函數(shù)凹凸性判別法與應用

1、安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2011屆畢業(yè)論文函數(shù)凹凸性判別法與應用作者：祝紅麗 指導老師：邢抱花摘要 函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質之一.它反映在函數(shù)圖象上就是曲線的彎曲方向，通過它可以較好地掌握函數(shù)對應曲線的性狀.本文基于函數(shù)凹凸性概念的分析，著重探討了函數(shù)凹凸性的判別方法以及在解題中的應用，如在不等式證明中的應用以及在求函數(shù)最值時的應用等.并結合相關例題做了較詳細的論述.關鍵詞 凹凸性 導數(shù) 不等式 應用1 引言函數(shù)的凹凸理論在高等數(shù)學中占有重要地位.函數(shù)的凹凸性揭示了函數(shù)的因變量隨自變量變化而變化的快慢程度，如果結合函數(shù)的其它性質，可以使我們對函數(shù)的認識更加精確.以函數(shù)在某區(qū)間上單調增

2、加為例說明.我們不難理解，隨著自變量的穩(wěn)定增加，當函數(shù)的增量越來越大時，函數(shù)圖形是凹的，當函數(shù)的增量越來越小時，函數(shù)圖形是凸的，當函數(shù)的增量保持不變時，函數(shù)圖象是直線，對于減函數(shù)我們可以作類似的分析.作為研究分析函數(shù)的工具和方法，它在許多學科里有著重要的應用.長期以來，很多學者致力于函數(shù)凹凸性的判別法及其應用的研究.近年來，關于函數(shù)凹凸性的判定與應用的研究取得了一些成果，使函數(shù)凹凸性的判別法與應用更加的廣泛.本文先從兩個具體的函數(shù)圖象為出發(fā)點，直觀上觀察函數(shù)圖象的彎曲方向，從而引出函數(shù)凹凸性的概念和拐點的定義.并在此基礎上介紹了凹凸函數(shù)的幾何特征，接著介紹函數(shù)凹凸性的幾種判別方法，如：用定義去

3、判別函數(shù)的凹凸性，利用二階導函數(shù)判別函數(shù)的凹凸性，及利用函數(shù)凹凸性的判定定理判別函數(shù)的凹凸性.其中利用函數(shù)凹凸性的概念是最基本的判別方法，利用二階導函數(shù)與函數(shù)凹凸性之間的關系是最常用的判別方法.最后舉例介紹了函數(shù)凹凸性在證明不等式、求函數(shù)最值以及函數(shù)作圖中的應用.雖然說并不是所有的不等式都能利用函數(shù)的凹凸性證明，但是利用函數(shù)的凹凸性去證明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函數(shù)凹凸性證明不等式豐富了不等式的證明方法，開闊了解題思路.利用導數(shù)分析函數(shù)的上升、下降，圖形的凹凸性和極值.根據(jù)對這些的討論可以幫助我們畫出用公式表示的函數(shù)圖形,了解函數(shù)的凹凸性能夠使對函數(shù)圖形的描繪更加精確化. 2 凹

4、凸函數(shù)及拐點的定義0YXY0我們已經熟悉函數(shù)和的圖象.x它們的不同之處是：曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的下方；而曲線則相反，任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方.我們把具有前一種特性的曲線稱為凹的，相應的函數(shù)稱為凹函數(shù)；后一種曲線稱為凸的，相應的函數(shù)成為凸函數(shù).函數(shù)凹凸性的分析定義形式較多，下面給出函數(shù)凹凸性定義的更一般的形式.2.1函數(shù)凹凸性的定義 定義 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若對上的任意兩點，和任意實數(shù),總有: , 則稱為上的凹函數(shù).反之，如果總有:,則稱為上的凸函數(shù).特別地，當=時，滿足的函數(shù)為凹函數(shù)，滿足的函數(shù)為凸函數(shù). 如果定義中的不等式改為嚴格不等式，則相應的函數(shù)稱為嚴格凹函

