畢業(yè)論文--小波分析

1、1緒論1.1概述小波分析是近15年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新的時(shí)頻分析方法。其典型應(yīng)用包括齒輪變速 控制，起重機(jī)的非正常噪聲，自動(dòng)口標(biāo)所頂，物理屮的間斷現(xiàn)象等。而頻域分析的著眼點(diǎn) 在于區(qū)分突發(fā)信號(hào)和穩(wěn)定信號(hào)以及運(yùn)量分析其能量，典型應(yīng)用包括細(xì)胞膜的識(shí)別，金屬表 面的探傷，金融學(xué)中快變量的檢測(cè)，internet的流量控制等。從以上的信號(hào)分析的典型應(yīng)用可以看出，時(shí)頻分析應(yīng)用非常廣泛，涵蓋了物理學(xué)，工 程技術(shù)，生物科學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域，而且在很多情況下單單分析其時(shí)域或頻域的性質(zhì) 是不夠的，比如在電力監(jiān)測(cè)系統(tǒng)屮，即耍監(jiān)控穩(wěn)定信號(hào)的成分，乂耍準(zhǔn)確定位故障信號(hào)。 這就需要引入新的時(shí)頻分析方法，小波分析正是由于這類(lèi)

2、需求發(fā)展起來(lái)的。在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號(hào)完全是在頻域展開(kāi)的，不包含任何時(shí)頻的信息，這對(duì)于 某些應(yīng)用來(lái)說(shuō)是很恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)樾盘?hào)的頻率的信息對(duì)其是非常重要的。但其丟棄的時(shí)域信 息可能對(duì)某些應(yīng)用同樣非常重要，所以人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣，提出了很多能表征 時(shí)域和頻域信息的信號(hào)分析方法，如短時(shí)傅立葉變換，gabor變換，時(shí)頻分析，小波變換 等。其中短時(shí)傅立葉變換是在傅立葉分析基礎(chǔ)上引入時(shí)域信息的最初嘗試，具基本假肚在 于在一定的時(shí)間窗內(nèi)信號(hào)是平穩(wěn)的，那么通過(guò)分割時(shí)間窗，在每個(gè)時(shí)間窗內(nèi)把信號(hào)展開(kāi)到 頻域就可以獲得局部的頻域信息，但是它的時(shí)域區(qū)分度只能依賴(lài)于人小不變的時(shí)間窗，對(duì) 某些瞬態(tài)信號(hào)來(lái)說(shuō)還是粒度

3、太大。換言之，短時(shí)傅立葉分析只能在一個(gè)分辨率上進(jìn)行。所 以對(duì)很多應(yīng)用來(lái)說(shuō)不夠精確，存在很大的缺陷。而小波分析則克服了短時(shí)傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特 點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體 形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，在一般情況卜，在低頻部分(信號(hào)較平穩(wěn))可以采用較低的時(shí)間分辨率， 而提高頻率的分辨率，在高頻悄況卜(頻率變化不人)町以用較低的頻率分辨率來(lái)?yè)Q取精 確的時(shí)間定位。因?yàn)檫@些特定，小波分析可以探測(cè)正常信號(hào)屮的瞬態(tài)，并展示其頻率成分, 被稱(chēng)為數(shù)學(xué)顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各個(gè)時(shí)頻分析領(lǐng)域。全文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它

4、們的主要性質(zhì)包 括緊支集長(zhǎng)度、濾波器長(zhǎng)度、對(duì)稱(chēng)性、消失矩等，都做了簡(jiǎn)要的說(shuō)明。在不同的應(yīng)用場(chǎng)合, 各個(gè)小波函數(shù)各有利弊。小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖 像分解，圖像増強(qiáng)等。文中給出了詳細(xì)的程序范例，用matlab實(shí)現(xiàn)了基于小波變換的圖 像處理。1.2傅立葉變換與小波變換的比較小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它自產(chǎn)生以來(lái)，就一直與傅立葉分析 密切相關(guān)。它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴(lài)于傅立葉分析，二者是相 輔相成的。兩者相比較主要有以下不同：(1) 傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t)分解到以2加為正交基的空間上去; 小波變

5、換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)于分解到(j=l, 2,，j)和匕所構(gòu)成的空間 上去。（2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有sin（莎f）,cos（莎f）,exp（同），具有唯一，性；小波分析 用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有不唯一性，同一個(gè)工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析 有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際屮的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題（也是小波 分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題），1=1前往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或不斷的試驗(yàn)（對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析） 來(lái)選擇小波函數(shù)。（3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較 簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅立葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式。例如， si

6、np） + 0.345sin（砂） + 4.23cos何f）,但在時(shí)域屮，傅立葉變換沒(méi)有局部化能力，叩無(wú)法 從信號(hào)“）的傅立葉變換/佝屮看出/在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。事實(shí)上，/（方）d莎是 關(guān)于頻率為厲的諧波分量的振幅，在傅立葉展開(kāi)式中，它是由/的整體性態(tài)所決定的。（4）在小波分析屮，尺度a的值越大相當(dāng)于傅立葉變換屮厲的值越小。（5）在短時(shí)傅立葉變換中，變換系數(shù)s（/t）主要依賴(lài)于信號(hào)在k-5,廠+ 5片段中的 情況，時(shí)間寬度是25 （因?yàn)?是由窗函數(shù)g（/）唯一確定，所以25是一個(gè)定值）。在小波變 換中，變換系數(shù)wfayb）主要依賴(lài)于信號(hào)在z?-泌+ d肖片段中的情況，時(shí)間寬度是 2a肖，該

