高中數(shù)學(xué)必修一求函數(shù)解析式解題方法大全及配套練習(xí)

1、.高中數(shù)學(xué)必修一求函數(shù)解析式解題方法大全及配套練習(xí)一、 定義法：根據(jù)函數(shù)的定義求解析式用定義法?！纠?】設(shè)，求. =【例2】設(shè)，求.解：設(shè)【例3】設(shè)，求.解：又故【例4】設(shè).解：.二、 待定系數(shù)法：（主要用于二次函數(shù)）已知函數(shù)解析式的類型，可設(shè)其解析式的形式，根據(jù)已知條件建立關(guān)于待定系數(shù)的方程，從而求出函數(shù)解析式。它適用于已知所求函數(shù)類型（如一次函數(shù)，二次函數(shù)，正、反例函數(shù)等）及函數(shù)的某些特征求其解析式的題目。其方法：已知所求函數(shù)類型，可預(yù)先設(shè)出所求函數(shù)的解析式，再根據(jù)題意列出方程組求出系數(shù)?！纠?】 設(shè)是一次函數(shù)，且，求【解析】設(shè) ，則 【例2】已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x+

2、1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：設(shè)二次函數(shù)f（x）= ax2+bx+c，則 f（0）= c= 0 f（x+1）= a+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b 由f（x+1）= f（x）+2x+8 與、 得 解得 故f（x）= x2+7x.【例3】已知，求.解：顯然，是一個(gè)一元二次函數(shù)。設(shè)則 又比較系數(shù)得： 解得：三、換元（或代換）法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求的解析式用來處理不知道所求函數(shù)的類型，且函數(shù)的變量易于用另一個(gè)變量表示的問題。使用換元法時(shí)要注意新元定義域的變化，最后結(jié)果要注明所求函數(shù)的定義域。如：已知復(fù)合函數(shù)f g（x）的解析式，求原函數(shù)f（

3、x）的解析式， 把g（x）看成一個(gè)整體t，進(jìn)行換元，從而求出f（x）的方法。實(shí)施換元后,應(yīng)注意新變量的取值范圍,即為函數(shù)的定義域.【例1】 已知，求【解析】令，則， 【例2】 已知求.解：設(shè)則則【例3】設(shè)，求.解：令又【例4】若 （1）在（1）式中以代替得即 （2）又以代替（1）式中的得： （3）【例5】設(shè)，求。解： （1）用來代替，得 （2）由【例6】已知，求.解：設(shè)，則 即代入已知等式中，得：四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí)，一般用代入法【例1】已知：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求的解析式解：設(shè)為上任一點(diǎn)，且為關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn) 則 ，解得： ，點(diǎn)在上 ， 把代入得：整理得，

4、(五)配湊法已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求的解析式，的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是的值域【例1】：已知求的解析式。分析：可配湊成 可用配湊法解：由 令 則 即當(dāng)然，上例也可直接使用換元法令則得即 由此可知，求函數(shù)解析式時(shí)，可以用配湊法來解決的，有些也可直接用換元法來求解。【例2】：已知求.分析：此題直接用換元法比較繁鎖，而且不易求出來，但用配湊法比較方便。解析：由 令 由即得 即：實(shí)質(zhì)上，配湊法也缊含換元的思想，只是不是首先換元，而是先把函數(shù)表達(dá)式配湊成用此復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)來表示出來，在通過整體換元。和換元法一樣，最后結(jié)果要注明定義域。(

5、六)構(gòu)造方程組法（消去法）。若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式構(gòu)造方程組法適用的范圍是：題高條件中，有若干復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混合運(yùn)算，則要充分利用變量代換，然后聯(lián)立方程組消去其余部分?！纠?】：設(shè)滿足求的解析式。分析：要求可消去,為此，可根據(jù)題中的條件再找一個(gè)關(guān)于與的等式，通過解方程組達(dá)到消元的目的。解析： 顯然，,將換成得 .由消去，得小結(jié)：函數(shù)方程組法適用于自變量的對稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如f(x)、；互為相反數(shù)，如f(x)、f(-x)，通過對稱代換構(gòu)造一個(gè)對稱方程組，解方程組即得f(x)的解析式?！纠?】已知，求.解：設(shè)，則 即代入已

