考點(diǎn)25 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（文）考點(diǎn)一遍過(guò)

1、考點(diǎn)25 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（1）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.（3）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決.一、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域1二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，我們把直線畫(huà)成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫(huà)成實(shí)線2對(duì)于二元一次不等式的不同形式，其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域有如下結(jié)論：3確定二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的方法（1）對(duì)于直線同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y

2、)，使得的值符號(hào)相同，也就是位于同一半平面的點(diǎn)，如果其坐標(biāo)滿足，則位于另一個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足.（2）可在直線的同一側(cè)任取一點(diǎn)，一般取特殊點(diǎn)(x0，y0)，從的符號(hào)就可以判斷 (或)所表示的區(qū)域（3）由幾個(gè)不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.（4）點(diǎn)p1(x1，y1)和p2(x2，y2)位于直線的兩側(cè)的充要條件是；位于直線同側(cè)的充要條件是.二、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題1簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念（1）約束條件：由變量x，y的不等式(或方程)組成的不等式組稱(chēng)為x，y的約束條件關(guān)于變量x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組稱(chēng)為x，y的線性約束條件（2）

3、目標(biāo)函數(shù)：我們把求最大值或最小值的函數(shù)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量x，y的一次解析式的稱(chēng)為線性目標(biāo)函數(shù).（3）線性規(guī)劃問(wèn)題：一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域，其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的解法在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟可概括為“畫(huà)、移、求、答”，即：（1）畫(huà)：在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出可行域和直線 (目標(biāo)函數(shù)為)；（2）移：平行移動(dòng)直線，確定使取得最大值或最小值的點(diǎn)；（3）求：求出使z取得

4、最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)(解方程組)及z的最大值或最小值；（4）答：給出正確答案3線性規(guī)劃的實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)型（1）給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問(wèn)怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；（2）給定一項(xiàng)任務(wù)，問(wèn)怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小 常見(jiàn)問(wèn)題有：物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題；產(chǎn)品安排問(wèn)題；下料問(wèn)題.4非線性目標(biāo)函數(shù)類(lèi)型（1）對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù)均可化為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間距離的平方的最值問(wèn)題（2）對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為的形式，將問(wèn)題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)連線的斜率的倍的取值范圍、最值等（3）對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為的形式，將問(wèn)題

5、化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到直線的距離的倍的最值考向一 二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域1確定平面區(qū)域的方法如下：第一步，“直線定界”，即畫(huà)出邊界，要注意是虛線還是實(shí)線；第二步，“特殊點(diǎn)定域”，取某個(gè)特殊點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn)，由的符號(hào)就可以斷定表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域；第三步，用陰影表示出平面區(qū)域.2二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的應(yīng)用主要包括求平面區(qū)域的面積和已知平面區(qū)域求參數(shù)的取值或范圍.（1）對(duì)于面積問(wèn)題，可先畫(huà)出平面區(qū)域，然后判斷其形狀（三角形區(qū)域是比較簡(jiǎn)單的情況），求得相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)、相關(guān)的線段長(zhǎng)度等，若圖形為規(guī)則圖形，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，則運(yùn)用割補(bǔ)法計(jì)算平面

6、區(qū)域的面積，其中求解距離問(wèn)題時(shí)常常用到點(diǎn)到直線的距離公式.（2）對(duì)于求參問(wèn)題，則需根據(jù)區(qū)域的形狀判斷動(dòng)直線的位置，從而確定參數(shù)的取值或范圍.典例1 不等式組表示的平面區(qū)域與表示的平面區(qū)域的公共部分面積為_(kāi)【答案】【解析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖，由可得，可化為，表示以為圓心，以為半徑的圓內(nèi)及其圓上各點(diǎn)，由圖可知不等式組表示的平面區(qū)域與表示的平面區(qū)域的公共部分面積為以為圓心，以為半徑的圓的四分之一，其面積為，故答案為.典例2 已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為2，則 的值為 a bc1 d2【答案】c【解析】作出可行域，因?yàn)椴坏仁浇M表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切?，所以所?故選c.1不等式組

7、表示的平面區(qū)域的形狀為a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d等腰直角三角形考向二 線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題1平移直線法：作出可行域,正確理解z的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移得到最優(yōu)解.對(duì)一個(gè)封閉圖形而言,最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，在解題中也可由此快速找到最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn). 2頂點(diǎn)代入法：依約束條件畫(huà)出可行域;解方程組得出可行域各頂點(diǎn)的坐標(biāo);分別計(jì)算出各頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的值，經(jīng)比較后得出z的最大(小)值. 求解時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（）在可行解中，只有一組(x,y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)，最優(yōu)解只有1個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線不與邊界平行時(shí)，會(huì)在某個(gè)頂點(diǎn)處取得最值.