5、數(shù)和嚴格凸函數(shù). 2.2 凹函數(shù)與凸函數(shù)的幾何意義定義中凹函數(shù)與凸函數(shù)的圖象如圖、圖. Y0x 0Yx圖1 圖2凹函數(shù)（凸函數(shù)）的幾何意義：連接曲線上任意兩點的弦總位于對應曲線的上方（下方）. 2.3 拐點的定義設曲線在點處有穿過曲線的切線.且在切點近旁，曲線的切線的兩側分別是嚴格凹和嚴格凸的，這時稱點為曲線的拐點.由定義可見，對于具有凹凸性的函數(shù)而言，拐點正是函數(shù)的凹凸性發(fā)生改變的那一點，即拐點的兩側鄰域有著互異的嚴格凹凸性.如下圖中的點.xYM. · · .·0嚴格地說，拐點都是平面光滑曲線（即切線連續(xù)變動的曲線）彎曲方向發(fā)生改變的轉折點，拐點的幾何特征是該點

6、的切線不是在曲線的一側“托著曲線”而是切線在切點處把曲線一分為二，分別在切線的兩側.易知，有正弦曲線的圖象可知有拐點 ，為整數(shù).2.4 拐點的判別法若在處連續(xù)，在兩側反號，則是曲線的拐點.若，則是的拐點.例題1 求下列函數(shù)的拐點 ； .解 ， ， 當時，；當時， ，又, 所以點是函數(shù)的拐點.，所以點是函數(shù)的拐點.注意：函數(shù)的拐點只是表示在該點的兩側函數(shù)具有不同的嚴格凹凸性，而不能只依靠判斷二階導數(shù)是否為零來確定函數(shù)的拐點.對于二階導數(shù)不存在的點，檢查在左右兩側鄰近的符號，那么當兩側鄰近的符號相反時，點是曲線的拐點，當兩側的符號相同時，點不是曲線的拐點函數(shù)的拐點.因此函數(shù)的拐點與二次導數(shù)是否存在

7、沒有必然的聯(lián)系.例如：在時的情況.易知，在處的二階導數(shù)不存在，但是當時，當時，所以是的一個拐點.3 函數(shù)凹凸性的判別法觀察函數(shù)圖象，我們很容易得出結論：凹函數(shù)的一階導數(shù)是不斷變大的，而凸函數(shù)的一階導數(shù)則恰恰相反.這是我們通過觀察幾何圖形進行直觀的感知得到的結論，但是人的觀察不可避免的存在著一定的局限性，只有通過嚴密的證明得到的結論才能使人信服.迄今為止，判別函數(shù)的凹凸性已經有很多的方法.3.1 定義法判別函數(shù)的凹凸性 用定義法去判別函數(shù)的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基礎.所以對定義的理解和掌握是至關重要的.例題2 ，均為上的連續(xù)函數(shù)，證明： 若，均為凹函數(shù)，則為凹函數(shù)； 若，均

8、為遞增非負凹函數(shù)，則為凹函數(shù).證明 設任意的，、因為，均為凹函數(shù)，所以由定義知：和.兩式相加：,即：， 所以為凹函數(shù).、由題題意得： .下面只要證明： 即可.采用做差法比較兩者的大小：.綜上所述，可得.所以是凹函數(shù).例3 為區(qū)間上的可導函數(shù)，證明：若對于上的任意兩點，有， 則為上的凹函數(shù).證明 設以，為上任意兩點， ， . 由， 并利用與，. .分別用與上列兩式并相加，得到：.所以為上的凹函數(shù).3.2 函數(shù)凹凸性的判定定理定理 為上的函數(shù)，若對于上的任意三點，總有： ， 則為上的凹函數(shù).證明 在上任取兩點，在上任取一點，則， ， 因為 ，所以有：.所以有， ，因為 ，所以不等式兩邊同時除以有：

