畢業(yè)論文--小波分析

1、1緒論1.1概述小波分析是近15年來發(fā)展起來的一種新的時頻分析方法。其典型應用包括齒輪變速 控制，起重機的非正常噪聲，自動口標所頂，物理屮的間斷現(xiàn)象等。而頻域分析的著眼點 在于區(qū)分突發(fā)信號和穩(wěn)定信號以及運量分析其能量，典型應用包括細胞膜的識別，金屬表 面的探傷，金融學中快變量的檢測，internet的流量控制等。從以上的信號分析的典型應用可以看出，時頻分析應用非常廣泛，涵蓋了物理學，工 程技術，生物科學，經(jīng)濟學等眾多領域，而且在很多情況下單單分析其時域或頻域的性質(zhì) 是不夠的，比如在電力監(jiān)測系統(tǒng)屮，即耍監(jiān)控穩(wěn)定信號的成分，乂耍準確定位故障信號。 這就需要引入新的時頻分析方法，小波分析正是由于這類

2、需求發(fā)展起來的。在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號完全是在頻域展開的，不包含任何時頻的信息，這對于 某些應用來說是很恰當?shù)?，因為信號的頻率的信息對其是非常重要的。但其丟棄的時域信 息可能對某些應用同樣非常重要，所以人們對傅立葉分析進行了推廣，提出了很多能表征 時域和頻域信息的信號分析方法，如短時傅立葉變換，gabor變換，時頻分析，小波變換 等。其中短時傅立葉變換是在傅立葉分析基礎上引入時域信息的最初嘗試，具基本假肚在 于在一定的時間窗內(nèi)信號是平穩(wěn)的，那么通過分割時間窗，在每個時間窗內(nèi)把信號展開到 頻域就可以獲得局部的頻域信息，但是它的時域區(qū)分度只能依賴于人小不變的時間窗，對 某些瞬態(tài)信號來說還是粒度

3、太大。換言之，短時傅立葉分析只能在一個分辨率上進行。所 以對很多應用來說不夠精確，存在很大的缺陷。而小波分析則克服了短時傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特 點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體 形態(tài)動態(tài)調(diào)整，在一般情況卜，在低頻部分(信號較平穩(wěn))可以采用較低的時間分辨率， 而提高頻率的分辨率，在高頻悄況卜(頻率變化不人)町以用較低的頻率分辨率來換取精 確的時間定位。因為這些特定，小波分析可以探測正常信號屮的瞬態(tài)，并展示其頻率成分, 被稱為數(shù)學顯微鏡，廣泛應用于各個時頻分析領域。全文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它

4、們的主要性質(zhì)包 括緊支集長度、濾波器長度、對稱性、消失矩等，都做了簡要的說明。在不同的應用場合, 各個小波函數(shù)各有利弊。小波分析在圖像處理中有非常重要的應用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖 像分解，圖像増強等。文中給出了詳細的程序范例，用matlab實現(xiàn)了基于小波變換的圖 像處理。1.2傅立葉變換與小波變換的比較小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它自產(chǎn)生以來，就一直與傅立葉分析 密切相關。它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相 輔相成的。兩者相比較主要有以下不同：(1) 傅立葉變換的實質(zhì)是把能量有限信號f(t)分解到以2加為正交基的空間上去; 小波變

5、換的實質(zhì)是把能量有限信號于分解到(j=l, 2,，j)和匕所構(gòu)成的空間 上去。（2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有sin（莎f）,cos（莎f）,exp（同），具有唯一，性；小波分析 用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有不唯一性，同一個工程問題用不同的小波函數(shù)進行分析 有時結(jié)果相差甚遠。小波函數(shù)的選用是小波分析應用到實際屮的一個難點問題（也是小波 分析研究的一個熱點問題），1=1前往往是通過經(jīng)驗或不斷的試驗（對結(jié)果進行對照分析） 來選擇小波函數(shù)。（3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較 簡單的確定性信號，傅立葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式。例如， si

6、np） + 0.345sin（砂） + 4.23cos何f）,但在時域屮，傅立葉變換沒有局部化能力，叩無法 從信號“）的傅立葉變換/佝屮看出/在任一時間點附近的性態(tài)。事實上，/（方）d莎是 關于頻率為厲的諧波分量的振幅，在傅立葉展開式中，它是由/的整體性態(tài)所決定的。（4）在小波分析屮，尺度a的值越大相當于傅立葉變換屮厲的值越小。（5）在短時傅立葉變換中，變換系數(shù)s（/t）主要依賴于信號在k-5,廠+ 5片段中的 情況，時間寬度是25 （因為5是由窗函數(shù)g（/）唯一確定，所以25是一個定值）。在小波變 換中，變換系數(shù)wfayb）主要依賴于信號在z?-泌+ d肖片段中的情況，時間寬度是 2a肖，該