8、（）同時(shí)有多個(gè)可行解取得一樣的最值時(shí)，最優(yōu)解有多個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與某一邊界線平行時(shí)，會(huì)有多個(gè)最優(yōu)解.（）可行域一邊開(kāi)放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時(shí)也就不存在最優(yōu)解.典例3 已知點(diǎn)x,y滿足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為a5 b6c7 d8【答案】c【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作直線并平移知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a時(shí),z取得最大值；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)b時(shí),z取得最小值.由,得,即a(2,3),故zmax=9.由,得,即b(0,2),故zmin=2,故z的最大值與最小值之差為7,選c.2已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_(kāi)考向

9、三 含參線性規(guī)劃問(wèn)題1若目標(biāo)函數(shù)中有參數(shù)，要從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量進(jìn)行準(zhǔn)確定位，這是求解這類(lèi)問(wèn)題的主要思維方法.2若約束條件中含有參數(shù)，則會(huì)影響平面區(qū)域的形狀，這時(shí)含有參數(shù)的不等式表示的區(qū)域的分界線是一條變動(dòng)的直線，注意根據(jù)參數(shù)的取值確定這條直線的變化趨勢(shì)，從而確定區(qū)域的可能形狀.典例4 若變量x,y滿足約束條件,且u=2x+y+2的最小值為-4,則k的值為a7 b c d2【答案】b【解析】因?yàn)閡=2x+y+2,設(shè)z=2x+y,則u=z+2,因?yàn)閡=2x+y+2的最小值為-4,所以z的最小值為-6.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,由圖可知,目

10、標(biāo)函數(shù)z=2x+y過(guò)點(diǎn)a(2k,2k)時(shí)取得最小值,且,解得k=-1.典例5 設(shè)變量x,y滿足,z=a2x+y(0<a<2)的最大值為5,則a=a1 b c d 【答案】a【解析】如圖，畫(huà)出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示.z=a2x+y,y=-a2x+z,求z的最大值,即求直線y=-a2x+z在y軸上的最大截距,顯然，當(dāng)直線y=-a2x+z過(guò)點(diǎn)a時(shí)，在y軸上的截距取得最大值.由,解得a(2,3),則2a2+3=5,可得a=1.故選a.3若滿足約束條件，的最小值為，則_考向四 利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題用線性規(guī)劃求解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟為：（1）模型建立：正確理解題意，將一般文

11、字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這需要在學(xué)習(xí)有關(guān)例題解答時(shí)，仔細(xì)體會(huì)范例給出的模型建立方法（2）模型求解：畫(huà)出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，選定可行域中的特殊點(diǎn)作為最優(yōu)解（3）模型應(yīng)用：將求解出來(lái)的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中，設(shè)計(jì)出最佳的方案注意：（1）在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中變量除受題目要求的條件制約外，可能還有一些隱含的制約條件不要忽略.（2）線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解不一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界處取得，此時(shí)不能直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值，可用平移直線法、檢驗(yàn)優(yōu)值法、調(diào)整優(yōu)值法求解.典例6 下表所示為三種食物的維生素含量及成本，某食品廠欲將三種食物混合，制成至少含44000單位維生素及4800

12、0單位維生素的混合物100千克，所用的食物的質(zhì)量分別為（千克），則混合物的成本最少為_(kāi)元維生素（單位：千克）400600400維生素（單位：千克）800200400成本（元/千克）12108【答案】960【解析】由題意得，消去得設(shè)混合物的成本為，則畫(huà)出表示的可行域，如圖中陰影部分所示， 當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)，即千克，千克，千克時(shí)，成本最少，為元典例7 某家具廠有方木料，五合板，準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售.已知生產(chǎn)每張書(shū)桌需要方木料、五合板；生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥需要方木料、五合板.出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元，怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？【解析】設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x張

