高考數(shù)學常用公式及重要知識記憶檢查素材(精）

1、高考數(shù)學（文科）常用公式及重要基礎(chǔ)知識記憶檢查目錄第一章集合與常用邏輯用語2第二章函數(shù)3第三章倒數(shù)及其應(yīng)用7第四章三角函數(shù)8第五章平面向量12第六章數(shù)列13第七章不等式15第八章立體幾何17第九章平面解析幾何19第十章fin統(tǒng)計及統(tǒng)計案例24第十一章算法初步及框圖25第十二章推理與證明26第十三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入26第十四章幾何證明選講26第十五章坐標系和參數(shù)方程27第十六章不等式選講第一章 集合與常用邏輯用語1.集合的基本運算anb=x|xa,fix6b. aue=&i工wa,或工£.=且3.識記重耍結(jié)論：acb = a o ab ; ajb = a<>

2、ab cu(ajb)= cuaccub；cu(anb)= cuaucub4. 對常用集合的元素的認識®a = xx23x-4 = q中的元素是方程x2+3x-4 = q的解,a即方程的解集；®b = xx2+x-6<0 4'的元素是不等式x2+x-6< 0的解，b即不等式的解集；(3) c = y = x2 + 2x-1,0 < x < 5| 中的元素是函數(shù)y = x2 +2x-l,0<x<5 的函數(shù)值,c 即函數(shù)的值域；d = xy = og2x2 + 2x-1)中的元素是函數(shù)尹=log2(x2 + 2x-1)的定義域，d即函數(shù)

3、 的定義域； m = (x,y)y = 2x-3屮的元素可看成是關(guān)于"的方程的解集，也可看成以方程 y = 2x-3的解為坐標的點，m為點的集合，是一條直線。5. 集合即如,的子集個數(shù)共有2個；真子集有2 - 1個；非空子集有2” -1個；非空的真了集有2" -2個.6. 方程/(x) = 0在& ,也)上有且只有一個實根，與/&)/伙2)v 0不等價，前者是后者的 一個必要而不是充分條件.特別地，方程處2+加+。二0(0北0)有且只有一個實根在內(nèi)，等價于./&)/伙2)<0或/&)二0且禺<_?<如2a 2或 jk2) =

4、 0 且-<v心22a -7. 閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題：二次函數(shù)f(x) = ax2 + bx + c(q h 0)在閉區(qū)間p, g上的最值只能在x = -處及區(qū)間的兩 2a端點處取得，具體如下：；二次函數(shù)在閉區(qū)間 ;上必侑最值，求最值! ;問題用“兩看法”：! ;一看開口方向；一看! ;對稱軸與所給區(qū)間 ;的相對位置關(guān)系。(1)當 8>0 時， 若x =e p,qr則有2q/(兀)min =/(-£)，/(anax =max/(p),/(?): 若x = ep,g，則有2a/(嘰x = max /(p),/s)，/(嘰=min /(p),/(g)當a0時，若x =

5、 -ep,qf 則有/(x)min = min/(p),/(?), 若x纟陽則有/(嘰x =max/(p),/(g), /wmin = min/(),/().la8. a>/(x)«a>/(%)_；心/o*/(x)l9. 由不等導相等的有效方法：a>bra<b,則a = b.10. 真值表結(jié)論的否用同真為真| !同假為假 1真假相對常見都是個都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有n個至多有（巾一 1）個小于不小于至多冇比個至少有（巾+ 1）個對所有x,成立存在某兀，不成立p或qp r. c對任何x ,不成立存在某x,成立pllgp 或q是假真真原結(jié)論 至少有

6、一個il12.四種命題的相互關(guān)系 如右圖所示13.充要條件（1）若poq,則說p是g的充分條件，同時g是p的必要條件（2）充要條件：若png,則p是g的充要條件.另外：如果條件最終都可化為數(shù)字范圍，則口j轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來刻應(yīng)，二者邏輯關(guān)系一目了然。設(shè)a = xp（x）, b = xq（x）f若處b，則p是0的充分不必要條件; 若則q是"的宓'要不充分條件；若a = b,則卩是g的充要條件。第二章14. 函數(shù)的單調(diào)性設(shè)£ e wa,b,x工兀?那么（x廠吃）/（西）_ /（兀2）0。""j 一 /山）0。/在上是增函數(shù);（x, -x2）/（%

