結(jié)構(gòu)優(yōu)化的敏度分析技術(shù)

1、結(jié)構(gòu)優(yōu)化的敏度分析技術(shù)1敏度分析方法結(jié)構(gòu)敏度分析是為結(jié)構(gòu)優(yōu)化捉供有關(guān)結(jié)構(gòu)約束函數(shù)及目標(biāo)函數(shù)的一階甚至二階導(dǎo)數(shù)信 息。結(jié)構(gòu)敏度分析包括有差分法、解析法、解析和差分結(jié)合的擬解析法。差分法通用性好, 易于實(shí)現(xiàn)，但計(jì)算最人;解析法實(shí)現(xiàn)起來(lái)較困難，但計(jì)算效率高;擬解析法在計(jì)算解析敏度困 難時(shí)可予采用。這里主要介紹解析法。(1)擬載荷法考慮線性靜力有限元分析的系統(tǒng)方程為畑=用(20)如果載荷f與設(shè)計(jì)變量向量x無(wú)關(guān)，則由式(20)對(duì)x求導(dǎo)可得(21)«=27ar令 銘 ，則山式(2)可得擬載荷法求結(jié)構(gòu)位移導(dǎo)數(shù)的公式為(22)r稱為虛擬載荷。冇限元法中，總剛矩陣k為一稀疏帶狀對(duì)稱正定矩陣。一般式(2

2、0)采用 coleskey三角分解來(lái)求解，亦即相當(dāng)于l已在結(jié)構(gòu)分析中得到，從而易于獲得30何。 這里aoyar的第£行為色l_ax從式(22)可知，擬載荷法適合于求解所冇位移對(duì)所冇設(shè)計(jì)變屋或?qū)δ骋粋€(gè)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。(2)單位載荷法假想僅在位移対對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和方向上就加單位載荷馬，設(shè)其相應(yīng)的位移響應(yīng)為少",由式(20)對(duì)t求導(dǎo)可得對(duì)式(44.5-23)兩邊前乘單位載荷向量巧 可得將上式兩邊轉(zhuǎn)置，并利用k的對(duì)稱性易得單位載荷法求位移導(dǎo)數(shù)的公式為吏1=旳豈函兔 (24)此方法適合于求某些位移自由度對(duì)所冇設(shè)計(jì)變量或?qū)δ承┰O(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。一般當(dāng)設(shè)計(jì) 變量較少、位移約束數(shù)目較少時(shí)用此方法

3、較經(jīng)濟(jì)。(3)性態(tài)空間法前兩種頌度分析方法是在設(shè)計(jì)空間中進(jìn)行的。通常稱應(yīng)力、位移等結(jié)構(gòu)性態(tài)響應(yīng)為性態(tài) 變雖，因此在性態(tài)空間中約束可表示為陽(yáng)3叨引0口 (25)定義伴隨變量向量也，使之滿足由式(25)對(duì)x求導(dǎo)可得dxarau銘(26)將擬載荷法公式(22)兩邊左乘必 有嚎曲凱7)將式(22)代入式(26)并利用k的對(duì)稱性可得(28)-魚=0 l=bj當(dāng)&一引時(shí)，猱 ，3u，此時(shí)式(28)變?yōu)?29)式(29)為用性態(tài)空間法計(jì)算位移導(dǎo)數(shù)的公式。事實(shí)上，單位載荷法可以從這里的性態(tài)空間法 或前血的擬載荷法導(dǎo)出。性態(tài)空間法不但適用于求位移約朿導(dǎo)數(shù)，而且也適用于求應(yīng)力約朿導(dǎo)數(shù)。只要對(duì)某個(gè)約束求出了