7、時(shí)間寬度是隨著尺度a變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力。（6）若用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)結(jié)實(shí)，小波變換與短時(shí)傅立葉變換不同之處在于：對(duì)短 時(shí)傅立葉變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬紂與屮心頻率/無(wú)關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器 的帶寬紂則正比于中心頻率/,即q = = c c為常數(shù)f亦即濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱(chēng)之為等q結(jié)構(gòu)（q為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且有 中心頻率2 =1.3小波分析與多辨分析的歷史小波理論包括連續(xù)小波和二進(jìn)小波變換，在映射到計(jì)算域的時(shí)候存在很多問(wèn)題，因 為兩者都存在信息兀余，在對(duì)信號(hào)采樣以后，需要計(jì)算的信息量還是相當(dāng)?shù)拇?，尤具是連 續(xù)小波變換，因?yàn)橐獙?duì)精度內(nèi)所有的尺度和位移都做

8、計(jì)算，所以計(jì)算量相當(dāng)?shù)拇?。而二進(jìn) 小波變換雖然在離散的尺度上進(jìn)行伸縮和平移，但是小波之間沒(méi)有正交性，各個(gè)分量的信 息攙雜在一起，為我們的分析帶來(lái)了不便。真正使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是meyer在1986年提出的一組小波，其二 進(jìn)制伸縮和平移構(gòu)成z?（r）的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。在此結(jié)果基礎(chǔ)上，1988年s.mallat在構(gòu)造正 交小波時(shí)提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了止交小波的數(shù)學(xué)解釋?zhuān)谟?間的概念上形彖的說(shuō)明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法，并將 z前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來(lái)，并類(lèi)似傅立葉分析屮的快速傅立葉算法，給出了 小波變換的快速算法一一malb

9、t算法。這樣，在計(jì)算上變得可行以后，小波變換在各個(gè)領(lǐng) 域才發(fā)揮它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，解決了各類(lèi)問(wèn)題，為人們提供了更多的關(guān)于時(shí)域分析的信息。形象一點(diǎn)說(shuō)，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個(gè)統(tǒng)一的 形式，而所有空間的閉包則逼近l2（/?）o在每個(gè)空間中，所有的朗數(shù)都構(gòu)成該空間的標(biāo)準(zhǔn) 化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成/?（/?）的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，那么，如果對(duì) 信號(hào)在這類(lèi)空間上進(jìn)行分解，就可以得到相互正交的時(shí)頻特性。而且由于空間數(shù)冃是無(wú)限 可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心的信號(hào)的某些特性。下面我們簡(jiǎn)要介紹一下多分辨分析的數(shù)學(xué)理論。定義：空間/?(/?)中的多分辨分析是指厶2(r

10、)滿足如下性質(zhì)的一個(gè)空間序列(1) 調(diào)一致性：vf cz vj+,對(duì)任意y gz(2) 漸進(jìn)完全性：i v =o, closeu v. = l2(/?)jvez 丿丿(3) 伸縮完全性：/ ev.»/(2r)vy+1(4) 平移不變性：vjlez,0(2-勺)丘匕二0,2-勺_廠丘匕.(5) riesz基存在性:存在0(衣,使得b(2"i)仕z構(gòu)成匕的risez基。 關(guān)于riesz的具體說(shuō)明如下：若0是的risez基，則存在常數(shù)a, b,且，使得：對(duì)所有雙無(wú)限可平方和序列",即llkt=zkl2<-kez成立。滿足上述個(gè)條件的函數(shù)空間集合成為一個(gè)多分辨分析，

11、如果0生成一個(gè)多分辨分析, 那么稱(chēng)0為一個(gè)尺度函數(shù)?？梢杂脭?shù)學(xué)方法證明，若0(f)是的riesz®,那么存在一種方法可以把0轉(zhuǎn)化為嶺 的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。這樣，我們只耍能找到構(gòu)成多分辨分析的尺度函數(shù)，就可以構(gòu)造出一組 正交小波。多分辨分析構(gòu)造了一組函數(shù)空間，這組空間是相互嵌套的，即lczv.czv.oczv.czv.l那么和鄰的兩個(gè)函數(shù)空間的丼就定義了一個(gè)由小波函數(shù)構(gòu)成的空間，即嶺% %并且在數(shù)學(xué)上可以證明匕叫且匕巧，心八 為了說(shuō)明這些性質(zhì)，我們首先來(lái)介紹一 下雙尺度差分方程，由于對(duì)vj,v. <= v/+1,所以對(duì)v(x)gv.,都有(x)gv.+1,也就是說(shuō)可 以展開(kāi)成匕利上的

12、標(biāo)準(zhǔn)化正交基，由于0w%，那么0(/)就可以展開(kāi)成0=工久0“nez這就是著名的雙尺度斧分方程，雙尺度差分方程奠定了正交小波變換的理論基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué) 上可證明，對(duì)于任何尺度的0n),它在j+1尺度正交基 如)上的展開(kāi)系數(shù)幾是一定的, 這就為我們提供了一個(gè)很好的構(gòu)造多分辨分析的方法。在頻域中，雙尺度差分方程的表現(xiàn)形式為：0(2e) = h(q)0(q) 如果0(在斫0連續(xù)的話，則有2 丿說(shuō)明0)的性質(zhì)完全由0(0)決定。2小波分析的基本理論2.1從傅立葉變換到小波變換小波分析屬于時(shí)頻分析的一種，傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅立葉變換的基礎(chǔ)上的，由 于傅立葉分析使用的是一種全局的變換，要么完全在時(shí)域，要么

