（新高考）2021屆高考二輪精品專題六 三角函數(shù)與解三角形 教師版

1、1高考對三角函數(shù)的考查主要在于三角函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)、三角恒等變換，主要考查三角函數(shù)圖象的變換、三角函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值），三角恒等變換通常還與解三角交匯命題2解三角形的考查主要在具體面積、角的大小、面積與周長的最值或范圍的考查，本部分要求對三角恒等變換公式熟悉一、三角函數(shù)1公式（1）扇形的弧長和面積公式如果半徑為r的圓的圓心角所對的弧的長為l，那么角的弧度數(shù)的絕對值是相關(guān)公式：l=r （2）誘導公式：正弦余弦正切+k2sincostan+-sin-costan-sincos-tan-sin-cos-tancos-sincossin-cossin-cos-sin

2、（3）同角三角函數(shù)關(guān)系式：sin2+cos2=1，（4）兩角和與差的三角函數(shù)：sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossincos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsin（5）二倍角公式：（6）降冪公式：，2三角函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)y=sinx，xRy=cosx，xR奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)在區(qū)間-+2k，2k(kZ)上是增函數(shù)，在區(qū)間2k，+2k(kZ)上是減函數(shù)最值在時，ymax；在時，ymin在x=2k(kZ)時，ymax；在x=2k+(kZ)時，ymin對稱中心(k，0)(kZ)對稱軸x=k(

3、kZ)正切函數(shù)的性質(zhì)圖象特點定義域為圖象與直線沒有交點值域為R圖象向上、向下無限延伸最小正周期為在區(qū)間上圖象完全一樣在內(nèi)是增函數(shù)圖象在內(nèi)是上升的對稱中心為圖象關(guān)于點成中心對稱3函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換（1）對函數(shù)y=sin(x+)的圖象的影響（2）(>0)對y=sin(x+)的圖象的影響（3）A(A>0)對y=Asin(x+)的圖象的影響4函數(shù)y=Asin(x+)的性質(zhì)（1）函數(shù)y=Asin(x+)(A>0，>0)中參數(shù)的物理意義（2）函數(shù)y=Asin(x+)(A>0，>0)的有關(guān)性質(zhì)二、解三角形1正余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(為外接圓半徑

4、)；變形形式，；，；2利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知兩角一邊，用正弦定理，只有一解（2）已知兩邊及一邊的對角，用正弦定理，有解的情況可分為幾種情況在中，已知，和角時，解得情況如下：為銳角為鈍角或直角直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)一解兩解一解一解上表中為銳角時，無解為鈍角或直角時，均無解（3）已知三邊，用余弦定理，有解時，只有一解（4）已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解3三角形中常用的面積公式（1）(表示邊上的高）；（2）；（3）（為三角形的內(nèi)切圓半徑）4解三角形應用題的一般步驟 一、選擇題1在平面直角坐標系xOy中，為第四象限角，角的終邊與單位圓O交于點Px0，y0，若，則x0=（ ）ABCD

5、【答案】C【解析】，又，所以，所以，故選C【點評】本題容易忽視的范圍，而導致出錯2已知 tan 2-4tan+1=0，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由 tan 2-4tan+1=0，可得，所以，即，即，故選C【點評】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、降冪公式、二倍角公式，解答本題的關(guān)鍵是由條件有，從而可得，由可解，屬于中檔題3已知函數(shù)fx=2sinx+，的部分圖象如圖所示，fx的圖象過，兩點，將fx的圖象向左平移個單位得到gx的圖象，則函數(shù)gx在上的最小值為（ ）A-2B2C-3D-1【答案】A【解析】由圖象知，T=2，則，fx=2sinx+，將點的坐標代入得，即，又，則，將fx的圖象向左平移個

6、單位得到函數(shù)，gx在上的最小值為，故選A【點評】本題主要考了三角函數(shù)圖象，以及三角函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)圖象的變換，屬于中檔題4已知a、b、c分別是ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，若，則ABC的形狀為（ ）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形【答案】A【解析】因為在三角形中，變形為sinC<sinBcosA，由內(nèi)角和定理可得sin(A+B)<cosAsinB，化簡可得：sinAcosB<0，cosB<0，所以，所以三角形為鈍角三角形，故選A【點評】本題考查了解三角形，主要是公式的變形是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題5（多選）已知函數(shù)f(x)=3sinx+sin3x，

