實(shí)數(shù)大小比較的常用方法

1、實(shí)數(shù)大小比較的常用方法【初二數(shù)學(xué)】添加時(shí)間：2012年11月23日 瀏覽：53次頓悟教育數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練營 來自：頓悟教育網(wǎng)實(shí)數(shù)的大小比較是中考及數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，不少同學(xué)感到困難。“實(shí)數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)好其他知識(shí)的基礎(chǔ)。為幫助同學(xué)們掌握好這部分知識(shí)，本講介紹幾種比較實(shí)數(shù)大小的常用方法。一【差值比較法】 差值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)當(dāng)ab0時(shí)，得到ab。當(dāng)ab0時(shí)，得到ab。當(dāng)ab0，得到a=b。例1：（1）比較與的大小。 （2）比較1與1的大小。解 0 ， 。解 （1）（1）=0 ， 11。二【商值比較法】 商值比較法的基本思路是設(shè)

2、a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先求出a與b得商。當(dāng)1時(shí)，ab；當(dāng)1時(shí)，ab；當(dāng)=1時(shí)，a=b。來比較a與b的大小。例2：比較與的大小。解：÷=1 三【倒數(shù)法】 倒數(shù)法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，ab。來比較a與b的大小。例3：比較與的大小。解=+ ， =+又+四【平方法 】 平方法的基本是思路是先將要比較的兩個(gè)數(shù)分別平方，再根據(jù)a0，b0時(shí)，可由得到ab來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例5：比較與的大小解：， =8+2。又8+28+2 。五【估算法】估算法的基本是思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先估算出a，b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值

3、范圍，再進(jìn)行比較。例4：比較與的大小解：34 31 六【移動(dòng)因式法】（穿墻術(shù)）移動(dòng)因式法的基本是思路是，當(dāng)a0，b0，若要比較形如a的大小，可先把根號(hào)外的因數(shù)a與c平方后移入根號(hào)內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進(jìn)行比較。例6：比較2與3的大小解：2=，3=。又2827， 23。七【取特值驗(yàn)證法】比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，有時(shí)取特殊值會(huì)更簡單。例7：當(dāng)時(shí)，的大小順序是_。解：（特殊值法）取=，則：=，=2。2，。例（常德市）設(shè)a20，b(3)2，c，d，則a、b、c、d按由小到大的順序排列正確的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad分析可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較大小

4、.解因?yàn)閍201，b(3)29，c，d2，而129，所以cadb.故應(yīng)選A.除以上七種方法外，還有利用數(shù)軸上的點(diǎn)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；以及絕對(duì)值比較法等比較實(shí)數(shù)大小的方法。對(duì)于不同的問題要靈活用簡便合理的方法來解題。能快速地取得令人滿意的結(jié)果。比較實(shí)數(shù)大小的八種方法張德軍生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到下面的問題：比較一個(gè)企業(yè)不同季度的產(chǎn)值，國家去年與前年的國民生產(chǎn)總值等實(shí)際問題的大小，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，就是比較兩個(gè)或多個(gè)實(shí)數(shù)的大小，比較實(shí)數(shù)大小的方法比較多，也比較靈活，現(xiàn)采擷幾種常用的方法供大家參考。一、法則法比較實(shí)數(shù)大小的法則是：正數(shù)都大于零，零大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小。例1

5、 比較與的大小。析解：由于，且，所以。說明：利用法則比較實(shí)數(shù)的大小是最基本的方法，對(duì)于兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小比較，可將它轉(zhuǎn)化成正數(shù)進(jìn)行比較。二、平方法用平方法比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)是：對(duì)任意正實(shí)數(shù)a、b有：。例2 比較與的大小。析解：由于，而，所以。說明：本題也可以把外面的因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，通過比較被開方數(shù)大小來比較原數(shù)的大小，目的是把含有根號(hào)的無理數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化成有理數(shù)進(jìn)行比較。三、數(shù)形結(jié)合方法用數(shù)形結(jié)合法比較實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)是：在同一數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。例3 若有理數(shù)a、b、c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖1所示，試比較a、a、b、b、c、c的大小。析解：如圖2，利用相反

