精品解析：【全國百強?！拷K省海安高級中學2019屆高三第二學期四月模擬考試數學試題（解析版）

1、江蘇省海安高級中學2019屆高三年級四月模擬考試數學試題一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計70分不需要寫出解答過程，請將答案填寫在答題卡相應的位置上）1.已知集合，則_【答案】【解析】【分析】由可得集合是奇數集，由此可以得出結果.【詳解】解：因為所以集合中的元素為奇數，所以.【點睛】本題考查了集合的交集，解析出集合b中元素的性質是本題解題的關鍵.2._【答案】【解析】試題分析：.考點：正弦函數的誘導公式.3.已知復數，其中是虛數單位，則_【答案】【解析】【分析】求出復數的標準形式，根據復數模的計算公式求解.【詳解】解：所以【點睛】本題考查了復數模的運算，解題的關鍵是通過復數運算法則

2、求出復數的標準形式.4.對一批產品的長度（單位：毫米）進行抽樣檢測，樣本容量為400，如圖為檢測結果的頻率分布直方圖根據產品標準，單件產品長度在區(qū)間的為一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品則樣本中三等品的件數為_【答案】50.【解析】試題分析：三等品總數.考點：頻率分布直方圖5.如圖是一個算法的偽代碼，其輸出的結果為_【答案】【解析】由題設提供的算法流程圖可知:，應填答案6.從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的概率為_【答案】【解析】【分析】先求出隨機抽取a,b的所有事件數，再求出滿足的事件數，根據古典概型公式求出結果.【詳解】解：從集合中隨機取一個元素，記為

3、，從集合中隨機取一個元素，記為，則的事件數為9個，即為，其中滿足的有，共有8個，故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算，解題的關鍵是準確列舉出所有事件數.7.在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為_【答案】【解析】【分析】由雙曲線的離心率為，可以得到，再根據求出的關系，從而得出漸近線的方程.【詳解】解：因為雙曲線的離心率為，所以，故，又因為，所以，即，即，所以雙曲線的漸近線.【點睛】本題考查了雙曲線漸近線問題，解題的關鍵是由題意解析出的關系，從而解決問題.8.一個正四面體的展開圖是邊長為的正三角形，則該四面體的外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】一個正四面體

4、的展開圖是邊長為的正三角形，故可得正四面體的邊長為，再由外接球球心位置構造平面圖形，解出半徑，得出外接球的表面積.【詳解】解：因為一個正四面體的展開圖是邊長為的正三角形，所以，正四面體的邊長為，在正四面體中，如圖所示,為底面正三角形的中心，為外接球的球心，設外接球的半徑為r，則有,，,因為正四面體的邊長為，所以,故,在中，即,解得：，故外接球的表面積為.【點睛】本題考查了正四面體外接球的表面積問題，準確想象出正四面體各點、各棱、各面與外接球的位置關系，并且從立體圖形中構建出平面圖形是解得球半徑的關鍵，屬于中檔題.9.已知0<y<x<，且tanxtany2，sinxsiny，則

5、xy_.【答案】【解析】由題意可得tanxtany2，解得cosxcosy，故cos(xy)cosxcosysinxsiny，又0<y<x<，所以0<xy<，所以xy.故答案為10.已知等邊的邊長為2，若，則的面積為_【答案】【解析】分析】建立直角坐標系，求出的坐標，得出的大小，設的夾角為，則可以求出點到直線的長度為，從而得出的面積.【詳解】解：以的中點為原點，所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則因為,所以，故，設的夾角為，所以，點到直線的長度為，的面積為.【點睛】本題考查了向量的數量積、向量在平面幾何中的應用，向量數量積問題常見的解題方法為坐標法、基底

6、法等等.11.在平面直角坐標中，已知點，若直線上存在點使得，則實數的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據得出點的軌跡方程，又點在直線上，則點的軌跡與直線必須有公共點，進而解決問題.【詳解】解：設則，因為，所以有，同時平方，化簡得，故點的軌跡為圓心在（0,0），半徑2為的圓，又點在直線上，故圓與直線必須有公共點，所以，解得.【點睛】本題考查了點的軌跡問題、直線與圓的位置關系的問題，解題的關鍵是能從題意中轉化出動點的軌跡，并能求出點的軌跡方程.12.已知是定義在區(qū)間上的奇函數，當時，則關于的不等式的解集為_【答案】【解析】當時，則，即，所以，結合圖像可知：函數在單調遞減，所以不等式可化為，解之

7、得，應填答案點睛：解答本題的關鍵是求出函數的解析式，在時，；關鍵求時，的過程值得注意，這里充分運用時，)及奇函數的定義，運用轉化的數學思想求出當，則，進而借助奇函數得到，從而求出13.已知實數，滿足，且，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由實數，滿足，且，得出，從而得出的范圍，用表示，構建函數，求解取值范圍.【詳解】解：實數，滿足，且，所以，若則，若則，所以，因為關于的方程為，所以解得：，設，由得，則，因為要成立，故，設函數，因為在上恒成立，故函數單調遞減，所以，所以此時在的值域為，即當時，；設函數，因為在上恒成立，故函數單調遞增，所以，所以此時在的值域為，即當時，綜上：.【點睛】本題本

