（新高考）2021屆高三第二次模擬考試卷 數(shù)學(xué)（一） 教師版

1、此卷只裝訂不密封班級 姓名 準(zhǔn)考證號 考場號 座位號 （新高考）2021屆高三第二次模擬考試卷數(shù) 學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

2、1已知集合，若，則（ ）ABCD【答案】D【解析】由不等式，解得，所以，又由且，所以，即，由補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，可得，故選D2已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為7，則的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為，于是，解得，故選C3某自來水廠一蓄水池可以用甲乙兩個(gè)水泵注水，單開甲泵需15小時(shí)注滿，單開乙泵需18小時(shí)注滿，若要求10小時(shí)注滿水池，并且使兩泵同時(shí)開放的時(shí)間盡可能地少，則甲、乙兩水泵同時(shí)開放的時(shí)間最少需（ ）A4小時(shí)B7小時(shí)C6小時(shí)D14小時(shí)【答案】C【解析】根據(jù)題意開放水泵的工序流程圖有兩個(gè)方案：方案一：甲乙兩泵同時(shí)開放甲泵開放方案二：甲乙兩泵同時(shí)開放乙泵開放如果用方案

3、一注水，可設(shè)甲乙兩泵同時(shí)開放的時(shí)間為x個(gè)小時(shí)，由題意得方程，解得(小時(shí))；如果用方案二注水，可設(shè)甲乙兩泵同時(shí)注水的時(shí)間為y個(gè)小時(shí)，則，解得(小時(shí))，所以選方案一注水，可得甲乙兩水泵同時(shí)開放注水的時(shí)間最少，需6個(gè)小時(shí)，故選C4是成立的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性顯然成立，必要性可以舉反例：，顯然必要性不成立，故選A5已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【解析】，的圖象關(guān)于直線對稱，和都在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)又，即或，解得或，故選C6已知數(shù)列中，若，則（ ）A8B9C10D11【答

4、案】C【解析】，所以為以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，所以，由，所以，故選C7已知函數(shù)的最小正周期為，若在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意可得，求得，令，求得，由，求得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B8若均為單位向量，且，則的最大值為（ ）AB1CD2【答案】B【解析】由題意知，又，即的最大值為1，故選B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9已知正方體的棱長為4，為的中點(diǎn)，為所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確

5、的是（ ）A若與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓B若，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為C若點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則點(diǎn)的軌跡為拋物線D若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線【答案】ACD【解析】如圖：對于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，所以為與平面所成的角，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故A正確；對于B，在直角三角形中，取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在過點(diǎn)且與垂直的平面內(nèi)，又，所以點(diǎn)的軌跡為以為半徑的圓，其面積為，故B不正確；對于C，連接，因?yàn)槠矫妫?，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離，又不在直線上，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的

6、拋物線，故C正確；對于D，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)榕c所成的角為，所以，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故D正確，故選ACD10將男、女共位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是（ ）A位女同學(xué)分到同一組的概率為B男生甲和女生乙分到甲組的概率為C有且只有位女同學(xué)分到同一組的概率為D位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為【答案】AB【解析】位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為，A選項(xiàng)，位女同學(xué)分到同一組的不同分法只有種，其概率為，對；B選項(xiàng)，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為，其概率為，對；C選項(xiàng)，有且只有位女同學(xué)分到同一組種，則有且只有位女同

7、學(xué)分到同一組的概率為，錯(cuò)；D選項(xiàng)，位男同學(xué)同時(shí)分到甲組只有種，其概率為，則位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為，錯(cuò)，故選AB11意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇（1452415195）的畫作抱銀貂的女人中，女士脖頸上黑色珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：，其中a為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為若直線xm與雙曲余弦函數(shù)C1與雙曲正弦函數(shù)C2的圖象分別相交于點(diǎn)A，B，曲線C1

8、在點(diǎn)A處的切線l1與曲線C2在點(diǎn)B處的切線l2相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的為（ ）AB是偶函數(shù)CD若是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù)【答案】ACD【解析】，A正確；，記，則，為奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；，即，C正確；對于D，因?yàn)檩S，因此若PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則，由，解得，D正確，故選ACD12關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）A是的極大值點(diǎn)B函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立D對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則【答案】BD【解析】A：函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正