7、時間寬度是隨著尺度a變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析能力。（6）若用信號通過濾波器來結(jié)實，小波變換與短時傅立葉變換不同之處在于：對短 時傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬紂與屮心頻率/無關；相反，小波變換帶通濾波器 的帶寬紂則正比于中心頻率/,即q = = c c為常數(shù)f亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等q結(jié)構(gòu)（q為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且有 中心頻率2 =1.3小波分析與多辨分析的歷史小波理論包括連續(xù)小波和二進小波變換，在映射到計算域的時候存在很多問題，因 為兩者都存在信息兀余，在對信號采樣以后，需要計算的信息量還是相當?shù)拇螅染呤沁B 續(xù)小波變換，因為要對精度內(nèi)所有的尺度和位移都做

8、計算，所以計算量相當?shù)拇?。而二進 小波變換雖然在離散的尺度上進行伸縮和平移，但是小波之間沒有正交性，各個分量的信 息攙雜在一起，為我們的分析帶來了不便。真正使小波在應用領域得到比較大發(fā)展的是meyer在1986年提出的一組小波，其二 進制伸縮和平移構(gòu)成z?（r）的標準化正交基。在此結(jié)果基礎上，1988年s.mallat在構(gòu)造正 交小波時提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了止交小波的數(shù)學解釋，在宇 間的概念上形彖的說明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法，并將 z前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，并類似傅立葉分析屮的快速傅立葉算法，給出了 小波變換的快速算法一一malb

9、t算法。這樣，在計算上變得可行以后，小波變換在各個領 域才發(fā)揮它獨特的優(yōu)勢，解決了各類問題，為人們提供了更多的關于時域分析的信息。形象一點說，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個統(tǒng)一的 形式，而所有空間的閉包則逼近l2（/?）o在每個空間中，所有的朗數(shù)都構(gòu)成該空間的標準 化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成/?（/?）的標準化正交基，那么，如果對 信號在這類空間上進行分解，就可以得到相互正交的時頻特性。而且由于空間數(shù)冃是無限 可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關心的信號的某些特性。下面我們簡要介紹一下多分辨分析的數(shù)學理論。定義：空間/?(/?)中的多分辨分析是指厶2(r

10、)滿足如下性質(zhì)的一個空間序列(1) 調(diào)一致性：vf cz vj+,對任意y gz(2) 漸進完全性：i v =o, closeu v. = l2(/?)jvez 丿丿(3) 伸縮完全性：/ ev.»/(2r)vy+1(4) 平移不變性：vjlez,0(2-勺)丘匕二0,2-勺_廠丘匕.(5) riesz基存在性:存在0(衣,使得b(2"i)仕z構(gòu)成匕的risez基。 關于riesz的具體說明如下：若0是的risez基，則存在常數(shù)a, b,且，使得：對所有雙無限可平方和序列",即llkt=zkl2<-kez成立。滿足上述個條件的函數(shù)空間集合成為一個多分辨分析，

11、如果0生成一個多分辨分析, 那么稱0為一個尺度函數(shù)?？梢杂脭?shù)學方法證明，若0(f)是的riesz®,那么存在一種方法可以把0轉(zhuǎn)化為嶺 的標準化正交基。這樣，我們只耍能找到構(gòu)成多分辨分析的尺度函數(shù)，就可以構(gòu)造出一組 正交小波。多分辨分析構(gòu)造了一組函數(shù)空間，這組空間是相互嵌套的，即lczv.czv.oczv.czv.l那么和鄰的兩個函數(shù)空間的丼就定義了一個由小波函數(shù)構(gòu)成的空間，即嶺% %并且在數(shù)學上可以證明匕叫且匕巧，心八 為了說明這些性質(zhì)，我們首先來介紹一 下雙尺度差分方程，由于對vj,v. <= v/+1,所以對v(x)gv.,都有(x)gv.+1,也就是說可 以展開成匕利上的

12、標準化正交基，由于0w%，那么0(/)就可以展開成0=工久0“nez這就是著名的雙尺度斧分方程，雙尺度差分方程奠定了正交小波變換的理論基礎，從數(shù)學 上可證明，對于任何尺度的0n),它在j+1尺度正交基 如)上的展開系數(shù)幾是一定的, 這就為我們提供了一個很好的構(gòu)造多分辨分析的方法。在頻域中，雙尺度差分方程的表現(xiàn)形式為：0(2e) = h(q)0(q) 如果0(在斫0連續(xù)的話，則有2 丿說明0)的性質(zhì)完全由0(0)決定。2小波分析的基本理論2.1從傅立葉變換到小波變換小波分析屬于時頻分析的一種，傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅立葉變換的基礎上的，由 于傅立葉分析使用的是一種全局的變換，要么完全在時域，要么