6、數(shù)及對(duì)稱性，先在數(shù)軸上把數(shù)a、a、b、b、c、c表示的點(diǎn)畫出來，容易得到結(jié)論：四、估算法用估算法比較實(shí)數(shù)的大小的基本思路是：對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b，先估算出a、b兩數(shù)的取值范圍，再進(jìn)行比較。例4 比較與的大小。析解：由于，故，所以五、倒數(shù)法用倒數(shù)法比較實(shí)數(shù)的大小的依據(jù)是：對(duì)任意正實(shí)數(shù)a、b有：例5 比較與的大小析解：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以所以說明：對(duì)于兩個(gè)形如（，且k是常數(shù)）的實(shí)數(shù)，常采用倒數(shù)法來比較它們的大小。六、作差法用作差法比較實(shí)數(shù)的大小的依據(jù)是：對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b有：例6 比較與的大小。析解：設(shè)，則所以七、作商法用作商法比較實(shí)數(shù)的大小的依據(jù)是：對(duì)任意正數(shù)a、b有：例7 比較與的大小。析解：設(shè)

7、，則即八、放縮法用放縮法比較實(shí)數(shù)的大小的基本思想方法是：把要比較的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，使復(fù)雜的問題得以簡化，來達(dá)到比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小的目的。例8 比較與198的大小。析解：由于所以取n2，3，410000代入上式，并將所得的不等式相加得：即所以兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較，方法多種多樣，在實(shí)際操作時(shí)，根據(jù)要比較的數(shù)的特點(diǎn)來選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行比較，才能方便快捷地取得準(zhǔn)確的結(jié)果。編輯本段1.數(shù)軸比較法數(shù)軸的基本性質(zhì)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。 利用這條性質(zhì)，將實(shí)數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的位置關(guān)系。 設(shè)數(shù)軸的正方向指向右方，則數(shù)軸上右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)要大。 如圖，點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示

8、數(shù)b。因?yàn)辄c(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，所以數(shù)a大于數(shù)b，即a>b. 數(shù)軸編輯本段2.作差比較法若a-b>0，則a>b； 若a-b=0，則a=b； 若a-b<0，則a<b。 編輯本段3.作商比較法設(shè)b>0，有 若a/b>1，則a>b； 若a/b=1，則a=b； 若a/b<1，則a<b。 當(dāng)b<0，a<0時(shí)：若a/b>1,則a<b；若a/b<1，則a>b 編輯本段4.倒數(shù)比較法若a>b>0，則1/a<1/b； 若a<b<0，則1/a>1/b； 若a<0<b，則1/a

9、<1/b。 比較實(shí)數(shù)大小的技巧周啟東任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間，都存在著“順序”關(guān)系，所以可以比較它們的大小。實(shí)數(shù)的大小比較是實(shí)數(shù)內(nèi)容中常見的題型之一。要想解題時(shí)得心應(yīng)手，就應(yīng)掌握比較大小的若干技巧。實(shí)數(shù)的大小比較，一般采用以下幾種方法。一、比較被開方數(shù)法一般地，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，如果a>b，那么。也就是說，兩個(gè)正數(shù)，較大的正數(shù)的算術(shù)平方根也較大，其立方根也較大。反之也成立。例1、比較大?。海?）；（2）。解析：若要比較形如的兩數(shù)的大小，可先把根號(hào)外的因數(shù)a與c移入根號(hào)內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進(jìn)行比較。（1）因?yàn)?，且，所以，因此，。?）因?yàn)?，且，所以，所以。因此，。二、添加?/p>

10、號(hào)法若a>0，則。在比較一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無理數(shù)的大小時(shí)，常選用此式。例2、比較的大小。解析：因?yàn)?，又因?yàn)?，于是，即。三、乘方法（平方法或立方法）如果a>0，b>0，若，那么a>b；若 ，那么a>b。例3、比較大?。海?）；（2）。解析：（1）因?yàn)?，?2<18，所以。（2）因?yàn)?，而，所以。四、取近似值法（估算法）在比較兩個(gè)無理數(shù)的大小時(shí)，如果有計(jì)算器，可以先用計(jì)算器求出它們的近似值。不過取近似值時(shí)，要使它們的精確度相同。再通過比較它們的近似值的大小，從而確定它們的大小。如果沒有計(jì)算器，則可用估算法。先估算出兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進(jìn)行比較。例4、比較

