2019-2020學年北京市通州區(qū)高三(上)期中數(shù)學試卷

1、1.2.3.4.5.6.7.8.二、9.10.11.12.13.2019-2020 學年北京市通州區(qū)高三(上)期中數(shù)學試卷選擇題(本大題共 8 小題，共 40.0 分)0 ，則? ?= ( )1 設集合 ?= -2, -1, 0，1，2 ，?= ?|?2?+ ?- 2 <A. -2, -1, 0，1B. -1, 0，C. -1, 0 D. 0,1 D. 2?+2等比數(shù)列 ? ?中， ?1 = 1，?4 = 8，則 ?= ( ) A. 2?-1B. 2?C. 2?+1下列函數(shù)中為偶函數(shù)且在 (0, +)上為增函數(shù)的是 (A. ?= 1?B. ?= lg|?|C. ?= ? D. ?= 2?

2、B. 必要而不充分條件D. 既不充分也不必要條件l 與曲線 ?= ?2 相切，那么 b“ ?>2?0?”是“ ?>?0?”的 ( )A. 充分而不必要條件C. 充分必要條件直線 l 經(jīng)過點 ?(0,?)，且與直線 ?= ?平行，如果直線 等于 ( )A. - 4B. - 2C. 4D. 2?在?中?，角 A，B，C 所對的邊分別為 a， b，?若. ?= 4，?= 5，?= 2，則?的?面積等于 ( )1 3 123A. 2 或 2B. 2C. 22D. 2?設函數(shù) ?(?=) 2 , ? 1, 若方程 ?(?-) ?= 0有且只有一個根，則實數(shù) k 的取值 lo?2?, ?>

3、; 1,范圍是 ( )A. (0,2)B. (2, +)C. 2, +)D. 0,22014 年 6月 22日，卡塔爾首都多哈召開的第 38 屆世界遺產(chǎn)大會上宣布： 中國大運 河項目成功入選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國第46 個世界遺產(chǎn)項目隨著對大運河的保護與開發(fā)， 大運河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片， 也成為眾多旅 游者的游覽目的的 今有一旅游團乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)順流而下至漕運碼頭， 又立即逆水返回奧體公園碼頭 已知游船在順水中的速度為 ?1 ，在逆水中的速度為?2?(?1 ?2?) ，則游船此次行程的平均速度-?與?12+?2的大小關系是-?1?+?2A. ?> 1 2-

4、?1?+?2B. ?= ?1?+?2C. ?<?1+?2-?1+?2D. ? ?1+2?2填空題(本大題共 6 小題，共 30.0 分)已知 ?+ ?=?2-?2-?(?為? 虛數(shù)單位，a， ?)，則 ?+ ?=3已知 ?= log 27 ， ?= 2-3 ，?= 32，則三個數(shù)的大小關系是 設等差數(shù)列 ?的前 n 項和為 ?，若?1?1 = 22 ，?7 = 1，則數(shù)列 ? ?的公差等于 定義在 R上的函數(shù) ?(?，) 給出下列三個論斷： ?(?在) R上單調(diào)遞增； ?> 1； ?(?)> ?(1)以其中的兩個論斷為條件， 余下的一個論斷為結論， 寫出一個正確的命題： ?

5、?若函數(shù) ?(?=) ?+?在?區(qū)?間 (6 , 4)上單調(diào)遞減， 則實數(shù) a的取值范圍是 14. 設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于?，若?- 1? ?，且?+ 1? ?，則稱 k是A 的一個“孤立元” 集合?= 1, 2， 3， 5元素中 T 的“孤立元”是 ； 對給定集合 ?= 1,2，3，4，5，6，由 S中的 3 個元素構成的所有集合中， 含“孤 立元”的集合有 個三、解答題(本大題共 6 小題，共 80.0 分)15. 已知函數(shù) ?(?=) 3?+2?2?2?- 15?( )求?(12 )的值；()求?(?的) 最小正周期及單調(diào)增區(qū)間16. 在?中?， ?= 60 °，?=

6、?1?， ?= 7，D 是 AB 邊的中點()求 AB 的長；()求CD 的長17. 已知數(shù)列 ? ?的前 6 項依次成等比數(shù)列，設公比為 ?(? 1) ，數(shù)列從第 5項開始各 項依次為等差數(shù)列，其中 ?4 = ?7 = -4 ，數(shù)列 ? ?的前 n項和為 ?()求公比 q及數(shù)列 ? ?的通項公式；()若? 0，求項數(shù) n的取值范圍18. 如圖，在四棱錐 ?- ?中?，底面 ABCD 為菱形，且 ?=?60 °，?平面 ABCD ，?= ?，?點 E，F(xiàn)為 PC，PA的中 點() 求證：平面 ?平面 ABCD； ()二面角 ?- ?- ?的大?。?()設點 M在?端(點除外 )上，試