7、!）-廣也）v ° o /（兀）一 /（兀）v o o在a,b上是減函數(shù).x -x2(2) 設(shè)函數(shù)y = f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果/'(兀)>0,則/為增函數(shù)；如果ff(x) < 0, 則/(x)為減函數(shù).單調(diào)性性質(zhì)：增函數(shù)+增函數(shù)二增兩數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)二減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)二增函數(shù)：減函數(shù). 增函數(shù)二減函數(shù)； 注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交集。15. 復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù)(增函數(shù))，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+ g(x)也是 減函數(shù)(增函數(shù))；對于復合函數(shù)y =

8、 fg(x)的單調(diào)性,必須考慮y = f(u)與 u = g(兀)的單調(diào)性,從而得出y = /g(x)的單調(diào)性。小結(jié)：同增異! ;減。研究函數(shù)! 的單調(diào)性，定: 義域優(yōu)先考 !慮，且復合函； ：數(shù)的單調(diào)區(qū)間； !是它的定義域: |的某個子區(qū) !間。!y=/(«)” = g(x)y=/g(x)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)若/是偶函數(shù)則/(x) = /(-%) = /(|x|)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；偶函數(shù)在16. 函數(shù)的奇偶性(注：奇偶函數(shù)大前提：定義域必須關(guān)于原點對稱)x>0和x<0上具冇相反的單調(diào)區(qū)間。定義域含零的奇函數(shù)必

9、過原點(可用于求參數(shù))；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；奇函數(shù)在x>0 和xvo上具有相同的單調(diào)區(qū)間。判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式:/(-x)=±1(/(兀片0)奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點対稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來， 如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸 對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).(5)多項式函數(shù)p(兀)=%” + %兀門+勺的奇偶性多項式函數(shù)p(x)是奇函數(shù)o p(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)卩(兀)是偶函數(shù)o p(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.17. 函數(shù)y = /(x)的圖象

10、的對稱性：函數(shù)尹二/任)的圖象關(guān)于總線x = 67對稱 u> /(a + x)二 f(a 一 x) u> /(2a -x) = /(x).18. 兩個函數(shù)圖象的對稱性函數(shù)歹=/(x)與函數(shù)y = /(-x)的圖象關(guān)于直線x = 0 (即y軸)對稱.(2)函數(shù)尹=/(%)與函數(shù)y = /(x)的圖象關(guān)于直線y = 0 (即x軸)對稱.(3)指數(shù)兩數(shù)尹=/和j =的圖象關(guān)于直線y=x對稱.19. 若將函數(shù)y = f(x)的圖象右移上移方個單位，得到函數(shù)y = f(x-a) + b的圖象; 若將曲線/(x, y) = 0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線f(x-a,y-b) = o的圖

11、象20. 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系(指數(shù)函數(shù)y = ax和對數(shù)函數(shù)尹= log“x(q0,qhl) )：= 廣'(b) = a.21. 兒個常見抽象函數(shù)模型所對應(yīng)的具體函數(shù)模型正比例函數(shù) /(x) = kx, /(x + y) = /(兀)+ /(y),/(l) = k 指數(shù)函數(shù) /(x) = /, f(x + y) = /(x)/o),f(x-y) = /(兀)一 /(力,/(l) w h 0 (3)對數(shù)函數(shù)/(兀)=logx,xaxy) = /(x) + f(y), /(-) = /(x) 一 f(y f(a) = 1(。> 0衛(wèi)工 1)幕函數(shù)/(x)=屮，jxy) = .

12、/、/(刃,.八1) = a .(5)余弦函數(shù) /(x)= cos x ,正弦函數(shù) g(x) = sinx , f(x-y) = f(x)f(y)+g(x)g(y), /(0) = 1.如圖:23.幾個函數(shù)方程的周期(qho)1i22.對于尹=兀，y = x2, y = x3 f y = x2 , y =的圖象，了解它們的變化情況.(l)y = /(x)對w r時，/(x) = /(x + a),則/(x)的周期為a的周期函數(shù)/(x + a) = /(x- q)或f (x一 2(7)= f (兀)(° > 0)恒成立，則y=f (x)是周期為2a的周期函數(shù)若y = /(x)是偶