11、大?。海?）；（2）。解析：（1）因?yàn)樗?。又因?yàn)?，所以。?）因?yàn)椋?，所以。五、作差法作差法的基本思路是，設(shè)a、b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出a與b的差。當(dāng)時(shí)，得到a>b；當(dāng)時(shí)，得到a<b；當(dāng)時(shí)，得到a=b。例5、比較的大小。解析：因?yàn)?，所以。六、作商法作商法的基本思路是，設(shè)a、b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先求出a與b的商。當(dāng)時(shí)，a<b；當(dāng)時(shí)，a>b；當(dāng)時(shí)，a=b。例6、比較的大小。解析：因?yàn)?，所以。七、放縮法（中間值法）如果a<c，c<b，那么a<b。若通過放縮能夠確定兩個(gè)實(shí)數(shù)中的一個(gè)比某個(gè)數(shù)小，而另一個(gè)恰好比該數(shù)大時(shí)，可選用此法。例7、比較的大小。解析：因

12、為，所以。所以，即。八、不等式性質(zhì)法例8、比較大小：。解析：因?yàn)?，所以，因此。九、特殊值法在解決含有字母的選擇題或填空題時(shí)，常?？梢圆捎锰厥庵捣?，這樣能夠比較快捷地得到答案。例9、已知x<y<0，設(shè)，則M、N、P、Q的大小關(guān)系是（ ）。A、M<Q<P<N B、M<P<Q<N C、Q<N<P<M D、N<Q<P<M解析：根據(jù)條件，不妨設(shè)，則M=4，N=1，。不難得到：N<Q<P<M。因此，應(yīng)選D。十、數(shù)軸比較法數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上的靠右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于靠左邊的點(diǎn)表示的數(shù)。例

13、10、已知a、b是實(shí)數(shù)，且。試比較a，b，a，b的大小關(guān)系。解析：因?yàn)?，故可將a、b兩數(shù)在數(shù)軸上表示出來，如圖1。又因?yàn)閍與與互為相反數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的幾何意義，a與,在數(shù)軸上可表示為圖2。所以的大小關(guān)系是。十一、法則比較法正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而較小。例11、已知a、b是實(shí)數(shù)，且a<0<b，c0，試比較的大小。解析：因?yàn)閍<0,b>0，則ab<0。又c0，則，所以，為負(fù)數(shù)。而b>0，所以，為正數(shù)。所以。十二、根式定義法該法適用于二次根式和三次根式的大小比較。例12、比較的大小。解析：根據(jù)平方

14、根的定義可知。所以，故。而。十三、倒數(shù)法倒數(shù)法的基本思路是，設(shè)a、b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)、，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，a<b，來比較a與b的大小。例13、設(shè)，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）。A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、b>c>a解析：當(dāng)幾個(gè)式子中的被開方數(shù)的差相等且式子中的運(yùn)算符號(hào)相同時(shí)，可選用倒數(shù)法。首先，。因?yàn)?，所以，則b>c。又因?yàn)?，所以，則a>b。由此可得：a>b>c。故選A。十四、分子有理化法例14、比較的大小。解析：，。因?yàn)?，故，所以。總之，具體使用什么方法來進(jìn)行比較，應(yīng)當(dāng)根

15、據(jù)題目所給的實(shí)數(shù)的類型或形式靈活選用。實(shí)數(shù)大小的比較方法安徽省長豐縣錢集中學(xué) 楊明星在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)比較兩個(gè)數(shù)的大小，看起來比較簡單。但也有一些題目會(huì)讓大家比較棘手。我在多年的教育教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小可用一些特殊的方法做起來比較容易。下面介紹幾種比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法，供大家參考。一、求差法例1 ：比較與的大小。分析：由于本題的分母相同，所以只要比較1與-2的大小。解 1-（-2）=1-+2=3-0。（3=，）1-2， 。說明：若a、b為實(shí)數(shù)， a-b0則ab；a-b=0則a=b； a-b0則ab。以后做題時(shí)遇到同分母或同分子的問題時(shí)可用上面的方法。二、求商法 例2 ：有兩個(gè)數(shù)A= 、

