高考數(shù)學(xué)名師指導(dǎo)提能專訓(xùn)12概率、隨機(jī)變量的分布列理_第1頁(yè)
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1、提能專訓(xùn)(十二)概率、隨機(jī)變量的分布列一、選擇題1. 投擲一枚質(zhì)地均勻的散子兩次,若第一次的點(diǎn)數(shù)小于第二次的點(diǎn)數(shù)我們稱其為“前 效實(shí)驗(yàn)”,若第二次的點(diǎn)數(shù)小于第一次的點(diǎn)數(shù)我們稱其為“后效實(shí)驗(yàn)”,若兩次的點(diǎn)數(shù)相等 我們稱其為“等效試驗(yàn)”.那么一個(gè)人投擲該骰了兩次后出現(xiàn)“等效實(shí)驗(yàn)”的概率是()a1r丄“丄d丄261236b命題立意:本題主要考查古典概型,根據(jù)木題中的新定義,列出投擲兩次出現(xiàn)的所 有可能情況,查出點(diǎn)數(shù)相同的基本事件的個(gè)數(shù),利用古典概型的概率公式計(jì)算.解題思路:投擲兩次的所冇棊木事件總數(shù)為36,其中點(diǎn)數(shù)相等的有6種情況,所以投 擲兩次后出現(xiàn)“等效實(shí)驗(yàn)”的概率是箱2. 隨機(jī)變量§

2、的概率分布列為p( § =n) =(£)(=0, 1, 2),其中日為常數(shù),則戶(0. 1 < f <2.9)的值為()八 36r20c )6161c命題立意:本題考查隨機(jī)變量§的概率分布列的應(yīng)川問(wèn)題,難度小等.解題思路:因?yàn)殡S機(jī)變量f的概率分布列為p( f=/7)=(77=0,1,2),根據(jù)各個(gè)概率值的和為1,得日=晉,然后可得ao. 1 < f <2. 9) =p( f = 1) +p( f =2) 故選c3. (2013 山東日照一模)己知實(shí)數(shù)圧1,9,執(zhí)行如下圖所示的程序框圖,則輸出的/不小于55的概率為()5a-8/輸出x/3b-

3、81d-3b解題思路:由程序框圖可知,輸出的結(jié)果為22(2x+l)+l + lm55,解得心6,9 63由兒何概型可知,輸出的/不小于55的概率為十=§,故選b.4. (2013 石家莊一模)冇3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()1a.§1b-22°-3a解題思路:記3個(gè)興趣小組分別為1,2,3,甲參加興趣小組1,2,3分別記為"甲 1” “甲2” “甲3”,乙參加興趣小組1,2, 3分別記為“乙1” “乙2” “乙3”,則基本 事件為“甲1,乙1;甲1、乙2;甲1

4、,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3, 乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9個(gè).記事件弭為“甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小31組”,具中事件外冇“卬1,乙1;卬2,乙2; t3,乙3”,共3個(gè).因此戶(/)=§=§.5. (2013 長(zhǎng)沙高考笫二次模擬)如圖,設(shè)是圖中邊長(zhǎng)分別為1和2的矩形區(qū)域,e 是內(nèi)位于函數(shù)y=;(x>0)圖下方的區(qū)域(陰影部分),從內(nèi)隨機(jī)収一個(gè)點(diǎn)必則點(diǎn)於取自 內(nèi)的概率為().in 2b.l-ln 22解題思路:依題意,圖中的陰影區(qū)域的而積等于7=1+/?x 2=1 + 7/?2,因此所求的概率等于1+f 3故選q二、填空題6. (20

5、13成都診斷測(cè)試二)已知集合2x + y4w0,s x, yvx+y$0,、xy20.表示的平而區(qū)域?yàn)閝,若在區(qū)域q內(nèi)任取一點(diǎn)p(x, y),則點(diǎn)p的坐標(biāo)滿足不等式x + ln 2 ln 2c命題立意:本題考查定積分的訃算與兒何概型的意義,難度中等.+y22的概率為咯命題立意:本題考查線性規(guī)劃知識(shí)以及兒何概型的概率求解,正確作出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平血區(qū)域是解答本題的關(guān)鍵,解題思路:如圖陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域,滿足條件x?+y'w2的點(diǎn)分布在 以邊為半徑的四分z圓而內(nèi),以面積作為事件的幾何度量,由幾何概型可得所求概率為jttx327. 某一部件由三個(gè)電了元件按如圖方式連接而成,元件1或元