8、質上考查了函數的最值問題，解題的關鍵是要能構建出關于的函數，通過函數思想求解取值范圍，還考查了學生整體換元的思想.14.已知數列的通項公式是，數列的通項公式是，集合,將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為，則數列的前45項和_【答案】2627【解析】【分析】隨著增大時，數列中前后連續(xù)兩項之間的差值越來越大，故考慮在中的前后連續(xù)兩項之間插入數列中相應大小的項，然后逐步分析插入的項數，直至滿足題意，從而得出結果.【詳解】解：因為數列的通項公式是，所以集合，隨著增大時，數列中前后連續(xù)兩項之間的差值越來越大，故考慮在中的前后連續(xù)兩項之間插入數列中相應大小的項，因為是選取新數列的前45項，故：

9、，數列中無項可插入，數列中無項可插入，數列中可插入，增加1項，共5項，數列中可插入，增加2項，共8項，數列中可插入，增加5項，共14項，數列中可插入，增加10項，共25項，接下來只需再增加中的20項即可，也就是中從（含）開始的連續(xù)的20項，因為，故終止于.則.【點睛】本題考查了等差數列、等比數列的性質，解題的關鍵是要對兩個數列中的項的變化情況有較深刻的認識，其本質是對數列單調性的研究.二、解答題（本大題共6小題，共計90分請在答題紙指定區(qū)域內作答，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.在中，分別為角所對邊的長,若 ，且（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（

10、1）由正弦定理得，根據題意得，故可以求得值；（2）由（1）可求得，根據，得,進而求出.【詳解】解：（1）由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，所以；（2）由（1）知，所以，即，因為,所以,即，即，解得.【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應用，還考查了兩角和差的正切公式的運用，熟練靈活運用公式是本題解題的關鍵.16.如圖，在四面體中，點分別為棱上的點，點為棱的中點，且平面平面（1）求證：；（2）求證：平面平面【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由平面平面可得，從而得到為中點，同理可得為中點，進而得證；（2）由得，由可得，從而得到平面，進而得證.【詳解】證明：（

11、1）因為平面平面平面平面平面平面所以，又因為為的中點，所以有為的中點，同理：為的中點，所以為的中位線，所以；（2）由（1）得為中點，在中，因為所以，由（1）得為的中位線，所以,又因為所以，因為,平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【點睛】本題考查了面面平行的性質定理、面面垂直的判定定理的運用，證明面面垂直即證線面垂直，要證線面垂直即尋找線線垂直關系，解題時要善于靈活轉化.17.某企業(yè)擬生產一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側面的厚度不計），易拉罐的體積為,設圓柱的高度為，底面半徑為，且,假設該易拉罐的制造費用僅與其表面積有關已知易拉罐側面制造費用為元，易拉罐上下底面的制造費用均為元為常

12、數)（1）寫出易拉罐的制造費用(元)關于的函數表達式，并求其定義域；（2）求易拉罐制造費用最低時的值【答案】（1），；（2）當時， ，易拉罐的制造費用最低，當時，易拉罐的制造費用最低.【解析】【分析】（1）根據體積的值，得出與的關系，然后將表面積公式中的轉化為，再根據等條件得出定義域；（2）利用導數求出函數的單調性，進而求出最值.【詳解】解：（1）因為體積為故，即，易拉罐的側面積為，易拉罐的上下兩底面的面積為，所以,因為，所以有，解得，故，易拉罐的制造費用為；（2），令，解得，若，即，此時當，函數單調遞減，當，函數單調遞增，故當，此時函數取得最小值，即易拉罐的制造費用最低；若，即，此時，當時，

13、函數單調遞減，故當，此時函數取得最小值，即易拉罐的制造費用最低；綜上：當時， ，易拉罐的制造費用最低，當時，易拉罐的制造費用最低.【點睛】本題考查了函數在實際問題中的應用，解決問題的關鍵是建立函數模型，建立出函數模型的同時不能忘記定義域的求解，再利用導數或基本不等式等方法求出最值.18.在平面直角坐標系中，設橢圓的左焦點為，左準線為為橢圓上任意一點，直線，垂足為，直線與交于點（1）若，且，直線的方程為求橢圓的方程；是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由（2）設直線與圓交于兩點，求證：直線均與圓相切【答案】（1）；不存在；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據左準線方程

14、求出參數a，從而得出橢圓方程；設出，根據點在橢圓上且得出關于的方程組，根據解的情況，得出結果；（2）設點，根據,求出，對進行轉化，借助在圓上，進而得出結果.【詳解】解：（1）因為直線的方程為，所以因，所以，解得或因為，所以，橢圓方程為.設，則，即，當或時，均不符合題意；當或時，直線的斜率為，直線的方程為，故直線的方程為，聯立方程組，解得，所以，因為，故，即或方程的根為，因為，故無解；方程的，故無解，綜上：不存在點p使.（2）設，則，因為,所以，即，由題意得，所以，所以因為，所以 因為在圓上，所以，即，故，所以，所以直線與圓相切，同理可證：與圓相切.【點睛】本題考查了直線和橢圓的關系,解決直線與