16、B=比較A、B的大小。 分析：本題在不用計(jì)算器的前提下對(duì)于初中生來說并不容易。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)分子、分母都可以分解因數(shù)。分子含有公因數(shù)：111，分母含有公因數(shù)：1111。因此可采用兩數(shù)相除的方法，問題就迎刃而解了。解A÷B=÷=×=×=1， 1， AB 。說明：（有實(shí)數(shù)a、b且b0 , 當(dāng)1時(shí)，ab. 1時(shí)，a=b.1時(shí)，ab.）以后我們做題遇到兩數(shù)相除時(shí)可以和1比較出大小，或約分后可以和1比較出大小時(shí)，可用這樣的方法。三、倒數(shù)法 例3：比較與的大小。分析：對(duì)于二次根式，我們可以很容易看出+。因此只要把二次根式的差轉(zhuǎn)化為和就可以了。解 。又，。說明：兩個(gè)

17、同分子分?jǐn)?shù)比較大小，分母大的分?jǐn)?shù)的值反而小。我們以后在解題時(shí)遇到求兩個(gè)二次根式差的此類問題時(shí)可用倒數(shù)的方法。四、平方法 例4：比較與的大小。分析：本題我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)題目中的被開方數(shù)存在這樣的規(guī)律：2+6=8，3+5=8.所以想到用平方來解決問題。解 =2+6=8+。=3+5=8+。，。說明：以后當(dāng)我們遇到能通過平方使問題化繁為簡時(shí)，我們就采用上述方法。五、“相同”法例5：比較與的大小。分析：本題的兩個(gè)數(shù)都是冪的形式，只要把它們化為同底數(shù)的冪或同指數(shù)的冪就可以比較出大小了。解=，=。，。說明：做題時(shí)若遇到比較兩個(gè)冪的形式的數(shù)的大小時(shí)，就把它們化為同底數(shù)的冪或同指數(shù)的冪形式。六、中間值法例6

18、、比較與的大小。分析：本題出現(xiàn)一個(gè)平方根，一個(gè)立方根，初看并不容易解決。進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)它們都和3存在一定的聯(lián)系。因?yàn)?=和3=。解,與又=3= 。說明：當(dāng)我們遇到兩個(gè)數(shù)無法直接比較時(shí)，尋找一個(gè)與他們都有聯(lián)系的數(shù)，利用傳遞性來解決問題。七、規(guī)律法例7：比較與的大小。分析：當(dāng)n3時(shí)；當(dāng)n3時(shí)(n為正整數(shù))。解20093。八、拆項(xiàng)法例8：若A= ，B= 比較A、B的大小。分析：本題如果顯然不是很好的方法，也不易比較。但是我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)這4個(gè)分?jǐn)?shù)都與1比較接近，因此可以把每個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)數(shù)的差。解 A=-=11=。B=-=11=。2009×20102008×2009。AB

19、。從以上幾例可以看出，實(shí)數(shù)的大小比較應(yīng)根據(jù)題目的類型特點(diǎn)靈活運(yùn)用。希望大家能夠從以上例題的學(xué)習(xí)中有所收獲。更希望大家在解題時(shí)能注意知識(shí)的積累。實(shí)數(shù)比較大小的基本方法與技巧發(fā)布者： 高元就 發(fā)布時(shí)間： 2011-7-18 11:30:06在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)實(shí)際中，我們經(jīng)常會(huì)遇到比較兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)的大小。怎樣比較實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)之間的大小呢?比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小通常有以下幾種方法：一、求差法求差法設(shè)a，b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)“當(dāng)a-b<0時(shí)，a<b；當(dāng)a-b=0時(shí)，a=b；當(dāng)a-b>0時(shí)，a>b.”來比較a與b的大小.例1.比較大小：(1)與；(2)1-與1-解：(