13、，書(shū)櫥y個(gè)，利潤(rùn)總額為z元，則，即，.作出表示的可行域，如圖中陰影部分所示.由圖可知：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)m時(shí)，截距最大，即z最大，解方程組得m的坐標(biāo)為(100,400).則(元).因此，生產(chǎn)書(shū)桌100張、書(shū)櫥400個(gè)，可使所得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為56000元.4某公司每月都要把貨物從甲地運(yùn)往乙地，貨運(yùn)車(chē)有大型貨車(chē)和小型貨車(chē)兩種.已知臺(tái)大型貨車(chē)與臺(tái)小型貨車(chē)的運(yùn)費(fèi)之和少于萬(wàn)元，而臺(tái)大型貨車(chē)與臺(tái)小型貨車(chē)的運(yùn)費(fèi)之和多于萬(wàn)元.則臺(tái)大型貨車(chē)的運(yùn)費(fèi)與臺(tái)小型貨車(chē)的運(yùn)費(fèi)比較a臺(tái)大型貨車(chē)運(yùn)費(fèi)貴b臺(tái)小型貨車(chē)運(yùn)費(fèi)貴c二者運(yùn)費(fèi)相同d無(wú)法確定考向五 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題1斜率問(wèn)題是線性規(guī)劃延伸變化的一類(lèi)重要問(wèn)題，

14、其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問(wèn)題，不過(guò)是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見(jiàn)模型或其變形形式.2距離問(wèn)題常涉及點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離，熟悉這些模型有助于更好地求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值.典例8 已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組,若x2+y2的最大值為m,最小值為n,則m-n=a b c8 d9【答案】b【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,觀察圖形可知,原點(diǎn)到直線x+y-3=0的距離|od|的平方等于n,|oa|2=m,經(jīng)過(guò)計(jì)算可得m=13,n=,則m-n=,故選b.典例9 已知x,y滿足,如果目標(biāo)函數(shù)z=的取值范圍為0,2),則實(shí)

15、數(shù)m的取值范圍為a0, b(-,c(-,) d(-,0【答案】c【解析】作出表示的可行域，如圖中陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)z=的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與a(m,-1)連線的斜率.由得,即b(2,-1).由題意知m=2不符合題意,故點(diǎn)a與點(diǎn)b不重合,因而當(dāng)連接ab時(shí),斜率取到最小值0.由與2x-y-2=0得交點(diǎn)c(,-1),在點(diǎn)a由點(diǎn)c向左移動(dòng)的過(guò)程中,可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)a連線的斜率小于2，而目標(biāo)函數(shù)的取值范圍滿足z0,2),則m<,故選c.5已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是_1若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為a4b5c6d72設(shè)，滿足約束條件，則的取值范圍是abcd3設(shè)滿足約束條件，且

16、的最小值為2，則a1b1cd4在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是a1bc2d5已知，設(shè)為可行域內(nèi)一點(diǎn)，則的最大值為abcd6已知滿足約束條件且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為abcd7若滿足則的最大值為abcd8設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，若在區(qū)域上存在函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是a bc d9若不等式組表示的區(qū)域?yàn)椋坏仁奖硎镜膮^(qū)域?yàn)椋騾^(qū)域均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為a bc d10不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)11在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a(-1,0)，b(1,2)，c(3,-1)，點(diǎn)p(x，y)為邊界及內(nèi)部的任意一點(diǎn)，則x+y的最大值

17、為_(kāi).12設(shè)滿足約束條件，則的最小值為_(kāi).13已知滿足約束條件，若可行域內(nèi)存在使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)14若變量，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi).15設(shè)變量x,y滿足約束條件,目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為m,則當(dāng)2a+b=m18(a>0,b>0)時(shí),2a+1b 的最小值為_(kāi).16某工藝廠有銅絲5萬(wàn)米，鐵絲9萬(wàn)米，準(zhǔn)備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售，已知編制一只花籃需要用銅絲200米，鐵絲300米；編制一只花盆需要銅絲100米，鐵絲300米，設(shè)該廠用所有原料編制個(gè)花籃個(gè)花盆.（1）列出滿足的關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；（2）若出售一個(gè)花籃可獲利300元，出售一個(gè)花盤(pán)可獲

18、利200元,那么怎樣安排花籃與花盆的編制個(gè)數(shù),可使得所得利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?1（2019年高考全國(guó)iii卷文數(shù)）記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閐命題；命題下面給出了四個(gè)命題這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是abcd2（2019年高考天津卷文數(shù)）設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為a2b3c5d63（2019年高考浙江卷）若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值是a b 1c 10d 124（2017年高考全國(guó)i卷文數(shù)）設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為a0b1c2d35（2017年高考全國(guó)ii卷文數(shù)）設(shè)滿足約束條件則的最小值是abcd 6（2019年高考全國(guó)ii卷文數(shù)）若變量x，y滿足約束條