13、完全在時(shí)域，要么完全在 頻域，因此無(wú)法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵 的性質(zhì)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣乃至根木性的革命， 提出并發(fā)展了一系列新的信號(hào)分析理論：短時(shí)傅立葉變換、gabor變換、時(shí)頻分析、小波 變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、線調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)分析等。 其屮，短時(shí)傅立葉變換和小波變換也是應(yīng)傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號(hào)處理的要求而 產(chǎn)生的。短時(shí)傅立葉變換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù)g (t)的一個(gè) 短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)(偽平穩(wěn))的，并移動(dòng)分析窗函數(shù)，使/(r)g(r-t)在不同的有限時(shí)間

14、 寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)，從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。但從木質(zhì)上講，短吋傅立葉變換 是一種單一分辨率的信號(hào)分析方法，因?yàn)樗褂靡粋€(gè)固定的短時(shí)窗函數(shù)。因而短時(shí)傅立葉 變換在信號(hào)分析上還是存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間一尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而月在時(shí) 頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不邊但其形狀可改變，時(shí)間 窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率，在 高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬 態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡，利用連續(xù)小波變換進(jìn)行動(dòng)態(tài)系

15、統(tǒng)故障檢測(cè)與診斷具有良好的效果。2.1.1傅里葉變換在信號(hào)處理屮重耍方法z是傅立葉變換(fomiertrmsrom),它架起了時(shí)間域和頻率 域z間的橋梁。對(duì)很多信號(hào)來(lái)說(shuō)，傅立葉分析非常有用。因?yàn)樗芙o出信號(hào)令包含的各種頻率成分。 但是、傅立葉變換有著嚴(yán)重的缺點(diǎn)：變換之后使信號(hào)失去了時(shí)間信息，它不能告訴人們?cè)?某段時(shí)間里發(fā)生了什么變化。而很多信號(hào)都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài)(或者瞬變)持性， 如漂移、趨勢(shì)項(xiàng)、突然變化以及信號(hào)的升始或結(jié)束。這些特性是信號(hào)的最重要部分。因此 傅里葉變換不適于分析處理這類(lèi)信號(hào)。雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來(lái)，能分別從信號(hào)的時(shí)域和 頻域觀察，但卻不能

16、把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形屮不包含任何頻域 信息。而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式小也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的 積分，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說(shuō)，對(duì)于傅立葉譜屮的 某一頻率，不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。這樣在信號(hào)分析屮就面臨一對(duì)最基本的 矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。在實(shí)際的信號(hào)處理過(guò)程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻 域特征都很重要。如柴油機(jī)缸蓋表面的震動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號(hào), 僅從時(shí)域或頻域上來(lái)分析是不夠的。這就促使去尋找一種新方法，能夠?qū)r(shí)域和頻域結(jié)合 起來(lái)描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征

17、，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。這就是所謂的時(shí)頻分析法，也稱(chēng) 為時(shí)頻局部化方法。2.1.2短時(shí)傅里葉變換由于標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時(shí)域里不存在這種能力， dennis gabor于1946年引入了短時(shí)傅立葉變換。短時(shí)傅立葉變換的基本思想是：把信號(hào) 劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在 的頻率。其表達(dá)式為_(kāi)s(e,c=j(0ldt (2. 1)其中*表示復(fù)共軌，g(t)是有緊殳集的函數(shù)，f(t)是進(jìn)入分析的信號(hào)。在這個(gè)變換中， £加起著頻限的作用，g(t)起著時(shí)限的作用。隨著時(shí)間萬(wàn)的變化，g(t)所確定的“時(shí)間窗” 在t軸上移動(dòng)，是

18、f (t) “逐漸”進(jìn)行分析。因此，g(t)往往被稱(chēng)之為窗口函數(shù)，sac 大致反映了 f (t)在時(shí)刻。時(shí)、頻率為血的“信號(hào)成分”的相對(duì)含量。這樣信號(hào)在窗函數(shù) 上的展開(kāi)就可以表示為在t-8.t + 8、-£"+£這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱(chēng) 為窗口，/和£分別稱(chēng)為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分 辨率就越高。很顯然，希望5和£都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效果，但還森堡測(cè)不 準(zhǔn)原理指出5和£是互相制約的，兩者不可能同時(shí)都任意小(事實(shí)上，月僅當(dāng)=為高斯函數(shù)時(shí)，等號(hào)成立)071由此可見(jiàn)，短時(shí)傅立葉變換雖然在一定

19、程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉不具有局部分析能力 的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù)g(t)確定后，矩形窗口的形狀就 確定了，r,血只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f(shuō)短時(shí)傅 立葉變換實(shí)質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。 因此，短時(shí)傅立葉變換用來(lái)分析平穩(wěn)信號(hào)猶可，但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，在信號(hào)波形變化劇烈的 時(shí)刻，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率(即要小)，而波形變化比較平緩的時(shí)刻， 主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率(即£要小)。而短時(shí)傅立葉變換不能兼顧兩者。2.1.3小波變換小波變換提出了變化的時(shí)間窗，當(dāng)需要精確的

20、低頻信息時(shí)，采用長(zhǎng)的時(shí)間窗，當(dāng)需要 精確的高頻信息時(shí)，采用短的時(shí)間窗。由圖1. 3看出，小波變換用的不是時(shí)間-頻率域，而是時(shí)間-尺度域。尺度越大，采 用越大的時(shí)間窗，尺度越小，釆用越短的時(shí)間窗，即尺度與頻率成反比。2. 2連續(xù)小波變換2. 2.1 一維連續(xù)小波變換定義：設(shè)屮zzr),其傅立葉變換為/(莎)，當(dāng)/)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件 或恒等分辨條件)dco < oo (2. 2)時(shí)，我們稱(chēng)肖為一個(gè)基木小波或母小波。將母函數(shù)肖經(jīng)伸縮和平移后得稱(chēng)其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對(duì)于任意的函數(shù)/(0gl2(/?)的 連續(xù)小波變換為其重構(gòu)公式(逆變換)為/(0 =由于基小

