(完整word版)2018年高考天津卷理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷) 數(shù)學(xué)(理工類)本試卷分為第I卷(選擇題)和第H卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試用時(shí) 120 分鐘。第I卷 1 至 2 頁(yè)，第H卷 3 至 5 頁(yè)。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題考上， 并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在 答題卡上，答在試卷上的無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一 并交回。祝各位考生考試順利！第 I 卷注意事項(xiàng)：1. 每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂 黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2. 本卷共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。參考

2、公式：如果事件A, B互斥，那么P(AUB) P(A) P(B).如果事件A B相互獨(dú)立，那么P(AB) P(A)P(B).棱柱的體積公式V Sh,其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱 的高棱錐的體積公式V - Sh，其中S表示棱錐的底面面積，h表示棱3錐的高.一. 選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，的.(1)設(shè)全集為 R,集合A x0 x 2，B XX H，則AI (eRB)(A)x0 x 1(B)x0 x 1(C)x1 x 2(D)x0 x 2x y 5,設(shè)變量x，y滿足約束條件2x y 4，則目標(biāo)函數(shù)z 3x 5y的最大x y 1,y 0,值為(A)6(B)19(C) 21(D) 45輸

3、出T的值為只有一項(xiàng)是符合題目要求(3)閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為 20,則(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4/ 輸入N /r= r-M設(shè)x R，則“|x1|1”是“x31”的2 2(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件(5) 已知a log2e,b ln 2,c log11，則a,b,C的大小關(guān)系為23(A)a b c(B)b a c(C)c b a(D)cab(6) 將函數(shù)y sin(2x)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)510的函數(shù)(A)在區(qū)間-,-上單調(diào)遞增44遞減調(diào)遞減2 2(7)已知雙曲線 篤

4、爲(wèi)1(a 0, b 0)的離心率為 2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于a bx軸的直線與雙曲線交于A, B兩點(diǎn).設(shè)A, B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為d!和d2，且d!d26，則雙曲線的方程為(A)xy1(B)xC)xy_1(D)x工13993(8)如圖， 在平面四邊形ABCD,AB BC,ADCD,BAD 120,ABAD 1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則urnAEuurBE的最小值為(A)2116(B) 3(C)2516(D)3222 2(B)在區(qū)間3,上單調(diào)4(C)在區(qū)間-,-上單調(diào)遞增42(D)在區(qū)間吟,2上單器()題創(chuàng)注意事項(xiàng):1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題

5、卡上2.本卷共 12 小題，共 110 分。二. 填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分已知正方體ABCD的棱長(zhǎng)為 1 ,除面ABCD夕卜，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E, F,GHM如圖），則四棱錐M EFGH的體積為恰有 2 個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是(9) i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)乞厘1 2i(10)在（X 21x）5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為(11)(12) 已知圓x2圓相交于(13)已知a,b(14)y22x 0的圓心為C,直線A，B兩點(diǎn)，則ABC的面積為已知a 0，函數(shù)f（x）2（t為參數(shù)）6 0,則2a8.的最小值為X：2ax a, x 0,若關(guān)于x的方程f(x

6、) x 2ax 2a, x 0.ax三. 解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.(15)(本小題滿分 13 分)在厶ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsin A a cos(B).(I )求角B的大??；(II )設(shè)a=2，c=3，求b和sin(2A B)的值.(16) (本小題滿分 13 分)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.(I )應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？(II )若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現(xiàn)

7、從這7 人中隨機(jī)抽取 3 人做進(jìn)一步的身體檢查.(i )用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(ii )設(shè)A為事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.(17) (本小題滿分 13 分)如圖，AD/BC且A=2BCAD CD,EG/AD且EGAD,CD/FG且CO2FGDG平面ABCD,DA=DC=DG2.(I )若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN/平面CDE；(II )求二面角E BC F的正弦值；(III )若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADG所成的角為 60求線段DP的長(zhǎng).(18) (本小題

