電大2014年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一部分 微分學(xué)一、單項選擇題1函數(shù)的定義域是（ 且）2若函數(shù)的定義域是0，1，則函數(shù)的定義域是( )3下列各函數(shù)對中，（ ，）中的兩個函數(shù)相等 4設(shè)，則=（） 5下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（） 6下列函數(shù)中，（不是基本初等函數(shù) 7下列結(jié)論中，（奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點對稱）是正確的 8. 當(dāng)時，下列變量中（ ）是無窮大量 9. 已知，當(dāng)（ ）時，為無窮小量.10函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = (1) 11. 函數(shù) 在x = 0處（右連續(xù) ）12曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ ） 13. 曲線在點(0, 0)處的切線方程為（y = x ）14若函數(shù)，則=（ ）15若，則（ ）

2、16下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（e x）17下列結(jié)論正確的有（x0是f (x)的極值點） 18. 設(shè)需求量q對價格p的函數(shù)為，則需求彈性為Ep=（ ） 二、填空題1函數(shù)的定義域是-5，22函數(shù)的定義域是(-5, 2 )3若函數(shù)，則4設(shè)函數(shù)，則5設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱6已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q) = 80 + 2q，則當(dāng)產(chǎn)量q = 50時，該產(chǎn)品的平均成本為3.67已知某商品的需求函數(shù)為q = 180 4p，其中p為該商品的價格，則該商品的收入函數(shù)R(q) = 45q 0.25q 28. 1.9已知，當(dāng) 時，為無窮小量 10. 已知，若在內(nèi)連續(xù)，則2 .11. 函數(shù)的間斷點

3、是12函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，13曲線在點處的切線斜率是14函數(shù)y = x 2 + 1的單調(diào)增加區(qū)間為(0, +)15已知，則= 016函數(shù)的駐點是17需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為18已知需求函數(shù)為，其中p為價格，則需求彈性Ep = 三、極限與微分計算題1解 = = = 2解：= = 3解 = =22 = 4 4解 = = = 2 5解 6解 = =7解：(x)= =8解 9解 因為 所以 10解 因為 所以 11解 因為 所以 12解 因為 所以 13解 14解： 15解 在方程等號兩邊對x求導(dǎo)，得 故 16解 對方程兩邊同時求導(dǎo)，得 =.17解：方程兩邊對x求導(dǎo)，得 當(dāng)時， 所以，18解

4、 在方程等號兩邊對x求導(dǎo)，得 故 四、應(yīng)用題1設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）,求：（1）當(dāng)時的總成本、平均成本和邊際成本； （2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，平均成本最?。?解（1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去）因為是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當(dāng)20時，平均成本最小. 2某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為（為需求量，為價格）2解 （1）成本函數(shù)= 60+2000 因為 ，即， 所以 收入函數(shù)=()= （2）因為利潤函數(shù)=- =-(60+2000) = 40-2

5、000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點所以，= 200是利潤函數(shù)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時利潤最大3設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100元又已知需求函數(shù)，其中為價格，為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，試求：（1）價格為多少時利潤最大？（2）最大利潤是多少？3解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利潤函數(shù)L(p) = R(p)

6、 - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得p =300，該問題確實存在最大值. 所以，當(dāng)價格為p =300元時，利潤最大. （2）最大利潤 （元）4某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為p = 14-0.01q（元/件），試求：（1）產(chǎn)量為多少時可使利潤達(dá)到最大？（2）最大利潤是多少？4解 （1）由已知利潤函數(shù) 則，令，解出唯一駐點.因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時可使利潤達(dá)到最大， （2）最大利潤為 （元）5某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的成本函數(shù)為（元）.為使平均成本最低，每天產(chǎn)

7、量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？5. 解 因為 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. 所以=140是平均成本函數(shù)的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為140件. 此時的平均成本為 =176 （元/件）6已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（萬元）問：要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？6解 （1） 因為 = = 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定義域內(nèi)的唯一駐點 所以，=50是的最小值點，即要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品 第二部分 積分學(xué)一、單項選擇題1在切線斜率為2x的積分曲

8、線族中，通過點（1, 4）的曲線為（y = x2 + 3 ）2. 若= 2，則k =（1） 3下列等式不成立的是（ ） 4若，則=（）.5. （ ） 6. 若，則f (x) =（ ）7. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是() 8下列定積分中積分值為0的是（） 9下列無窮積分中收斂的是（）10設(shè)(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是（350 ）11下列微分方程中，（ ）是線性微分方程12微分方程的階是（1）.二、填空題12函數(shù)的原函數(shù)是-cos2x + c (c 是任意常數(shù))3若，則4若，則=50 607無窮積分是收斂的（判別其斂散性）8設(shè)邊際收入函數(shù)為(