13、完全在時域，要么完全在 頻域，因此無法表述信號的時頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關鍵 的性質(zhì)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對傅立葉分析進行了推廣乃至根木性的革命， 提出并發(fā)展了一系列新的信號分析理論：短時傅立葉變換、gabor變換、時頻分析、小波 變換、分數(shù)階傅立葉變換、線調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計量理論和調(diào)幅-調(diào)頻信號分析等。 其屮，短時傅立葉變換和小波變換也是應傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號處理的要求而 產(chǎn)生的。短時傅立葉變換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù)g (t)的一個 短時間間隔內(nèi)是平穩(wěn)(偽平穩(wěn))的，并移動分析窗函數(shù)，使/(r)g(r-t)在不同的有限時間

14、 寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。但從木質(zhì)上講，短吋傅立葉變換 是一種單一分辨率的信號分析方法，因為它使用一個固定的短時窗函數(shù)。因而短時傅立葉 變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號的時間一尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特點，而月在時 頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不邊但其形狀可改變，時間 窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率，在 高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬 態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽為分析信號的顯微鏡，利用連續(xù)小波變換進行動態(tài)系

15、統(tǒng)故障檢測與診斷具有良好的效果。2.1.1傅里葉變換在信號處理屮重耍方法z是傅立葉變換(fomiertrmsrom),它架起了時間域和頻率 域z間的橋梁。對很多信號來說，傅立葉分析非常有用。因為它能給出信號令包含的各種頻率成分。 但是、傅立葉變換有著嚴重的缺點：變換之后使信號失去了時間信息，它不能告訴人們在 某段時間里發(fā)生了什么變化。而很多信號都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài)(或者瞬變)持性， 如漂移、趨勢項、突然變化以及信號的升始或結(jié)束。這些特性是信號的最重要部分。因此 傅里葉變換不適于分析處理這類信號。雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和 頻域觀察，但卻不能

16、把二者有機地結(jié)合起來。這是因為信號的時域波形屮不包含任何頻域 信息。而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達式小也可以看出，它是整個時間域內(nèi)的 積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立葉譜屮的 某一頻率，不知道這個頻率是在什么時候產(chǎn)生的。這樣在信號分析屮就面臨一對最基本的 矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻 域特征都很重要。如柴油機缸蓋表面的震動信號就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號, 僅從時域或頻域上來分析是不夠的。這就促使去尋找一種新方法，能夠?qū)r域和頻域結(jié)合 起來描述觀察信號的時頻聯(lián)合特征

17、，構(gòu)成信號的時頻譜。這就是所謂的時頻分析法，也稱 為時頻局部化方法。2.1.2短時傅里葉變換由于標準傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時域里不存在這種能力， dennis gabor于1946年引入了短時傅立葉變換。短時傅立葉變換的基本思想是：把信號 劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在 的頻率。其表達式為_s(e,c=j(0ldt (2. 1)其中*表示復共軌，g(t)是有緊殳集的函數(shù)，f(t)是進入分析的信號。在這個變換中， £加起著頻限的作用，g(t)起著時限的作用。隨著時間萬的變化，g(t)所確定的“時間窗” 在t軸上移動，是

18、f (t) “逐漸”進行分析。因此，g(t)往往被稱之為窗口函數(shù)，sac 大致反映了 f (t)在時刻。時、頻率為血的“信號成分”的相對含量。這樣信號在窗函數(shù) 上的展開就可以表示為在t-8.t + 8、-£"+£這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱 為窗口，/和£分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分 辨率就越高。很顯然，希望5和£都非常小，以便有更好的時頻分析效果，但還森堡測不 準原理指出5和£是互相制約的，兩者不可能同時都任意小(事實上，月僅當=為高斯函數(shù)時，等號成立)071由此可見，短時傅立葉變換雖然在一定

19、程度上克服了標準傅立葉不具有局部分析能力 的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當窗函數(shù)g(t)確定后，矩形窗口的形狀就 確定了，r,血只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f短時傅 立葉變換實質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。 因此，短時傅立葉變換用來分析平穩(wěn)信號猶可，但對非平穩(wěn)信號，在信號波形變化劇烈的 時刻，主頻是高頻，要求有較高的時間分辨率(即要小)，而波形變化比較平緩的時刻， 主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率(即£要小)。而短時傅立葉變換不能兼顧兩者。2.1.3小波變換小波變換提出了變化的時間窗，當需要精確的

20、低頻信息時，采用長的時間窗，當需要 精確的高頻信息時，采用短的時間窗。由圖1. 3看出，小波變換用的不是時間-頻率域，而是時間-尺度域。尺度越大，采 用越大的時間窗，尺度越小，釆用越短的時間窗，即尺度與頻率成反比。2. 2連續(xù)小波變換2. 2.1 一維連續(xù)小波變換定義：設屮zzr),其傅立葉變換為/(莎)，當/)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件 或恒等分辨條件)dco < oo (2. 2)時，我們稱肖為一個基木小波或母小波。將母函數(shù)肖經(jīng)伸縮和平移后得稱其為一個小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對于任意的函數(shù)/(0gl2(/?)的 連續(xù)小波變換為其重構(gòu)公式(逆變換)為/(0 =由于基小