6、知等式中，得：小結(jié)：消元法適用于自變量的對稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如f(x)、；互為相反數(shù)，如f(x)、f(-x)，通過對稱代換構(gòu)造一個(gè)對稱方程組，解方程組即得f(x)的解析式。【例5】設(shè)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，又試求的解析式【解析】為偶函數(shù)，為奇函數(shù)， 又 ，用替換得： 即 解 聯(lián)立的方程組，得 ， 七、特殊值法：（賦值類求抽象函數(shù)）當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式【例1】：設(shè)是定義在N上的函數(shù)，滿足，對于任意正整數(shù)，均有，求.解：由，設(shè)得：即：在上式中，分別用代替，然后各式相加可得：【例2】設(shè)是定義在R上的函數(shù)，

7、且滿足f（0）=1，并且對任意的實(shí)數(shù)x，y，有f（xy）= f（x） y（2xy+1），求f（x）函數(shù)解析式.分析：要f（0）=1，x，y是任意的實(shí)數(shù)及f（xy）= f（x） y（2xy+1），得到f（x）函數(shù)解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f（xy）= f（x） y（2xy+1） 得f（0）= f（x） x（2xx+1），整理得 f（x）= x2+x+1.八利用給定的特性求解析式.【例1】設(shè)是偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)， ，求當(dāng)x0時(shí)，的表達(dá)式.練習(xí)對xR， 滿足，且當(dāng)x1，0時(shí)， 求當(dāng)x9，10時(shí)的表達(dá)式.九、累加法：累加法核心思想與求數(shù)列的通項(xiàng)公式相似?！纠?】：若，且當(dāng)，求.解

8、：遞推得：以上個(gè)等式兩邊分別相加，得：十、歸納法：【例1】：已知，求.解：，依此類推，得再用數(shù)學(xué)歸納法證明之?！纠?】：設(shè)，記，求.十一、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式?！纠?】 設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足，對任意的自然數(shù) 都有，求【解析】，不妨令，得：，又 分別令式中的 得： 將上述各式相加得：， 十二、對稱性法即根據(jù)所給函數(shù)圖象的對稱性及函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求另一區(qū)間上的解析式.【例1】 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=2xx2，求f（x）函數(shù)解析式.解：y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

9、y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)x0時(shí)，f（x）=2xx2的頂點(diǎn)（1，1），它關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)（1，1）， x0，x0.因此當(dāng)x<0時(shí)，y=1= x2 +2x.故 f（x）=評注: 對于一些函數(shù)圖象對稱性問題,如果能結(jié)合圖形來解,就會(huì)使問題簡單化.十三、函數(shù)性質(zhì)法利用函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性等求函數(shù)解析式的方法?！纠?】. 已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)?shù)慕馕鍪健＝馕觯阂驗(yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)，所以十四、反函數(shù)法利用反函數(shù)的定義求反函數(shù)的解析式的方法?！纠?】. 已知函數(shù)，求它的反函數(shù)。解：因?yàn)?，反函?shù)為十五、“即時(shí)定義”法給出一個(gè)“即時(shí)定義”函數(shù)，根據(jù)這個(gè)定義求函數(shù)解析式的方

10、法?！纠?】. 對定義域分別是的函數(shù)，規(guī)定：函數(shù)若，寫出函數(shù)的解析式。十六 、微積分法：當(dāng)你學(xué)了導(dǎo)數(shù)和微積分之后，就會(huì)用到，不過平時(shí)的考題還是比較少出現(xiàn)的，多見識(shí)下各種題型對你有幫助的。【例1】：設(shè)，求.解：因此 A、 B、十七：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法例7已知=，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) (x。，y。)在y= 圖像上時(shí)，點(diǎn)(2x。，2y。)在y = 圖像上，求函數(shù)的解析式.解：設(shè)p(x, y)是函數(shù)y =圖像上的任一點(diǎn)，由已知得點(diǎn)(，)在函數(shù)y=的圖像上.即=,所以 y= 2故所求函數(shù)的解析式是， = 2.點(diǎn)評：抓住所求函數(shù)圖像上的點(diǎn)與已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)的關(guān)系，再利用已知點(diǎn)滿足已知函數(shù)，從而轉(zhuǎn)換坐標(biāo)，代入即可求得.;其

11、它相關(guān)題型1、定義法x例 1若 f (+ 1 = x + 2x ) ,求 f(x)。xx解： x + 2= (+ 1)2 - 1x f (+ 1) = (+ 1)2 - 1xx+ 1 1f(x)=x2+1(x1)2、配湊法例 2、已知 f (x +1) = x2 - 2x ，求 f (x) 解： f (x +1) = (x +1)2 - 2x -1- 2x= (x +1)2 - 4x -1= (x +1)2 - 4(x +1) + 3f (x) = x2 - 4x + 3 3、換元法例 3、已知 f（x + 1x + 1）=xx 2 + 1 +x 211 ，求 f（x）的解析式.x解： 設(shè)=