4、伴隨變量伽就可以求得其敏度值。(4)應(yīng)力敏度分析應(yīng)力敏度分析用來(lái)獲取應(yīng)力導(dǎo)數(shù)?？紤]應(yīng)力計(jì)算有限元公式式中二應(yīng)力；s應(yīng)力矩陣;u移向最。由式(30)對(duì)e#求導(dǎo)，并考慮到尺寸優(yōu)化時(shí)s與x無(wú)關(guān)，故有應(yīng)力敏度分析公式為站)從式(31)可知，計(jì)算應(yīng)力導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是計(jì)算位移導(dǎo)數(shù)。山于結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，兒乎所有單元 應(yīng)力均有約束，因此應(yīng)力導(dǎo)數(shù)計(jì)算量相當(dāng)人。考慮到應(yīng)力約束具有局部特性，故實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以采用近似方法計(jì)算應(yīng)力導(dǎo)數(shù)，其效果 是計(jì)算量劇減而乂能具有足夠的梢度。這種近似計(jì)算方法是將結(jié)構(gòu)在某-迭代步中作暫時(shí)靜 定化處理，凍結(jié)結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即近似認(rèn)為結(jié)構(gòu)內(nèi)力在某迭代步中與設(shè)計(jì)變量無(wú)關(guān)。對(duì)于桿，則有9oj 3()當(dāng)i=j

5、時(shí)，冇對(duì)于其他類型單元，結(jié)構(gòu)應(yīng)力約束往往采用von mises當(dāng)最應(yīng)力約束。(5)梁結(jié)構(gòu)位移敏度分析在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，梁結(jié)構(gòu)是十分復(fù)雜而h難以處理的問(wèn)題，尤其對(duì)于受彎、扭、剪及軸力 作用的空間梁結(jié)構(gòu)更是如此。一方而對(duì)梁?jiǎn)卧獊?lái)說(shuō)，單元?jiǎng)偠染仃囀謴?fù)雜，它不僅與單元截面積a有關(guān),而且還與抗扭慣性矩厶、抗彎慣性矩厶：和以及剪切面積蟲8、等 諸多幾何尺寸因素有關(guān)。另一方血梁?jiǎn)卧孛嫘螤罘N類繁多，不同的截面形狀呈現(xiàn)出不同的 復(fù)雜力學(xué)性態(tài)。為了減少設(shè)計(jì)變量數(shù)冃及簡(jiǎn)化問(wèn)題的復(fù)雜程度，許多方法往往假設(shè)截面特性 參數(shù)與截面面積之間有函數(shù)關(guān)系。例如“二氣才，這里、彳根據(jù)不同截面選取不同的 值。通過(guò)這一函數(shù)關(guān)系的引入，

6、每個(gè)梁?jiǎn)卧芍辉O(shè)一個(gè)設(shè)計(jì)變量，如面積或抗彎慣性矩厶， 使敏度分析及優(yōu)化過(guò)程也變得較為簡(jiǎn)單。但這種方法的假設(shè)與實(shí)際工程梁結(jié)構(gòu)差別太人，難以實(shí)際應(yīng)用。這里給出的方法，則可以以單元截面的具體幾何尺寸為設(shè)計(jì)變最。對(duì)于空間梁?jiǎn)卧?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)冇6個(gè)自rti度，其單元?jiǎng)偠刃? |分復(fù)雜。一般情況下，爐為的函數(shù)，而這6個(gè)幾何特性量與具體截面類型有關(guān)，如果直接由單元 剛度對(duì)具體幾何尺寸變最求導(dǎo)，工作最大且求導(dǎo)結(jié)果也因截面類型的不同而各異。為了避免 各截面類型都對(duì)單元?jiǎng)偠确謩e求導(dǎo)，這里引人了梁結(jié)構(gòu)中間變量即敏度變量的概念。定義梁 單元的嫩度變量為單元?jiǎng)偠葻蹶噷?duì)敏度變最的導(dǎo)數(shù)為肴藥ng以單元截面幾何尺寸為設(shè)計(jì)變量時(shí)，