8、滿分 13 分)設(shè)務(wù)是等比數(shù)列，公比大于 0,其前n項(xiàng)和為Sn(n N),bn是等差數(shù)列.已知ai1，asa22，bab42b6.(I )求an和bj的通項(xiàng)公式；(II )設(shè)數(shù)列Sn的前 n 項(xiàng)和為T(mén)n(n N )，(i )求Tn；n(Tkbk 2)bk2n 2(ii )證明k一口k2(n N ).k i(k 1)(k2) n 2(19) (本小題滿分 14 分)2 2設(shè)橢圓占1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B已知橢圓的a b離心率為逅，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0)，且FB AB 642.3(I )求橢圓的方程；(II )設(shè)直線I:y kx(k 0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且I與直線AB交于點(diǎn)

9、Q若542sin AOQ(O為原點(diǎn))，求k的值.(20)(本小題滿分 14 分)已知函數(shù)f(x) ax,g(x) logax，其中a1.(I )求函數(shù)h(x) f (x) xlna的單調(diào)區(qū)間；(II )若曲線y f(x)在點(diǎn)(xi,f(xj)處的切線與曲線1(III )證明當(dāng)a ee時(shí)，存在直線I，使I是曲線y也是曲線y g(x)的切線.y g(x)在點(diǎn)區(qū)2ln In aIn af(x)的參考答案:一、 選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5 分， 滿分 40 分.(1) B(2) C(3) B(4) A(5) D(6) A(7) C(8) A二、 填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每

10、小題5 分，滿分 30(15)本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式， 以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分13 分.(I)解：在厶ABC中,由正弦定理,可得bsinA asinB,sin A sin B又由bsi nA acos(B -n)，得as in B acos(B -n)，即sin B cos(B -n)，可得6 6 6tanB 3.又因?yàn)锽 (0, n，可得B=n.3(U)解：在ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=n，有3b2a2c22accosB 7，故b=7.由bsi nA acos(Bf)，可得sin A

11、書(shū).因?yàn)閍C,故cosA手.因此4 321sin2A 2sin AcosA,cos2A 2cos A 1 .77分.(9) 4 - i1(12)2三、解答題8)8)77111 1所以，si n(2A B) sin 2 A cos B cos2As in B4 3丄 33勺727214 (16)本小題主要考查隨機(jī)抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.滿分 13 分.(I)解：由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為 3 : 2 :2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取 3

12、 人，2 人，2 人.(H)(i)解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0,1,2,3.P(X=k)k3 k=4CC3(k=0, 1, 2, 3).所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11218435353535隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)o -5 13| 2135 3172.353535357(ii ) 解:設(shè)事件B為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 1 人，睡眠不足的員工有 2 人”；事件C為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 2 人，睡眠不足的員工有 1 人”，則A=BUC,且B與C互斥，由(i )知，P(B)=P；X=2),P(C)=RX=1)，故P(A)=P(BUC)=P(X=2)

13、+P(X=1)=-6.所以，事件A發(fā)生的概率為7.(17)本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法. 考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.滿分13 分.依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DGi的方向?yàn)閄軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2,0，0），B（1,2,0），C（0，2,0），E（2,0，32），F(xiàn)（0，1,2），G（0，0，2），M（0，-，1），N（1,0，2）.(I)證明：依題意DC= (0,2,0),DE= (2,0, 2).設(shè)n=(x,LULTy,z)

14、為平面CDE勺法向量，則nDC 即2X0不妨令 z=-noDE 0,2x 2z 0，1,可得n0= ( 1 , 0, - 1).又MN1= ( 1 , | , 1),可得MT? n0,又因?yàn)橹本€MN平面CDE所以MN/平面CDE(n)解：依題意，可得BC=(-1, o, 0),BE(1,2,),CF= (0,-1, 2).uuu設(shè)n= （x,y,z）為平面BCE的法向量，則：BC0即22z 0,不妨令z=1,可得n= (0, 1,1).uuu設(shè)mF （x,y,z）為平面BCF的法向量，貝 S: BC：即x 0,y 2z 0,不妨令z=1,可得m= (0, 2, 1).因此有 cos= 0，于是