19、件則z=3xy的最大值是_.7（2019年高考北京卷文數(shù)）若x，y滿足則的最小值為_(kāi)，最大值為_(kāi)8（2018年高考全國(guó)i卷文數(shù)）若，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)9（2018年高考全國(guó)iii卷文數(shù)）若變量滿足約束條件則的最大值是_10（2018年高考全國(guó)ii卷文數(shù)）若滿足約束條件 則的最大值為_(kāi)變式拓展1【答案】d【解析】由不等式組可得平面區(qū)域如下圖陰影部分所示：易知，是的垂直平分線，又直線與垂直，平面區(qū)域的形狀為等腰直角三角形.本題正確選項(xiàng)為d.【名師點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的形狀問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)不等式組得到平面區(qū)域，根據(jù)直線垂直關(guān)系和線段長(zhǎng)度關(guān)系可得區(qū)域形狀.2【

20、答案】【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，即.【名師點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最值，能否繪出不等式組表示的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，是簡(jiǎn)單題.求解時(shí)，首先可以根據(jù)題意繪出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何性質(zhì)，找出目標(biāo)函數(shù)取最小值所過(guò)的點(diǎn)，即可得出結(jié)果.3【答案】4【解析】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：取最小值時(shí)，即在軸上的截距最小，平移直線可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最小，由得：，解得：，本題正確結(jié)果為.【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中根據(jù)最值求解參數(shù)的問(wèn)題

21、，關(guān)鍵是能夠明確最值取得的點(diǎn)，屬于?？碱}型.求解時(shí)，由約束條件得到可行域，取最小值時(shí)在軸上的截距最小，數(shù)形結(jié)合求得結(jié)果.4【答案】a【解析】設(shè)大型貨車(chē)每臺(tái)運(yùn)費(fèi)萬(wàn)元，小型貨車(chē)每臺(tái)運(yùn)費(fèi)萬(wàn)元，依題意得，畫(huà)出該不等式組表示的平面區(qū)域：由圖可知，過(guò)時(shí)，最小.，即，故選a.【名師點(diǎn)睛】用線性規(guī)劃的方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題：先根據(jù)問(wèn)題的需要選取起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的量用字母表示，進(jìn)而把問(wèn)題中所有的量都用這兩個(gè)字母表示出來(lái)，建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出表示的區(qū)域即可解決.5【答案】【解析】由約束條件可知可行域?yàn)閳D中陰影部分所示：其中，由，可知的幾何意義為可行域中的點(diǎn)到直線距離的倍，可行域中的點(diǎn)到直線距離最大的點(diǎn)為，.本題正確

22、結(jié)果為.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用線性規(guī)劃求解最值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)進(jìn)行求解求解時(shí)，畫(huà)出約束條件的可行域，求出三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的幾何意義，求出最值取得的點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)求解即可考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】b【解析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且，故選b.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求解最值，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).求解時(shí)，作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，確定取到最小值的點(diǎn)，然后求出最小值.2【答案】b【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間連線的斜率，數(shù)形結(jié)

23、合可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值：，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值：，故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是.故選b.【名師點(diǎn)睛】求解時(shí)，首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取值范圍即可.3【答案】b【解析】結(jié)合目標(biāo)函數(shù)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分表示：其中，作直線，平移直線，當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即，解得.故選b.【名師點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形常見(jiàn)的類(lèi)型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值

24、或最小值.4【答案】b【解析】作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，過(guò)點(diǎn)o向直線作垂線，垂足在可行域內(nèi)，所以o到直線的距離即為的最小值，所以.故選b.【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，屬于距離模型，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.求解時(shí)，首先在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式組表示的可行域，表示o到可行域內(nèi)某點(diǎn)的距離，過(guò)點(diǎn)o向直線作垂線，垂足在可行域內(nèi)，所以o到直線的距離即為的最小值.5【答案】c【解析】由題意作出其平面區(qū)域，由解得，由線性規(guī)劃知識(shí)知經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，有最大值，故選c.【名師點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃、向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.6【答案】a【解析】由約束條件作出可行域如圖，令，

25、平移直線，則當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，有最小值，因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?，?故選a.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題. 求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.7【答案】d【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離的倍最大，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)a處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得

26、點(diǎn)的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故選d.【名師點(diǎn)睛】(1)本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法(2)解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)一定的幾何意義8【答案】c【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由a1，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)，滿足條件，由，解得a（3，1），此時(shí)滿足loga31，解得a3，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，+），故選c【名師點(diǎn)睛】解本題時(shí)，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫(huà)出其表示的平面區(qū)域，再利用函數(shù)y=logax（a1）的圖象特征，結(jié)合區(qū)域上的點(diǎn)即可解決問(wèn)題.利用線性規(guī)劃求最值的步驟：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行