21、波0生成的小波在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，所以0還應該滿足一般函數(shù)的約束條件j 00 (2.6)故"(e)是一個連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件式，”(勁在原點必須等于0, 即(0)= £ y/(t)dt = 0 (2.7)為了使信號重構(gòu)的實現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，處理完全重構(gòu)條件外，還要求小波肖的傅立 葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件：0(2%)<b (2.8)式中 0 <a<b00 從穩(wěn)定性條件可以引擊一個重要的概念。定義(對偶小波) 若小波肖滿足穩(wěn)定性條件(2.8)式，則定義一個對偶小波/, 其傅立葉變換譏初由下式給出：注意，穩(wěn)定性條件

22、(2.8)式實際上是對(2.9)式分母的約朿條件，它的作用是保證對偶 小波的傅立葉變換存在的穩(wěn)定性。值得指出的是，一個小波的對偶小波一般不是唯一的， 然而，在實際應用中，我們乂總是希望它們是唯一對應的。因此，尋找具有唯一對偶小波 的合適小波也就成為小波分析中最基本的問題。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：(1) 線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換z和(2) 平移不變性：若f(t)的小波變換為wf(a9b)，則的小波變換為wf(a,b-r)(3) 仲縮共變性：若f (t)的小波變換為w/(a,b),則f (ct)的小波變換為(4) 自相似性：對應不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連

23、續(xù)小波變換z間是自相 似的。(5) 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的兀余度。小波變換的冗余性事實上也是白相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：(1) 由連續(xù)小波變換恢復原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號f (t)的 小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應關系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應的。(2) 小波變換的核函數(shù)即小波苗數(shù)幾)存在許多可能的選擇(例如，它們可以是非 正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相并勺)o小波變換在不同的(a, b) z間的相關性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因 此，小波變換的冗余度應盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。2.

24、2.2高維連續(xù)小波變換對 /(r)gz?(/?rt)(n>l),公式")=丄4旳(")0(凹)dodb (2. 10)c屮fa存在兒種擴展的可能性，一種可能性是選擇小波使其為球?qū)ΨQ，其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ，/(莎) = 77(阿)(2. 11)并且其相容性條件變?yōu)閏f/ =(2)2£|z7(r)|2y<oo (2. 12)對所有的幾gwz?(g“)。da“、vfb)wa,b)db = cv/<f(2. 13)cl這里，wf(a,b)=嚴,y/訕=ct心譏)，其中awr+go且bwr”,公式(2.6) a也可以寫為f = cwf(ahdb (2.

25、14)如果選擇的小波0不是球?qū)ΨQ的，但可以用旋轉(zhuǎn)進行同樣的擴展與平移。例如，在二維吋, 可定義t _b肖“必=)(2. 15)a、e0(cos 0 sin 宀 .區(qū)里，a>0,ber re= 八門，相容條件變?yōu)?sin& cos& 丿c% =(2療)2 £ jt|(rcos,rsin 0d0 < oo (2. 16)該等式對應的垂構(gòu)公式為a r2wgwi/al>()de(2. 17)對于高于二維的情況，可以給出類似的結(jié)論。2. 3離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要 討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化

26、。需要強調(diào)指岀的是，這一離散化 都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間變量t的。這一點與我 們以前習慣的時間離散化不同。在連續(xù)小波屮，考慮函數(shù)：這里gr ,且心0,鴨是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣和容性條件就變?yōu)?#169; 8）*）阿通常，把連續(xù)小波變換屮尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散公式分別取作 a = ab = ka ,這里j wz ,擴展步長a。h1是固定值，為方便起見，總是假定a0 >1 （由 于m可取正也可取負，所以這個假定無關緊要）。所以對應的離散小波函數(shù)修從即可寫作0從二）=時2譏kb" （2. 19）而離散化小波變換

27、系數(shù)則可表示為5 =（ml山 x f ,屮j* >（2. 20）其重構(gòu)公式為"（2.21）00 coc是一個與信號無關的常數(shù)。然而，怎樣選擇兔）和，才能夠保證重構(gòu)信號的精度呢？ 顯然，網(wǎng)格點應盡可能密（即q和盡可能?。驗槿绻W(wǎng)格點越稀疏，使用的小波函 數(shù)匕/）和離散小波系數(shù)c從就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。實際計算中不可能對全部尺度因子值和位移參數(shù)值計算cwta, b值，加之實際的觀測 信號都是離散的，所以信號處理中都是用離散小波變換（dwt） o大多數(shù)情況下是將尺度因 子和位移參數(shù)按2的幕次進行離散。最有效的計算方法是s. mallat于1988年發(fā)展的快 小波算法

28、（又稱塔式算法）。對任一信號，離散小波變換第一步運算是將信號分為低頻部分 （稱為近似部分）和離散部分（稱為細節(jié)部分）。近似部分代表了信號的主要特征。第二步 對低頻部分再進行相似運算。不過這時尺度因了已經(jīng)改變。依次進行到所需要的尺度。除 了連續(xù)小波（cwt）、離散小波（dwt）,還有小波包（wavelet packet）和多維小波。2.4小波包分析短時傅立葉變換對信號的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對信號進行有效 的時頻分解，但曲于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在 低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進行指數(shù)等間隔劃分（具有等q結(jié)構(gòu)）。小 波包分析能夠為信

