精品解析：【全國百強(qiáng)?！拷K省海安高級中學(xué)2019屆高三第二學(xué)期四月模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、江蘇省海安高級中學(xué)2019屆高三年級四月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分不需要寫出解答過程，請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）1.已知集合，則_【答案】【解析】【分析】由可得集合是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)樗约现械脑貫槠鏀?shù)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，解析出集合b中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.2._【答案】【解析】試題分析：.考點(diǎn)：正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式.3.已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則_【答案】【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解：所以【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是通過復(fù)數(shù)運(yùn)算法則

2、求出復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式.4.對一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測，樣本容量為400，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的為一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品則樣本中三等品的件數(shù)為_【答案】50.【解析】試題分析：三等品總數(shù).考點(diǎn)：頻率分布直方圖5.如圖是一個算法的偽代碼，其輸出的結(jié)果為_【答案】【解析】由題設(shè)提供的算法流程圖可知:，應(yīng)填答案6.從集合中隨機(jī)取一個元素，記為，從集合中隨機(jī)取一個元素，記為，則的概率為_【答案】【解析】【分析】先求出隨機(jī)抽取a,b的所有事件數(shù)，再求出滿足的事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解：從集合中隨機(jī)取一個元素，記為

3、，從集合中隨機(jī)取一個元素，記為，則的事件數(shù)為9個，即為，其中滿足的有，共有8個，故的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).7.在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為_【答案】【解析】【分析】由雙曲線的離心率為，可以得到，再根據(jù)求出的關(guān)系，從而得出漸近線的方程.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，故，又因?yàn)椋?，即，即，所以雙曲線的漸近線.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線漸近線問題，解題的關(guān)鍵是由題意解析出的關(guān)系，從而解決問題.8.一個正四面體的展開圖是邊長為的正三角形，則該四面體的外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】一個正四面體

4、的展開圖是邊長為的正三角形，故可得正四面體的邊長為，再由外接球球心位置構(gòu)造平面圖形，解出半徑，得出外接球的表面積.【詳解】解：因?yàn)橐粋€正四面體的展開圖是邊長為的正三角形，所以，正四面體的邊長為，在正四面體中，如圖所示,為底面正三角形的中心，為外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為r，則有,，,因?yàn)檎拿骟w的邊長為，所以,故,在中，即,解得：，故外接球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體外接球的表面積問題，準(zhǔn)確想象出正四面體各點(diǎn)、各棱、各面與外接球的位置關(guān)系，并且從立體圖形中構(gòu)建出平面圖形是解得球半徑的關(guān)鍵，屬于中檔題.9.已知0<y<x<，且tanxtany2，sinxsiny，則

5、xy_.【答案】【解析】由題意可得tanxtany2，解得cosxcosy，故cos(xy)cosxcosysinxsiny，又0<y<x<，所以0<xy<，所以xy.故答案為10.已知等邊的邊長為2，若，則的面積為_【答案】【解析】分析】建立直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，得出的大小，設(shè)的夾角為，則可以求出點(diǎn)到直線的長度為，從而得出的面積.【詳解】解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?所以，故，設(shè)的夾角為，所以，點(diǎn)到直線的長度為，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積、向量在平面幾何中的應(yīng)用，向量數(shù)量積問題常見的解題方法為坐標(biāo)法、基底

6、法等等.11.在平面直角坐標(biāo)中，已知點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)得出點(diǎn)的軌跡方程，又點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的軌跡與直線必須有公共點(diǎn)，進(jìn)而解決問題.【詳解】解：設(shè)則，因?yàn)?，所以有，同時平方，化簡得，故點(diǎn)的軌跡為圓心在（0,0），半徑2為的圓，又點(diǎn)在直線上，故圓與直線必須有公共點(diǎn)，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的軌跡問題、直線與圓的位置關(guān)系的問題，解題的關(guān)鍵是能從題意中轉(zhuǎn)化出動點(diǎn)的軌跡，并能求出點(diǎn)的軌跡方程.12.已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則關(guān)于的不等式的解集為_【答案】【解析】當(dāng)時，則，即，所以，結(jié)合圖像可知：函數(shù)在單調(diào)遞減，所以不等式可化為，解之

