面平面，直線，求證：與也相交。 分析：此題結(jié)論的否定有兩種情況： 

16、;                                     1；2.用反證法證明時，           

17、;                                 只有把這兩種情況都否定了，才能               &

18、#160;                    肯定與相交。             總之，在否定命題的結(jié)論之前，首先要弄清命題的結(jié)論是什么，當命題的結(jié)論的反面非常明顯并且只有一種情形時是比較容易做出否定的，但命題的結(jié)論的反面是多種情形或者比較隱晦時，就不太容易做出否定。這時必

19、須認真分析、仔細推敲，在提出“假設(shè)”后，再回過頭來看看“假設(shè)”的對立面是否恰是命題的結(jié)論。例如：1）結(jié)論：至少有一個S是P。錯誤假設(shè)：至少有兩個或兩個以上S是P,正確假設(shè)：沒有一個S是P。例如；2）結(jié)論：最多有一個S是P。錯誤假設(shè)：最少有一個S是P。正確假設(shè)：至少有兩個S是P。例如：3）結(jié)論：全部S都是P。錯誤假設(shè)：全部的S都不是P。正確假設(shè)：存在一個S不是P?，F(xiàn)將一些常用詞的否定形式列表如下：原結(jié)論詞假設(shè)詞原結(jié)論詞假設(shè)詞是不是存在不存在都是不都是至少有 n 個至多有n1個大（?。┯诓淮螅ㄐ。┯谥炼嘤幸粋€至少有兩個    5反證法如何正確的導(dǎo)出矛盾歸謬,

20、是反證法的關(guān)鍵,也是困難所在。初學者往往作出反設(shè)以后,就邁不開步子了,不知往哪里走才能找到矛盾。導(dǎo)出矛盾的過程,沒有固定的模式可以套用。要憑借解題者擁有的知識與具備的能力,要善于從反設(shè)與條件中,抓住蛛絲馬跡,發(fā)現(xiàn)矛盾。此外,有兩點應(yīng)該引起我們注意:1、 導(dǎo)出矛盾,要從反設(shè)出發(fā),否則,推導(dǎo)將成為無源之水,無本之木。2、 推理必須嚴謹。有人以為反證法就可以不講依據(jù),那是詭辯,只能導(dǎo)致荒謬。一般來說,歸謬的情況大致有如下幾種: （1） 推出與公理相矛盾的結(jié)論;（2） 推出與已知定理相矛盾的結(jié)論;（3） 推出與已知定義相矛盾的結(jié)論;（4） 推出兩個相互矛盾的結(jié)論;（5） 推出與原命題題設(shè)條件相矛盾的結(jié)

21、論;（6） 推出與逆否命題假設(shè)相矛盾的結(jié)論。6何時宜用反證法曾有數(shù)學家贊揚反證法是“數(shù)學家最精良的武器之一”,它在數(shù)學證題中確有奇效。應(yīng)該指出的是,多數(shù)題目用直接法證明較為簡捷。究竟什么類型的數(shù)學題可用這精良的武器去解決呢？對于“若A則 B”一類的數(shù)學命題,一般都可以用反證法來加以證明,當然沒有絕對的標準,但是遇到以下幾類問題時不妨試一試。6.1基本命題，即學科中的起始性命題此類命題由于已知條件及能夠應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推得的結(jié)論很少，因而直接證明入手較難，此時應(yīng)用反證法容易奏效。例6.1.1：直線與平面相交于，過點在平面內(nèi)引直線、，求證：。證明：假設(shè)PO不垂直平面。作

22、并與平面相交于H，此時H、O不重合，連結(jié)OH。由P作于E，于F，根據(jù)三垂線定理可知，。因為，PO是公共邊，所以所以又所以所以因此，OH是的平分線。同理可證，OH是的平分線。但是，OB和OC是兩條不重合的直線，OH不可能同時是和的平分線，產(chǎn)生矛盾。6.2命題結(jié)構(gòu)采取否定形式,結(jié)論反面卻是肯定判斷例6.2.1已知a、b、c、dR，且ad-bc1，求證：。證明：假設(shè)，把adbc1代入前式得： 即（a+b）2+（b+c）2+（c+d）2+（a-d）20 a、b、c、dRa+bb+cc+da-d0 abcd，從而ad-bc0與ad-bc1矛盾.故假設(shè)不成立，原命題成立.例6.2.2證明2不是方程2x1=

23、0的根。證明：假設(shè)2是方程2x1=0的根，則2×21應(yīng)等于0，實際上2×21=5，結(jié)果與假設(shè)產(chǎn)生矛盾，故2不是方程2x1=0的根。例6.2.3求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。已知：A，B，C是三角形ABC的三個內(nèi)角。求證：A，B，C中不能有兩個鈍角。證明：假如A，B，C中有兩個鈍角，不妨設(shè)A900,且B900，則A+B+C1800。這與“三角形內(nèi)角和為1800”這一定理相矛盾。 故 A，B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。6.3有關(guān)唯一性的問題例6.3.1求證：兩條相交直線只有一個交點。已知：如圖，直線a、b相交于點P,求證：a、b只有一個交點