15、 sin二蠱.|m | n| 1010所以，二面角E- BC- F的正弦值為 晉.(皿)解：設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h(h0, 2),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為UUU(0, 0,h),可得BP ( 1,2,h).易知，DC= (0, 2, 0)為平面ADGE勺一個(gè)法向量，故由題意，可得二二sin60 二f，解得Jh 523所以線段DP的長(zhǎng)為三.3(18)本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查等差數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.滿分 13 分.(I )解：設(shè)等比數(shù)列a*的公比為q.由a11,a3a22,可得q2q 20.因?yàn)閝 0，可得q 2，故an2n 1.設(shè)等差數(shù)列

16、bn的公差為d,由a4b3b5,可得b, 3d 4.由a5b42b6,可得3b113d 16,從而bi 1,d 1,故bnn.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn.luin uuir cosBP DCuiu unrBP DCmu unirBP DC2(II ) ( i )由(I )，有Sn匸2 2n1，故1 2(19)本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.滿分 14 分.(I)解：設(shè)橢圓的焦距為 2c,由已知知禺5，又由a2=b2+c2,a 9可得 2a=3b.由已

17、知可得，F(xiàn)B a,AB 2b，由FB| | AB 6、2,可得ab=6，從而a=3,b=2.2 2所以，橢圓的方程為x仏1.94(H)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X1,y1)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(X2,y2).由已知有y1y20,故PQ sin AOQ V1亞.又因?yàn)锳Q琴 ，而/sin OAB7OAB4，故AQ3 .由PQ乎sin AOQ，可得 5y1=9y2.y kx,由方程組x2y2“消去X，可得y11,(ii )證明：因?yàn)?)kk 2k12k22k1(Tk+bk+2)bk(2k1k 2 k(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)k2k 1，所以，5kbk2)bk(23(蘭23)L

18、(22*12*2-)- 2.k 1(k1)(k 2)(3243n2n 1n 2Tnn(2k1)n2kn2 (1門(mén)n94_2 k_k一一 消去x,可得y2廠1.由 5y1=9y2，可得 5 (k+1) =3 9k24，兩邊 平方，整理得56k250k 11 0，解得k寸，或k28.為x+y- 2=0,由方程組y kx,x y 26k9k24.易知直所以，k的值為1或18-(20)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.考查函數(shù)與方程 思想、化歸思想.考查抽象概括能力、綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題 的能力.滿分 14 分.(I )解：由已知，h(x

19、) axxl na，有h (x) axl na Ina.令h(x) 0，解得x=0.由a1,可知當(dāng)x變化時(shí)，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x(,0)0(0,)h(x)0+h(x)極小值Z所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,).(II )證明：由f (x) axl na，可得曲線y f(x)在點(diǎn)(知帖)處的 切線斜率為a51In a.由g (x)1，可得曲線y g(x)在點(diǎn)(X2,g(X2)處的切線斜率為xln a1x2In a兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)，得logax2為2log2In a 0，所以/ 、2ln In aXig%).In a(III )證明：曲線y f(x)在點(diǎn)(xi,axi)處的切線I1:因?yàn)檫@兩條切線平行，故有為I a貢，即x2(lna)2y ax,ax1In a (x x1).11要證明當(dāng)a ee時(shí)，存在直線I，使I是曲線y f(x)的切線，也是1曲線y g(x)的切線，只需證明當(dāng)a e時(shí)，存在1因此，只需證明當(dāng)a e；時(shí)，關(guān)于X1的方程有實(shí)數(shù)解.y u(x)存在零點(diǎn).單調(diào)遞減，又得U (Xo)