7、得，應(yīng)填答案點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的解析式，在時，；關(guān)鍵求時，的過程值得注意，這里充分運(yùn)用時，)及奇函數(shù)的定義，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想求出當(dāng)，則，進(jìn)而借助奇函數(shù)得到，從而求出13.已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由實(shí)數(shù)，滿足，且，得出，從而得出的范圍，用表示，構(gòu)建函數(shù)，求解取值范圍.【詳解】解：實(shí)數(shù)，滿足，且，所以，若則，若則，所以，因?yàn)殛P(guān)于的方程為，所以解得：，設(shè)，由得，則，因?yàn)橐闪ⅲ?，設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，故函?shù)單調(diào)遞減，所以，所以此時在的值域?yàn)?，即?dāng)時，；設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，故函?shù)單調(diào)遞增，所以，所以此時在的值域?yàn)?，即?dāng)時，綜上：.【點(diǎn)睛】本題本

8、質(zhì)上考查了函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是要能構(gòu)建出關(guān)于的函數(shù)，通過函數(shù)思想求解取值范圍，還考查了學(xué)生整體換元的思想.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，集合,將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為，則數(shù)列的前45項(xiàng)和_【答案】2627【解析】【分析】隨著增大時，數(shù)列中前后連續(xù)兩項(xiàng)之間的差值越來越大，故考慮在中的前后連續(xù)兩項(xiàng)之間插入數(shù)列中相應(yīng)大小的項(xiàng)，然后逐步分析插入的項(xiàng)數(shù)，直至滿足題意，從而得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式是，所以集合，隨著增大時，數(shù)列中前后連續(xù)兩項(xiàng)之間的差值越來越大，故考慮在中的前后連續(xù)兩項(xiàng)之間插入數(shù)列中相應(yīng)大小的項(xiàng)，因?yàn)槭沁x取新數(shù)列的前45項(xiàng)，故：

9、，數(shù)列中無項(xiàng)可插入，數(shù)列中無項(xiàng)可插入，數(shù)列中可插入，增加1項(xiàng)，共5項(xiàng)，數(shù)列中可插入，增加2項(xiàng)，共8項(xiàng)，數(shù)列中可插入，增加5項(xiàng)，共14項(xiàng)，數(shù)列中可插入，增加10項(xiàng)，共25項(xiàng)，接下來只需再增加中的20項(xiàng)即可，也就是中從（含）開始的連續(xù)的20項(xiàng)，因?yàn)?，故終止于.則.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要對兩個數(shù)列中的項(xiàng)的變化情況有較深刻的認(rèn)識，其本質(zhì)是對數(shù)列單調(diào)性的研究.二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.在中，分別為角所對邊的長,若 ，且（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（

10、1）由正弦定理得，根據(jù)題意得，故可以求得值；（2）由（1）可求得，根據(jù)，得,進(jìn)而求出.【詳解】解：（1）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以；?）由（1）知，所以，即，因?yàn)?所以,即，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，還考查了兩角和差的正切公式的運(yùn)用，熟練靈活運(yùn)用公式是本題解題的關(guān)鍵.16.如圖，在四面體中，點(diǎn)分別為棱上的點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且平面平面（1）求證：；（2）求證：平面平面【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由平面平面可得，從而得到為中點(diǎn)，同理可得為中點(diǎn)，進(jìn)而得證；（2）由得，由可得，從而得到平面，進(jìn)而得證.【詳解】證明：（