21、波0生成的小波在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以0還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件j 00 (2.6)故"(e)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件式，”(勁在原點(diǎn)必須等于0, 即(0)= £ y/(t)dt = 0 (2.7)為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，處理完全重構(gòu)條件外，還要求小波肖的傅立 葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件：0(2%)<b (2.8)式中 0 <a<b00 從穩(wěn)定性條件可以引擊一個(gè)重要的概念。定義(對(duì)偶小波) 若小波肖滿足穩(wěn)定性條件(2.8)式，則定義一個(gè)對(duì)偶小波/, 其傅立葉變換譏初由下式給出：注意，穩(wěn)定性條件

22、(2.8)式實(shí)際上是對(duì)(2.9)式分母的約朿條件，它的作用是保證對(duì)偶 小波的傅立葉變換存在的穩(wěn)定性。值得指出的是，一個(gè)小波的對(duì)偶小波一般不是唯一的， 然而，在實(shí)際應(yīng)用中，我們乂總是希望它們是唯一對(duì)應(yīng)的。因此，尋找具有唯一對(duì)偶小波 的合適小波也就成為小波分析中最基本的問(wèn)題。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：(1) 線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換z和(2) 平移不變性：若f(t)的小波變換為wf(a9b)，則的小波變換為wf(a,b-r)(3) 仲縮共變性：若f (t)的小波變換為w/(a,b),則f (ct)的小波變換為(4) 自相似性：對(duì)應(yīng)不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連

23、續(xù)小波變換z間是自相 似的。(5) 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的兀余度。小波變換的冗余性事實(shí)上也是白相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：(1) 由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說(shuō)，信號(hào)f (t)的 小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。(2) 小波變換的核函數(shù)即小波苗數(shù)幾)存在許多可能的選擇(例如，它們可以是非 正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相并勺)o小波變換在不同的(a, b) z間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因 此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問(wèn)題之一。2.

24、2.2高維連續(xù)小波變換對(duì) /(r)gz?(/?rt)(n>l),公式")=丄4旳(")0(凹)dodb (2. 10)c屮fa存在兒種擴(kuò)展的可能性，一種可能性是選擇小波使其為球?qū)ΨQ(chēng)，其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ(chēng)，/(莎) = 77(阿)(2. 11)并且其相容性條件變?yōu)閏f/ =(2)2£|z7(r)|2y<oo (2. 12)對(duì)所有的幾gwz?(g“)。da“、vfb)wa,b)db = cv/<f(2. 13)cl這里，wf(a,b)=嚴(yán),y/訕=ct心譏)，其中awr+go且bwr”,公式(2.6) a也可以寫(xiě)為f = cwf(ahdb (2.

25、14)如果選擇的小波0不是球?qū)ΨQ(chēng)的，但可以用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行同樣的擴(kuò)展與平移。例如，在二維吋, 可定義t _b肖“必=)(2. 15)a、e0(cos 0 sin 宀 .區(qū)里，a>0,ber re= 八門(mén)，相容條件變?yōu)?sin& cos& 丿c% =(2療)2 £ jt|(rcos,rsin 0d0 < oo (2. 16)該等式對(duì)應(yīng)的垂構(gòu)公式為a r2wgwi/al>()de(2. 17)對(duì)于高于二維的情況，可以給出類(lèi)似的結(jié)論。2. 3離散小波變換在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要 討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化

26、。需要強(qiáng)調(diào)指岀的是，這一離散化 都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對(duì)時(shí)間變量t的。這一點(diǎn)與我 們以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同。在連續(xù)小波屮，考慮函數(shù)：這里gr ,且心0,鴨是容許的，為方便起見(jiàn)，在離散化中，總限制a只取正值，這樣和容性條件就變?yōu)?#169; 8）*）阿通常，把連續(xù)小波變換屮尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散公式分別取作 a = ab = ka ,這里j wz ,擴(kuò)展步長(zhǎng)a。h1是固定值，為方便起見(jiàn)，總是假定a0 >1 （由 于m可取正也可取負(fù)，所以這個(gè)假定無(wú)關(guān)緊要）。所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)修從即可寫(xiě)作0從二）=時(shí)2譏kb" （2. 19）而離散化小波變換

27、系數(shù)則可表示為5 =（ml山 x f ,屮j* >（2. 20）其重構(gòu)公式為"（2.21）00 coc是一個(gè)與信號(hào)無(wú)關(guān)的常數(shù)。然而，怎樣選擇兔）和，才能夠保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？ 顯然，網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)盡可能密（即q和盡可能小），因?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn)越稀疏，使用的小波函 數(shù)匕/）和離散小波系數(shù)c從就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。實(shí)際計(jì)算中不可能對(duì)全部尺度因子值和位移參數(shù)值計(jì)算cwta, b值，加之實(shí)際的觀測(cè) 信號(hào)都是離散的，所以信號(hào)處理中都是用離散小波變換（dwt） o大多數(shù)情況下是將尺度因 子和位移參數(shù)按2的幕次進(jìn)行離散。最有效的計(jì)算方法是s. mallat于1988年發(fā)展的快 小波算法