9、.即又. 所以.所以為上的凹函數(shù).例題4 設為區(qū)間上的函數(shù)，若對于實數(shù)，使得，有， 證明：為區(qū)間上的凹函數(shù).證明 設是區(qū)間上任意三點，由已知條件，對于，存在實數(shù)，使得， . 令 ， 有，得到.再令， 有 ，得到.綜上所述， ，所以為區(qū)間上的凹函數(shù). 3.3 函數(shù)凹凸性的充要條件充要條件 設函數(shù)在上連續(xù)，在內具有一階和二階導數(shù)，那么，若在內恒有，則在上的圖形是凹的；若在內恒有，則在上的圖形是凸的.注意：若在區(qū)間內的某一子區(qū)間上，則在該子區(qū)間上的圖形是一段直線，該子區(qū)間既非凹區(qū)間也非凸區(qū)間.證明 （1）充分性：因為，所以為上的增函數(shù)，設任意的，在以，（不妨設）為端點的區(qū)間上，由拉格朗日中值定理和為

10、上的增函數(shù)，可得：，即對上的任意兩點，有：. 令，有，；所以，. . 以上兩個不等式的兩端分別乘以與并相加得：.即在是凹函數(shù)；必要性：任取上兩點及充分小的正數(shù).由于，根據(jù)是凹函數(shù)及函數(shù)凹凸性的判定定理有：.由于是可導函數(shù)，令時可得.所以為上的增函數(shù)，所以在內恒有.（2）的情況類似的可以證明.例題5 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解 函數(shù)的定義域為，又，令，即，得到，點把定義域分成兩個部分即與.在各部分區(qū)間內與的符號，相應曲段弧的升降及凹凸、拐點等，如下圖表：圖形凸區(qū)間拐點凹區(qū)間可得：在內，因此是曲線的凸區(qū)間.在內，因此是曲線的凹區(qū)間.所以：點是曲線的拐點.小結：求曲線凹凸區(qū)間及拐點的步驟：首先找出可

11、能是拐點的橫坐標（包括使二階導數(shù)為零的點和二階導數(shù)不存在的點），再利用二階導數(shù)的符號判斷該曲線的凹凸區(qū)間及拐點.4 函數(shù)凹凸性的應用函數(shù)凹凸性的應用及其廣泛，很多與函數(shù)、不等式交匯的綜合問題都可以利用函數(shù)的凹凸性加以解決.利用函數(shù)的凹凸性去解決問題，往往能夠使某些復雜的問題簡單化.接下來，我們重點討論函數(shù)凹凸性在不等式的證明、求函數(shù)最值以及函數(shù)作圖等中的應用.4.1 函數(shù)凹凸性在證明不等式中的應用 有些不等式的表達形式很簡單，但如果通過常規(guī)的證明方法和技巧卻很難達到預期的效果，這就需要我們另辟蹊徑，尋找更有效的方法技巧，利用凹凸函數(shù)的性質不但可以減少計算量，使解題更加合理，而且借助凹凸函數(shù)的幾

12、何特征可以使解題思路更加清晰直觀.4.1.1 利用函數(shù)的凹凸性證明一個重要的不等式定理 如果是凸函數(shù)對，滿足，都有.特別地，當時，上述不等式稱為琴生（Jensen）不等式.例題6 任意個非負實數(shù)的調和平均值小于或等于它們的幾何平均值小于或等于他們的算數(shù)平均值.即：， 恒有：.當且僅當時等號成立.證明 考慮函數(shù)，很容易判斷出其是凸函數(shù)，有琴生（Jensen）不等式得到：.即：，又在定義域上是單調遞增的.所以有：，當且僅當時等號成立.另一方面，. 即：.又在定義域上是單調遞增的. 所以有：，當且僅當時等號成立.綜上所述有：.當且僅當時等號成立.注意：利用函數(shù)的凹凸性證明不等式時，一定要注意構造或者