13、函數(shù)，其圖像乂關(guān)于直線x = a對稱，則是周期為2問的周期函數(shù) 若y=f(x)是奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x = q對稱，則是周期為4問的周期函數(shù)(5)尹=/ (x)對 x w 7?時,/(兀)+ /(" +q)= 0 或/(兀+ 0)=扶(/心0)，則尸/ 八x丿的周期2 a的周期函數(shù)24.兩數(shù)圖像變換y = f(x)圖象向上(b>0)或向下(bvo)移丨b丨單位 才向左(®>0)或向右(v0)移|蟲!單鐸點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍橫坐標不變點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/3倍縱坐標不變y = f(x) + b 圖象尹= /(x + 0)圖象尹=(兀)圖象 y = f(w

14、x)圖象25.分數(shù)指數(shù)幕m maw m ,且斤 > 1 )(1) an = yjcf ( q0,加，刃 w ns 且斤 > 1 ); (2) a "= 26 -根式的性質(zhì)(1)(麗)"=a ; (2)當乃為奇數(shù)時，a" = q ；當?7為偶數(shù)時，=a=' a,a < 027. 有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)(1) a' a" = a, +s (a > 0,r,5 g r) ; (2) (n )' = a" (a > 0,廠,s g r);(3) (ab)' = arb' (a >

15、 0,6 > 0,r e 7?).28. 指數(shù)式與對數(shù)式的互化式log“n = bo/ = n (g>0,qh1,n0).29. 對數(shù)的換底公式log nlogu n = (a0,且a h 1,加0,幾加 h 1, n0).°g,w aa?推論 log 川 hn = log<z h(6/ > 0, j_l(7 > 1, m. w>0,kml, /71, n0) ° m30. 對數(shù)的四則運算法則:若a>0, ahl, m>0, n>0,則(l) logrt(w) = log, m + log“ n ; log“ 等=log

16、“ m - log。n ;(3) loga mn = n log(/ m(n g r)；31. 對數(shù)有關(guān)性質(zhì)：(l)log,的符號有口訣“同正片負”記憶；(2)log/ = l；(3)log=0;對數(shù)恒等式：q呃n=n(g>0,qh1,n>0) log” = m - oga b :設(shè)函數(shù)f (x) = log,”(a，+ bx + c)(q工0),記a = 62 - 4ac .若f (x)的定義域為a ,則 q>0,且4 <0;若/(兀)的值域為/?,則。>0,且a>0.對于。=0的情形，需要單獨檢 驗.；32.對數(shù)函數(shù)歹=log “ x(a >0,6

17、71)的圖像和性質(zhì)分析：q的符號a>lovavl圖像yy10；o1泄義域(o , + 8 )值域(-co, +co )單調(diào)性在(0, +°°)上是增函數(shù)在(0, +°°)上是減函數(shù)過定點(1,°)函數(shù)值的分布情況ovxclll寸，yvo； 兀>1時,尹>0ovxclll寸，y>0； 兀>1時，y<0指數(shù)函數(shù)尹=/(q0衛(wèi)工)的圖像和性質(zhì)分析:a的符號a>0<67<1圖像y'1yj.x0x0 *定義域(一00,+00 )值域(0 , + 8 )單調(diào)性在(-oo,+oo)上是增函數(shù)在(_

18、oc,+oo )上是減函數(shù)過定點(0,1)函數(shù)值的分布情況x0時，yl； xvo吋，0尹1x0 時，0 v 尹 1 ；兀 0吋，尹 133.平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為n,平均増長率為p,則對于時間兀的總產(chǎn)值y ,有 y = n(py 第三章導數(shù)及其應(yīng)用34.導數(shù)的定義：/(x)在x。處的導數(shù)記作=lhn型=1爲心。+山)一心)0 心to心 心toru0)=yax35. (1) /(x)在(o,b)的導數(shù)概念：fx)= ” =妙=堂=lim 型=lim /(* + ")-/ dx dx &t。ax 山-oaxy = , y = x2f y = yfx 的導數(shù). x*

19、能根據(jù)導數(shù)概念求函數(shù)y = c (c為常數(shù))，y =36. 函數(shù)y = /(x)在點x。處的導數(shù)的兒傅寓冬:函數(shù)尹=/(x)在點x。處的導數(shù)是曲線尹二/(兀)在p(x0,/(x0)處的切線的斜率/'(%), 相應(yīng)的切線方程是尹-兒=.八xo)(x - x。).37. 兒種常見函數(shù)的導數(shù)cf = o (c為常數(shù))；(xn)' =nxf,'l(neq)；(3) (sinx)' = cosx ；(4) (cosx)' = -sin兀；(lnx)z = -； (log/y =丄log,；xx e)二，.38. 導數(shù)的運算法則法則 1 : "(x)

