基于蒙特卡羅模擬的概率求解問(wèn)題研究

1、    基于蒙特卡羅模擬的概率求解問(wèn)題研究    袁佳婧摘 要：蒙特卡羅模擬是通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬實(shí)際發(fā)生的事情。通過(guò)蒙特卡羅模擬能計(jì)算出相應(yīng)事件發(fā)生的概率，模擬與計(jì)算過(guò)程有效、可行、易理解。其基本思想是，將各種隨機(jī)事件的概率特征與模擬聯(lián)系起來(lái)，用試驗(yàn)的方法確定事件的相應(yīng)概率與數(shù)學(xué)期望。應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法解決了實(shí)際概率問(wèn)題，為解決用傳統(tǒng)方法不能解決的問(wèn)題，提供了有意義的參考。主要介紹蒙特卡羅方法及基本原理，并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：蒙特卡羅模擬;隨機(jī)試驗(yàn);正態(tài)分布;數(shù)學(xué)建模：tb ：adoi：10.19311/ki.1672-31

2、98.2019.11.1061 蒙特卡羅方法與基本原理蒙特卡羅方法又稱為計(jì)算機(jī)模擬方法，它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。該方法與一般數(shù)值計(jì)算方法有本質(zhì)區(qū)別，蒙特卡羅模擬采用的是頻率近似概率的數(shù)學(xué)思想，來(lái)解決物理、數(shù)學(xué)、生產(chǎn)管理或工程技術(shù)等方面的問(wèn)題。蒙特卡羅方法的起源，最早可以追溯到18世紀(jì)下半葉時(shí)，由buffon提出的用試驗(yàn)的方法求值，即：蒲豐投針問(wèn)題。蒲豐投針問(wèn)題的解決方法就是蒙特卡羅模擬的典型運(yùn)用。當(dāng)時(shí)的投針試驗(yàn)是利用人工進(jìn)行實(shí)際操作，然后統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果，最后得出結(jié)論。但是人工進(jìn)行大量實(shí)際的隨機(jī)試驗(yàn)，一方面成本較高;另一方面統(tǒng)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確率較低，因此只能稱buffon試驗(yàn)只能稱為近代統(tǒng)

3、計(jì)模擬的雛形。隨著現(xiàn)今計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)已不再需要人工實(shí)際操作，通過(guò)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬更加方便快捷，所得的估計(jì)值也更精確。蒙特卡羅模擬方法求解概率問(wèn)題的基本思想是：當(dāng)所求問(wèn)題的解是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或者某個(gè)事件的概率，或者是與數(shù)學(xué)期望、概率有關(guān)的量時(shí)，通過(guò)試驗(yàn)的方法模擬事件的發(fā)生，求出該事件發(fā)生的頻率，計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，最后給出近似值作為問(wèn)題的解。2 實(shí)際問(wèn)題校車(chē)在每個(gè)工作日，都會(huì)在a校區(qū)與b校區(qū)之間擺渡。李華家住b校區(qū)附近。校車(chē)從a校區(qū)到b校區(qū)的運(yùn)行時(shí)間服從均值為30分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為2分鐘的正態(tài)隨機(jī)分布。校車(chē)大約中午13：00從a校區(qū)出發(fā)，李華大約13：30步行到達(dá)b

4、校區(qū)，校車(chē)從a校區(qū)出發(fā)的時(shí)刻及概率如表1所示。3 問(wèn)題分析記t1為校車(chē)從a校區(qū)出發(fā)的時(shí)刻，t2為校車(chē)從a校區(qū)到b校區(qū)運(yùn)行的時(shí)間，t3為李華到達(dá)b校區(qū)的時(shí)刻。t1、t2、t3均是隨機(jī)變量，且t2n（30，22），t1、t3的分布律如表所示：其中記中午13時(shí)為時(shí)刻t=0。通過(guò)分析可知，此人能及時(shí)趕上校車(chē)的充分必要條件是：t1+t2>t3。由此得到，此人趕上校車(chē)的概率是pt1+t2>t3。4 建立模型利用蒙特卡羅方法隨機(jī)模擬校車(chē)出發(fā)時(shí)刻，校車(chē)車(chē)運(yùn)行時(shí)間，李華到達(dá)b校區(qū)的時(shí)刻。然后判斷多次試驗(yàn)中滿足上述充要條件的試驗(yàn)有多少次。若在n次試驗(yàn)中，有k次成功，則用頻率k/n作為李華能趕上校車(chē)的概

5、率。當(dāng)n很大時(shí)，頻率值與概率值近似相等。設(shè)r1，r2 是（0，1）區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。則t1，t3的分布律的模擬公式為：t1=0，0< p>令 t2 是服從正態(tài)分布n（30，22） 的隨機(jī)數(shù)，則將t2 看成火車(chē)運(yùn)行時(shí)間t2的觀察值。在每次試驗(yàn)中，產(chǎn)生兩個(gè)u（0，1） 的隨機(jī)數(shù)r1，r2，來(lái)構(gòu)造 t1，t3。產(chǎn)生一個(gè)n（30，22） 的隨機(jī)數(shù)r3，來(lái)構(gòu)造 t2。當(dāng) t1+t2>t3，認(rèn)為試驗(yàn)成功（能夠趕上校車(chē)）。若在n次試驗(yàn)中，有k次成功，則用頻率k/n 作為此人趕上火車(chē)的概率。當(dāng)n很大時(shí)，頻率值與概率值近似相等。5 模型求解下面是利用python語(yǔ)言進(jìn)行蒙特卡羅模擬的程序