28、（又稱(chēng)塔式算法）。對(duì)任一信號(hào)，離散小波變換第一步運(yùn)算是將信號(hào)分為低頻部分 （稱(chēng)為近似部分）和離散部分（稱(chēng)為細(xì)節(jié)部分）。近似部分代表了信號(hào)的主要特征。第二步 對(duì)低頻部分再進(jìn)行相似運(yùn)算。不過(guò)這時(shí)尺度因了已經(jīng)改變。依次進(jìn)行到所需要的尺度。除 了連續(xù)小波（cwt）、離散小波（dwt）,還有小波包（wavelet packet）和多維小波。2.4小波包分析短時(shí)傅立葉變換對(duì)信號(hào)的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效 的時(shí)頻分解，但曲于其尺度是按二進(jìn)制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在 低頻頻段其時(shí)間分辨率較差，即對(duì)信號(hào)的頻帶進(jìn)行指數(shù)等間隔劃分（具有等q結(jié)構(gòu)）。小 波包分析能夠?yàn)樾?/p>

29、號(hào)提供一種更精細(xì)的分析方法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分辨率 分析沒(méi)有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng) 頻帶，使之與信號(hào)頻譜相i兀配，從而提高了時(shí)-頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應(yīng)用 價(jià)值。關(guān)于小波包分析的理解，我們這里以一個(gè)三層的分解進(jìn)行說(shuō)明，其小波包分解樹(shù)如圖圖1小波包分解樹(shù)圖1中，a表示低頻，d表示高頻，末尾的序號(hào)數(shù)表示小波分解的層樹(shù)(也即尺度數(shù))。 分解具有關(guān)系：s二aaa3+daa3+ada3+dda3+aad3+dad3+add3+ddd3。2.4.1小波包的定義在多分辨分析中，/?(& =w.,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j

30、把hilbert 心空間l2(/?)分解為所有子空間wj e z)的正交和的。其中，巴為小波函數(shù)屮的閉包(小 波子宇間)?，F(xiàn)在，我們希望兒擬議部對(duì)小波子空間為按照二進(jìn)制分式進(jìn)行頻率的細(xì)分， 以達(dá)到提高頻率分辨率的0的。一種自然的做法是將尺度空間v.和小波子空間旳用一個(gè)新的子空間(/；統(tǒng)一起來(lái)表征， 若令. 7t/j =wi j j則h訂bert空間的正交分解vy+1 =即可用的分解統(tǒng)一為： jez(2.22)定義子空間是函數(shù)是函數(shù)匕的閉包空間，而匕是函數(shù)u2n(t)的閉包空間，并令 匕(/)滿足下面的雙尺度方程：%=近工h(k)un一幻<kez(2.23)畑+1 (0 ="工g

31、伙)知一幻.jtez式屮，g伙)=(_1)口(1_幻，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng)n二0時(shí)，以上兩式直接給出如一約<氫(2.24)絢=工久知一燈、kwz與在多分辨分析屮，0(/)和屮滿足雙尺度方程：klz訪 hhz w廠(2. 25)0(0 =工九0一約展z0(。=工紈。一 q展z相比較，從)和坷分別退化為尺度函數(shù)0和小波基函數(shù)0(/)。式(2.24)是式(2.22) 的等價(jià)表示。把這種等價(jià)表示推廣到/iez+ (非負(fù)整數(shù))的情況，即得到(2.23)的等價(jià) 表示為u'=u:u嚴(yán)jez ； hgz_ (2.26)定義(小波包) 由式(2.23)構(gòu)造的序列仏(其中nez+)稱(chēng)為由基函數(shù)

32、"。= 0(/) 確定的正交小波包。當(dāng)n二0時(shí)，即為(2.24)式的情況。由于從)由仏唯一確定,所以又稱(chēng)知(心 為關(guān)于序列仇的正交小波包。2.4.2小波包的性質(zhì)定理1設(shè)非負(fù)整數(shù)n的二進(jìn)制表示為n = x2，_， i=la則小波包un(iv)的傅立葉變換由下式給；iha _8知(問(wèn)=口徑3/2八)(2. 27)/=1式中14>00v 2 r=-o0 1 8 創(chuàng)(w) = g(w)=工 g(k)嚴(yán)q 2 k =-oo定理2設(shè)仏鳥(niǎo)是正交尺度函數(shù)0的正交小波包，貝<un(t-k),un(t-l)>=3kl,即 wn(0lz構(gòu)成l2(7?)的規(guī)范正交基。2.4.3小波包的空間

33、分解令仏l：是關(guān)于九的小波包族，考慮用下列方式生成子空間族?，F(xiàn)在令n二1，2,; j=l, 2,，并對(duì)(2. 22)式作迭代分解，則有um ulwul _2因此，我們很容易得到小波子空間比的各種分解如下：w產(chǎn)幾t/二企u；_2©2忙昭“十“穿“買(mǎi)w. =uj比空間分解的子空間序列可寫(xiě)作, m=0, 1,，2z-1； 1=1, 2,。子空間序列 的標(biāo)準(zhǔn)正交基為2"叫仏”（2* -£）: k g z。容卿 ,當(dāng)1=0和m=0時(shí)，子空間序列比丁 簡(jiǎn)化為“:二巴，相應(yīng)的止交基簡(jiǎn)化為22旳（2十_幻=2一2以25-切，它恰好是標(biāo)準(zhǔn)止交 小波族初從。若n是一個(gè)倍頻程細(xì)劃的參數(shù)

34、，即令n= 2y +m ,則我們有小波包的簡(jiǎn)略記號(hào) 0心（0 = 2一"昵（25-幻，其中，幾=2篦s（2"）。我們把0如稱(chēng)為既有尺度指標(biāo) j、位置指標(biāo)k和頻率指標(biāo)n的小波包。將它與侖面的小波肖從作一比較知，小波只有 離散尺度j和離散平移k兩個(gè)參數(shù)，而小波包除了這兩個(gè)離散參數(shù)外，還增加了一個(gè)頻率 參數(shù)n=2'+m。正是這個(gè)頻率新參數(shù)的作用，使得小波包克服了小波時(shí)間分辨率高時(shí)頻率分 辨率低的缺陷，于是，參數(shù)n表示幾（0 = 22*”（2®函數(shù)的零交叉數(shù)冃，也就是其波形 的震蕩次數(shù)。"定義（小波庫(kù)）由幾生成的函數(shù)族肖（其中nez+； j, kez ）