20、77; v(x)z = uf(x) ± vf(x)；法則 2 : w(x)v(x)z = wx)v(x) + w(x)vz(x)；法則3 :空丿(mi心小) l v(x) jv2(x)39.判別/(x()是極大(小)值的方法廠(當函數(shù)/(x)在點x()處連續(xù)時，1左正右負;(1) 如果在兀()附近的左側(cè)/r(x) > 0,右側(cè)fx < 0 ,則./go)是極大值極大值 ;(2) 如果在兀°附近的左側(cè)f(x) < 0,右側(cè)fx) > 0,則/(兀°)是極小值左負右正!;極小值 ;第四章三角函數(shù)40.終邊相同的介的集合：0|0二& +

21、2也wz;jr角度與弧度的換算：180說,1>面(呦,1心18071丿弧長與扇形的面積公式:弧長扇形面積s*扣.常見恒成立的三角不等式(給定范圍條件下) 若 x g (0,),則 sin x < x < tan x ；若 x g (0,),貝'j 1 < sin x + cos x<2 ；2 2 lsinxl + lcosxl>l.41 常用三角函數(shù)不等式及相關(guān)等式的解集：不含絕對值情況：sinx >cosx的兀集合是< x + 2k 兀 <x< + 2k7t, k44 sinx = cosx的兀集合是<x x = +

22、rti.k 4| 225。角終莎y彳5。角終邊ix半個刀亮爬上來3兀(2)含絕對值情況:®|sin x| > |cosx的x集合是 3； +k兀,k e zj : 的x集合是sinxccosx的x集合是71+ 2k 兀 <x< + 2k7i, k e z> 04兀.,71 xf k7t < x <i 4 |sinx = cosxi 135。角終邊彳護角終邊or x = + ,z:ez>；4所謂伊人 在水一方! |sinx| < |cosx的 x 集合是兀一彳+ £”vxvf + kg zr g z > o42. (1)対

23、于“ sin a + cos a,sin a- cos a9sina cos a ”這三個式了，已知其中一個式了的值,可以求出其余二式的值。三角兩數(shù)的誘導公式“奇變偶不變，符號看彖限，看左邊，寫右邊”形似角中的角q不論多大，都看作銳角；形似角在原名稱、原象限中的符號;180°+ 6/2x90°+6tsin(180° + «)=-sin q180° ”)2x90°-cr)sin(180°-6z)=sin a ,90°+&1x90°+asin( 90° + a) =cos a 990

24、6;-1x90°-asin( 900 - cr)=cos a270° + a3x90°+asin( 270 ° + a)=-cos a270°-a3x90°-asin( 270 0 - 6z)=-cos a360° + a4x90°+qsin( 360 ° + a)二sin a ,360°-a4x90°-asin( 360 () - cr)=-sin a9-a0x90°asin( -a) = -sina5;注意：總共兩套; 誘導公式（一套 ;是函數(shù)名不變；; ;另一套是函數(shù)名

25、 必須改變）：對于 ;余弦函數(shù)和正切;兩數(shù)的誘導公式； ;規(guī)律記憶同正弦 ；函數(shù)。:43.同角三角函數(shù)的棊本關(guān)系式：sin2 + cos2 = l, tan"巴也cos0推論：cos2 a => tan2 a 1 ；1 +tan" acos acosq = 土厶_,tanof = ±j1 (正負號取決于&所在的象限)v 1 +tarr av cos a和角與差角公式sin(6z± 0) = sin & cos 0 土 cos a sin 0 ; cos(a ± 0) = cos a cos 0 干 sin a sin 0

26、; 噸±0)=旦業(yè)鳴1 + tan cr tan 0sin(a + fl) sin(a - /?) = sin2 a - sin2 0 (正弦平方差公式); cos(a + 0)cos(q-0) = cos2 cr-sin2 /?(余弦平方差公式):asina + bcosq = ja2 +b2 sin（6z + （p）（輔助角（p所在象限由點（a,b）的象限決定，其小).has】n © =, cos / =如+夕yja2+b2二倍角公式：sin 2a = sin a cos a ； cos 2a = cos2 a 一 sin2 a = 2 cos2 a -1 = 1 一