9、確；C：若，即，則令，則令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故C錯(cuò)；D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是的極小值點(diǎn)對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則令，則，由，得，即，即，解得，所以故要證，需證，需證，需證，則，證令，所以在上是增函數(shù)因?yàn)闀r(shí)，則，所以在上是增函數(shù)因?yàn)闀r(shí)，則，所以，故D正確，故選BD第卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分13的展開式中的系數(shù)是_【答案】【解析】，所以，的展開通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，所以，的展開式通項(xiàng)可以為，其中且、，令，解得，因此，的展開式中的系數(shù)是，故答案為14如圖，在平面四邊形中，則

10、的最小值為_【答案】【解析】設(shè)，在中，由正弦定理得，即，整理得由余弦定理得，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得（其中），所以?dāng)時(shí)，故答案為15已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_【答案】5【解析】由，知或，由函數(shù)解析式，知：當(dāng)時(shí)，有，解得，滿足；當(dāng)時(shí)，若且，有；若，解得，滿足，綜上知：方程一共有5個(gè)根，故答案為516已知圓，動(dòng)圓與圓、都相切，則動(dòng)圓的圓心軌跡的方程為_；直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為、，則的最大值為_【答案】或，【解析】已知圓，則圓內(nèi)含于圓，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為設(shè)動(dòng)圓的半徑為，分以下兩種情況討論：圓與圓外切，與圓內(nèi)切，由題意可得，此時(shí)，圓的圓心軌跡是以、分別為左

11、、右焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，則，此時(shí)，軌跡的方程為；圓與圓、都內(nèi)切，且，由題意可得，此時(shí)，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，此時(shí)，軌跡的方程為，綜上所述，軌跡的方程為或由于直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則直線與橢圓相切若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，此時(shí)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，可得，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值故答案為或，四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10分）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前

12、項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和，得，因?yàn)椋?，等差?shù)列的公差，所以，（2）由（1）可知，18（12分）在；的面積這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目在中，內(nèi)角，的對邊分別為，已知，且_，_，求注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】答案見解析【解析】解：方案一：選條件因?yàn)?，所以，由正弦定理得因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得方案二：選條件因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以在中，由正弦定理得，所以，即因?yàn)?，所以，所以，所以又，所以，所以，所以在中，由正弦定理得方案三：選條件因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)?/p>

13、，所以因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕ǎ┰谥?，由余弦定理得，所以（）由（）（）解得?9（12分）已知四棱錐中，四邊形ABCD為等腰梯形，ADE為等邊三角形，且平面ADE平面ABCD（1）求證：AEBD；（2）是否存在一點(diǎn)F，滿足 ()，且使平面ADF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為若存在，求出的值，否則請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）存在使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，四邊形是平行四邊形，為等邊三角形，是直角三角形，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，（2）F為EB中點(diǎn)即可滿足條件取的中點(diǎn)，連接，則，取的中點(diǎn)，連接，平面平面，平面，所以平面，如圖建

14、立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為由，得，?。挥?，得，取，于是，解得或（舍去），所以存在使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為20（12分）某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；混合檢驗(yàn)，將其且)份血液樣木分別取樣混合在一起檢驗(yàn)若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為（

15、1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；（2）現(xiàn)取其中且)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為記E()為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；若，且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）；（2）（且）；8【解析】（1）記恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來為事件，則（2）根據(jù)題意，可知，的可能值為1，則，所以，由，得，所以（且）由于，則，所以，即，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為821（12分）已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓C的左、右焦點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)與直線交于點(diǎn)P若，且點(diǎn)Q滿足，求面積的最小值【答案】（1）；（2）6【解析】（1）由題意，得，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）可得，若直線的斜率為0，則的方程為與直線無交點(diǎn)，不滿足條件；設(shè)直線，若，則則不滿足，所以，設(shè)，由，得，因?yàn)?，即，則，所以，解得，于是，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，22（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）