35、稱(chēng)為由尺度函數(shù)肖構(gòu)造的小波庫(kù)。推論1.1對(duì)于每個(gè)j二0, 1, 2,i?（r）=wj二w-&（2. 28）這時(shí)，族；“）丨 j 二，t，°； n=2, 3,且 kwz （2. 29）是z?（r）的一個(gè)正交基。隨著尺度j的增大，相應(yīng)正交小波基函數(shù)的空間分辨率越高，而其頻率分辨率越低， 這正是正交小波基的一大缺陷。而小波包卻具有將隨j增大而變寬的頻譜窗口進(jìn)一步分割 變細(xì)的優(yōu)良性質(zhì)，從而克服了正交小波變換的不足。小波包可以對(duì)叫進(jìn)一步分解，從而捉高頻率分辨率，是一種比多分辨分析更加精細(xì)的 分解方法，具有更好的時(shí)頻特性。2.4.4小波包算法下面給出小波包的分解算法和更構(gòu)算法。設(shè)g；wu

36、；,則g；可表示為礎(chǔ)二工殲（2仃一0（2. 30）i小波包分解算法 由d嚴(yán)求d嚴(yán)” 與d嚴(yán)網(wǎng)=工色-2/存心(2.31)kd卩.2“二為如2/£丿+."k小波包重構(gòu)算法 由d嚴(yán)“與0嚴(yán)+】求嚴(yán)3幾種常用的小波1) haar小波a. haar于1990年提出一種正交函數(shù)系，定義如下：10<%<1/2一11/2 < x < 10其它這是一種最簡(jiǎn)單的正交小波，即鴨譏兀-)d兀=0 n = ±1,±2,2) daubechies (dbn)小波系該小波是daubechies從兩尺度方程系數(shù)仏出發(fā)設(shè)計(jì)出來(lái)的離散正交小波。一般簡(jiǎn)寫(xiě) 為dbn,

37、 n是小波的階數(shù)。小波肖和尺度函數(shù)吁屮的支撐區(qū)為2n-u爐的消失矩為n。除n =1外(haar小波)，dbn不具對(duì)稱(chēng)性(即非線性相位);dbn沒(méi)有顯式表達(dá)式(除n=1夕卜)。n-1但仇的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。假設(shè)=其中，cl孫為二k=0項(xiàng)式的系數(shù)，則有km2=(eos2p(sin2)12n-1其中叫(勁=工/恥72 k=o3) biorthogonal (biornr. nd)小波系biorthogonal函數(shù)系的主耍特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號(hào)與圖像的 重構(gòu)中。通常的用法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。 biorthogonal函數(shù)系通常表示為bi

38、ornr. nd的形式：nr二1nd二1, 3, 5nr=2nd二2, 4,6, 8nr=3nd=l, 3,5, 7, 9nr=4nd=4nr=5nd 二 5nr=6nd=8其屮，r表示重構(gòu),d表示分解。4) coiflet (coifn)小波系coiflet函數(shù)也是由daubechies構(gòu)造的一個(gè)小波函數(shù)，它具有coifn (n=l, 2, 3, 4,5) 這一系列，coiflet具有比dbn更好的對(duì)稱(chēng)性。從支撐長(zhǎng)度的角度看，coifn具有和db3n 及sym3n相同的支撐長(zhǎng)度；從消失矩的數(shù)目來(lái)看，coifn具有和db2n及sym2n相同的消失 矩?cái)?shù)冃。5) symletsa (symn)小

39、波系symlets函數(shù)系是由daubechies提出的近似對(duì)稱(chēng)的小波函數(shù)，它是對(duì)db函數(shù)的一種 改進(jìn)。symlets函數(shù)系通常表示為symn (n二2, 3,，8)的形式。6) mor let (morl)小波morlet函數(shù)定義為t(x) = ce-v2/2cos5x,它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。7) mexican hat (mexh)小波mexican hat 函數(shù)為t(x) =它是gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗衲鞲缑钡慕孛?，所以有時(shí)稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為墨西 哥帽函數(shù)。墨西哥帽函數(shù)在時(shí)間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足= 0由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。8) mey

40、er 函數(shù)meyer小波函數(shù)屮和尺度函數(shù)©都是在頻率域屮進(jìn)行定義的，是具有緊支撐的正交小 波。co4兀 co <2兀丿_ , 4兀<co< 333嚴(yán)嚴(yán)2站(蘭u(丄莎-1)2171中(q)= w,2ej(o12 cos(-( co -1)22兀0其屮，u(q)為構(gòu)造meyer小波的輔助函數(shù)，且有3"鉅心 3"cos(彳 u(£ 阿1)04小波變換在圖像處理中的應(yīng)用4.1小波分析用于圖像壓縮4.1.1基于小波變換的圖像局部壓縮基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基木思想是在頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分解，驅(qū)除信號(hào) 點(diǎn)之間的相關(guān)性，并找出重要系數(shù)，濾掉次