20、1) =<0, <. (2) (1- )-(1-)=->0, 1- >1-二、求商法求商法設(shè)a，b為任意正兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出a與b的商，再根據(jù)“當(dāng) <1時(shí)，a<b；當(dāng) =1時(shí)，a=b；當(dāng) >1時(shí)，a>b.”來比較a與b的大小.例2比較大?。?1)與；解：(1) ÷=-1<1， <.三、倒數(shù)法倒數(shù)法設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)“當(dāng) <時(shí)，a>b；當(dāng) >時(shí)，a<b.”來比較a與b的大小.例3比較與的大小. 解： =,=, 又 <, <, >. 四、估算法估算法設(shè)

21、a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先估算出a, b兩數(shù)或兩數(shù)中某部份的取值范圍，再進(jìn)行比較. 例4比較大?。?1)與 ；(2) +3與4解：(1)3< <4, -3<1, <. (2) -4< <-5, -1< +3<-2； 又-6< <-7, -2<4 <-3. +3>4.五、平方法平方法比較含有無理數(shù)的式子的大小時(shí)，先將要比較的兩個(gè)數(shù)分別平方，再根據(jù)“在a0，b0時(shí)，可由a2b2得到ab”比較大小.也就是說，兩個(gè)正數(shù)比較大小時(shí)，如果一個(gè)數(shù)的平方比另一個(gè)數(shù)的平方大，則這個(gè)數(shù)大于另一個(gè)數(shù)。例5.比較與的大小.解：（）2=45

22、，（）2=75 , 又45<75, <. 六、移動(dòng)因式法移動(dòng)因式法當(dāng)a>0, b>0時(shí)，若要比較形如與的兩數(shù)的大小，可先把根號(hào)外的正因數(shù)a與c平方后移入根號(hào)內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進(jìn)行比較。例6.比較與的大小.解： =， = , 又45<75, <.七、近似值法在比較含有無理數(shù)的兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，也可以先用計(jì)算器求出它們的近似值，不過取它們的近似值時(shí)，要保持精確度相同，再通過比較有理數(shù)的大小，即比較它們的近似值的大小，從而確定它們的大小。例7. 比較大小：(1)與；(2) 與；(3)與 -4.解：(1)3.142，3.162，< . (2)3.1416，

23、3.1629，< .(3)-0.4714， -4-0.6834，-0.4714>-0.6834, >-4.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較，形式有多種多樣，只要我們?cè)趯?shí)際操作時(shí)，有選擇性地靈活運(yùn)用上述方法，一定能方便快捷地取得令人滿意的結(jié)果。實(shí)數(shù)比較大小的基本方法與技巧口訣法比較有理數(shù)大小 有理數(shù)大小的比較是我們中學(xué)階段必須掌握的知識(shí)點(diǎn)，方法比較多，七年級(jí)階段主要有以下幾種： 數(shù)軸顯示法、數(shù)性比較法、逐差法、同負(fù)絕對(duì)值法、倒數(shù)法、逐商法、湊整余數(shù)法、同母（子）法、賦值法、中間值法等。 可簡記為：比較數(shù)大小，數(shù)軸顯真招；正數(shù)比0大，負(fù)數(shù)比0??；也可互相減，與0來比高；同負(fù)絕對(duì)值，值大數(shù)反??；同號(hào)放倒他，扶正反過來好；姓同來相除，與1來比較；分?jǐn)?shù)接近整，湊余比較它；分母或子像，比較另一樣；代幾特殊值，初步能確定；還是判不了，就把中人找。 現(xiàn)針對(duì)上述幾種方法各舉一例，供同學(xué)們參考。 1、數(shù)軸顯示法（比較數(shù)大小，數(shù)軸顯真招） 例1：如圖，把0，a,b,-a,-b按順序由小到大排列 分析：互為相反數(shù)（非0）的兩點(diǎn)在原點(diǎn)異側(cè)到原點(diǎn)的距離相等。在數(shù)軸上畫出表示-a,-b的點(diǎn)，在數(shù)軸上從左到右，數(shù)由小到大。 答：-ba0-ab 2、數(shù)性比較法（正數(shù)比0大，