9、q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為2 + 9. 是2 階微分方程.10微分方程的通解是三、計算題 解 2解 3解 4解 = = 5解 = = 6解 7解 = 8解 =-=9解法一 = =1 解法二 令，則 = 10解 因為 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解為 11解 將方程分離變量： 等式兩端積分得 將初始條件代入，得 ，c = 所以，特解為： 12解：方程兩端乘以，得 即 兩邊求積分，得 通解為： 由，得 所以，滿足初始條件的特解為： 13解 將原方程分離變量 兩端積分得 lnlny = lnC sinx 通解為 y = eC sinx 14. 解 將原方程化為

10、：，它是一階線性微分方程， ，用公式 15解 在微分方程中，由通解公式 16解：因為，由通解公式得 = = = 四、應(yīng)用題1投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達(dá)到最低.1解 當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 = 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達(dá)到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達(dá)到最小. 2已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時利

11、潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？2解 因為邊際利潤 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時，利潤最大. 當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時，利潤改變量為 =500 - 525 = - 25 （元）即利潤將減少25元. 3生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100

12、 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百臺）又x = 10是L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺）時，利潤最大. 又 即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少20萬元. 4已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本.4解：因為總成本函數(shù)為 = 當(dāng)x = 0時，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺)該題確實存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬

13、元/百臺) 5設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時的產(chǎn)量；(2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？5解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 2x 令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. (2) 當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為 =112 64 98 + 49 = - 1 （萬元）即利潤將減少1萬元. 第三部分 線性代數(shù)一、單項選擇題1設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（A

14、B ）可以進(jìn)行.2設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（3設(shè)為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（秩秩秩 ）4設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（）5設(shè)是可逆矩陣，且，則（ ）.6設(shè)，是單位矩陣，則（）7設(shè)下面矩陣A, B, C能進(jìn)行乘法運算，那么（AB = AC，A可逆，則B = C ）成立.8設(shè)是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，則（） 9設(shè)，則r(A) =（ 2 ）10設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ 1 ）11線性方程組 解的情況是（無解）12若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（）時線性方程組無解13 線性方程組只有零解，則（可

15、能無解）.14設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（無解）15設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（只有零解）二、填空題1兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是與是同階矩陣2計算矩陣乘積= 43若矩陣A = ，B = ，則ATB=4設(shè)為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進(jìn)行運算，則有關(guān)系式5設(shè)，當(dāng)0時，是對稱矩陣.6當(dāng)時，矩陣可逆7設(shè)為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解8設(shè)為階可逆矩陣，則(A)= 9若矩陣A =，則r(A) =210若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b無解11若線性方程組有非零解，則-112設(shè)齊次線

16、性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于n r13齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 (其中是自由未知量) 14線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當(dāng)時，方程組有無窮多解.15若線性方程組有唯一解，則只有0解 三、計算題 1設(shè)矩陣，求2設(shè)矩陣 ，計算 3設(shè)矩陣A =，求 4設(shè)矩陣A =，求逆矩陣 5設(shè)矩陣 A =，B =，計算(AB)-1 6設(shè)矩陣 A =，B =，計算(BA)-1 7解矩陣方程8解矩陣方程. 9設(shè)線性方程組 討論當(dāng)a，b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解. 10設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解

17、的情況. 11求下列線性方程組的一般解： 12求下列線性方程組的一般解： 13設(shè)齊次線性方程組問l取何值時方程組有非零解，并求一般解. 14當(dāng)取何值時，線性方程組 有解？并求一般解.15已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為問取何值時，方程組有解？當(dāng)方程組有解時，求方程組的一般解. 三、計算題1解 因為 = =所以 = 2解：= = = 3解 因為 (A I )= 所以 A-1 = 4解 因為(A I ) = 所以 A-1= 5解 因為AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6解 因為BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 7解 因為 即 所以，X = 8解：因為 即 所以，X = 9解 因為 所以當(dāng)且時，方程組無解； 當(dāng)時，方程組有唯一解； 當(dāng)且時，方程組有無窮多解. 10解 因為 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因為r(A) ¹ r()，所以方程組無解. 11解 因為系數(shù)矩陣 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 12解 因為增廣矩陣 所以一般解為 （其中是自由未知量） 13解 因為系數(shù)矩陣 A = 所以當(dāng)l = 5時，方程組有非零解. 且一般解為 （其中是自由未知量） 14解 因為增廣矩陣 所以當(dāng)=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量 15解：當(dāng)=3時，方程