百分?jǐn)?shù)知識(shí)點(diǎn)整理和單位一巧用(共13頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)中 “單位” 的巧用筆者在幾年小學(xué)畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，深刻認(rèn)識(shí)到：分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、工程問(wèn)題，是小學(xué)生最難理解和難于掌握的內(nèi)容，而這三種內(nèi)容的應(yīng)用題又是小學(xué)生更難的，而又必須掌握的知識(shí)之一。而單位“1”好比是解答這難題的一把金鑰匙，利用得當(dāng)可幫助學(xué)生理解題意、掌握解題思路、發(fā)展思維，提高學(xué)生解題能力和技巧，可起到事半功倍的作用。因此，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握單位“1”的運(yùn)用方法很有必要。首先要讓學(xué)生認(rèn)清單位“1”，它不同于自然數(shù)中的“1”，它可表示數(shù)字“1”，更重要的是它在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比類,工程問(wèn)題應(yīng)用題中表示“一個(gè)單位、一個(gè)整體”，這在教學(xué)中就叫單位“1”或“整

2、體1”。故單位“1”可表示“一個(gè)總量、一個(gè)部分、一項(xiàng)工程的總量、一批物件”等。所有單位“1”的量叫標(biāo)準(zhǔn)量，與它相比的叫比較量，在解答應(yīng)用題時(shí)，如單位“1”的量已知，就用單位“1”的量乘以所求量對(duì)應(yīng)的分率；如求單位“1”的量，就用已知量除以已知量的對(duì)應(yīng)分率。由于用單位“1”計(jì)算方法固定，故只要選好單位“1”，就可知計(jì)算方法，這就解決了學(xué)生不知用什么方法計(jì)算這一難題。而選擇單位“1”一般以“總量、不變量、兩者相比的后項(xiàng)、幾分之幾的對(duì)象”為單位“1”。下面談?wù)剢挝弧?”的運(yùn)用。一、單位“1”在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的運(yùn)用這類應(yīng)用題一般把總量看作單位“1”。例（1）：一堆煤有50噸，用去3/5后，還剩多少噸？分

3、析：本題應(yīng)把總量一堆煤看作單位“1”，用去的單位“1”的3/5，剩下的占單位“1”的（1-3/5）（剩下量對(duì)應(yīng)分率），由于單位“1”量已知而用乘法，求剩下量列式為：50×（1-3/5）。例（2）：一堆煤，第一次運(yùn)走總噸數(shù)的1/3，第二次運(yùn)走總噸數(shù)的1/4，還剩65噸沒(méi)運(yùn)，求這堆煤有多少噸？分析：本題與例（1）一樣把總量看作單位“1”，剩下的占單位“1”的（1-1/3-1/4），但這題求單位“1”的量而用除法，列式為：65÷（1-1/3-1/4）156噸。由上兩例可知：當(dāng)總量變化時(shí)，單位“1”在解題過(guò)程中起了關(guān)鍵作用。但當(dāng)總量不變，總量里的幾種部分量都變化時(shí)又怎樣解呢？例（3

4、）：甲乙兩糧倉(cāng)，甲倉(cāng)存量噸數(shù)是乙倉(cāng)的5倍，如從甲倉(cāng)運(yùn)出628噸糧存入乙倉(cāng)，則乙倉(cāng)存糧是甲的5倍，甲倉(cāng)原有存糧多少噸？分析：這題應(yīng)把兩倉(cāng)總存糧數(shù)看作單位“1”，由于甲乙兩倉(cāng)存糧數(shù)前后發(fā)生變化，原來(lái)甲占兩倉(cāng)總量的5/(15)，后來(lái)甲占兩倉(cāng)總量的1/(15)，則原甲比后甲多的628噸的對(duì)應(yīng)分率是（5/6-1/6）。故總量是628÷（5/6-1/6），而原甲倉(cāng)存糧為628÷（5/6-1/6）×5/6。因此，當(dāng)總量不變，而分量都變化，還是用單位“1”，解題可起簡(jiǎn)便思路的作用。如總量變，分量里有種變、有種不變的題呢？同樣可用單位“1”法求解。例（4）：甲乙兩人共儲(chǔ)蓄人民幣31