6、件2正常工作,且元件 3正常工作,則部件止常工作.設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位:小時(shí))均服從正態(tài)分布ml 000, 502), jt各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的概 率為.i解題思路:由題意得,三個(gè)電子元件的使用壽命服從正態(tài)分布ml 000,502),貝悔個(gè)元件的壽命超過(guò)1 000小時(shí)的概率均為£則元件1或2超過(guò)1 000小時(shí)的概率為1-7x73313=;則該部件使用壽命超過(guò)i 000小時(shí)的概率x-=-8. (2013 原創(chuàng)卷)如圖,在矩形abdc中,ab=1, ac=2, 0為ac的中點(diǎn),拋物線的 一部分在矩形內(nèi),點(diǎn)0為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)b,

7、 d在拋物線上,在矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn),則 此點(diǎn)落在陰影部分的概率為|解題思路:取bd中點(diǎn)e,以0為坐標(biāo)原點(diǎn),0e所在總線為x軸,0a所在總線為y 軸建立肓角坐標(biāo)系,則拋物線方程為y2 = x, 1ih邊三角形a0b的面積為1-乂矩形abdc的面積為2,根據(jù)兒何概型的概率求解公式得,此13x2 1 點(diǎn)落在陰彩部分的概率為 丁=§9(2013 佛山一模)某學(xué)生在參加政、史、地三門課程的學(xué)業(yè)水平考試中,取得a等4 3 2級(jí)的概率分別為t,寸,才,h三門課程的成績(jī)是否取得a等級(jí)相互獨(dú)立.記g為該生取得a等級(jí)的課程數(shù),其分布列如表所示,則數(shù)學(xué)期望e(g)的值為.g0123p6ab2412512

8、5q42313312t解題思路:只有一門課程的成績(jī)?nèi)〉胊等級(jí)的概率為a=tx-x-+-x-x-+-x- x|=,有兩門課程的成績(jī)収得a等級(jí)的概率為 日一缶一盞一誥=備 則e(g)6 ,37 ,58249"x函+1x函+2x函+3x屈祚.三、解答題10. 某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽,第輪選拔共設(shè)有a, b, c, d四個(gè)問(wèn)題,規(guī)則如下:每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分,答對(duì)問(wèn)題a, b, c, d分別加1分,2分,3分,6分,答錯(cuò)任一題減2分;每回答一題,計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù),當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí),答題結(jié)束,淘汰出局; 當(dāng)答完四題,累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分吋,答題結(jié)束,淘汰出局;當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等

9、于14 分時(shí),答題結(jié)束,進(jìn)入f輪;每位參加者按問(wèn)題a, b, c, d順序作答,直至答題結(jié)束.3 111假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題a, b, c, d回答正確的概率依次才且各題回答正確與否 相互之間沒(méi)有影響.(1) 求甲同學(xué)能進(jìn)入下一 輪的概率;(2) 用g表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)朿時(shí)答題的個(gè)數(shù),求e的分布列和數(shù)學(xué)期望e(g).解析:設(shè)a, b, c, d分別為第一、二、三、四個(gè)問(wèn)題.用m:(i = l,2,3,4)表示甲同學(xué) 第i個(gè)問(wèn)題回答正確,用n:(i = l,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤,則低與n,是對(duì)3111立事件(i = l,2, 3, 4).由題意得 p(mi) =-, p(m2)

10、 =-, p(m3) =-, p(m4)=-,1123所以 p(ni)=-, p(n2)=-, p(n3)=-, p(n4)=-(1) 記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件q,貝ij,311111131113121,11211p(q)=-xix-+-x-x-x-+-x-x-x-+-x-x-x-+-x-x-x-=-(2) 由題意,隨機(jī)變量e的可能収值為:2,3,4. ill于侮題答題結(jié)果相互獨(dú)立,因此隨機(jī) 變量e的分布列為:g234p13丄882i 3127所以 e( g ) =2xg+3x+4x=.11. (東北三校二次聯(lián)考)實(shí)驗(yàn)屮學(xué)的三名學(xué)牛甲、乙、丙參加某大學(xué)的自主招主考核測(cè)試,在木次考核屮只有