41、要系數(shù)，以達(dá)到壓縮的效果，但該方法在處理 過(guò)程屮并不能提供時(shí)域的信息，在我們比較關(guān)心時(shí)域特性的時(shí)候顯得無(wú)能為力。但是這種應(yīng)用的需求是很廣泛的，比如遙感測(cè)控圖像，要求在整幅圖像有很高壓縮比 的同時(shí)，對(duì)熱點(diǎn)部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對(duì)某個(gè)局部的細(xì)節(jié)部 分有很高的分辨率，單純的頻域分析的方法顯然不能達(dá)到這個(gè)要求，雖然可以通過(guò)對(duì)圖像 進(jìn)行分快分解，然后對(duì)每塊作用不同的閾值或掩碼來(lái)達(dá)到這個(gè)要求，但分塊大小相對(duì)固定, 有失靈活。在這個(gè)方面，小波分析的就優(yōu)越的多，由于小波分析固有的時(shí)頻特性，我們可以在時(shí) 頻兩個(gè)方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就可以對(duì)我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。下面我們利

42、用小波變化的時(shí)頻局部化特性，舉一個(gè)局部壓縮的例子，大家可以通過(guò)這 個(gè)例子看出小波變換在應(yīng)用這類(lèi)問(wèn)題上的優(yōu)越性。load wbarb%使用syn)4小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行一層小波分解cal, chi, cvl, cdl二dwt2(x,' sym4');codcal=wcodemat( cal, 192);codch1=wcodemat(chi, 192);codcvl=vcodemat (cvl, 192);codcdl=vcodemat (cdl, 192);%將四個(gè)系數(shù)圖像組合為一個(gè)圖像codx=codcal, codchl, codcvl, codcdl%復(fù)制原圖像的小波系數(shù)rca

43、l=cal;rchl=chl;rcvl=cvl;rcdl=cdl;%將三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)的中部置零rchl (33:97,33:97)二zeros(65, 65);rcvl (33:97, 33:97)=zeros (65, 65);rcdl (33:97, 33:97)=zeros (65, 65);codrcal=wcodemat(real, 192);codrchl=wcodemat(rchl, 192); codrcvl=wcodemat(rcvl, 192);codrcdl=wcodemat(red 1, 192);%將處理后的系數(shù)圖像組合為一個(gè)圖像codrx=codrcal, codrc

44、hl, codrcvl,codrcdl%重建處理后的系數(shù)rx=idwt2 (real, rchl, rcvl, rcdl, ' sym4,);subplot (221) ; image (wcodemat (x, 192), col ormap (map) ; title('原始圖像); subplot (222) ; image (codx), colormap (map) ; title(' 一層分解后各層系數(shù)圖像'); subplot (223) : image (wcodemat (rx, 192), colormap (map) ; title (&#

45、39;壓縮圖像'); subplot (224) ; image (codrx), colormap (map) ; title ('處理后各層系數(shù)圖像');%求壓縮信號(hào)的能量成分per二norm(rx)/norm(x)per =1.0000%求壓縮信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差crr=norm(rx-x)err =586.4979運(yùn)行結(jié)果如圖圖2利用小波變換的局部壓縮圖像從圖1可以看出，小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細(xì)節(jié)信息，并且給我們提 供了一種位移和關(guān)的信息表述方式，我們可以通過(guò)對(duì)局部細(xì)節(jié)系數(shù)處理來(lái)達(dá)到局部壓縮的 效果。在本例中，我們把圖像小部的細(xì)節(jié)系數(shù)都置零，從壓縮

46、圖像屮可以很明顯地看出只有 中間部分變得模糊（比如在原圖屮很清晰的圍巾的條紋不能分辨），而其他部分的細(xì)節(jié)信 息仍然可以分辨的很清楚。最后需要說(shuō)明的是本例只是為了演示小波分析應(yīng)用在圖像局部壓縮的方法，在實(shí)際的 應(yīng)用中，可能不會(huì)只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會(huì)是將局部細(xì)節(jié)系數(shù)全部 清除，更-般的情況是在n層變換中通過(guò)選擇零系數(shù)比例或能量保留成分作用不同的閾值, 實(shí)現(xiàn)分片的局部壓縮。而且，作用的閾值可以是方向相關(guān)的，即在三個(gè)不同方向的細(xì)節(jié)系 數(shù)上作用不同的閾值。4.1.2小波變換用于圖像壓縮的一般方法二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高， 壓縮速度快，壓

47、縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞過(guò)程中可以抗干擾。小波分析 用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。4.1.2.1利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮基于小波分析的圖像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹(shù)壓縮、小波 變換矢量量化圧縮等。下面給出一個(gè)圖像信號(hào)(即一個(gè)二維信號(hào)，文件名為wbarb.mat),利用二維小波分析 對(duì)圖像進(jìn)行壓縮。一個(gè)圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨 率的子圖像對(duì)應(yīng)的頻率是不相同的。高分辨率(即高頻)子圖像上大部分點(diǎn)的數(shù)值都接近 于0,越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對(duì)一個(gè)圖像來(lái)說(shuō)，表現(xiàn)一個(gè)圖像最主要的部分是低頻部 分，所以一個(gè)最簡(jiǎn)單的壓縮方法是利用小波分解

48、，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。 圖像圧縮可按如下程序進(jìn)行處理。%裝入圖像1oad wbarb;%顯示圖像subplot(221);image (x);colormap(map)litlec原始圖像')；axis squaredispc壓縮前圖像x的大小:whos(' x')%對(duì)圖像用bior3. 7小波進(jìn)行2層小波分解c, s =wavedec2 (x, 2,' bior3. t );%提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層低頻系數(shù)和高頻系數(shù)cal=appcoef2 (c, s,，bior3. 7', 1);chi二detcoef2 (' h'

49、, c, s, 1);cvl二detcoef2 (' v', c, s, 1);cdl=detcoef2('d', c, s, 1);%分別對(duì)各頻率成分進(jìn)行重構(gòu)al=wrcoef2(，a', c, s,' bior3. 7', 1);hl二wrcoef2(' h' , c, s,' bior3 7', 1);vl=wrcoef2(，v' , c, s,' bior3. 7', 1);dl=wrcoef2(, d', c, s,' bior3. 7', 1);c