5、5元，甲儲(chǔ)蓄的錢數(shù)占兩人總數(shù)的7/8，甲取出一部分存款支援“希望工程”后，這時(shí)甲占兩人總儲(chǔ)量的5/11，這時(shí)甲乙兩人儲(chǔ)蓄總量是多少元？分析：本題與上題比，仍把總量看作單位“1”，但原來(lái)和現(xiàn)在“1”表示的量是不同的，而乙在總量變化時(shí)自身不變，故應(yīng)以乙占前后單位“1”的差，求出后來(lái)兩人總量。原來(lái)甲占7/8，乙占（1-7/8），乙有錢315×（1-7/8）；后來(lái)甲占5/11，乙占（1-5/11），即后來(lái)兩人儲(chǔ)蓄總量的（1-5/11），是315×（1-7/8）÷（1-5/11）。于是可見(jiàn)，總量變化，同樣可用單位“1”來(lái)求解，同樣單位“1”起了解題中的橋梁作用。二、單位“1

6、”在“比類”應(yīng)用題中的運(yùn)用這類應(yīng)用題，一般先弄清是“誰(shuí)比誰(shuí)”，把“后者”看作單位“1”的量。1、“份數(shù)比”類應(yīng)用題例（1）：某工廠四月份燒煤120噸，比原計(jì)劃節(jié)約了1/9，四月份原計(jì)劃燒煤多少噸？分析：本題是實(shí)際燒煤量與計(jì)劃量相比，故應(yīng)把計(jì)劃燒煤量看作單位“1”，則實(shí)際燒煤量相當(dāng)于計(jì)劃量的（11/9），求計(jì)劃量可列式為120÷（11/9）135（噸），因此，單位“1”在份數(shù)比類應(yīng)用題中起關(guān)鍵作用。2、“差比”類應(yīng)用題也可用單位“1”求解例（1）：甲數(shù)是40，乙數(shù)是80。求甲比乙多幾分之幾？求乙比甲比少幾分之幾？這類應(yīng)用題可用公式“相差量÷標(biāo)準(zhǔn)量”，但上題、問(wèn)的標(biāo)準(zhǔn)量發(fā)生變化

7、，而計(jì)算結(jié)果不同。（8040）÷801/2；（8040）÷401。由上可知，單位“1”在“差比”類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解答中起了關(guān)鍵性的作用。3、“倍比”類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題同樣可用單位“1”求解例（1）：某校54人參加奧林匹克學(xué)校數(shù)學(xué)班學(xué)習(xí)，非錄取學(xué)生人數(shù)比錄取學(xué)生數(shù)的5/2倍還多12人，問(wèn)這所學(xué)校有幾個(gè)被錄取？分析：本題應(yīng)把被錄取人數(shù)看作單位“1”，如非錄取學(xué)生人數(shù)減少12人，則非錄取人數(shù)剛好是錄取人數(shù)的5/2倍，則總?cè)藬?shù)少12人后的人數(shù)對(duì)應(yīng)的分率是15/2，求錄取學(xué)生人數(shù)列式為：（54-12）÷（15/2）。這類應(yīng)用題關(guān)鍵是把“比類”轉(zhuǎn)換成“一量是另一量的倍數(shù)”，再利用單位“

8、1”求解。因此，單位“1”在“倍比”類應(yīng)用題解答中起了簡(jiǎn)便思路和計(jì)算過(guò)程的關(guān)鍵作用。三、單位“1”在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的運(yùn)用單位“1”在百分?jǐn)?shù)就用題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中方法一樣。因?yàn)榘寻俜謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)，就成了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。四、單位“1”在“工程問(wèn)題”中的運(yùn)用分?jǐn)?shù)工程應(yīng)用題同整數(shù)工程問(wèn)題一樣，都可以工作總量作單位“1”。工作總量可以是“一段路，一件工程，一塊地，一批物件”等。例（1）：一段公路，甲隊(duì)單獨(dú)修要12天，乙隊(duì)單獨(dú)修要15天。甲隊(duì)先單獨(dú)修3天后，再兩隊(duì)合修要幾天？分析：本題應(yīng)把這段路工作總看作單位“1”，甲隊(duì)每天完成單位“1”的1/12，乙每天完成單位“1”的1/15。甲先修3天，則已修1/12&#

9、215;3，這時(shí)剩下這段路的1-1/12×3。兩隊(duì)合修一天可完成這段路的（1/121/15），合修天數(shù)為：（1-1/12×3）÷（1/121/15）5（天），解這題時(shí)，把這段路看作單位“1”起了關(guān)鍵作用。如用整數(shù)工程問(wèn)題求解，由于不知工作總量而不能求解。例（2）：有大小兩只木船，大船可以載重6.3噸，小船的載重量是大船的2/7，大船8次運(yùn)完的貨物，小船幾次才能運(yùn)完？本題用整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題方法解可列式為：6.3×8÷（6.3×2/7）28（次）。如用單位“1”法求解，則把大船8次運(yùn)的貨物看作單位“1”，大船每次運(yùn)單位“1”的1/8，小船