27、2sin? a ；l:丁 厶匕八 7 c2 tan al-taira . o2 tan a:萬 葩公式：tan 2a = ； cos 2a =； ； sin la =；廠 1 一 taitg1 + tarra1 +tan a半角公式（降幕公式）: cos?:2 tan纟=21 + cos a. 2 ol 1 - cos a2a 1 - cos a=；sirr =；tarr =22221 + cosqsin a1 - cos a1+cos6zsincr44.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù) y = sin（qx + 0）, xgr 及函數(shù) = cos（qx + 0）, xgr（a, 3, “ 為常數(shù)，且

28、 ah0,3>0）的周期7 = ；cd7t函數(shù) y = tan(69x + cp) , x h £兀 + w z (a, 3 , © 為常數(shù)，且 aho, w >0)的周期 22.co45.類正弦函數(shù)y= asin（wx +（/）的圖像的變換（兩種辦法殊途同歸）作y=sinx （長度為2兀的某閉區(qū)間）的圖像沿x軸平移101個單位（左加右減）得y=sin（x+妙）的圖像橫坐標伸長或縮短到原來的十倍得y=sin（ 3 x+ 0）的圖像縱坐標伸長或縮|短到原來的a倍橫坐標伸長虬縮短到原來的+倍 得y=sin w x的圖像沿x軸平移i仝|個單位（左加右減） co 得y=

29、sin（ w x+ ）的圖像縱坐標仲氏或縮矩到原來的a倍得尹=asin（wx + 0）的圖象先d周期力兇日止加巻ijr.匕 類正弦函數(shù)y = asin（wx（/） + b（a>0）的參數(shù)計算：振幅 a = j；max - j；min , co = .b二兒朋+兒血，求©吋，一般代入最髙點或者最低點的處標后，利用已知三角函數(shù)值求角, 2再根據(jù)給定（p的范圍進而分析得到（p值。46.正弦兩數(shù)和余弦兩數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y = sinxy = cos xy=sinx %v=cosx y|圖像廠丫二2廠w廠人tv 廠 0丫2置 z2譏、丄/'0 衣2八x2兀3兀公、嚴'/

30、心20心2、f%創(chuàng)2 2hx7"定義n域k值域-1,1x = + 2k；r,k z 時，pmax = 1x = 2s"z時，ymax = 1最值2x = - 仝 + 2k兀、k g z 日寸，pmin = 一】 2x = 2k + )7t,k ez 時，/nin=-l單調(diào)xw - y + ikn (k e z )時，增函數(shù)兀 w2z7r,(2k + l);r (a gz) h寸，咸函數(shù)性 x 2 + 2k7r，2時，減函數(shù)xw(2k_l)”,2£r,(k wz)時'增函數(shù)奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)性周期最小正周期為2龍性對稱性對稱軸：x = k7t,k wztt對稱

31、屮心：(k g z2對稱軸：x = % + k兀、kwz對稱中心：伙龍,0) kez47.正切隊|數(shù)的圖像和性質(zhì)兩數(shù)y = tan x圖像丿1肩簫席:計燈小“,p丿7/)it定義域x豐三+ 1兀吐w.z、值域r單調(diào)性x e 一彳+&龍，才+ r;r )(& g z ) 口寸，增函數(shù)奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期為龍對稱性k冗對稱中心：(,0) kwz248. 正弦定理：上一=。一=丄二=2/?. (r為abc外接圓的半徑，也是外接圓半徑的-種算法。)sin sin 5 sinca = 2rsina,h = 27? sin b,c = 2r sin c a: b:c = sin a

32、: sin 5 :sinc廠、q b c _ -. sin asinc . sin 叭，廠等哋r; = 2rna = b, c = a, b = c等;；號位;sin a sin 5 sincsin bsin asin c | 兩 相 ia b c cn - n 67邊同= = = 27? => sin = sin 5, sin c = sin / ,| sin a sin b sincba|lsin 5 = sinc-等；c余弦定理：2 以 2" aa b > 2 _ 2c2 = a2 + b2 2ah cos c n cos c =.lab正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解題

33、常與三角形內(nèi)角和定理相伴；解題吋注意一種重要關(guān)系: 在m3c屮，給定角/、3的正弦或余弦值，則角c的正?；蛴嘞矣薪?即存在) o cos a + cos b >0 +c2-a2a = tr +c 一 2bc cos a => cos a =2bc,992 o dd ct+cr-b12aco =+ a 2ca cos b => cos b =49. 三角形內(nèi)角和定理：在aabc中，a + b + c = 7roc = 7r-(a + b) o£ = ? ±to2c = 2% 2(/ + b)2 2 250. 面積定理(1) 5 = aha = bhb = c