50、l=al, hl;vl, dl;%顯示分解后各頻率成分的信息subplot(222);image(cl);axis squaretitlec分解后低頻和高頻信息');%下面進(jìn)行圖像壓縮處理%保留小波分解第一層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮%第一層的低頻信息即為cal,顯示第一層的低頻信息%首先對(duì)第一層信息進(jìn)行量化編碼cal=appcoef2 (c, s,' bior3 7', 1);cal=wcodcmat (cal, 440, ' mat' , 0);%改變圖像的高度cal二0.5*cal;subplot(223);image(cal) ;colormap(

51、map);axis squaretitlcc第一次壓縮')；dispc第一次壓縮圖像的大小為:')；whosc cat )%保留小波分解第二層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮，此時(shí)壓縮比更人%第二層的低頻信息即為ca2,顯示第二層的低頻信息ca2=appcoef2 (c, s,' bior3. 7', 2);%首先對(duì)第二層信息進(jìn)行量化編碼ca2=wcodemat (ca2, 440, 'mat' , 0);%改變圖像的高度ca2=0. 25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis squaretitl

52、e(，第二次壓縮');dispc第二次壓縮圖像的大小為:')；whos (' ca2)輸出結(jié)果如卞所示： 壓縮前圖像x的人?。簄amesizebytes classx256x256524288 double arraygrand total is 65536 el ernents using 524288 bytes 第一次壓縮圖像的人小為：namesizebytes classcal135x135145800 double arraygrand total is 18225 elements using 145800 bytes 第二次壓縮圖像的人小為：namesiz

53、ebytes classca275x7545000 double arraygrand total is 5625 elements using 45000 bytes圖像對(duì)比如圖所示?？梢钥闯觯谝淮螇嚎s提取的是原始圖像中小波分解第一層的低 頻信息，此時(shí)壓縮效果較好，壓縮比較小(約為1/3)：第二次壓縮是提取第一層分解低頻 部分的低頻部分(即小波分解第二層的低頻部分)，其壓縮比較人(約為1/12),壓縮效果 在視覺(jué)上也基本過(guò)的去。這是一種最簡(jiǎn)單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng) 過(guò)其他處理即可獲得較好的壓縮效果。在上面的例子中，我們還可以只提取小波分解第3、 4、層的低頻信息。從理論

54、上說(shuō)，我們可以獲得任意壓縮比的壓縮圖像。第一次壓縮圖像第二次壓縮圖像圖3利用二維小波分析進(jìn)行圖像壓縮卜面給出一個(gè)圖像信號(hào)(即一個(gè)二維信號(hào)，文件名為wbarb.mat),利用二維小波分析對(duì)圖像進(jìn)行壓縮。一個(gè)圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨 率的子圖像對(duì)應(yīng)的頻率是不同的。高分辨率(即高頻)子圖像上大部分點(diǎn)的數(shù)值都接近于 0,越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對(duì)一個(gè)圖像來(lái)說(shuō)，表現(xiàn)一個(gè)圖像最主要的部分是低頻部分, 所以一個(gè)最簡(jiǎn)單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。圖 像壓縮可按如下程序進(jìn)行處理。%調(diào)入圖像x=imreadlena. bmp'); %歸一

55、化圖像x二double(si g)/255; %顯示圖像image(x); colormap(map) %對(duì)圖像用bior3. 7小波進(jìn)行2層小波分解c, s=wavedec (x, 2,' bi or 3 7'); %設(shè)置小波系數(shù)閾制值%thr=20;%提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層的低頻系數(shù)和高頻系數(shù) cal=appcoef2 (c, s,' bior3. 7', 1);chl=detcoef2 (' h', c, s, 1);cvl=detcoef2 (' v', c, s, 1);cdl=detcoef2 (' d，,

56、c, s, 1);%分別對(duì)各頻率成分進(jìn)行重構(gòu) al=wrcoef2(，a', c, s,' bior3 7', 1);hl二wrcoef2(' h', c, s,' bior3 7', 1); vl=wrcoef2(，v', c, s,' bior3 7', 1);dl=wrcoef2(，d，, c, s,' bior3 7', 1);cl二al, hl, vl, dl;進(jìn)行圖像壓縮處理%保留小波分解第一層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮%第一層的低頻信息即為cal,顯示第一層的低頻信息%首先對(duì)第一層信息進(jìn)

57、行量化編碼 cal=appcoef2 (c, s,' bior3. 7', 1);cal=wcodemat (cal, 440,' mat', 0);%改變圖像的高度cal=0. 5*cal%顯示第一次壓縮圖像image(cal)colormap(map);%保留小波分解第二層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮，此時(shí)壓縮比更大%第二層的低頻信息即為ca2,顯示第二層的低頻信息 ca2=appcoef2 (c, s,' bior3. 7', 2);%首先對(duì)第二層信息進(jìn)行量化編碼 ca2=wcodemat (ca2, 440, 'mat', 0);%改變圖像的高度ca2=0. 25*ca2%顯示第二次壓縮圖像image(ca2);colormap(map);下面再給iliju wdenemp函數(shù)對(duì)一個(gè)圖像(文件名tire, mat)進(jìn)行壓縮的程序。%裝入一個(gè)二維信號(hào)load tire;%顯示圖像subplot( 221);image(x);colormap(map)titlec原始圖像')；axis square%下面進(jìn)行圖像壓縮%對(duì)圖像用db3小波進(jìn)行2層小波分解c, s=wavedec2 (x, 2,' db3');%使jhwavedec2函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮thr, sor