立體幾何中最值問題求解策略

1、立體幾何中最值問題求解策略立體幾何中最值問題令許多學(xué)生無從下手，本文試做一歸納總結(jié)，供同學(xué)們復(fù)習(xí) 時(shí)參考。策略一轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值 例1已知正方形abcd、abef所在平而互相垂直，ab=v2,m為線段ac上一 動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)m在什么位置吋，m到直線bf的距離最短?分析：木題是求點(diǎn)到線距離最值問題，實(shí)際上就是求異面直線ac、bf間距離。可用代數(shù)屮求最值的方法來解決。解:作mh1ab于h,作hn丄bf于n ,易知mh丄平面abef. 由三垂線定理可知，mn丄bf.設(shè) am=x,則 mh=ah= x,bh= v2 -x ,hn= hb=1 2 2 21a77則 mn2=mh2+hn2= -x2+(1-x)

2、2= -(x )2+-22433所以當(dāng)am=-時(shí)，mn有最小值色。33策略二借助均值不等式求最值例2求半徑為r的球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值。解：如右圖所示，設(shè)正三棱錐高0/二h,底血邊長為a由正三棱錐性質(zhì)可知0b = a,又知oa二0b二r3則在rtaabc中,（亍）貯a2 =3h(2r-h)v=-a2h3 4v34/r(2/?-/i) = >/3 -(2/?-/z)<v3>2 2=警疋（當(dāng)且僅當(dāng)齊25,即“y時(shí),取等號(hào)）正三棱錐體積最人值為策略三借助最小角定理建立不等關(guān)系例3 d-l-0是直二而角，awo,bw0,a, b不在/±,設(shè)ab與0,0成的角分別是&am

3、p;，&2，求& + $的最大值。解析：如圖所示，過a作l垂線，垂足為c,易知ac丄0過b作l垂線，垂足為d,易知丄比所以zabc = 3.jrjrzbad = q ,在 rtaabd 中，zabd = 一 zdab =一 0, 22由最小角定理可知&2 彳-zbad = |-,所以q + g ?當(dāng)d、c重合時(shí)，蘭。所以最大值為蘭。 2 2ac /b策略四 借助側(cè)面展開圖求最短路徑沿長方體表面到達(dá)c處，求螞蟻爬過的最短距離。例4方體abcd-ac.d.中，ab=6,bc=5,cc, =4,只螞蟻從人出發(fā),（15解：如左圖所示，螞蟻爬過的路徑有三種，可由側(cè)面展開的結(jié)果 比

4、較而求得最值。l.ac = yjaxa + ab）1 + bc1、= 7（6 + 4）2+52 = v125州bi5l探討x2 ac = （ab-bcy + aa； =7（6 + 5）2+42 = vl?73 ac = 7（m + ad）2 + dc2 = 7（4 + 5）2+62 =vtu顯然第3種距離最短。策略五利用極限思想最值;例51三棱錐p-abc屮，若棱pa=x,其余棱長均為 2若正三棱錐底面棱長棱長均為1,探討其側(cè)棱否有最值。解析：如圖第1題：當(dāng)p-abc為三棱錐時(shí)，x的最小極限是p、a重合,取值為0,若amc繞bc順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，pa變大，最大極限是p,a,b,c共面時(shí)，pa為菱形abpc的對(duì)角線長度為v3第2題：若p在底