24、。證明：假定a，b相交不只有一個交點P，那么a, b至少有兩個交點P、Q。于是直線a是由P、Q兩點確定的直線，直線b也是由P、Q兩點確定的直線，即由P、Q兩點確定了兩條直線a, b。與已知公理“兩點只確定一條直線”相矛盾，則a, b不可能有兩個交點，于是兩條相交直線只有一個交點。例6.3.2求證過直線外一點有且只有一條直線和這條直線平行。已知：點p 直線a。求證：過點p和直線a平行的直線b有且只有一條。證明：點p a，點p和直線a確定一個平面，在平面內(nèi)過點p能作出一條直線與直線a平行(由平面幾何知識知),故直線b存在。假設(shè)過點p還有一條直線c與a平行。ab，bc，ac，這與直線b、c共點p矛盾

25、，故假設(shè)不成立，因此直線b唯一。故過直線外一點有且只有一條直線和這條直線平行。6.4命題結(jié)論是“至多”“至少”形式例6.4.1在半徑為 的圓中，有半徑等于1的九個圓，證明：至少有兩個小圓的公共部分的面積不小于 。證明：每個小圓的公共部分的面積都小于 ，而九個小圓共有 個公共部分，九個小圓的公共部分面積要小于 ，又大圓面積為 ，則九個小圓應(yīng)占面積要大于 ，這是不可能的，故至少有兩個小圓的公共部分面積不少于 。例6.4.2已知下列三個方程：x24ax4a3=0，x2(a1)xa2=0，x22ax2a=0至少有一個方程有實根，求實數(shù)a的取值范圍5。解：假設(shè)方程沒有一個實根，則16a24(34a)&l

26、t;0 ,(a1)24a2<0 , 4a28a<0 ,聯(lián)立解得：<a<1 三個方程至少有一個方程有實根時,a的取值范圍是aa 1,或a 。例6.4.3求證一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)最多有兩個不相等的實根。證明：假設(shè)方程有三個不相等的實根x1、x2、x3則： ax12+bx1+c=0 ax22+bx2+c=0 ax32+bx3+c=0 由-式得：a(x1+x2)+b=0 由-式得：a(x1+x3)+b=0 由-式得：a(x2-x3)=0因為a0，所以x2-x3=0，即x2=x3，這與假設(shè)x1x2x3矛盾，所以原方程最多只有兩個不相等的實根。6.5命題結(jié)論涉

27、及無限集或數(shù)目不確定的對象例6.5.1證明素數(shù)有無限多個。 證明:假設(shè)素數(shù)是有限個,則必有最大的素數(shù)。記此最大的素數(shù)為p,n=(2· 3· 5· 7p)+1n被任一個素數(shù)除時它的余數(shù)必等于1。即n除掉1與n外已無其他的約數(shù)。因此,n是個素數(shù)且是比p大的數(shù)。但這是與p為最大的素數(shù)相矛盾的。命題成立。6.6某些起始命題例6.6.1在同一平面設(shè)有四條直線a,b,c,d。若a與b相交,ca,db,則c與d也相交。證明:假設(shè)cd。因為ac,所以ad;又因為bd,所以ab。這與已知條件a與b相交矛盾。故c與d也相交。6.7難證的逆命題注意:許多問題的證明,需要用反證法,但又不

28、僅僅局限于反證法,常常要將反證法與其他數(shù)學方法聯(lián)合使用,正面與反面同時考慮才能解決。6.8命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡單、直接證明難以下手時例6.8.1設(shè)a、b都是整數(shù)，a2+b2 能被3整除，求證：a和b都能被3整除.證明：假設(shè)a、b不都能被3整除，分三種情況討論：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不能被3整除，矛盾.同理可證第三種情況.由（1）（2）（3）得，原命題成立.例6.8.3證明素數(shù)有無限多個。證明:

29、假設(shè)素數(shù)是有限個,則必有最大的素數(shù)。記此最大的素數(shù)為p,作n=(2· 3· 5· 7p)+1n被任一個素數(shù)除時它的余數(shù)必等于1。即n除掉1與n外已無其他的約數(shù)。因此,n是個素數(shù)且是比p大的數(shù)。但這是與p為最大的素數(shù)相矛盾的。命題成立。總之，反證法證明問題均是兩面性的問題，即一個問題只有正反兩個方面的結(jié)論，若否定了其中一個方面，就能肯定另一個方面。證明的方法不是直接地證明，而是首先假設(shè)問題的反面，然后根據(jù)假設(shè)進行推理、論證，從而得到與事實或條件不相符合的結(jié)論，從而證明原命題的正確性 ！對于“若p則q”型的數(shù)學命題，一般都能用反證法證明，但難易程度會有所不同

30、。因此，盡管反證法是一種重要的證明命題的方法，也不能把所有的命題都用反證法來證明。在證明命題時，要首先使用直接證法，若有困難時再使用反證法。7在中學數(shù)學中常用的反證法思想的題型分析7.1結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題例 例7.1.1設(shè)a,b,c,d為自然數(shù),且滿足條件n2abcd(n+1)2,n是大于1的自然數(shù)。試證:adbc分析:題中a,b,c,d四個數(shù)均不是具體的數(shù),所以我們想辦法減少未知量的個數(shù),再對他們進行巧妙的變形,使之成為我們可利用的資源。7.2有關(guān)結(jié)論是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的一類命題例 例7.2.1設(shè)ABC不是正三角形,則A,B,C在之中至少有一個大于60°。分析:同學們在做這類題的時候反設(shè)容易出錯,由題目我們知道,至少有一個內(nèi)角不小于60°的意思是:A,B,C中,有一個不小于60°,或者有2個不小于60°,或者有3個不小于60°。那么,它的反面當然是有0個不小于60°,即A,B,C都小于60°