7、則（ ）Af(x)是奇函數(shù)Bf(x)是周期函數(shù)且最小正周期為2Cf(x)的值域是-4，4D當x(0，)時，f(x)>0【答案】ABD【解析】Af(-x)=3sin(-x)+sin(-3x)=-3sinx-sin3x=-f(x)，故f(x)是奇函數(shù)，故A正確；B因為y=sinx的最小正周期是2，y=sin3x的最小正周期為，二者的“最小公倍數(shù)”是2，故2是f(x)的最小正周期，故B正確；C分析f(x)的最大值，因為3sinx3，sin3x1，所以f(x)4，等號成立的條件是sinx=1和sin3x=1同時成立，而當sinx=1，即時，sin3x=-1，故C錯誤；D展開整理可得，易知當x(0

8、，)時，f(x)>0，故D正確，故選ABD【點評】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：（1）定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；（2）或是定義域上的恒等式奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性二、解答題6已知m=(2sinx，sinx-cosx)，n=(3cosx，sinx+cosx)，函數(shù)f(x)=mn求函數(shù)f(x)的最大值以及取最大值時x的取值集合【答案】f(x)的最大值為2，【解析】，所以函數(shù)f(x)的最大值為2，當，即取得，即集合為【點評】本題與向量的坐

9、標運算結(jié)合，考查三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題7已知函數(shù)（1）求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上的值域；（2）若方程f(x)=3(>0)在區(qū)間0，上至少有兩個不同的解，求的取值范圍【答案】（1）-2，2；（2）【解析】（1），令，x0，由y=sinU的圖象知，即，所以函數(shù)f(x)的值域為-2，2（2），f(x)=3，即，x0，且或，由于方程f(x)=3(>0)在區(qū)間0，上至少有兩個不同的解，所以，解得，所以的取值范圍為【點評】考查三角函數(shù)的值域時，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡整理為f(x)=Asinx+，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）利用導數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值8已知函

10、數(shù)f(x)=3sinxcosx+cos 2x+1（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若對任意xR，的恒成立，求實數(shù)k的取值范圍【答案】（1）最小正周期，值域為；（2）【解析】（1）f(x)=3sinxcosx+cos 2x+1，f(x)的為最小正周期，值域為（2）記f(x)=t，則，由f2(x)-kf(x)-20恒成立，知t2-kt-20恒成立，即ktt2-2恒成立，t>0，在時單調(diào)遞增，k的取值范圍是【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的應用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題9ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且3(sinB+sinC)2-3sin 2(B+

11、C)=8sinBsinC（1）求cosA的值；（2）若ABC的面積為，求a+b+c的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由3(sinB+sinC)2-3sin 2(B+C)=8sinBsinC，A+B+C=，所以，由正弦定理可得，則，由余弦定理可得（2）由，得，bc=12，由，得，a4，當且僅當b=c=23時，等號成立又b+c2bc=43，當且僅當b=c=23時，等號成立a+b+c4+43，當且僅當b=c=23時，等號成立即a+b+c的最小值為【點評】求解三角形中有關(guān)邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立a+b，ab，a2+b2之間的等量關(guān)系與

12、不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解10設函數(shù)f(x)=12cos 2x-43sinxcosx-5（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在銳角ABC中，角ABC的對邊長分別為abc若f(A)=-5，a=3，求ABC周長的取值范圍【答案】（1），-43+1，43+1（2）(3+3，33【解析】（1）fx=12cos 2x-43sinxcosx-5=12cos 2x-23sin2x-5，值域為-43+1，43+1（2）由f(A)=-5，可得，因為三角形為銳角ABC，所以，即，由正弦定理，得，所以，因為ABC為銳角三角形，所以，即，解得，所以，即，所以周長的取值范圍為區(qū)間(3+3，33【點評】

13、在解三角形的周長范圍時，將a+b+c轉(zhuǎn)化為含一個角的三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的值域，求周長的取值范圍，是常用解法11在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a+bsinA-sinB=b+csinC（1）求角A的大??；（2）若點D是BC的中點，且AD=2，求ABC的面積的最大值【答案】（1）；（2）23【解析】（1）由題意得(a+b)(a-b)=(b+c)c，b2+c2-a2=-bc，（2），當且僅當AB=AC時，等號成立，ABAC8，故ABC的面積的最大值是23【點評】用三角形中線向量進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵12如圖，在ABC中，AB=2AC，BAC的角平分線交BC于點D（1）求的值；（

14、2）若AC=1，BD=2，求AD的長【答案】（1）2；（2）1【解析】（1）AD為BAC的角平分線，BAD=CAD，即sinBAD=sinCAD，又AB=2AC，（2）由（1）知，而，且AC=1，BD=2，BAD=CAD，cosBAD=cosCAD，在ABD中，在ACD中，AD=1【點評】本題考查三角形面積公式和余弦定理的應用，解題的關(guān)鍵在于對角平分線的性質(zhì)的理解和運用，考查解題和運用能力13在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且(a+b+c)(a+b-c)=3ab（1）求角C的值；（2）若c=2，且ABC為銳角三角形，求a+b的取值范圍【答案】（1）；（2）(23，4【解析】（1