7、判斷 CM與平面 BDF 是 否平行，并說明理由19. 設函數(shù) ?(?=) ?3 - (?+ 1)?2 + ?()當?= 0時，求函數(shù) ?(?的) 極小值；m 的取值范()若已知?> 1且函數(shù)?(?與)直線?= -?相切，求 b的值； ()在()的條件下，函數(shù) ?(?與)直線 ?= -?+ ?有三個公共點，求 圍 (直接寫出答案 )20. 已知函數(shù) ?(?=) ?- ?>?(?0?) ()求函數(shù) ?(?的)單調(diào)區(qū)間； ()求函數(shù)?(?)= 21 ?2 - ?-? ?(?的)零點個數(shù)；?-1() 當?= 1時，求證不等式 ?(?) ?-?1解集為空集答案和解析1. 【答案】 C 【解

8、析】 解： ? = -2, -1, 0，1，2，?= ?|- 2< ?< 1，? ?= -1,0 故選： C可以求出集合 N，然后進行交集的運算即可 本題考查了描述法、列舉法的定義，一元二次不等式的解法，交集的運算，考查了計算 能力，屬于基礎題2. 【答案】 A【解析】 解：設等比數(shù)列 ? ?的公比為 q，?1? = 1，?4= 8，?3 = 8 ，解得 ?= 2 則 ?= 2?-1 故選： A 利用等比數(shù)列的通項公式即可得出 本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題3. 【答案】 B【解析】 解： ?函. 數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件B. 函數(shù)的定義域為 ?|

9、? 0 ，?(-?) = lg| - ?|= lg|?|= ?(?，) 函數(shù)為偶函數(shù)， 當?> 0 時， ?(?=) ?為?增? 函數(shù)，滿足條件C. ?= ?是?偶?函數(shù)，在 (0, +)上不是單調(diào)性函數(shù)，D. ?= 2?是增函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，故選： B 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)分別進行判斷即可 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)， 結合常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題 的關鍵4. 【答案】 C【解析】 【分析】本題考查三角函數(shù)的倍角公式與同角三角函數(shù)基本關系式的應用， 考查充分必要條件的 判定，是基礎題由 ?>2?0?與 ?>?0?等價，可得“ ?>2?0

10、?”是“ ?>?0”的充分必要條件 【解答】?解： ?>2?0? ? 2?>?0? > 0 ? ?>?0?cos?“ ?>2?0?”是“ ?>?0?”的充分必要條件故選： C5. 【答案】 A【解析】 解：設切點為 (?,?2) ，?= ?2 的導數(shù)為 ?= 2?，直線 l經(jīng)過點?(0,?，) 且與直線 ?= ?平行，切線的斜率為 1， 即有切線 l 的斜率為 ?= 2?= ?4=5°1，1 1 1 解得 ?= 12，可得切點為 (12 ,14)，1-?1由1= 41 ，解得?= - 1124故選： A設切點為 (?,?2)，求出函數(shù)的導數(shù)，

11、求得切線的斜率，再由直線的斜率公式解方程可 得切點，再由兩點間的距離公式，計算即可得到所求值本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬 于中檔題6. 【答案】 D 【解析】 解：在 ?中?，由 ?= 4 ，?= 5，?= 2，得 sin5?= ?2?，?即? ?=?55 45?< ?， ?為銳角，則 ?=?2?55?=?s?in(? + ?)= ?+?=?2?×?25 + 2×5 = 310?的?面積等于 12 ?=?21?×?5 ×2 ×31010 = 23 故選： D 由已知利用正弦定理求得 sinB

12、，進一步求得 sinC，則面積可求 本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應用，是基礎題7. 【答案】 B 【解析】 【分析】問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) ?= ?和 ?= ?(?的) 圖象只有一個交點，畫出函數(shù) ?(?的) 圖象，結合圖 象讀出即可本題考查了函數(shù)的交點問題，考查指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結合思想， 是一道常規(guī)題【解答】解：若方程 ?(?-) ?= 0有且只有一個根， 則函數(shù) ?= ?和?= ?(?的) 圖象只有一個交點， 畫出函數(shù) ?= ?(?的) 圖象，如圖示：故選： B8. 【答案】 C【解析】 解：根據(jù)題意，設從奧體公園碼頭到漕運碼頭的距離為S，則旅游團乘游船從奧體公園碼頭出

13、發(fā)順流而下至漕運碼頭， 又立即逆水返回奧體公園碼? ?頭的時間為 ?= ?1 + ?2 ，則游船此次行程的平均速度?=2?2?2?1 ?2?= ? ? =，?+?1+?2?1? ?2?1 2則有 ?- ?-2?1?2?1+?2?1+?2 4?1?2-(?1+?2)2-(?1-?2)22 =2(?1+?2)= 2(?1 +?2) ，又由?1? ?2，則 -?- (?1+?2?1+2?2) < 0，-?1?+?2即 ?< ?1?2+?2，故選： C根據(jù)題意，設從奧體公園碼頭到漕運碼頭的距離為S，分析可得平均速度?=2?2? ?1+ ?22?1 ?2?1+?2，作差可得 ?-?1?+?2

14、2?1 ?2?( 2 ) = ?1+?2?1 +?224?1?2-(?1 +?2) 22(?1 +?2 )(2?(?1-+?2) ，據(jù)此分析可得答案 本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應用，注意平均速度的計算，屬于基礎題9. 【答案】 -3解析】解：由 ?+ ?=? 2-?，?得 (?+ ?=)?2 -?，?即 -?+ ?=? 2 -?，?則-? = 2?= -1即 ?= -1?= -2a， b?+ ?= -3 故答案為： -3 把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)相等的條件求解 的值，則答案可求本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)相等的條件，是基礎題10. 【答案】 ?&g

15、t; ?> ?3解析】 解： ?= log27 (2,3) ，?= 2-3 (0,1) ，?= 32 > 5?> ?> ?故答案為： ?> ?> ?利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別得出a，b，c 的范圍，進而得出大小關系本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題11. 【答案】 -1?1+?112×11 = 11 ×?6 ，? 的前 11 項和為 ?1?1 = 22 =所以?6 = 2，又?7= 1，設等差數(shù)列 ? ?的公差為 d， 所以?= ?7- ?6 = 1- 2= -1 ， 故答案為： -1 根據(jù)

16、等差數(shù)列的前 n 項和公式及等差中項的性質(zhì)，利用 ?1?1 = 22，可以求出 ?6，再結合 ?7 = 1，即可求出公差本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)， 考查了等差數(shù)列的前 n 項和，考查了分析解決問題的能力 和計算能力，屬于基礎題12. 【答案】 推出 【解析】 解：由題意，若 ?(?為) 定義在 R上的單調(diào)遞增函數(shù)， 根據(jù)單調(diào)性，可知，當 ?> 1 時，很明顯有 ?(?>) ?(1)成立 故已知 可以推出 故答案為： 推出 本題根據(jù)單調(diào)遞增函數(shù)的定義即可得出 本題主要考查單調(diào)遞增函數(shù)的定義，推理能力的應用本題屬基礎題13. 【答案】 ? 3【解析】 解：函數(shù)的導數(shù) ?(?=?)-?+

17、? ?，? ? ?若?(?=) ?+?在?區(qū)?間 ( ?6?, ?4?)上單調(diào)遞減，? ?則 ?(?)0在在區(qū)間 (6?,?4?)上恒成立，即 -?+? ?0?，得 ?，?即?1?，即 ? 1 ，? ? ? ? 3當 ?( 6 , 4)時， tan 6 < ?<?t?an 4 ，即 3 < ?<?1?，3則1<?<?3，則 ? 3，即實數(shù) a 的取值范圍是 ?3，故答案為： ? 3，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)之間的關系， 轉(zhuǎn)化為導數(shù)恒成立， 利用參數(shù)分離法進行求解即可 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)之間關系， 結合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導數(shù)小于 0 恒成立以及利 用參數(shù)分離法

18、是解決本題的關鍵14. 【答案】 5 16 【解析】 解： 據(jù)題意知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合 T 中只有 5與其它元素不相鄰， 5是 T 的“孤立元”； 據(jù)題意知， 無“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素， 集合 S中的 3 個元素構成的所有集合中，無“孤立元“的集合為： 1,2，3，2,3，4，3,4，5 ，4,5，6，共 4 個；由 S中的 3個元素構成的所有集合中，含“孤立元”的集合有：?6?3- 4 = 20- 4 = 16個故答案為： 5， 16 據(jù)題意知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”， 顯然可看出 5 是集合 T的“孤立元”； 由 S中的 3個元素構成的所有集合中