34、hc ( ha> hh> 巾.分別表示 a、b c 邊上的高).2 2 2(2) s = ab sin c = bcsma = casing2 2 2(3) smbc = 2f sin / sin b = 2r2 sin & sin c = 2r2 sincsinb (其中 r 為 abc 的外接圓 的半徑)s&bc=(r為mbc外接圓的半徑，也足外援囲半彳剎fj二種算迭。)s“be二丄丁 （a + b + c）（其屮廠為mbc的內(nèi)切圓的半徑，也鏈號申內(nèi)w團半程臭2法。順便說下，肓角三角形中內(nèi)切圓的半徑f=zb-c ,其中q、b為兩條直用邊，c為斜 2邊。）sa肋c

35、冷jp（p-a）（p-b）（p-c）（其中/?=£±|±£>海倫公式）s沖 =* j（l刃i i西1尸（刃西尸（注意：此時以羋杯原點刀二個映處的三角形的而積公式）；設(shè)力（不,必），（兀2，力），則s,陽第五章平面向里51.向量的加減法的代數(shù)結(jié)構(gòu)：1:首首接尾尾聯(lián)1ab + ab = ab :尾首接首尾聯(lián)(2) ob -oa=ab指向被減向量 :52平面向最基木定理如果e】、e 2是同一平血內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平血內(nèi)的任一向量，有且只 有一對實數(shù)入】、入2,使得a二入e+入2®.（不共線的向量e】、e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

36、 的一組基底.）53. 向量平行與垂直的處標表示：設(shè)°二（兀,尹）,芫（兀2，必），且忌工6,則 a / b （b h 0） u> 兀|旳一兀2必=0； a 丄 box|*2 + 卩力=0.54. a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）:ab=a |b|coso .其幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長度 lai與b在a的方向上的投影iblcos（）的乘積.55. 平而向量的坐標運算設(shè)a二（西j）,b二（兀2，必），則a+b=o| +兀2，必+必）；設(shè) a 二（西 j）,b 二（兀2，必），則 a-b=（x| -兀2，/ -兒）；設(shè) a(x,y), b(x2,y2),則 ab = ob - oa

37、 = x2 - xy2 - y) (4) 設(shè) a=(x,y),2e7?,則 a a= (2x, ay)；(5) 設(shè) a二(西，y),b 二(兀2，尹2)，則 a b= (xx2 + yy2).56. 兩向量的夾角公式：cos&二 刃“2（滬（兀,北），b二（花，），jx；+y；57. 平面兩點間的距離公式：dab = ab 1= j ab ab = yj（x2 -x）2 +（y2 -y2 （a , y）, b（x2,y2）.58. 線段的定比分公式：_設(shè)斥（西,必），£（兀22），戶任丿）是線段目馬的分點，2是實數(shù)，且垂=久陽，貝ix + ax.x = !<1 +幾 o

38、 麗= 0p"op）o 帀=/兩+（i_（）遞（/=!）.v. + 2%i + a 1 + av =i 1+2 中點的向量形式：平面內(nèi)，設(shè)線段的中點為c, 0為直線外任意一點，則冇oc =xj +xjx =設(shè)此吋力（西j ）, b （兀22 ），則屮忠c（x）也半標谷去必+尹2259.三角形的重心坐標公式：aabc三個頂點的坐標分別為a（xp y】）、b（x2, y2） > c（x3, y3）,則zxabc的重心的坐標是g（e+x2+»h+兀+兒）.60. 三角形四“心”向量形式的充要條件 設(shè)0為abc所在平面上一點，角abc所對邊長分別為abc,則(1) 0 為 a

39、bc 的外心 o oa =ob2 =oc(2)(3)o為 mbc 的重心o oaob + oc = ().o為 abc 的垂心ocmob = ob oc = oc oa.（4） o為abc的內(nèi)心o碩+ b而+ c況=b.第六章 數(shù)列61. (dg然數(shù)和公式：廠/7(力+ 1) 1 + 2 + + 斤二l .2刃（巾+ 1）（2巾+ 1） 1 + 2 + + / = 4 常見的拆項公式：1斤（川+ 1）丄_1刃（斤+ 1）（斤+ 2）22n-l 2乃 + 1丿_丄 _j12 乃（/? + 1）（乃 + 1）（/7 + 2） 士何列 心”一昭（淪2）.數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系s” 二s”+

