高三數(shù)學一輪復習（原卷版）全真模擬卷02（理科）（解析版）

1、2021年理科數(shù)學一模模擬試卷（二）學校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合,集合,則( )abcd【答案】c【解析】【分析】化簡集合和,根據(jù)交集定義,即可求得.【詳解】 化簡可得根據(jù)指數(shù)函數(shù)是減函數(shù) ,即,故 故故選:c.【點睛】本題考查了集合的交集,在集合運算比較復雜時,可以使用數(shù)軸來輔助分析問題,屬于基礎(chǔ)題.2設(shè)為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)為（ ）abcd【答案】d【分析】根據(jù)復合的四則運算以及共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，可得，所以復數(shù)的共軛復數(shù).故選：d【點睛】本題

2、考查了復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.3易·系辭上有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為abcd【答案】a【分析】陽數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應(yīng)概率.【詳解】因為陽數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：a.【點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.4設(shè)是

3、定義在上的奇函數(shù)，且當時，.若，大小關(guān)系為（ ）abcd【答案】b【分析】根據(jù)題意當時，是定義在上的奇函數(shù),則在定義域上單調(diào)遞增，由函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】由題意知由當時,，所以在上單調(diào)遞增，且又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.所以在定義域上單調(diào)遞增.又因為，所以，由在定義域上單調(diào)遞增，則 所以.故選：b.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，利用單調(diào)性比較大小，考查三角函數(shù)值大小的的比較，對數(shù)值大小的比較，屬于中檔題5已知、為直線，、為平面在下列四個命題中： 若，則； 若，則； 若，則； 若，則正確命題的個數(shù)是（ ）abcd【答案】c【分析】根據(jù)空間中的線面關(guān)系、面面

4、關(guān)系有關(guān)定理進行判斷.【詳解】對于命題，若，則，命題正確；對于命題，若，則與平行、異面、相交都可以，命題錯誤；對于命題，若，則，命題正確；對于命題， 若，則與平行、相交都可以，命題錯誤.故選c.【點睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷，判斷時應(yīng)嚴格根據(jù)線面、面面有關(guān)的定理和推論，也可以結(jié)合空間幾何體來進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.6函數(shù)y1x的部分圖象大致為()abcd【答案】d【分析】通過函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的圖象經(jīng)過的特殊點判斷函數(shù)的圖象即可.【詳解】當x時，0,1x，y1x，故排除選項b.當0x時，y1x0，故排除選項a，c.故選d.【點睛】本題

5、考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及特殊點是常用方法7已知函數(shù)，函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度得到，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的有（ ）a的圖象關(guān)于直線對稱b的圖象關(guān)于直線對稱c在單調(diào)遞減d在單調(diào)遞減【答案】b【分析】根據(jù)平移變換得出的解析式，再由整體代入法、代入驗證法得出的單調(diào)性、對稱軸，即可得到答案.【詳解】由題意可知對于a，不是的最大值也不是最小值，故a錯誤；對于b，2是的最大值，即是的對稱軸，故b正確；對于c、d，由，解得當時，則函數(shù)在單調(diào)遞增，故d錯誤；又，則函數(shù)在單調(diào)遞增，故c錯誤；故選：b【點睛】本題主要考查了求正弦型函數(shù)的對稱軸，單調(diào)性，考查學生的計算能力，屬于中檔題.8設(shè)

6、的內(nèi)角所對的邊分別為，且，已知的面積等于，則的值為（ ）abcd【答案】d【分析】先利用正弦定理化簡，可得，然后利用三角形的面積為10，列方程可求出的值【詳解】，由正弦定理可得，即，解得，或（舍去），的面積，解得.故選：d【點睛】此題考查了正弦定理、同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角形的面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.9等比數(shù)列的前n項和為，已知，則abcd【答案】a【解析】設(shè)公比為q,則，選a. 10執(zhí)行如圖所示程序框圖，輸出的結(jié)果是( )abcd【答案】a【分析】按照程序框圖的流程執(zhí)行程序，當進入循環(huán)體時，先執(zhí)行后判斷，直到當成立時，退出循環(huán)結(jié)構(gòu)，輸出的值.【詳解】初始條件；，進入循環(huán)體：，不成立，因此