19、， 三個元素都相鄰的集合可求出有4 個，從而可得出由 S中的 3個元素構成的所有集合中，含“孤立元”的集合有?6?3- 4= 16個本題考查了對“孤立元”定義的理解，組合數(shù)公式，考查了推理和計算能力，屬于基礎 題15. 【答案】 解：()因為 ?(?=) 3?+2?2?2?- 1，所以 ?(15?2?) = 3sin(2 ×51?2?) + 2?2?(51?2?) - 1 = 3sin(2 ×51?2?) + cos(2 ×51?2?) =5? 5?3sin( 6 ) + cos( 6 ) = 0，( )因為 ?(?=) 3?+2?2?2?- 1 ， 所以 ?(?

20、=) 3?+2?=2?2?(+2?) ，所以 ?(?的) 最小正周期 ?= 2 = ?，? ? ?令 2?-? ? 2?+ ? 2?+? ?，? ?解得 ?-? ?3? ?+? 6?，36? ?所以 ?(?的) 單調(diào)增區(qū)間為 ?- ?3?, ?+? ?6?(?)? ?故 ?(?的) 最小正周期是 ?，單調(diào)增區(qū)間為 ?-? 3 , ?+? 6(? ?)解析】5?(1) 直接把 51?2?代入函數(shù) ?(?解) 析式中，利用二倍角公式及變形，以及特殊角三 角函數(shù)值，求出 ?(51?2?) 的值； (2) 利用二倍角公式及變形，兩角和的正弦公式化簡解析式，然后利用正弦函數(shù)周期公 式，求出最小正周期；

21、再由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出 ?(?的) 單調(diào)遞增區(qū)間本題考查正弦的圖象與性質(zhì)， 三角恒等變換中的公式， 考查整體思想， 化簡、變形能力屬 于中檔題16. 【答案】 解：() ?=?71?，?=? 1-49 7由正弦定理? ? = ?可得 ?=?7?47337 = 8 2( ) ?= ?- (?+ ?)，?=?-?cos(? + ?) = -cos(60 又 ?是 AB 中點， ?= 4，°+ ?)= -1 ?+?3 ?=?1?1 ，2 2 14在?中?，由余弦定理?2?+?2-?2?=?2?得：?2? = ?2?+ ?2? - 2?=?7?2 + 42112 × 7 

22、5; 4 × 14 =21，?= 21 【解析】 (?通) 過同角三角函數(shù)的關系式得到sinC，再利用正弦定理解得邊長 AB(?利?)用三內(nèi)角之間的關系和余弦定理解得邊長CD 本題屬于三角函數(shù)中檔題，考察知識點較多，但難度不大，是常考題型17. 【答案】 解： ( )設等比數(shù)列的公比為 q，?4 = -4 ，?5 = -4? ， ?6? = -4?2，從第 5 項開始各項依次為等差數(shù)列，?5 + ?7? = 2?6，1又 ?7 = -4 ，2?2 - ?- 1 = 0，解得 ?= 1或 ?= - 2 1?1， ?= - 121當?4時， ?= 32 ?(- 21) ?-1 ；當?5時

23、， ?5 = 2，?6 = -1 ，設其公差為 d， 故 ?= ?6 - ?5 = -3 ，?= 2 + (?- 5) ?(-3) = -3? + 17 綜上所述， ?= 32 ?(- 2) ,? 4；-3? + 17, ? 5 1 ?1-(- 1)()顯然當 ? 4時， ?= 32 ×21 > 0恒成立，1-(- 2) 數(shù)列前 4 項的和為 20， 從第 5 項開始為等差數(shù)列， 當 ? 5時，數(shù)列為 2， -1 ， -4 ，-7 ， 令數(shù)列 ?為 2，-1 ，-4 ， -7 ，37 數(shù)列?的前 m項和? = - 2?2 + 2?，37依題意， - 2 ?2 + 2?+ 20

24、0，0 < ? 5 綜上所述， ? 9，?解析】 () 設等比數(shù)列的公比為q，由已知得 ?5 + ?7 = 2?6 ，由此求得 ?=12.然后分? 4和? 5分類求得 ? ?的通項公式；( )數(shù)列前 4 項的和為 20，從第 5 項開始為等差數(shù)列， 令數(shù)列 ?為 2，-1 ，-4 ，-7 ，求其前 m項和，由 ? 0求得 m的范圍，則滿足 ?0的項數(shù) n的取值范圍可求本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的前 是中檔題18. 【答案】( )證明：連接 AC與 BD，設交點為 O，連接 FO， 由已知 E，O 分別為 PC，AC 中點，可得 ?/?，?又因為 ?平面 ABCD