11、1）因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫嫫矫嫫矫嫫矫嫠?，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以有為的中點(diǎn)，同理：為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以；（2）由（1）得為中點(diǎn)，在中，因?yàn)樗?，由?）得為的中位線，所以,又因?yàn)樗?，因?yàn)?平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理的運(yùn)用，證明面面垂直即證線面垂直，要證線面垂直即尋找線線垂直關(guān)系，解題時要善于靈活轉(zhuǎn)化.17.某企業(yè)擬生產(chǎn)一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側(cè)面的厚度不計(jì)），易拉罐的體積為,設(shè)圓柱的高度為，底面半徑為，且,假設(shè)該易拉罐的制造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知易拉罐側(cè)面制造費(fèi)用為元，易拉罐上下底面的制造費(fèi)用均為元為常

12、數(shù))（1）寫出易拉罐的制造費(fèi)用(元)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求其定義域；（2）求易拉罐制造費(fèi)用最低時的值【答案】（1），；（2）當(dāng)時， ，易拉罐的制造費(fèi)用最低，當(dāng)時，易拉罐的制造費(fèi)用最低.【解析】【分析】（1）根據(jù)體積的值，得出與的關(guān)系，然后將表面積公式中的轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)等條件得出定義域；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.【詳解】解：（1）因?yàn)轶w積為故，即，易拉罐的側(cè)面積為，易拉罐的上下兩底面的面積為，所以,因?yàn)椋杂?，解得，故，易拉罐的制造費(fèi)用為；（2），令，解得，若，即，此時當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)，此時函數(shù)取得最小值，即易拉罐的制造費(fèi)用最低；若，即，此時，當(dāng)時，

13、函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)，此時函數(shù)取得最小值，即易拉罐的制造費(fèi)用最低；綜上：當(dāng)時， ，易拉罐的制造費(fèi)用最低，當(dāng)時，易拉罐的制造費(fèi)用最低.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，建立出函數(shù)模型的同時不能忘記定義域的求解，再利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式等方法求出最值.18.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線為為橢圓上任意一點(diǎn)，直線，垂足為，直線與交于點(diǎn)（1）若，且，直線的方程為求橢圓的方程；是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，求證：直線均與圓相切【答案】（1）；不存在；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)左準(zhǔn)線方程

14、求出參數(shù)a，從而得出橢圓方程；設(shè)出，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上且得出關(guān)于的方程組，根據(jù)解的情況，得出結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù),求出，對進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助在圓上，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以因，所以，解得或因?yàn)椋?，橢圓方程為.設(shè)，則，即，當(dāng)或時，均不符合題意；當(dāng)或時，直線的斜率為，直線的方程為，故直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以，因?yàn)椋?，即或方程的根為，因?yàn)?，故無解；方程的，故無解，綜上：不存在點(diǎn)p使.（2）設(shè)，則，因?yàn)?所以，即，由題意得，所以，所以因?yàn)?，所?因?yàn)樵趫A上，所以，即，故，所以，所以直線與圓相切，同理可證：與圓相切.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓的關(guān)系,解決直線與

15、橢圓的位置關(guān)系問題時，常見方法是設(shè)點(diǎn)法與設(shè)線法，解題的核心思想是減元思想，即將多元變量轉(zhuǎn)化為少元（單元）變量問題.19.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，證明：為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）分析函數(shù)的單調(diào)性，只有當(dāng)函數(shù)不單調(diào)時，函數(shù)圖象才可能與x軸有兩個交點(diǎn)，然后再利用零點(diǎn)存在定理證明兩個不同交點(diǎn)的存在性；（3）由（2）得，相減得，用表示，通過研究單調(diào)性可得，再根據(jù)單調(diào)遞增，可得，從而得證.【詳解】解：（1）當(dāng)時，則，

