對一道征展題的再探究

1、對一道征展題的再探究重慶市云陽縣江口中學校 劉小輝郵編:404506中學數學2014年後5期新征展欄目中，甘老師給出了如下一道開放題：題目 過拋物y2=2px(p>0)焦點f的直線a,與拋物線相交于兩點卩(無),q(x2，2)求證：y1y2=-p2 ；(2)你還能發(fā)現哪些結論？文1作者在原題條件下，共發(fā)現了(包括原題答案)十一個結論。筆者經過進一步的 探究，發(fā)現原題可以作如下推廣，并獲得了一新的結論，現介紹于后，與大家共享。命題如圖，過點f (m,0) (m>0)作斜角為的直線交拋物線y ? =2px(p>0)于a(xl,yi),b(x2,y2,)兩點，過點a.b分別作直線l

2、:x=-m的垂線,m.n為垂足丄與x軸的交點為e,線段mn的屮點為d.連結ae'be.mf.nf.on.ob.貝ij92(1) xx2 =m',y y 2 =-2pm, x)+x 2 =(2pn - +m), y! +y 2 =2pn.(2) am 二x +m,bn - x2 +m.2 j+ 2 pm(3) |fa| =4- p - m) 4- 2pm - p2, fb = j(兀+ p _ m)，+ 2pm _ p?.sin&(5) smob =m(p2n2 + 2pm o(6) m、0、b三共線,n、0、a三點共線.(7) 過點a.、b的切線的交點q在直線l上.k+

3、k nf =2k qf . k mf k nf k ". k ar1 1 1(10)+=kkk0()bk()a 代 ab11 2mr)- tz=k ae k af p(12) zaef = zbef, zeam = zebn(13) 4s men = sweb '4 s wm s、fnb = sfn(14) 梯形面積 s amnb =2(p /72+2m) jp?n? +2pm (n=cos 0/ sin 0)證明:由已知設直線ab的方程為x二ny+m,代入y2=2pn并整理，得b2pny2pm=0,因此(1 ) y +y 2 =2pn, y, y2 = -2pm, 又(y,

4、y2)2 =4p2xx2tcaa%, + x2 = n(j + y2) + 2m,所以 x,x2 = mxx +x2 = 2pn +2m = 2(prr +m)(2)由 am 丄 mn, an 丄 mn，amx= x2 + m(3) 因 為af| = jo】一加尸=2px1?affbj(x? + p- m) + 2pm - p2.abju -兀2）2 +（x -力）2，兀1 一兀2 =72（風一力），|abv+ixy,-)2 =7+1j(x +兒)2 - 4y*2 =+ 4pf +8pm =+ 2pm /zn g 因為 sob = |0f|” - )?21/2 = mj4p?n? +8#加力=

5、mjp?n? +2pm.(6)因為匕訊=_片人,&用=2光，%=%故m、o、b三點共線，同理可證n. 0、a三點共線(7)設q(x(),y),則過點 a. b 的切線方程為y() = p(x0 +x),y0y2 = p(x0 +x2),兩式相除(xq+xj) /(x0+x2)， 即(兒一風)兀0 =兀2歹1 一兀*2.由 x=ny+m,得兩式相減得 x2y - xy2 = m yx - y2),(y2 - y, )x0 = m(y - y2),即x0 = %故點q在直線x=-m上，即點q在直線l上。因為(8)由(7)的證明可得出兒()1 +旳)=#(2兀0 +兀+吃)，即jo = pn

6、，因此q(-m,pn) 鄉(xiāng)爲'所以心+=一4+兒)%二一伽*fq = 所以"mf + *fn 2kfq(9)由的證明可得k“knf =卩%加2八因為d(-m,pn)，所以你q,。故 kmfknf kfdkab(10)因為=(兀1兒+兀2乳)又 由 x=ny+m 可得,所以乂 y： = 2px 所以為所以+加),由(10)的證明可知kae又圻=心所以x1js + 兀' =2斤少'>+/位('|+丿2)= _2"加/?, 乂=_2/?/位，所以 %+ % =n，/ noa / kobk+加)叫(12)ae + % =兀2 +兀2風+血(x

7、+力+ m)(x2 + m), °(11)因為 y 2 = (x1 4- m)/ kae(13)mn丄 am,mn 1 bn.kae + kbe = 0, 所以直線ae> be與x軸所成的銳角相等，故zaef = zbef.，由am x 軸知 z mae = z aef 。同理 znbe = zbef ，所以 zeam = zebn。冊小辭廠|am|bn|em一 (4+ 2 pmn2 )(-2 pm) /m2(2m + 2pn2)p，乂 s爲ef(y - y2-xjx2 + m(xl + 兀2) + 護2 ivi y?二 4加2() -旳)/ - f2(4p2n2 + 8pm)4m2 (2m + pn2)p由 am / x 軸 bnmfnaame = szmi s、ebn = s、fbn，smef = amfn 9 所sfbn = mfn14s amnb/2 =(2加 + 兀1 + 兀2)® 一兒)/ 二(2/腫 +4/7?)j(x +2)2 -a = (p料2 + 2m)yj4p2n2 +8/2/77 = 2(pn1 + 2m)yjp2n2 +2pm以，梯形而積sa宓b = 2(附 + 2m)(pf + 2pm