15、橢圓的位置關系問題時，常見方法是設點法與設線法，解題的核心思想是減元思想，即將多元變量轉化為少元（單元）變量問題.19.設函數（1）當時，求函數在點處的切線方程；（2）若函數的圖象與軸交于兩點，且，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，證明：為函數的導函數）【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出切線的斜率，利用點斜式寫出直線方程；（2）分析函數的單調性，只有當函數不單調時，函數圖象才可能與x軸有兩個交點，然后再利用零點存在定理證明兩個不同交點的存在性；（3）由（2）得，相減得，用表示，通過研究單調性可得，再根據單調遞增，可得，從而得證.【詳解】解：（1）當時，則，

16、 ，所以在點處的切線方程為，即.（2）因為，所以，若時，則，則函數是單調遞增函數，與x軸最多一個交點，不滿足題意；若時，令，則，當時，函數單調遞減，當時，函數是單調遞增，于是當時，函數取得極小值，因為函數的圖象與軸交于兩點，所以，即，此時存在，存在，故由在及上的單調性及曲線連續(xù)性可得，當時，函數的圖象與軸交于兩點.（3）由（2）得，兩式相減得，解得：，令，則，設則，所以在上單調遞減，則有，而，所以，由（2）知，均為正數，所以有，因為單調遞增，所以，所以，故.【點睛】本題考查了導數在求函數切線、函數單調性、最值、比較大小中的應用，解題的關鍵是要靈活構建新的函數，借助于新函數的性質與圖象，從而解決

17、問題.20.已知數列是首項為1，公差為的等差數列，數列是首項為1，公比為的等比數列（1）若，求數列的前項和；（2）若存在正整數，使得，試比較與的大小，并說明理由【答案】(1);(2) 當時，；當時，；當時，【解析】審題引導：等差數列與等比數列對應項的積錯位相減求和；作差比較規(guī)范解答：解：(1)依題意，a5b5b1q511×3481，故d20，所以an120(n1)20n19.(3分)令sn1×121×341×32(20n19)·3n1，則3sn1×321×32(20n39)·3n1(20n19)·3n，得

18、2sn120×(3323n1)(20n19)·3n120×(20n19)·3n(2920n)·3n29，所以sn.(7分)(2)因為akbk，所以1(k1)dqk1，即d，故an1(n1).又bnqn1，(9分)所以bnanqn1(k1)(qn11)(n1)(qk11)(k1)(qn2qn3q1)(n1)(qk2qk3q1)(11分)()當1nk時，由q1知bnan(kn)(qn2qn3q1)(n1)(qk2qk3qn1)(kn)(n1)qn2(n1)(kn)qn10；(13分)()當nk時，由q1知bnan(k1)(qn2qn3qk1)(nk

19、)(qk2qk3q1)(k1)(nk)qk1(nk)(k1)qk2(q1)2qk2(nk)0，(15分)綜上所述，當1nk時，anbn；當nk時，anbn；當n1，k時，anbn.(16分)(注：僅給出“1nk時，anbn；nk時，anbn”得2分)錯因分析：錯位相減時項數容易搞錯，作差比較后學生不能靈活倒用等比數列求和公式1qn(1q)(1qq2qn1)(附加題）【選做題】本題包括21，22，23三小題，請選定其中兩題作答，每小題10分共計20分，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟選修42：矩陣與變換21.在平面直角坐標系中，先對曲線作矩陣所對應的變換，再將所得曲線作矩陣所對的變換若連

20、續(xù)實施兩次變換所對應的矩陣為，求的值【答案】.【解析】【分析】連續(xù)實施兩次變換所對應的矩陣為，故得到=，然后得到方程組，求得的值【詳解】解：先對曲線作矩陣所對應的變換，再將所得曲線作矩陣所對的變換，故得到連續(xù)實施兩次變換所得到的變換矩陣為：因為連續(xù)實施兩次變換所對應的矩陣為，所以，根據矩陣相等定義得到，解得.【點睛】本題考查了矩陣乘法的運算，矩陣乘法不滿足交換律，故在求解矩陣乘法變換時，一定要注意先后順序.選修44：坐標系與參數方程22.在極坐標系中，已知，線段的垂直平分線與極軸交于點，求的極坐標方程及的面積【答案】的極坐標方程及,.【解析】【分析】將轉化為直角坐標系下的坐標形式，然后求出線段的中點與直線的斜率，進而求出直線l在直角坐標系下的方程，再轉化為極坐標方程；在直角坐標系下，求出點c到直線ab的距離、線段ab的長度，從而得出的面積.【詳解】解：以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系xoy在平面直角坐標系xoy中， 的坐標為線段的中點為，故線段中垂線的斜率為，所以的中垂線方程為：化簡得：，所以極坐標方程為，即，令，則，故在平面直角坐標系xoy中，c（10,0）點c到直線ab：的距離為，