7、，進入循環(huán)體：，不成立，因此，進入循環(huán)體：，不成立，因此，進入循環(huán)體：，不成立，因此，進入循環(huán)體：，不成立，因此，進入循環(huán)體：，成立，退出循環(huán)體，輸出.故選：a【點睛】本題考查了程序框圖輸出問題，考查了數(shù)學運算能力.11已知，為雙曲線：（，）的左、右焦點，以為圓心，為半徑的圓與在第一象限的交點為，直線與交于另一點若的面積為，則的離心率為（ ）a2bcd【答案】d【分析】設(shè)直線與軸正方向的夾角為，利用雙曲線的第二定義表示出,，根據(jù)的面積以及即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的右準線與軸的交點為，則，設(shè)直線與軸正方向的夾角為，由雙曲線的第二定義可得，即，由，可得整理，由可得，即，將代入，整理可得，即.故選

8、：d【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的第二定義，解題的關(guān)鍵是利用第二定義表示出，考查了計算能力.12已知函數(shù)的定義域為，且，的圖象關(guān)于直線對稱若當時，則使得成立的的取值范圍是（ ）abcd【答案】b【分析】根據(jù)圖像的對稱性得到圖像的對稱性也即函數(shù)為偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可知函數(shù)的單調(diào)性，由此求得不等式的解集.【詳解】由于函數(shù)圖像關(guān)于對稱，故的圖像關(guān)于軸對稱，也即函數(shù)為偶函數(shù).構(gòu)造函數(shù)，依題意當時，故函數(shù)在上遞增，而，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由于，根據(jù)單調(diào)性和對稱性有或，故選b.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的圖像變換，考查函數(shù)的對稱性以及

9、奇偶性，考查利用導數(shù)解不等式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知實數(shù)，滿足，目標函數(shù)的最大值為_.【答案】6【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)可化為，故求z的最大值，即為在上下平移時，縱截距的最小值，如圖示，過b(2,4)時，縱截距最小，z最大.此時故答案為：6.【點睛】簡單線性規(guī)劃問題的解題步驟：(1)畫出可行域;(2)作出目標函數(shù)所表示的某條直線（通常選作過原點的直線），移動此直線并觀察此直線經(jīng)過可行域的哪個（些）點時，函數(shù)有最大（小）值；(3)求（寫）出最優(yōu)解和相應(yīng)的最大（?。┲?/p>

10、；(4)下結(jié)論14如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為_【答案】【分析】將三視圖還原為幾何體為內(nèi)接于正方體的直四棱錐，如圖所示，則該幾何體的外接球的直徑為正方體的直徑，通過計算即可得球的表面積.【詳解】將三視圖還原為幾何體為內(nèi)接于正方體的直四棱錐，如圖所示，所以該幾何體的外接球的直徑為正方體的直徑，故半徑為，所以其表面積為.故答案為：15若，若則的最小值為_.【答案】9.【分析】先整理已知條件得，則，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由，得，又，得，則，當且僅當即時取等號.故答案為：9.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相

11、等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16已知在銳角中，角的對邊分別為，若，則的最小值為_【答案】【分析】先用正弦定理邊化角，得，再結(jié)合誘導公式和內(nèi)角和代換，進而求得最值【詳解】由正弦定理可轉(zhuǎn)化為，兩邊同時除以可得，即則，當且僅當時取到等號；故答案為【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，正弦定理、誘導公式的使用，基本不等式求最值，綜合性強，屬于中檔題三

12、、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等差數(shù)列的首項為1，公差為1，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由等差數(shù)列的前項和公式，等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于和的方程組，解方程組后可得通項公式；（2）由等差數(shù)列通項公式求得后得，然后由錯位相減法求得和【詳解】（1）設(shè)公差為，則.（2）由題意，（1），（2）（1）（2）得：，.【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式

13、，錯位相減法求和數(shù)列求和的常用方法：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列， （1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（2）錯位相減法：數(shù)列的前項和應(yīng)用錯位相減法；（3）裂項相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項和用裂項相消法；（4）分組（并項）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負相間等特征時可能用并項求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和18（12分）如圖所示，四棱錐中，平面.（1）求證:平面;（2）若點是線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）通過勾股定理證得，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)得到，由此證得平面.