10、每次運(yùn)單位“1”的1/8×2/7，故小船運(yùn)完這批貨的次數(shù)為：1÷（1/8×2/7）28（次）。當(dāng)以大船每次載重量看作單位“1”時(shí)，則這批貨物總量有8個(gè)單位“1”。小船每次載重量是單位“1”的2/7，求小船運(yùn)的次數(shù)就是8里面有多少個(gè)2/7，列式為：8÷2/728（次）。由上可知，用單位“1”的方法求解比整數(shù)、小數(shù)法簡(jiǎn)便些。由上面的論證可知，單位“1”在小學(xué)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、工程問(wèn)題的應(yīng)用題解答過(guò)程中，起了既簡(jiǎn)便運(yùn)算方法、過(guò)程，又便于學(xué)生掌握解題思路的關(guān)鍵作用。因此，教學(xué)時(shí)，教會(huì)學(xué)生熟練利用單位“1”，對(duì)加強(qiáng)學(xué)生解題能力和技巧，提高教學(xué)質(zhì)量，可起事半功倍的作用。

11、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題公式分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要內(nèi)容之一，它是整、小數(shù)倍數(shù)關(guān)系應(yīng)用題的繼續(xù)和深化，是研究數(shù)量之間份數(shù)關(guān)系的典型應(yīng)用題。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題涉及的知識(shí)面廣，題目變化的形式多，解題的思路寬，既有獨(dú)特的思維模式，又有基本的解題思路。小學(xué)即將畢業(yè)階段，如何通過(guò)分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題方法的復(fù)習(xí)，讓孩子們掌握一些基本解題方法，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，從而達(dá)到培養(yǎng)初步的邏輯思維能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力之目的，筆者根據(jù)長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐和體會(huì)，總結(jié)出以下一些典型方法，以饗讀者。一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想，畫線段圖能將題目中抽象的數(shù)量關(guān)系，直觀形象地表示出來(lái)，進(jìn)行

12、分析、推理和計(jì)算，從而降低解題難度。畫線段圖常常與其它解題方法結(jié)合使用，可以說(shuō)，它是學(xué)生弄清分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題題意、分析其數(shù)量關(guān)系的基本方法?！纠?】一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去20千克，還剩下22千克。原來(lái)這桶油有多少千克？分析與解從圖中可以清楚地看出：這桶油的千克數(shù)×（1）=20+22則這桶油的千克數(shù)為：（20+22）÷（1）=70（千克） 【例2】一堆煤，第一次用去這堆煤的20%，第二次用去290千克，這時(shí)剩下的煤比原來(lái)這堆煤的一半還多10千克，求原來(lái)這堆煤共有多少千克？ 分析與解 顯然，這堆煤的千克數(shù)×（120%50%）=290+10則這堆煤的

13、千克數(shù)為：（290+10）÷（120%50%）=1000（千克）二、對(duì)應(yīng)思想 量率對(duì)應(yīng)是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的根本思想，量率對(duì)應(yīng)是通過(guò)題中具體數(shù)量與抽象分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思想。（量率對(duì)應(yīng)常常和畫線段圖結(jié)合使用，效果極佳。） 【例3】縫紉機(jī)廠女職工占全廠職工人數(shù)的，比男職工少144人，縫紉機(jī)廠共有職工多少人？分析與解解題的關(guān)鍵是找到與具體數(shù)量144人的相對(duì)應(yīng)的分率。 從線段圖上可以清楚地看出女職工占，男職工占1=，女職工比男職工少占全廠職工人數(shù)的=，也就是144人與全廠人數(shù)的相對(duì)應(yīng)。全廠的人數(shù)為： 144÷（1）=480（人） 【例4】菜農(nóng)張大伯賣一批大白菜，