29、號提供一種更精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分辨率 分析沒有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應地選擇相應 頻帶，使之與信號頻譜相i兀配，從而提高了時-頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應用 價值。關于小波包分析的理解，我們這里以一個三層的分解進行說明，其小波包分解樹如圖圖1小波包分解樹圖1中，a表示低頻，d表示高頻，末尾的序號數(shù)表示小波分解的層樹(也即尺度數(shù))。 分解具有關系：s二aaa3+daa3+ada3+dda3+aad3+dad3+add3+ddd3。2.4.1小波包的定義在多分辨分析中，/?(& =w.,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j

30、把hilbert 心空間l2(/?)分解為所有子空間wj e z)的正交和的。其中，巴為小波函數(shù)屮的閉包(小 波子宇間)?，F(xiàn)在，我們希望兒擬議部對小波子空間為按照二進制分式進行頻率的細分， 以達到提高頻率分辨率的0的。一種自然的做法是將尺度空間v.和小波子空間旳用一個新的子空間(/；統(tǒng)一起來表征， 若令. 7t/j =wi j j則h訂bert空間的正交分解vy+1 =即可用的分解統(tǒng)一為： jez(2.22)定義子空間是函數(shù)是函數(shù)匕的閉包空間，而匕是函數(shù)u2n(t)的閉包空間，并令 匕(/)滿足下面的雙尺度方程：%=近工h(k)un一幻<kez(2.23)畑+1 (0 ="工g

31、伙)知一幻.jtez式屮，g伙)=(_1)口(1_幻，即兩系數(shù)也具有正交關系。當n二0時，以上兩式直接給出如一約<氫(2.24)絢=工久知一燈、kwz與在多分辨分析屮，0(/)和屮滿足雙尺度方程：klz訪 hhz w廠(2. 25)0(0 =工九0一約展z0(。=工紈。一 q展z相比較，從)和坷分別退化為尺度函數(shù)0和小波基函數(shù)0(/)。式(2.24)是式(2.22) 的等價表示。把這種等價表示推廣到/iez+ (非負整數(shù))的情況，即得到(2.23)的等價 表示為u'=u:u嚴jez ； hgz_ (2.26)定義(小波包) 由式(2.23)構(gòu)造的序列仏(其中nez+)稱為由基函數(shù)

32、"。= 0(/) 確定的正交小波包。當n二0時，即為(2.24)式的情況。由于從)由仏唯一確定,所以又稱知(心 為關于序列仇的正交小波包。2.4.2小波包的性質(zhì)定理1設非負整數(shù)n的二進制表示為n = x2，_， i=la則小波包un(iv)的傅立葉變換由下式給；iha _8知(問=口徑3/2八)(2. 27)/=1式中14>00v 2 r=-o0 1 8 創(chuàng)(w) = g(w)=工 g(k)嚴q 2 k =-oo定理2設仏鳥是正交尺度函數(shù)0的正交小波包，貝<un(t-k),un(t-l)>=3kl,即 wn(0lz構(gòu)成l2(7?)的規(guī)范正交基。2.4.3小波包的空間

33、分解令仏l：是關于九的小波包族，考慮用下列方式生成子空間族?，F(xiàn)在令n二1，2,; j=l, 2,，并對(2. 22)式作迭代分解，則有um ulwul _2因此，我們很容易得到小波子空間比的各種分解如下：w產(chǎn)幾t/二企u；_2©2忙昭“十“穿“買w. =uj比空間分解的子空間序列可寫作, m=0, 1,，2z-1； 1=1, 2,。子空間序列 的標準正交基為2"叫仏”（2* -£）: k g z。容卿 ,當1=0和m=0時，子空間序列比丁 簡化為“:二巴，相應的止交基簡化為22旳（2十_幻=2一2以25-切，它恰好是標準止交 小波族初從。若n是一個倍頻程細劃的參數(shù)

34、，即令n= 2y +m ,則我們有小波包的簡略記號 0心（0 = 2一"昵（25-幻，其中，幾=2篦s（2"）。我們把0如稱為既有尺度指標 j、位置指標k和頻率指標n的小波包。將它與侖面的小波肖從作一比較知，小波只有 離散尺度j和離散平移k兩個參數(shù)，而小波包除了這兩個離散參數(shù)外，還增加了一個頻率 參數(shù)n=2'+m。正是這個頻率新參數(shù)的作用，使得小波包克服了小波時間分辨率高時頻率分 辨率低的缺陷，于是，參數(shù)n表示幾（0 = 22*”（2®函數(shù)的零交叉數(shù)冃，也就是其波形 的震蕩次數(shù)。"定義（小波庫）由幾生成的函數(shù)族肖（其中nez+； j, kez ）