14、（2）建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明:，又，故，又平面平面，又，平面.（2）如圖，分別以的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.則，由（1）得平面的一個法向量為，設(shè)為平面的一個法向量，由，得，不妨取，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則.即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19（12分）2020年國慶節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握國慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了3日上午9:2010:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費站點，它們通

15、過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:209:40記作、9:4010:00記作，10:0010:20記作，10:2010:40記作，例如：10點04分，記作時刻64.（）估計這600輛車在9:2010:40時間內(nèi)通過該收費站點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車隨機抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:2010:00之間通過的車輛數(shù)為x，求x的分布列；（）根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車輛在每天通過該收費站點的時刻t服從正態(tài)分布，其中可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車在9:2010:40之間通

16、過該收費站點的時刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.假如4日全天共有1000輛車通過該收費站點，估計在9:4610:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.附：若隨機變量t服從正態(tài)分布，則，.【答案】（）10:04；（）答案見解析；（）819.【分析】（）結(jié)合頻率分布直方圖，利用平均數(shù)公式求解.（）結(jié)合頻率分布直方圖，利用分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)為，則x的可能的取值為0，1，2，3，4，再分別求得相應(yīng)的概率，列出分布列.（）由（1）得，再利用頻率分布直方圖求得，然后利用原則求解.【詳解】（）這600輛車在9:201

17、0:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值為：，即1004（）由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數(shù)就是位于時間分組中在20，60這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即，所以x的可能的取值為0，1，2，3，4.所以，.所以x的分布列為：x01234p（）由（1）得，所以，估計在9:4610:40之間通過的車輛數(shù)也就是在46，100通過的車輛數(shù)，由，得，所以估計在在9:4610:40之間通過的車輛數(shù)為.【點睛】方法點睛：(1)求解離散型隨機變量x的分布列的步驟：理解x的意義，寫出x可能取的全部值；求x取每個值的概率；寫出x的分布列(2)求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是

18、求隨機變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識20（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，且橢圓c上的點m滿足，.（1）求橢圓c的標準方程；（2）作直線垂直于x軸，交橢圓c于點q，r，點p是橢圓c上異于q，r兩點的任意一點，直線，分別與x軸交于s，t兩點，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，4.【分析】（1）由題意可得，在中，利用余弦定理可得，即求.（2）根據(jù)題意，設(shè)，則，寫出直線的方程與直線的方程，求出s，t兩點，從而可得，化簡計算即可求解.【詳解】（1）依題意得：，.由橢圓定義知，又，則，在中，由余弦定理得：即，解得又故所求

19、橢圓方程為（2）依題意得知：q，r兩點關(guān)于x軸對稱設(shè)，則則，同理又直線的方程為由得點s的橫坐標同理直線的方程為由得點r的橫坐標為定值.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系中的定值問題，解題的關(guān)鍵是出s，t兩點，此題考查了運算、求解能力，綜合性較強.21（12分）已知函數(shù)，恰好有兩個極值點.（）求證：存在實數(shù)，使；（）求證：.【答案】（）證明見解析；（）證明見解析.【分析】（）求出函數(shù)導數(shù)，題目等價于存在兩個不同正根，先考慮與相切，可得，構(gòu)造函數(shù)，可求出，即可證明；（）可得，得，設(shè)，求出導數(shù)可得，即可證明.【詳解】（），.根據(jù)題意，即存在兩個不同正根.先考慮與相切，記切點橫坐標為，如圖.則，設(shè)，則，令，得.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，故存在唯一，使成立.取，則時，恰存在兩個極值點，得證.（）由（）知，且.所以，代入，得，設(shè)，.，則容易判斷，；，.故，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增.所以.且，由，且，得.所以，從而，證畢.【點睛】本題考查利用導數(shù)證明不等式，解題得關(guān)鍵是先考慮與相切，求出切點橫坐標取值范圍，也可對第二問起到作用.（二）選考題：共10分。請考生在第22，23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。22 （10分）選修4-4:坐標系與參