6、。其中montefun（）是自定義的蒙特卡羅模擬函數(shù)。import numpy as npdef montefun（）：t1 = np.random.rand（）t2 = np.random.normal（30，2）t3 = np.random.rand（）arrtime1=0arrtime2=t2arrtime3=0if t1<0.7：arrtime1=0elif 0.7<=t1<0.9：arrtime1=5else：arrtime1 = 10if t3 < 0.3：arrtime3 = 28elif 0.3<= t3 <0.7：arrtime3 = 30

7、elif 0.7<= t3 < 0.9：arrtime3 = 32else：arrtime3 = 34return arrtime1，arrtime2，arrtime3if _name_ = "_main_"：t=0f=0for i in range（10000）：t1，t2，t3 = montefun（）if （t1 +t2） > t3：t+=1else：f += 1print （float（t）/10000）程序運(yùn)行的最后結(jié)果為：0.6317，故李華可以趕上校車(chē)的概率是0.6317。6 模型推廣眾所周知，在實(shí)際生活中有很多概率事件，這些事件可能沒(méi)有明確

8、的概率分布。這種情況下，蒙特卡羅模擬是最有效且直接的方法。我們都玩過(guò)套圈圈的游戲：游戲者拿著圈，去套擺放在地上的玩具，如果套中即可拿走。這個(gè)游戲貌似很誘人，但事實(shí)上投圈游戲攤的老板是穩(wěn)賺不賠的。現(xiàn)在我們用蒙特卡羅模擬計(jì)算能套中的概率，證明這個(gè)事實(shí)。假設(shè)目標(biāo)物品中心點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），目標(biāo)物品的半徑為5cm。下面用python代碼畫(huà)出目標(biāo)物品坐標(biāo)圖。import matplotlib.pyplot as plotimport numpy as npimport matplotlib.patches as mptstarget_circle = mpts.circle（0，0，radius=5，

9、edgecolor='r'，fill=false）plot.ylim（-80，80）plot.xlim（-80，80）plot.axes（）.add_patch（circle_target）plot.show（）代碼運(yùn)行后得到目標(biāo)物品，如圖1所示。對(duì)此我們假設(shè)投圈的半徑為8cm。投圈中心點(diǎn)圍繞目標(biāo)物品中心點(diǎn)呈二維正態(tài)分布，且假設(shè)其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：=0cm，=20cm。模擬1000個(gè)參與游戲者每人投圈1 次，即模擬投圈過(guò)程1000次。用python代碼完成模擬的程序如下。n=1000u，beta = 0，20points = u + beta * np.random.rand

10、n（n，2）plot.scatter （ x0 for x in points，x1 for x in points，c=np.random.rand（n），alpha=0.5）運(yùn)行代碼之后，得到的投圈中心點(diǎn)的分布圖如圖2所示。計(jì)算1000次投圈的過(guò)程中，投圈能夠套住目標(biāo)物品的概率。用python代碼完成計(jì)算：print（len（xy for xy in points if xy0 * 2 + xy1 * 2 < （8-5） * 2）/n）。代碼執(zhí)行后輸出的結(jié)果值為0.012。可以解釋為投圈1000次，其中只有12次能夠套住物品。這是個(gè)小概率事件，所以不難理解投圈游戲的老板幾乎時(shí)穩(wěn)賺不賠

11、了。7 總結(jié)蒙特卡羅方法的發(fā)明，無(wú)疑是人類思維史上的重大突破。通過(guò)一個(gè)隨機(jī)性的構(gòu)想，它打破了過(guò)去的思考空白區(qū)，開(kāi)啟了人類新的思維空間。蒙特卡羅方法的使用過(guò)程可以歸納為以下三個(gè)主要步驟：（1）構(gòu)造概率過(guò)程：對(duì)于本身具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題，需要正確地描述和模擬這個(gè)概率過(guò)程;對(duì)于本來(lái)不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問(wèn)題，需要事先人為地構(gòu)造概率過(guò)程，將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題。（2）利用概率分布抽樣：各種概率模型可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，所以實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實(shí)驗(yàn)的基本手段是產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量。然后依據(jù)概率分布進(jìn)行隨機(jī)抽樣模擬概率過(guò)程。（3）建立估計(jì)量：實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問(wèn)題的解。蒙特卡羅方法通過(guò)構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于那些由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒(méi)有解析解的問(wèn)題，蒙特卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。蒙特卡羅模擬方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程。受幾何條件限制小。程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。是中學(xué)生入門(mén)數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)的不二選