15、）由題意知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，由余弦定理可知，又C(0，)，（2）由正弦定理可知，即，又ABC為銳角三角形，則，所以，綜上a+b的取值范圍為(23，4【點評】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題一、選擇題1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“bcosA-c<0”，是

16、“ABC為銳角三角形”的（ ）條件A充分必要B充分不必要C必要不充分D既不充分也不必要【答案】C【解析】ABC中，c>bcosA，sinC>sinBcosA，即sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA>sinBcosA，sinAcosB>0，因為sinA>0，cosB>0，所以B為銳角當B為銳角時，ABC不一定為銳角三角形；當ABC為銳角三角形時，B一定為銳角，所以“bcosA-c<0”是“ABC為銳角三角形”的必要非充分條件，故選C【點評】判斷充分必要條件，一般有三種方法：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法我們要根據(jù)實際情況靈活選擇

17、方法，本題選擇的是定義法判斷充分必要條件二、填空題2設銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，B=2A，則b的取值范圍為_【答案】(22，23)【解析】由，得，由，故，所以，所以b=4cosA22，23【點評】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，以及銳角三角形的條件，屬于簡單題目三、解答題3已知a>0，函數(shù)，當時，-5fx1（1）求常數(shù)a，b的值；（2）設且lggx>0，求gx的單調(diào)區(qū)間【答案】（1），；（2）遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為【解析】（1）由，所以，則，所以，所以fxb，3a+b，又因為-5fx1，可得，解得，（2）由（1

18、）得，則，又由lggx>0，可得gx>1，所以，即，所以，當時，解得，此時函數(shù)gx單調(diào)遞增，即gx的遞增區(qū)間為；當時，解得，此時函數(shù)gx單調(diào)遞減，即gx的遞減區(qū)間為【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，熟練應用三角函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力一、選擇題1如圖所示，扇形的半徑為2，圓心角為，C是扇形弧上的動點，四邊形ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，則SABCD的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】如圖，記COP=，在RtOPC中，在RtOAD中，所以，設矩形ABCD的面積為S，由，所以當，即時，S取最大值

19、，為，故選A【點評】本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學的恒等式變換公式進行求解2已知函數(shù)，現(xiàn)將的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，則gx的解析式為（ ）ABCD【答案】C【解析】將的圖象向左平移個單位得，再所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到，故選C【點評】在三角函數(shù)平移變換中，y=sinx向左平移個單位得到的函數(shù)解析式為y=sinx+=sinx+，而不是y=sinx+，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題3（多選）如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列說法正確的是（ ）A

20、=2B是函數(shù)，fx的一個對稱中心CD函數(shù)fx在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】ACD【解析】由題知，A=2，函數(shù)fx的最小正周期，所以，故A正確；因為，所以，解得，又|<，所以，故C正確；函數(shù)，因為，所以不是函數(shù)fx的一個對稱中心，故B錯誤；令，得，當m=-1時，因為，所以函數(shù)fx在區(qū)間上是減函數(shù)，故D正確，故選ACD【點評】已知的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：（1）由，即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標，則令(或)，即可求出（2）代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再

21、結(jié)合圖形解出和，若對A，的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導公式變換使其符合要求二、解答題4已知函數(shù)f(x)=cos(x)(>0)的最小正周期為（1）求的值及函數(shù)的值域；（2）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應的邊長分別為a，b，c，若，ABC的面積為33，b-c=2，求a的值【答案】（1）=2，值域為-1，2；（2）4【解析】（1）因為函數(shù)f(x)=cos(x)的最小正周期為，由，又因為>0，所以=2此時f(x)=cos2x，則得，即g(x)=3sin2x-cos2x，即，當時，所以所求函數(shù)的值域為-1，2（2）由題意得，因為，則得2A(0，)，所以，解得，因為ABC的面積為33，則

22、得，即，即bc=12又因為b-c=2，由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b-c)2+bc=22+12=4，所以a=4【點評】本題考查求三角函數(shù)的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面積公式三角函數(shù)問題中，首先需利用誘導公式、二倍角公式、兩角和與差的正弦（余弦）公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式（主要是f(x)=Asin(x+)+k形式），然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)確定求解5已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinA+B-C=csinB+C（1）求角C的大小；（2）若2a+b=8，且ABC的面積為23，求ABC的周長【答案】（1）；（2）6+23【解析】（1）asin(A+B-C)=csin(B+C)，sinAsin(-2C)=sinCsinA，2sinAsinCcosC=sinCsinA，sinAsinC0，（2）由題意可得，ab=8，2a+b=8聯(lián)立可得，a=2，b=4，由余弦定理可得，c2=12，c=23，此時周長為6+2