35、稱為由尺度函數(shù)肖構(gòu)造的小波庫。推論1.1對于每個j二0, 1, 2,i?（r）=wj二w-&（2. 28）這時，族；“）丨 j 二，t，°； n=2, 3,且 kwz （2. 29）是z?（r）的一個正交基。隨著尺度j的增大，相應正交小波基函數(shù)的空間分辨率越高，而其頻率分辨率越低， 這正是正交小波基的一大缺陷。而小波包卻具有將隨j增大而變寬的頻譜窗口進一步分割 變細的優(yōu)良性質(zhì)，從而克服了正交小波變換的不足。小波包可以對叫進一步分解，從而捉高頻率分辨率，是一種比多分辨分析更加精細的 分解方法，具有更好的時頻特性。2.4.4小波包算法下面給出小波包的分解算法和更構(gòu)算法。設g；wu

36、；,則g；可表示為礎二工殲（2仃一0（2. 30）i小波包分解算法 由d嚴求d嚴” 與d嚴網(wǎng)=工色-2/存心(2.31)kd卩.2“二為如2/£丿+."k小波包重構(gòu)算法 由d嚴“與0嚴+】求嚴3幾種常用的小波1) haar小波a. haar于1990年提出一種正交函數(shù)系，定義如下：10<%<1/2一11/2 < x < 10其它這是一種最簡單的正交小波，即鴨譏兀-)d兀=0 n = ±1,±2,2) daubechies (dbn)小波系該小波是daubechies從兩尺度方程系數(shù)仏出發(fā)設計出來的離散正交小波。一般簡寫 為dbn,

37、 n是小波的階數(shù)。小波肖和尺度函數(shù)吁屮的支撐區(qū)為2n-u爐的消失矩為n。除n =1外(haar小波)，dbn不具對稱性(即非線性相位);dbn沒有顯式表達式(除n=1夕卜)。n-1但仇的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達式。假設=其中，cl孫為二k=0項式的系數(shù)，則有km2=(eos2p(sin2)12n-1其中叫(勁=工/恥72 k=o3) biorthogonal (biornr. nd)小波系biorthogonal函數(shù)系的主耍特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應用在信號與圖像的 重構(gòu)中。通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函數(shù)進行重構(gòu)。 biorthogonal函數(shù)系通常表示為bi

38、ornr. nd的形式：nr二1nd二1, 3, 5nr=2nd二2, 4,6, 8nr=3nd=l, 3,5, 7, 9nr=4nd=4nr=5nd 二 5nr=6nd=8其屮，r表示重構(gòu),d表示分解。4) coiflet (coifn)小波系coiflet函數(shù)也是由daubechies構(gòu)造的一個小波函數(shù)，它具有coifn (n=l, 2, 3, 4,5) 這一系列，coiflet具有比dbn更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifn具有和db3n 及sym3n相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifn具有和db2n及sym2n相同的消失 矩數(shù)冃。5) symletsa (symn)小

39、波系symlets函數(shù)系是由daubechies提出的近似對稱的小波函數(shù)，它是對db函數(shù)的一種 改進。symlets函數(shù)系通常表示為symn (n二2, 3,，8)的形式。6) mor let (morl)小波morlet函數(shù)定義為t(x) = ce-v2/2cos5x,它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。7) mexican hat (mexh)小波mexican hat 函數(shù)為t(x) =它是gauss函數(shù)的二階導數(shù)，因為它像墨西哥帽的截面，所以有時稱這個函數(shù)為墨西 哥帽函數(shù)。墨西哥帽函數(shù)在時間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足= 0由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。8) mey

40、er 函數(shù)meyer小波函數(shù)屮和尺度函數(shù)©都是在頻率域屮進行定義的，是具有緊支撐的正交小 波。co4兀 co <2兀丿_ , 4兀<co< 333嚴嚴2站(蘭u(丄莎-1)2171中(q)= w,2ej(o12 cos(-( co -1)22兀0其屮，u(q)為構(gòu)造meyer小波的輔助函數(shù)，且有3"鉅心 3"cos(彳 u(£ 阿1)04小波變換在圖像處理中的應用4.1小波分析用于圖像壓縮4.1.1基于小波變換的圖像局部壓縮基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基木思想是在頻域?qū)π盘栠M行分解，驅(qū)除信號 點之間的相關性，并找出重要系數(shù)，濾掉次

41、要系數(shù)，以達到壓縮的效果，但該方法在處理 過程屮并不能提供時域的信息，在我們比較關心時域特性的時候顯得無能為力。但是這種應用的需求是很廣泛的，比如遙感測控圖像，要求在整幅圖像有很高壓縮比 的同時，對熱點部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對某個局部的細節(jié)部 分有很高的分辨率，單純的頻域分析的方法顯然不能達到這個要求，雖然可以通過對圖像 進行分快分解，然后對每塊作用不同的閾值或掩碼來達到這個要求，但分塊大小相對固定, 有失靈活。在這個方面，小波分析的就優(yōu)越的多，由于小波分析固有的時頻特性，我們可以在時 頻兩個方向?qū)ο禂?shù)進行處理，這樣就可以對我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。下面我們利

