高一數(shù)學(xué)必修1第一章知識點總結(jié)

1、高一數(shù)學(xué)第一章集合與函數(shù)概念知識點總結(jié)一、集合有關(guān)概念1、集合的含義：把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。2、集合的中元素的三個特性：元素的確定性元素的互異性元素的無序性3、集合與元素的關(guān)系：屬于與不屬于關(guān)系元素a與集合m的關(guān)系是am，或者am，兩者必居其一. 4、集合的表示列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用大括號“ ”括起來表集合的方法叫做列舉法描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作： n 正整數(shù)集 n* 或 n+ 整數(shù)集 z 有理數(shù)集q 實數(shù)集 r 復(fù)數(shù)集 c 5、集合的分類：(1) 有限集：含有

2、有限個元素的集合(2) 無限集：含有無限個元素的集合(3) 空集：不含任何元素的集合例： x|x2=5二、集合間的基本關(guān)系1. “包含”關(guān)系子集對于兩個集合a與 b, 如果集合 a中的任何一個元素都是集合b中的元素 , 即若aa,則ab,我們就說集合 a包含于集合b,或集合 b包含集合a,記作 a? b,這時我們說集合a是集合 b的子集 . 注意：ba有兩種可能（ 1）a是 b的一部分，； （2）a與 b是同一集合。反之 : 集合 a不包含于集合b,或集合 b不包含集合a, 記作 ab或 ba 2 “相等”關(guān)系：元素相同則兩集合相等即：任何一個集合是它本身的子集。a a 真子集 : 如果 a

3、b,且 a b 那就說集合a是集合 b的真子集，記作ab(或 ba) 如果 ab, bc , 那么 ac 如果 a b 同時 ba 那么 a=b 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 個元素的集合，含有2n個子集， 2n-1 個真子集 , 2n-2 個非空真子集。三、集合的運算運算類型交集并集補集定義由所有屬于a 且屬于b 的元素所組成的集合, 叫做a,b 的交集 記作 ab （讀作 a 交 b ） ，即ab=x|xa，且 xb 由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗 的元素所組成的集合，叫做a,b 的并集 記作： ab（讀作 a 并b

4、） ， 即ab =x|xa，或 xb) 設(shè) s是一個集合， a是 s的一個子集，由 s中所有不屬于a 的元素組成的集合，叫做s中子集 a的補集記作acs，即 csa=,|axsxx且韋恩圖示ab圖 1ab圖 2性質(zhì)aa=a a=ab=ba aba abb aa=a a=a ab=ba ababb (cua) (cub)= cu (ab) (cua) (cub)= cu(ab) a (cua)=u a (cua)= s a 二、函數(shù)的有關(guān)概念1、函數(shù)的概念： 設(shè) a、b是非空的數(shù)集， 如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f ，使對于集合a中的任意一個數(shù)x，在集合 b中都有唯一確定的數(shù)f(x) 和它對應(yīng)，那

5、么就稱f ：ab為從集合a到集合 b的一個函數(shù)記作：y=f(x)，xa 其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x 的值相對應(yīng)的y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| x a 叫做函數(shù)的值域注意：a定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合 .(6)指數(shù)為零底不可以等于

6、零， (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義. 相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；定義域一致 ( 兩點必須同時具備 ) b值域 : 先考慮其定義域直接法：從自變量x 的范圍出發(fā)，推出y=f(x) 的取值范圍，適合于簡單的復(fù)合函數(shù)；換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y 的取值范圍；適合分母為二次且r 的分式；分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x 有范圍限制時要畫圖）；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域；利用對號函數(shù)幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，

7、轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)c區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間無窮區(qū)間2、函數(shù)的表示法：解析法、圖像法和列表法(1) 分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。各部分的自變量的取值情況分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(um),u=g(x)(xa), 則 y=fg(x)=f(x)(xa) 稱為 f 、g 的復(fù)合函數(shù)。(2) 映射一般地，設(shè)a、b 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f ，使對于集合a 中的任意一個元素 x，在集合b中都有唯一確定的元素y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f ：ab為從

8、集合a 到集合 b的一個映射。記作“f （對應(yīng)關(guān)系） ：a（原象）b（象） ”對于映射f：ab來說，則應(yīng)滿足：集合a中的每一個元素，在集合b中都有象，并且象是唯一的；集合a中不同的元素，在集合b中對應(yīng)的象可以是同一個；不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。三、函數(shù)的基本性質(zhì)1. 函數(shù)的單調(diào)性( 局部性質(zhì) ) （1）增函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為i ，如果對于定義域i 內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng) x1x2時，都有f(x1)f(x2) ，那么就說f(x)在區(qū)間 d上是增函數(shù) . 區(qū)間 d稱為 y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間. 如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值x1，x

9、2，當(dāng) x1x2 時，都有 f(x1)f(x2) ，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間 d稱為 y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間. 注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2） 圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有( 嚴格的 ) 單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. (3). 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(a) 定義法： 任取 x1，x2d，且 x1x2；作差f(x1) f(x2) ；變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差 f(x1) f(x2) 的正負）；下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給

10、定的區(qū)間d上的單調(diào)性） (b) 圖象法 (從圖象上看升降) (c) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x) 的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 , 不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 2、函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x) 的定義域內(nèi)的任意一個x，都有 f( x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x) 的定義域內(nèi)的任意一個x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數(shù)（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸

11、對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；確定f( x) 與 f(x) 的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若 f( x) = f(x) 或 f(x) f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)；若f( x) =f(x) 或 f( x) f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù). 若對稱， (1) 再根據(jù)定義判定; (2) 由 f(-x)f(x)=0 或f(x)f(-x)=1來判定 ; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 . 3、函數(shù)的解析表達式（1）. 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域. （2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：湊配法待定系數(shù)法換元法消參法4、函數(shù)最大（小）值利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）