11、合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次,若考核為合格,則授予10分降分資格;考核2 2 1 為優(yōu)秀,授予20分降分資格.假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為他們考核所得的等次相互獨(dú)立.(1) 求在這次考核屮,甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率;(2) 記在這次考核中甲、乙、丙三名同學(xué)所得降分z和為隨機(jī)變量求隨機(jī)變量& 的分布列和數(shù)學(xué)期望e(e)解析:(1)記“甲考核為優(yōu)秀”為事件a, “乙考核為優(yōu)秀”為事件b, “丙考核為優(yōu)秀”為事件c, “甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件e.則事件a, b, c是相互獨(dú)立事件,事件只b c與事件e是對(duì)立事件,11117于是 p(e) =1p( a b

12、c)=1 3x3x2 = i8-(2) l的所有可能取值為30, 40, 50, 60. 1 p(g=30)=p(a b c)=,p( e, =40) =p(a b"c ) +p( ibc" ) +p( i bc) = 8p ( g =50) =p (ab c ) +p (a b c) +p ( a bc), lo4p(g =60)=p(abc)=所以&的分布列為g30405060p158418181818/八1 .5 ,8 ,4145e( g ) =30x+40x+50x+60x=12. (2013 黑龍江哈爾濱六校聯(lián)考)現(xiàn)有4個(gè)人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動(dòng),該活動(dòng)有甲、

13、乙 兩個(gè)項(xiàng)冃可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰了決定自 己去參加哪個(gè)項(xiàng)冃聯(lián)歡,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲項(xiàng)冃聯(lián)歡,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去 參加乙項(xiàng)n聯(lián)歡.(1) 求這4人中恰好有2人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率;(2) 求這4個(gè)人屮玄參加甲項(xiàng)口聯(lián)歡的人數(shù)大丁去參加乙項(xiàng)口聯(lián)歡的人數(shù)的概率;(3) 用x, y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙項(xiàng)fi聯(lián)歡的人數(shù),記g=|xy|,求隨 機(jī)變量&的分布列與數(shù)學(xué)期望e(u.解析:依題意,這4個(gè)人中,每個(gè)人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率為去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡 的概率為|設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡”為事件ai (1 = 0, 1,2

14、, 3, 4),則p(ai)=c旦279故 p(b)=p(a3)+p(ad=c(1)這4個(gè)人小恰好有2人玄參加甲項(xiàng)口聯(lián)歡的概率p(a2) = d設(shè)“這4人中去參加甲項(xiàng)f1聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項(xiàng)f1聯(lián)歡的人數(shù)”為事件b, b =a3u a.1,這4人屮去參加甲項(xiàng)口聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項(xiàng)fl聯(lián)歡人數(shù)的概率為*(3) e的所有可能取值為0, 2, 4.8p(e =0)=p(a2),p(e =2)=p(a!)+p(a3) =4081148 莎p( e =4) p(ao) + p(ai)所以&的分布列是024p84017278181e(8 ,40 ,17= 0x-+2x-+4x-=分享一些學(xué)

15、習(xí)的名言,讓學(xué)習(xí)充實(shí)我們的生活:1、在學(xué)習(xí)中,在勞動(dòng)屮,在科學(xué)小,在為人民的忘我服務(wù)中,你可以找到自己的幸福。一 連斯基2、讀書是學(xué)習(xí),使用也是學(xué)習(xí),而且是更重要的學(xué)習(xí)。一毛澤東3、人不光是靠他生來(lái)就擁有一切,而是靠他從學(xué)習(xí)中所得到的一切來(lái)造就自己。歌徳4、正確的道路是這樣:吸取你的前輩所做的一切,然后再往前走。一列夫托爾斯泰5、夫?qū)W須志也,才須學(xué)也。非學(xué)無(wú)以廣才,非志無(wú)以成學(xué)。諸葛亮6、科學(xué)研究好彖鉆木板,有人喜歡鉆薄的;而我喜歡鉆厚的。愛(ài)因斯坦7、學(xué)習(xí)必須與實(shí)干相結(jié)合。一泰戈?duì)?、學(xué)而時(shí)習(xí)z,不亦說(shuō)乎?一孔子9、鳥欲高飛先振翅,人求上進(jìn)先讀書。一李苦禪10、求學(xué)的三個(gè)條件是:多觀察、多吃苦