27、域；考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值9【答案】a【解析】由圖可得，點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為.區(qū)域即的面積為，區(qū)域的面積為圓的面積，即，其中區(qū)域和區(qū)域不相交的部分面積即空白面積，所以區(qū)域和區(qū)域相交的部分面積，所以落入?yún)^(qū)域的概率為.所以均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為.故本題正確答案為a【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題考查的是一個(gè)與面積相關(guān)的幾何概型，以線性規(guī)劃為背景，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域，計(jì)算出可行域的面積；二、畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域，為一個(gè)圓，計(jì)算出面

28、積，即，注意圓有一部分沒(méi)在可行域內(nèi)，得到公共部分的面積，由幾何概型的面積公式可得，從而得解.10【答案】3【解析】依據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，如圖陰影部分所示，平面區(qū)域?yàn)?，其中，所?故答案為3.11【答案】3【解析】依題意，作出可行域，設(shè)z=x+y，當(dāng)直線y=-x+z過(guò)點(diǎn)b時(shí)，z有最大值3，故填3.12【答案】【解析】由圖知的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，則最小距離為.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，畫(huà)出可行域，利用的幾何意義，求得的最小值.13【答案】【解析】由約束條件作出可行域如圖，要使可行域內(nèi)存在使不等式有解，只需目標(biāo)函數(shù)的

29、最大值為非負(fù)值即可.平移直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的有最大值，所以，即.綜上，可行域內(nèi)存在使不等式有解，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的定點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14【答案】【解析】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：，取最大值時(shí)，最大，的幾何意義為：與原點(diǎn)連線的斜率，由上圖可知，點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率最大

30、，由得：，.【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中斜率型的最值的求解，關(guān)鍵是能夠明確分式類(lèi)型的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，屬于常規(guī)題型.求解時(shí)，根據(jù)約束條件得到可行域，將化為，根據(jù)的幾何意義可求得取時(shí)，最大，代入可求得的最大值.15【答案】9【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.由z=x+6y得,數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a時(shí),直線的縱截距最大,此時(shí)z最大.由,解得,即a(0,3).將a(0,3)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=x+6y,得zmax=0+3×6=18,所以m=18,所以2a+b=1,2a+1b=(2a+1b)(2a+b)=4+1+2ba+2ab5+2×2=9(當(dāng)且僅當(dāng)

31、a=b=時(shí)等號(hào)成立).16【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）該廠編制200個(gè)花籃,100個(gè)花盆所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為8萬(wàn)元.【解析】（1）由已知得x、y滿足的關(guān)系式為，等價(jià)于,該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分內(nèi)的整點(diǎn).（2）設(shè)該廠所得利潤(rùn)為z元,則目標(biāo)函數(shù)為z=300x+200y,將變形為,這是斜率為,在y軸上的截距為、隨z變化的一組平行直線.又因?yàn)閤、y滿足約束條件,所以由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)m時(shí),截距最大,即z最大.解方程組得點(diǎn)m的坐標(biāo)為(200,100)且恰為整點(diǎn),即所以.故該廠編制200個(gè)花籃,100個(gè)花盆所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為8萬(wàn)元.直通高考1【答案】a【解析

32、】根據(jù)題中的不等式組可作出可行域，如圖中陰影部分所示，記直線，由圖可知，所以p為真命題，q為假命題，所以為假命題，為真命題，所以為真命題，為假命題，為真命題，為假命題，所以所有真命題的編號(hào)是.故選a.【名師點(diǎn)睛】本題將線性規(guī)劃和不等式，命題判斷綜合到一起，解題關(guān)鍵在于充分利用取值驗(yàn)證的方法進(jìn)行判斷.2【答案】d【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分. 目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值. 由，得，所以.故選c.【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距

33、離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍即：一畫(huà)，二移，三求3【答案】c【解析】畫(huà)出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示.因?yàn)椋?平移直線可知，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a時(shí)，z取得最大值.聯(lián)立兩直線方程可得，解得.即點(diǎn)a坐標(biāo)為，所以.故選c.【名師點(diǎn)睛】解答此類(lèi)問(wèn)題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確程度，也有可能在解方程組的過(guò)程中出錯(cuò).4【答案】d【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)z取得最大值，故，故選d【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還

34、是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最值取法或值域范圍5【答案】a【解析】繪制不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，最小值為故選a.【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.6【答案】9【解析】畫(huà)出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，陰影部分表示的三角形abc區(qū)域，根據(jù)