42、用小波變化的時頻局部化特性，舉一個局部壓縮的例子，大家可以通過這 個例子看出小波變換在應用這類問題上的優(yōu)越性。load wbarb%使用syn)4小波對信號進行一層小波分解cal, chi, cvl, cdl二dwt2(x,' sym4');codcal=wcodemat( cal, 192);codch1=wcodemat(chi, 192);codcvl=vcodemat (cvl, 192);codcdl=vcodemat (cdl, 192);%將四個系數(shù)圖像組合為一個圖像codx=codcal, codchl, codcvl, codcdl%復制原圖像的小波系數(shù)rca

43、l=cal;rchl=chl;rcvl=cvl;rcdl=cdl;%將三個細節(jié)系數(shù)的中部置零rchl (33:97,33:97)二zeros(65, 65);rcvl (33:97, 33:97)=zeros (65, 65);rcdl (33:97, 33:97)=zeros (65, 65);codrcal=wcodemat(real, 192);codrchl=wcodemat(rchl, 192); codrcvl=wcodemat(rcvl, 192);codrcdl=wcodemat(red 1, 192);%將處理后的系數(shù)圖像組合為一個圖像codrx=codrcal, codrc

44、hl, codrcvl,codrcdl%重建處理后的系數(shù)rx=idwt2 (real, rchl, rcvl, rcdl, ' sym4,);subplot (221) ; image (wcodemat (x, 192), col ormap (map) ; title('原始圖像); subplot (222) ; image (codx), colormap (map) ; title(' 一層分解后各層系數(shù)圖像'); subplot (223) : image (wcodemat (rx, 192), colormap (map) ; title (&#

45、39;壓縮圖像'); subplot (224) ; image (codrx), colormap (map) ; title ('處理后各層系數(shù)圖像');%求壓縮信號的能量成分per二norm(rx)/norm(x)per =1.0000%求壓縮信號與原信號的標準差crr=norm(rx-x)err =586.4979運行結(jié)果如圖圖2利用小波變換的局部壓縮圖像從圖1可以看出，小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細節(jié)信息，并且給我們提 供了一種位移和關的信息表述方式，我們可以通過對局部細節(jié)系數(shù)處理來達到局部壓縮的 效果。在本例中，我們把圖像小部的細節(jié)系數(shù)都置零，從壓縮

46、圖像屮可以很明顯地看出只有 中間部分變得模糊（比如在原圖屮很清晰的圍巾的條紋不能分辨），而其他部分的細節(jié)信 息仍然可以分辨的很清楚。最后需要說明的是本例只是為了演示小波分析應用在圖像局部壓縮的方法，在實際的 應用中，可能不會只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會是將局部細節(jié)系數(shù)全部 清除，更-般的情況是在n層變換中通過選擇零系數(shù)比例或能量保留成分作用不同的閾值, 實現(xiàn)分片的局部壓縮。而且，作用的閾值可以是方向相關的，即在三個不同方向的細節(jié)系 數(shù)上作用不同的閾值。4.1.2小波變換用于圖像壓縮的一般方法二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高， 壓縮速度快，壓

47、縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞過程中可以抗干擾。小波分析 用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點。4.1.2.1利用二維小波分析進行圖像壓縮基于小波分析的圖像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹壓縮、小波 變換矢量量化圧縮等。下面給出一個圖像信號(即一個二維信號，文件名為wbarb.mat),利用二維小波分析 對圖像進行壓縮。一個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨 率的子圖像對應的頻率是不相同的。高分辨率(即高頻)子圖像上大部分點的數(shù)值都接近 于0,越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對一個圖像來說，表現(xiàn)一個圖像最主要的部分是低頻部 分，所以一個最簡單的壓縮方法是利用小波分解

48、，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。 圖像圧縮可按如下程序進行處理。%裝入圖像1oad wbarb;%顯示圖像subplot(221);image (x);colormap(map)litlec原始圖像')；axis squaredispc壓縮前圖像x的大小:whos(' x')%對圖像用bior3. 7小波進行2層小波分解c, s =wavedec2 (x, 2,' bior3. t );%提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層低頻系數(shù)和高頻系數(shù)cal=appcoef2 (c, s,，bior3. 7', 1);chi二detcoef2 (' h'

49、, c, s, 1);cvl二detcoef2 (' v', c, s, 1);cdl=detcoef2('d', c, s, 1);%分別對各頻率成分進行重構(gòu)al=wrcoef2(，a', c, s,' bior3. 7', 1);hl二wrcoef2(' h' , c, s,' bior3 7', 1);vl=wrcoef2(，v' , c, s,' bior3. 7', 1);dl=wrcoef2(, d', c, s,' bior3. 7', 1);c