12、t ，則 x=xt - 1（t1），( 1 )2 +1f（t）=t - 1+1= 1+ (t - 1)2+（t1）= t2t+1( 1 )2t - 11t - 1故f（x）=x2x+1 （x1）.評注: 實(shí)施換元后,應(yīng)注意新變量的取值范圍,即為函數(shù)的定義域4、待定系數(shù)法例 4、已知二次函數(shù) f（x）滿足 f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解析式.解：設(shè)二次函數(shù) f（x）= ax2+bx+c，則 f（0）= c= 0 f（x+1）= a (x + 1)2 +b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b 由 f（x+1）= f（x）+2x+8 與、 得ì2

13、a + b = b + 2îía + b = 8ìa = 1,í解得îb = 7.故 f（x）= x2+7x.評注: 已知函數(shù)類型，常用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.5、直接圖像法例 5函數(shù)在閉區(qū)間-1, 2 上的圖象如右圖所示，則求此函數(shù)的解析式。 yïo1ìx +1(-1 £ x < 0)解： f (x) = í- 1 x(0 £ x £ 2) 0îï 2-12 x-16、方程組法1例 6、 設(shè)函數(shù) f（x）滿足 f（x）+2 f（x）= x （x0），求 f（

14、x）函數(shù)解析式.1分析：欲求 f（x），必須消去已知中的 f（x個(gè)方程，聯(lián)立方程組求解即可.11），若用x去代替已知中 x，便可得到另一解： f（x）+2 f（）= x （x0）x11由代入得2f（x）+f（xx1）=（x0） x2x解 構(gòu)成的方程組，得 f（x）=3x3（x0）.7、特殊值法例 7、設(shè)是定義在 R 上的函數(shù)，且滿足 f（0）=1，并且對任意的實(shí)數(shù) x，y， 有 f（xy）= f（x） y（2xy+1），求 f（x）函數(shù)解析式.分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的實(shí)數(shù)及 f（xy）= f（x） y（2xy+1），得到f（x）函數(shù)解析式，只有令 x = y.解： 令 x =

15、y ，由 f（xy）= f（x） y（2xy+1） 得f（0）= f（x） x（2xx+1），整理得 f（x）= x2+x+1.8、對稱性圖像法即根據(jù)所給函數(shù)圖象的對稱性及函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求另一區(qū)間上的解析式. 例 8、已知是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f（x）=2xx2，求 f（x）函數(shù)解析式.解：y=f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)， y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng) x0 時(shí)，f（x）=2xx2 的頂點(diǎn)（1，1），它關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)（1，1），ì 2 x - x 2因此當(dāng) x<0 時(shí)，y= (x + 1)2 1= x2 +2x.故 f（x）= 

16、7;î x 2 + 2 xx0， x0評注: 對于一些函數(shù)圖象對稱性問題,如果能結(jié)合圖形來解,就會(huì)使問題簡單化.9、利用奇偶性法相關(guān)練習(xí)（一）換元法1已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2若,求.（二）配變量法3已知, 求的解析式. 4若,求.（三）待定系數(shù)法5設(shè)是一元二次函數(shù), ,且,求與.6設(shè)二次函數(shù)滿足,且圖象在y軸上截距為1,在x軸上截得的線段長為,求的表達(dá)式.（四）解方程組法 7設(shè)函數(shù)是定義(,0)(0,+ )在上的函數(shù),且滿足關(guān)系式,求的解析式.8（1）若,求. （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).（五）特殊值代入法9若,且，求值.10已

17、知：，對于任意實(shí)數(shù)x、y，等式恒成立，求（六）利用給定的特性求解析式.11設(shè)是偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí), ,求當(dāng)x0時(shí)，的表達(dá)式.12對xR, 滿足,且當(dāng)x1,0時(shí), 求當(dāng)x9,10時(shí)的表達(dá)式.例6、已知函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)都有成立，且。(1)求的值；(2)求的解析式。.;求函數(shù)的解析式例1已知f (x)= ，求f ()的解析式 （ 代入法 / 拼湊法 ）變式1已知f (x)= ， 求f ()的解析式 變式2已知f (x+1)，求f (x)的解析式 例2若f f (x)4x3，求一次函數(shù)f (x)的解析式 （ 待定系數(shù)法 ）變式1已知f (x)是二次函數(shù)，且，求f (x)例3已知f (x)2 f (x)x ，求函數(shù)f (x)的解析式 （ 消去法/ 方程組法 ）