7、設(shè)計(jì)變最集合可用向最"二【巧耳比r表示，n為 設(shè)計(jì)變雖總數(shù)。對(duì)敏度變量的導(dǎo)數(shù)，可以通過(guò)jacobian變換轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)設(shè)計(jì)變雖的導(dǎo)數(shù)：圖碉m=i（i = h2離j=1盤片）式中jacobian 矩陣;m 敏度變量數(shù)目o 對(duì)空間梁結(jié)構(gòu)滬6。當(dāng)函數(shù)f為梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)傟嚂r(shí),則由上式可求得梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噷?duì)設(shè)計(jì)變量 的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可再由單位虛載荷法或擬載荷法求得位移導(dǎo)數(shù)。2敏度分析的實(shí)現(xiàn)在結(jié)構(gòu)分析軟件中增加敏度分析系統(tǒng)的原則是，敏度分析系統(tǒng)應(yīng)作為獨(dú)立的功能模塊, 并與原結(jié)構(gòu)分析程序相結(jié)合，敏度分析的模塊不影響也不破壞原有程序的結(jié)構(gòu)和功能。敏度分析模塊需要參與優(yōu)化的單元單剛的求導(dǎo)信息，為節(jié)省計(jì)算量，可以宜接

8、利用現(xiàn)有 結(jié)構(gòu)分析軟件的單剛矩陣。這就要求在結(jié)構(gòu)分析計(jì)算單剛詢，輸人必要的控制信息，如哪些 單元的單剛要求導(dǎo)，對(duì)哪個(gè)設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)等。敏度分析算法還用到總剛、位移和應(yīng)力信息等, 這些信息的獲取只能在結(jié)構(gòu)分析求解位移線性方程組，并計(jì)算出應(yīng)力、內(nèi)力等之后。圖2是敏度分析模塊的總體結(jié)構(gòu)，圖屮未包括結(jié)構(gòu)分析自身的模塊。圖3和圖4分別是 擬載荷法和單位虛載荷法的框圖。圖2敏度分析系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)圖3擬載荷法敏度分析框圖lmdfx-2瀆人賠輸人黑c 返回)圖4單位載荷法敏度分析框圖(1)單剛求導(dǎo)數(shù)対屆的實(shí)施在冇限元計(jì)算中，各單元的冇關(guān)計(jì)算多是在局部坐標(biāo)系中給出的，需轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的總體 坐標(biāo)系屮才能組裝。因此為提高

9、效率，可以待單剛坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之后對(duì)單剛求導(dǎo)。在實(shí)施求導(dǎo)過(guò) 程屮，h他中只有一個(gè)時(shí)滄其余h/a鏟oxia曲#這里nn是參與優(yōu)化的單元對(duì)應(yīng)的變量號(hào)，是設(shè)計(jì)變最總數(shù)。因此，將單剛對(duì)全部設(shè)計(jì)交最求 導(dǎo)時(shí)，只用計(jì)算單剛對(duì)一個(gè)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。(2)單位應(yīng)力載荷下的位移響應(yīng)的求解由于商用軟件大多能處理多工況問(wèn)題，故僅只需將單位虛載荷作為一種載荷工況來(lái)處 理，即可利用冇限元分析程序自身求得w，o(3)求的實(shí)施旳丙 只冇那些與兀冇關(guān)得矩陣元素才為非零值，因而其非零元索數(shù)忖較少。在計(jì)算時(shí)，只協(xié)計(jì)算那些非零元素的乘積，并且不必計(jì)算總剛恥了弘而只需直接從燈他中求解。這樣省去了總剛組集這一龐大的計(jì)算工作量，因而計(jì)算效率可大大提高。旳甌的組裝在單位載荷法中，無(wú)需對(duì)*佩進(jìn)行組裝便可獲得旳如。但是在擬載荷法屮進(jìn)行 敏度分析時(shí)，則需要對(duì)*他進(jìn)行組裝才能獲得旳匍，這是因?yàn)樵谏逃脙酉拊浖?直接求旳如是不可能的，需要通過(guò)對(duì)*危求導(dǎo)才能間接獲得旳叭 需要指出的 是旳魯 的組裝與k的組裝從方法上來(lái)說(shuō)是完全相同的，故這里不再詳述。求解囪