13、引進我們所需要的輔助函數(shù)，使條件和結論、已知與未知建立聯(lián)系.4.1.2 凹凸函數(shù)不等式的積分形式定理 設是上的可積函數(shù)且，是上的連續(xù)凸函數(shù)，則：（如果是凹函數(shù)，則不等式反向）.例題7 設為上的正值連續(xù)函數(shù)，證明：.證明 令，由上述定理得： .即得證.例題8設在上連續(xù)可導，.若，證明：.證明 由，可得，進而得到，所以.由函數(shù)凹凸性的充要條件知為凸函數(shù). 所以有：.又，所以.另一方面，由Hadamard不等式：設函數(shù)是上連續(xù)的凸函數(shù)，對任意的 ，有：，得.即：，又，所以在為單調增函數(shù)，所以有：， 即.綜上所述， 即有：.小結：利用函數(shù)凹凸性證明不等式雖然有一定的局限性，但是它卻能夠避免一些繁雜的解

14、題過程，大大的簡化解題步驟，是其它方法不能達到的.利用函數(shù)凹凸性證明不等式的解題關鍵是構造合適的輔助函數(shù)，能夠使問題和已知的條件聯(lián)系起來，只有這樣才能達到預期的效果.4.2 函數(shù)凹凸性在求函數(shù)最值中的應用通過觀察不等式的證明，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果不等式的一邊是常數(shù)的話，那么不等式的證明就演變成了求函數(shù)的最值問題，我們就可以利用函數(shù)的凹凸性來求函數(shù)的最值，從而就可以避免繁雜的化簡、轉化、變形等過程.若能夠靈活運用函數(shù)的凹凸性解題，可達到事半功倍的效果.例題9 設，試求 的最小值.解析 如果采用一般的解題方法，我們就會發(fā)現(xiàn)很難找到問題的突破口，但是如果我們采用函數(shù)的凹凸性去思考，再結合著題目的表達形

15、式，就很容易聯(lián)想到琴生（Jensen）不等式，問題就迎刃而解了.解 設，則，.所以為凹函數(shù)，由琴生（Jensen）不等式，得：.化簡整理得：，所以的最小值為.例題10 設函數(shù)為上的凸函數(shù)，則求在閉區(qū)間上的最值.解 對于任意的，取，（），所以有.進而有，又為上的凸函數(shù)所以有：.所以的最小值為.記區(qū)間的中點為，且，設任意的關于的對稱點為 則有，又是上的凸函數(shù)，所以有：，即：）.（其中）.所以的最大值為 ：，（其中.注意：此例題可以表述為若函數(shù)在為凸函數(shù)，則在閉區(qū)間上有界.例題11 若，且，求的最小值.解 設，則，所以為凹函數(shù).所以有：.即：.化簡整理得：，當且僅當時等號成立.小結：求函數(shù)最值的常用

16、方法是利用函數(shù)的單調性、求導和均值不等式等方法，但是求函數(shù)值域沒有通用的方法和固定的模式，要靠在學習過程中不斷積累，掌握規(guī)律.而利用函數(shù)的凹凸性求解，為求函數(shù)最值開辟了一條新的路徑.從上面幾個例題可以看出利用函數(shù)凹凸性去求函數(shù)最值的關鍵還是構造合適的輔助函數(shù).4.3 利用函數(shù)的凹凸性作函數(shù)圖象圖象是刻畫函數(shù)變量之間關系的一個重要途徑，是研究函數(shù)性質的一種常用方法，是數(shù)形結合的基礎和依據(jù).函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系提供了“形”的直觀性，是探求解題途徑、獲得問題結果的重要工具.但是在實際的解題過程中，并不是所有的函數(shù)圖形都能夠很容易地作出.下面我們就利用