25、，所以 ?平面 ABCD ，? 平面 BDE ，所以平面 ?平面 ABCD ( ) 解： ( 法一 )以 O為原點，以 OB， OC，OE為 x，y，z軸建立空間直角坐n 項和，考查計算能力，標系設 ?= ?，因為底面ABCD 為菱形，且 ?=?60°， ?= ?，?則 ?= ?，?= 23 ?( 0,，0) ，?(0,-?32 ,0) ，?(23 ?0, ,0) ，?(0,?2?, 0) ，?(- 23 ?0, ,0) ，? ? ?(0,0,2) ， ?(0,- 2 ,2)， 則 ?=? ( 23 ?2?,?, - ?2?)， ? ? ?= (3?,0,0) 設平面 BFD 的法向

26、量為 ? = (?,?, ?，)則有? ? ?= 0? ?=? 03?=? 0即 3?+? ?- 22?=2，即?= 0 ，?= ?，令 ?= 1，則 ? = (0,1,1) ， 又由()可知?(?0?, ?2?,0)為平面 BDE的法向量， |cos? ? ,?|?= |? |? | ?|?=? 22，?所以二面角 ?- ?- ?的大小為 ?4?(方法二)連接 EF， EO，F(xiàn)O由 ( ) 可知 ?平面 BDE， ?，? 所以 ? ?，?所以 ?即?為二面角 ?- ?- ?的平面角 在 ?中?= ?，? ?，? 所以所以二面角 ?- ?- ?的大小為 ?；4()因為點 M 在?端( 點除外

27、)上，設 ?=? ?(?0? < ?< 1)，?則?(0,- ?, ?，) ?(3 ?,?-? ?, ?- ?，) ? ?(-? 3 ?,- ?, ?-? ?，) |cos? ,? ?|?= 2 2 2 22 2?|? ?|?2|? ?|?|?=? |? ?|?|? 0所以 CM 與平面 BDF 不平行【解析】( )連接 AC與BD，設交點為 O，連接 FO ，證明?/?，?通過?平面 ABCD， 得到 ?平面 ABCD ，然后證明平面 ?平面 ABCD ()法一：以O為原點，以OB，OC，OE為 x，y，z軸建立空間直角坐標系， 設?= ?， 求出平面 BFD 的法向量以及平面

28、BDE 的法向量，通過空間向量的數(shù)量積求解二面角 ?- ?- ?的大小(方法二 )連接 EF，EO，?說.明 ?即?為?二面角 ?- ?- ?的平面角在?中?= ?，? 求解二面角 ?- ?- ?的大小即可( ) ?=? ?(?0? < ?< 1) ，說明利用空間向量的數(shù)量積不為 0，證明 CM與平面 BDF 不平行本題考查二面角的平面角的求法， 空間向量的數(shù)量積的應用， 直線與平面垂直的判斷定 理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力和計算能力，是中檔題19. 【答案】 解：()當?= 0時， ?(?)= ?3- ?2 ，則?(?=?)3?2 - 2?， 由?(?=?)0得?=

29、 0, ?= 2，2當 ?< 0或?> 32時， ?(?>?)0；3當0< ?< 2時， ?(?<?)0， 則當?= 32時， ?(?取)得極小值 ?(23) = (32)3- (23)2= - 247； ( ) 因 ?(?=) ?3 - ?2?- ?2 + ?，?則 ? (?=?)3?2 - (2?+ 2)?+ ?，設函數(shù) ?(?與) 直線 ?= -?相切的切點是 (?0,?0) ， 因為 ?(0=) ?> 1，所以 ?0 0，? 0)(?=? 3?02 - (2?+ 2)?0 + ?= -1所以有 ?0 =?0 =-?0，?03 - (?+ 1)?02 + ?0?可得 ?0?2 - (?+ 1)?0 + ?+ 1 = 0 ，又 3?02 - (2?+ 2)?0 + ?= -1 ，相減得 2?02 - (?+ 1)?0 = 0 ，?+11)( ?2+1- ?)，( )0 <?<3227所以?0? = ?2+1，所以-1 = (?2+1 解得： ?= 3 ；【解析】 ()代入 b的值，求出 ?(?的)解析式， 求出函數(shù)的導數(shù)， 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 從而求出函數(shù)的極小值即可；( )求出函數(shù)的導數(shù)，設出求出方程，得到關于b的方程，解出即可；( )