16、 ，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)?，所以，若時，則，則函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，與x軸最多一個交點(diǎn)，不滿足題意；若時，令，則，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞增，于是當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，所以，即，此時存在，存在，故由在及上的單調(diào)性及曲線連續(xù)性可得，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn).（3）由（2）得，兩式相減得，解得：，令，則，設(shè)則，所以在上單調(diào)遞減，則有，而，所以，由（2）知，均為正數(shù)，所以有，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以，故.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)切線、函數(shù)單調(diào)性、最值、比較大小中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要靈活構(gòu)建新的函數(shù)，借助于新函數(shù)的性質(zhì)與圖象，從而解決

17、問題.20.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若存在正整數(shù)，使得，試比較與的大小，并說明理由【答案】(1);(2) 當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，【解析】審題引導(dǎo)：等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的積錯位相減求和；作差比較規(guī)范解答：解：(1)依題意，a5b5b1q511×3481，故d20，所以an120(n1)20n19.(3分)令sn1×121×341×32(20n19)·3n1，則3sn1×321×32(20n39)·3n1(20n19)·3n，得

18、2sn120×(3323n1)(20n19)·3n120×(20n19)·3n(2920n)·3n29，所以sn.(7分)(2)因?yàn)閍kbk，所以1(k1)dqk1，即d，故an1(n1).又bnqn1，(9分)所以bnanqn1(k1)(qn11)(n1)(qk11)(k1)(qn2qn3q1)(n1)(qk2qk3q1)(11分)()當(dāng)1nk時，由q1知bnan(kn)(qn2qn3q1)(n1)(qk2qk3qn1)(kn)(n1)qn2(n1)(kn)qn10；(13分)()當(dāng)nk時，由q1知bnan(k1)(qn2qn3qk1)(nk

19、)(qk2qk3q1)(k1)(nk)qk1(nk)(k1)qk2(q1)2qk2(nk)0，(15分)綜上所述，當(dāng)1nk時，anbn；當(dāng)nk時，anbn；當(dāng)n1，k時，anbn.(16分)(注：僅給出“1nk時，anbn；nk時，anbn”得2分)錯因分析：錯位相減時項(xiàng)數(shù)容易搞錯，作差比較后學(xué)生不能靈活倒用等比數(shù)列求和公式1qn(1q)(1qq2qn1)(附加題）【選做題】本題包括21，22，23三小題，請選定其中兩題作答，每小題10分共計(jì)20分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟選修42：矩陣與變換21.在平面直角坐標(biāo)系中，先對曲線作矩陣所對應(yīng)的變換，再將所得曲線作矩陣所對的變換若連

20、續(xù)實(shí)施兩次變換所對應(yīng)的矩陣為，求的值【答案】.【解析】【分析】連續(xù)實(shí)施兩次變換所對應(yīng)的矩陣為，故得到=，然后得到方程組，求得的值【詳解】解：先對曲線作矩陣所對應(yīng)的變換，再將所得曲線作矩陣所對的變換，故得到連續(xù)實(shí)施兩次變換所得到的變換矩陣為：因?yàn)檫B續(xù)實(shí)施兩次變換所對應(yīng)的矩陣為，所以，根據(jù)矩陣相等定義得到，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣乘法的運(yùn)算，矩陣乘法不滿足交換律，故在求解矩陣乘法變換時，一定要注意先后順序.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在極坐標(biāo)系中，已知，線段的垂直平分線與極軸交于點(diǎn)，求的極坐標(biāo)方程及的面積【答案】的極坐標(biāo)方程及,.【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)形式，然后求出線段的中點(diǎn)與直線的斜率，進(jìn)而求出直線l在直角坐標(biāo)系下的方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；在直角坐標(biāo)系下，求出點(diǎn)c到直線ab的距離、線段ab的長度，從而得出的面積.【詳解】解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 的坐標(biāo)為線段的中點(diǎn)為，故線段中垂線的斜率為，所以的中垂線方程為：化簡得：，所以極坐標(biāo)方程為，即，令，則，故在平面直角坐標(biāo)系xoy中，c（10,0）點(diǎn)c到直線ab：的距離為，