14、第一天賣出這批大白菜的，第二天賣出余下的，這時(shí)還剩下240千克大白菜未賣，這批大白菜共有多少千克？分析與解 從線段圖上可以清楚地看出240千克的對(duì)應(yīng)分率是第一天賣出后余下的（1）。則第一天賣出后余下的大白菜千克數(shù)為： 240÷（1）=400（千克） 同理400千克的對(duì)應(yīng)分率為這批大白菜的（1），則這批大白菜的千克數(shù)為： 400÷（1）=600（千克）三、轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，可以這樣說(shuō)，任何一個(gè)解題過(guò)程都離不開轉(zhuǎn)化。它是把某一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓D(zhuǎn)化成另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行思考、求解，從而實(shí)現(xiàn)從繁到簡(jiǎn)、由難到易的轉(zhuǎn)化。復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，常常含有幾個(gè)不同

15、的單位“1”，根據(jù)題目的具體情況，將不同的單位“1”轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1”，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。1、從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，把分?jǐn)?shù)變成份數(shù)進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例5】男生人數(shù)是女生人數(shù)的，男生人數(shù)是學(xué)生總?cè)藬?shù)的幾分之幾？分析與解 男生人數(shù)是女生的，是將女生人數(shù)看作單位“1”，平均分成5份，男生是這樣的4份，學(xué)生總?cè)藬?shù)為這樣的（4+5）份，求男生人數(shù)是學(xué)生總?cè)藬?shù)的幾分之幾？就是求4份是（4+5）份的幾分之幾？ 4÷（4+5）= 【例6】兄弟兩人各有人民幣若干元，其中弟的錢數(shù)是兄的，若弟給兄4元，則弟的錢數(shù)是兄的，求兄弟兩人原來(lái)各有多少元？分析與解兄弟兩人的總錢數(shù)是不變量，把它看作單位“1”

16、，原來(lái)弟的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的，后來(lái)弟的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的，則兩人的總錢數(shù)為： 4÷（）=90（元） 弟原來(lái)的錢數(shù)為：90×=40（元） 兄原來(lái)的錢數(shù)為：9040=50（元）2、直接運(yùn)用分率計(jì)算進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例7】甲是乙的，乙是丙的，甲是丙的的幾分之幾？分析與解 甲是乙的，乙是丙的，求甲是丙的的幾分之幾？就是求的是多少？ ×= 【例8】某工廠計(jì)劃一月份生產(chǎn)一批零件，由于改進(jìn)生產(chǎn)工藝，結(jié)果上半月生產(chǎn)了計(jì)劃的，下半月比上半月多生產(chǎn)了，這樣全月實(shí)際生產(chǎn)了1980個(gè)零件，一月份計(jì)劃生產(chǎn)多少個(gè)？分析與解 是以上半月的產(chǎn)量為“1”，下半月比上半月多生產(chǎn)，即下半月生產(chǎn)了計(jì)劃

17、的×（1+）=。則計(jì)劃的（+）為1980個(gè)，計(jì)劃生產(chǎn)個(gè)數(shù)為： 1980÷+×（1+）=1500（個(gè)）3、通過(guò)恒等變形，進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例9】甲的等于乙的，甲是乙的幾分之幾？分析與解 由條件可得等式：甲×=乙× 方法1：等式兩邊同除以得：甲×=乙×÷ 甲=乙× 方法2：根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：甲乙=化簡(jiǎn)得：甲乙=15：28 即甲是乙的。 【例10】五（2）班有學(xué)生54人，男生人數(shù)的75%和女生人數(shù)的80%都參加了課外興趣小組，而未參加課外興趣小組的男、女生人數(shù)剛好相等，這個(gè)班男、女生各有多少人？分析與解由

18、條件可得等式： 男生人數(shù)×（175%）= 女生人數(shù)×（180%） 男生人數(shù)女生人數(shù)=4：5就是男生人數(shù)是女生人數(shù)的。 女生人數(shù)：54÷（1+）=30（人） 男生人數(shù)：5430=24（人） 四、變中求定的解題思想 分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題中有許多數(shù)量前后發(fā)生變化的題型，一個(gè)數(shù)量的變化，往往引起另一個(gè)數(shù)量的變化，但總存在著不變量。解題時(shí)要善于抓住不變量為單位“1”，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。1、部分量不變 【例11】有兩種糖放在一起，其中軟糖占，再放入16塊硬糖以后，軟糖占兩種糖總數(shù)的，求軟糖有多少塊？分析與解 根據(jù)題意，硬糖塊數(shù)、兩種糖的總塊數(shù)都發(fā)生變化，但軟糖塊數(shù)不變，可以確