50、l=al, hl;vl, dl;%顯示分解后各頻率成分的信息subplot(222);image(cl);axis squaretitlec分解后低頻和高頻信息');%下面進行圖像壓縮處理%保留小波分解第一層低頻信息，進行圖像的壓縮%第一層的低頻信息即為cal,顯示第一層的低頻信息%首先對第一層信息進行量化編碼cal=appcoef2 (c, s,' bior3 7', 1);cal=wcodcmat (cal, 440, ' mat' , 0);%改變圖像的高度cal二0.5*cal;subplot(223);image(cal) ;colormap(

51、map);axis squaretitlcc第一次壓縮')；dispc第一次壓縮圖像的大小為:')；whosc cat )%保留小波分解第二層低頻信息，進行圖像的壓縮，此時壓縮比更人%第二層的低頻信息即為ca2,顯示第二層的低頻信息ca2=appcoef2 (c, s,' bior3. 7', 2);%首先對第二層信息進行量化編碼ca2=wcodemat (ca2, 440, 'mat' , 0);%改變圖像的高度ca2=0. 25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis squaretitl

52、e(，第二次壓縮');dispc第二次壓縮圖像的大小為:')；whos (' ca2)輸出結(jié)果如卞所示： 壓縮前圖像x的人?。簄amesizebytes classx256x256524288 double arraygrand total is 65536 el ernents using 524288 bytes 第一次壓縮圖像的人小為：namesizebytes classcal135x135145800 double arraygrand total is 18225 elements using 145800 bytes 第二次壓縮圖像的人小為：namesiz

53、ebytes classca275x7545000 double arraygrand total is 5625 elements using 45000 bytes圖像對比如圖所示。可以看出，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解第一層的低 頻信息，此時壓縮效果較好，壓縮比較小(約為1/3)：第二次壓縮是提取第一層分解低頻 部分的低頻部分(即小波分解第二層的低頻部分)，其壓縮比較人(約為1/12),壓縮效果 在視覺上也基本過的去。這是一種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng) 過其他處理即可獲得較好的壓縮效果。在上面的例子中，我們還可以只提取小波分解第3、 4、層的低頻信息。從理論

54、上說，我們可以獲得任意壓縮比的壓縮圖像。第一次壓縮圖像第二次壓縮圖像圖3利用二維小波分析進行圖像壓縮卜面給出一個圖像信號(即一個二維信號，文件名為wbarb.mat),利用二維小波分析對圖像進行壓縮。一個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨 率的子圖像對應的頻率是不同的。高分辨率(即高頻)子圖像上大部分點的數(shù)值都接近于 0,越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對一個圖像來說，表現(xiàn)一個圖像最主要的部分是低頻部分, 所以一個最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。圖 像壓縮可按如下程序進行處理。%調(diào)入圖像x=imreadlena. bmp'); %歸一

55、化圖像x二double(si g)/255; %顯示圖像image(x); colormap(map) %對圖像用bior3. 7小波進行2層小波分解c, s=wavedec (x, 2,' bi or 3 7'); %設置小波系數(shù)閾制值%thr=20;%提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層的低頻系數(shù)和高頻系數(shù) cal=appcoef2 (c, s,' bior3. 7', 1);chl=detcoef2 (' h', c, s, 1);cvl=detcoef2 (' v', c, s, 1);cdl=detcoef2 (' d，,

56、c, s, 1);%分別對各頻率成分進行重構(gòu) al=wrcoef2(，a', c, s,' bior3 7', 1);hl二wrcoef2(' h', c, s,' bior3 7', 1); vl=wrcoef2(，v', c, s,' bior3 7', 1);dl=wrcoef2(，d，, c, s,' bior3 7', 1);cl二al, hl, vl, dl;進行圖像壓縮處理%保留小波分解第一層低頻信息，進行圖像的壓縮%第一層的低頻信息即為cal,顯示第一層的低頻信息%首先對第一層信息進

57、行量化編碼 cal=appcoef2 (c, s,' bior3. 7', 1);cal=wcodemat (cal, 440,' mat', 0);%改變圖像的高度cal=0. 5*cal%顯示第一次壓縮圖像image(cal)colormap(map);%保留小波分解第二層低頻信息，進行圖像的壓縮，此時壓縮比更大%第二層的低頻信息即為ca2,顯示第二層的低頻信息 ca2=appcoef2 (c, s,' bior3. 7', 2);%首先對第二層信息進行量化編碼 ca2=wcodemat (ca2, 440, 'mat', 0);%改變圖像的高度ca2=0. 25*ca2%顯示第二次壓縮圖像image(ca2);colormap(map);下面再給iliju wdenemp函數(shù)對一個圖像(文件名tire, mat)進行壓縮的程序。%裝入一個二維信號load tire;%顯示圖像subplot( 221);image(x);colormap(map)titlec原始圖像')；axis square%下面進行圖像壓縮%對圖像用db3小波進行2層小波分解c, s=wavedec2 (x, 2,' db3');%使jhwavedec2函數(shù)來實現(xiàn)圖像的壓縮thr, sor