16、、多研究。加菲勞11、知識(shí)冇如人體血液一樣的寶貴。人缺少了血液,身體就要衰弱,人缺少了知識(shí),頭腦就要枯竭。 高士其12、與肝膽人共事,無(wú)字句處讀書。一周恩來(lái)13、情況是在不斷的變化,耍使自己的思想適應(yīng)新的情況,就得學(xué)習(xí)。一毛澤東14、科學(xué)的白負(fù)比起無(wú)知的自負(fù)來(lái)還只能算是謙虛。斯賓塞15、少年讀書,如隙中窺月;中年讀書,如庭中望月;老年讀書,如臺(tái)上玩月。皆以閱歷之深淺,為 所得z深淺耳。一張潮16、青年是學(xué)習(xí)智慧的時(shí)期,屮年是付諸實(shí)踐的時(shí)期。一盧梭17、讀書百遍,其義自見(jiàn)。三國(guó)志讀書志在圣賢,為官心存君國(guó)。一朱用純19、德可以分為兩種:一種是智慧的德,另-種是行為的徳,前者是從學(xué)習(xí)中得來(lái)的,后者

17、是從實(shí)踐 中得來(lái)的。一亞里士多德20、虛假的學(xué)問(wèn)比無(wú)知更糟糕。無(wú)知好比一塊空地,可以耕耘和播種;虛假的學(xué)問(wèn)就彖一塊長(zhǎng)滿雜草 的荒地,兒乎無(wú)法把草拔盡。一廉因21、人的天才只是火花,要想使它成熊熊火焰,哪就只冇學(xué)習(xí)!學(xué)習(xí)。一高爾基22、書到用時(shí)方恨少,事非經(jīng)過(guò)不知難。一陸遊23、書籍是刖友,雖然沒(méi)冇熱情,但是非常忠實(shí)一雨果24、任何一個(gè)人,都耍必須養(yǎng)成h學(xué)的習(xí)慣,即使是今天在學(xué)校的學(xué)生,也要養(yǎng)成白學(xué)的習(xí)慣,因?yàn)?遲早總要離開學(xué)校的!自學(xué),就是一種獨(dú)立學(xué)習(xí),獨(dú)立思考的能力。行路,還是要靠行路人白己。一華 羅庚25、學(xué)習(xí)從來(lái)無(wú)捷徑,循序漸進(jìn)登高峰。一高永祚26、活著就要學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)不是為了活著。一培根

18、27、立志宜思真品格,讀書須盡苦功夫。阮元28、讀書是易事,思索是難事,但兩者缺一,便全無(wú)用處。一富蘭克林29、經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越冇力屋。一高爾基30、學(xué)習(xí)要冇三心,一信心,二決心,三恒心。陳景潤(rùn)31、興于詩(shī),立于禮,成f樂(lè)。一孔子32、書本上的知識(shí)而外,尚須從生活的人生屮獲得知識(shí)。一茅盾33、不讀書的人,思想就會(huì)停止。狄德羅34、知識(shí)是引導(dǎo)人生到光明與真實(shí)境界的燈燭,愚暗是達(dá)到光明與真實(shí)境界的障尙,也就是人生發(fā)展 的障礙。李大釗35、“先生不應(yīng)該專教書,他的責(zé)任是教人做人;學(xué)生不應(yīng)該專讀書,他的責(zé)任是學(xué)習(xí)人生z道?!?。 陶行知36、天賦如同自然花木,要用學(xué)習(xí)來(lái)修剪。培根37、如果學(xué)生在學(xué)校里學(xué)習(xí)的結(jié)果是使自己什么也不會(huì)創(chuàng)造,那他的一生永遠(yuǎn)是模仿和抄襲。列 夫托爾斯泰38、讀書不要貪多,而是要多加思索,這樣的讀書使我獲益不少。一盧梭39、求學(xué)將以致用;讀書先在虛心。對(duì)聯(lián)集錦40、如果把生活比喻為創(chuàng)作的意境,那么閱讀就像陽(yáng)光。一池莉41、路漫漫其修道遠(yuǎn),吾將上下而求索。一屈原42、讀不在三更五鼓,功只怕一曝十寒。郭沐若

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