19、定軟糖塊數(shù)為單位“1”，則原來(lái)硬糖塊數(shù)是軟糖塊數(shù)的（1）÷=倍。加入16塊硬糖以后，后來(lái)硬糖塊數(shù)是軟糖塊數(shù)的（1）÷=3倍，這樣16塊硬糖相當(dāng)于軟糖的3=倍，從而求出軟糖的塊數(shù)。 16÷（1）÷（1）÷=9（塊）2、和不變 【例12】小明看一本課外讀物，讀了幾天后，已讀的頁(yè)數(shù)是剩下頁(yè)數(shù)的，后來(lái)他又讀了20頁(yè)，這時(shí)已讀的頁(yè)數(shù)是剩下頁(yè)數(shù)的，這本課外讀物共有多少頁(yè)？分析與解 根據(jù)題意，已讀頁(yè)數(shù)和未讀頁(yè)數(shù)都發(fā)生了變化，但這本書的總頁(yè)數(shù)不變，可把總頁(yè)數(shù)看作單位“1”，原來(lái)已讀頁(yè)數(shù)占總頁(yè)數(shù)的，又讀了20頁(yè)后，這時(shí)已讀頁(yè)數(shù)占總頁(yè)數(shù)的，這20頁(yè)占這本書總頁(yè)數(shù)的

20、（），則這本課外讀物的頁(yè)數(shù)為： 20÷（）=630（頁(yè)） 【例13】兄弟三人合買一臺(tái)彩電，老大出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的，老二出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的，老三比老二多出400元。問(wèn)這臺(tái)彩電多少錢？分析與解 從字面上看和的單位“1”都是其他兩人出錢的總數(shù)，但含義是不同的，是以老二和老三出錢的總數(shù)為單位“1”， 是以老大和老三出錢的總數(shù)為單位“1”。但三人出錢的總數(shù)（彩電價(jià)格）是不變的，把它確定為單位“1”，老大出的錢數(shù)相當(dāng)于彩電價(jià)格的，老二出的錢相當(dāng)于彩電價(jià)格的，老三出的錢數(shù)相當(dāng)于彩電價(jià)格的1=，400元相當(dāng)于彩電價(jià)格的=。這臺(tái)彩電的價(jià)格為： 400÷（1）=2400（元）五

21、、假設(shè)思想 假設(shè)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，常用有推測(cè)性假設(shè)法和沖突式假設(shè)法。1、推測(cè)性假設(shè)法 推測(cè)性假設(shè)法是通過(guò)假定，再按照題的條件進(jìn)行推理，然后調(diào)整設(shè)定內(nèi)容，從而得到正確答案。 【例14】一條公路修了1000米后，剩下部分比全長(zhǎng)的少200米，這條公路全長(zhǎng)多少米？分析與解 由題意知，假設(shè)少修200米，也就是修1000200=800（米），那么剩下部分正好是全長(zhǎng)的，因此已修的800米占全長(zhǎng)的（1），所以這條公路全長(zhǎng)為： （1000200）÷（1）=2000（米）2、沖突式假設(shè)法 沖突式假設(shè)法是解應(yīng)用題中常用的一種思維方法。通過(guò)對(duì)某種量的大膽假設(shè)，再依照已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的

22、矛盾沖突，進(jìn)行比較，作適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案的方法。 【例15】甲、乙兩班共有96人，選出甲班人數(shù)的和乙班人數(shù)的，組成22人的數(shù)學(xué)興趣小組，問(wèn)甲、乙兩班原來(lái)各有多少人？分析與解 假設(shè)兩班都選出，則選出96×=24（人），假設(shè)比實(shí)際多選出2422=2（人）。 調(diào)整：這是因?yàn)榘堰x出乙班人數(shù)的假設(shè)為選出，多算了=，由此可先算出乙班原來(lái)的人數(shù)。 （96×22）÷（）=40（人） 甲班原來(lái)的人數(shù)： 9640=56（人） 【例16】某書店出售一種掛歷，每售出1本可得18元利潤(rùn)。售出一部分后每本減價(jià)10元出售，全部售完。已知減價(jià)出售的掛歷本數(shù)是減價(jià)前出售掛歷本數(shù)的。書店售完這種掛歷共獲利潤(rùn)2870元。書店共售出這種掛歷多少本？分析與解 根據(jù)減價(jià)出售的掛歷本數(shù)是減價(jià)前出售掛歷本數(shù)的，我們假設(shè)減價(jià)前出售的掛歷為3本，減價(jià)出售的掛歷為2本，則售出這2+3=5（本）掛歷所獲的利潤(rùn)為： 18