17、函數(shù)的凹凸性去解決一些函數(shù)作圖問題.例題12 作出函數(shù)的圖形.解析 題目中的函數(shù)解析表達式不夠直觀，我們考慮將函數(shù)做恒等變換，之后再利用函數(shù)的凹凸性作出函數(shù)圖象.解 因為，設， ，所以所給函數(shù)的表達式可以寫成，且函數(shù)的定義域為，該函數(shù)是偶函數(shù)，它的圖形關于軸對稱，因此只需討論區(qū)間上的圖形即可. ，進而得到：， 在區(qū)間上，的解為或，的解為.用點和把區(qū)間劃分為，三個部分區(qū)間.在各部分區(qū)間內及的符號、相應曲線弧的升降、凹凸性、極值點和拐點等如下表：圖形極小值點拐點因而在處，取極小值，再由函數(shù)關于軸對稱，所以在處，取極大值，在處，取極小值，曲線有兩個拐點 和. YyyyY函數(shù)的圖象如下圖所示：0X 小

18、結：利用函數(shù)凹凸性作圖的步驟：確定函數(shù)的定義域，討論函數(shù)的一些基本性質，如奇偶性、對稱性和周期性等，并求出函數(shù)的一階導數(shù)及二階導數(shù).求出方程和在定義域內的全部實根及使和不存在的點，用以上兩種點將函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間.確定在這些部分區(qū)間內及的符號，并由此確定函數(shù)圖形的升降和凹凸、極值點和拐點.確定函數(shù)圖形的水平鉛直漸近線.(5)列表并作出函數(shù)圖象. 函數(shù)的凹凸性揭示了函數(shù)因變量隨自變量變化而變化的快慢程度，如果結合函數(shù)其它性質，可使我們對函數(shù)圖象的描繪更加的準確.4.4 利用函數(shù)的凹凸性判斷函數(shù)單調性判斷函數(shù)單調性的一般方法是利用導函數(shù)的正負來判斷的，但是利用函數(shù)的凹凸性來判斷函數(shù)的單

19、調性，作為判斷函數(shù)單調性方法的補充，是需要我們了解的.例題13 設，在上為非負的嚴格凹函數(shù)，.試證明：為嚴格遞增的函數(shù).證明 因為為嚴格凹函數(shù)，所以為嚴格遞增的.因為是非負函數(shù)，所以對于 ，有.若某點，使得，則在上有 與為嚴格凹函數(shù)矛盾.所以，有，最后設，則：，得為嚴格遞增的.結 束 語本文從函數(shù)凹凸性的概念出發(fā)，通過具體的實例較系統(tǒng)地介紹了函數(shù)凹凸性的常規(guī)的判定方法及在證明不等式、求函數(shù)最值以及在作函數(shù)圖象時的應用.把握函數(shù)凹凸性在數(shù)學中的應用，關鍵就是在把握函數(shù)凹凸性的基本概念、定理的基礎上，同時加強此方面的訓練和研究.函數(shù)凹凸性的應用，拓展了學習和研究的鄰域由于受到各種因素的限制，本文也

20、有一定的不足之處.函數(shù)凹凸性的判別方法與應用還有很多，本文只介紹了其中的一部分，還有其它方法與應用可以補充.參考文獻1 宣立新. 高等數(shù)學(上冊)M.高等教育出版社，1999.2 華東師范大學數(shù)學系M.數(shù)學分析.高等教育出版社，2007.3 毛綱源.高等數(shù)學解題方法技巧歸納M.華中理工大學出版社，2002.4 于淑蘭.關于曲線拐點的判別法J.數(shù)學的實踐與認識，2003，33(1):98-100.5 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義（第三版）M.高等教育出版社，1995.6 沈家英，方永宏.高等數(shù)學(上冊)M.山東大學出版社，1995.7 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法M.高等教育出版社，2007.8 孫清華，鄭小姣.高等數(shù)學內容、方法與技巧M.華中科技大學出版社，2004.9 Fred Brauer .Fundamentals of Advanced MathematicsM .Higher Education Press，2006.10 何衛(wèi)力，繆克英.高等數(shù)學方法導引(上)M.北京交通大學出版社，2004.11 盛祥耀.高等數(shù)學M.高等教育出版社，2004.12 劉士強.數(shù)學分析M.廣西民族出版社，2000. The discrimination approach and application of conc