40、q”g2）（注：該公式對任意數(shù)列都適川）（注：該公式對任意數(shù)列都適川）62. （1）等差數(shù)列的通項公式:一般式：an = 67, +（ 一 1）（ g n*）；a a 推廣形式：an = am + （刃一 rn）d ； d =- n-m 前斤項和形式a=s-s-（/?n2）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）其前n項和公式為:n（ax + ayl）n（n - i） 7 d 71 八2= “ *=寸 * 5 2d）n -斷匕為等隸咧o 5 - = d（為常數(shù)）o 2an =aw+1 + an_（刃 n 2, w n*） o= an+ b<> an2 + bn常用性質(zhì): 若m+n=p+q ,

41、則有am + an = ap + aq ；特別地:若q”是,勺,的等差中項,則有2 am =勺+ a” o n、m、p成等差數(shù)歹！j； 等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如坷+偽+為，0 +他+% 6 +還+。9 '）仍是等差數(shù)列； 陽為等差數(shù)列,s”為其f nw，貝! s£m-s£»-sm，s*s知也成等差數(shù)列； 5=4耳=戸，則礙+廠°；c c a如+ 1） 1 +2+3+n=263.等比數(shù)列的通項公式：一般形式：=q推廣形式：aajqf ,叢斗工1或 5w =< 1-<?naq = 其前n項的和公式為：sn=<

42、1-q”m，q = l炯勺為等l渤<=>= q(q h 0)<=> 色2 = %_ > 0(/7 > 2,刃 w n+) o an = q (廣'an(q、q 土 0, n w no s八=a g" + b常用性質(zhì)： 若m+n=p+q ,則有am -an = ap -aq ；特別地:若q”是a”,竹的等比中項,則有aj = a” a” o n、m、p成等比數(shù)列; 等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如q +勺+$，印+他+% 6 +勺+為，）仍是等比數(shù)列； 色為等比數(shù)列，s”為其前n項和，則,52m-5w,s3w-s2zw, 54w

43、-53w,.也成等比數(shù)列（僅當當q h -1或者q = -且加不是偶數(shù)時候成立）;設(shè)等比數(shù)列bfj的顧n現(xiàn)積為tn則眾,成等比數(shù)列.第七章 不等式64 常'用不等式： g 7? => <72 +/?2 > 2ab （當且僅當 a=b 時取"二”號）；心心寧'陌(當且僅當a=b時取“號)； a 一 問 5 q + 闿 5 a + |z>|.65.極值定理已知兀都是正數(shù)，則有r(1) 若積xy是定值p，則當x = y時和x + y有最小值2 j萬:!i(2) 若和x + y是定值s,則當x = y時積卩有最大值s2.4推廣形式：已知兀，尹g r ,

44、則有(x + y)2 = (x- y)2 + 2xy“一定二正三相等”i積定和最小|和定積最大|lj(1) 若積xy是定值，則當lx-y丨授大時,i x + y im大；當i兀一尹i最小時，丨工 + y丨最小.(2) 若和x + y是定值，貝i當 x-y最大時，丨卩1最?。划?x-y最小時，丨卩i最大. 66.一元二次不等式 ax2 +bx + c> 0(或 v 0) (a 工 0, = b，- 4ac >0),如果。與 ax2+bxc同號，則其解集在兩根之外；如果q與ax2bx + c界號，則其解集在兩根之間. 簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.r* <兀¥ 0

45、(一和("兀2)<03 5)； 對4二喬贏：蘇茲廠 x v x,> x2 o(x x )(x x> 0(xj < x7) . !*_*_j 簡單的高次不等式的解法：數(shù)軸標根法(穿針引線法)。注意重因式的處理，奇次重根一次 穿過，偶次重根穿而不過。例如：(x + 3)2(x + 1)(x-1)3(x-5)<0,如圖.3 廠、j5廠從圖中 易知 解集為a(-8,-3)11(-3,-1)u(1,5) 一元二次方程的根的分布情況：設(shè)西是實系數(shù)二次方程67x2+ax + c=o(67>o)的兩個 實根，則坷的分布范圍與二次方程系數(shù)z間的關(guān)系，如下表所示：67

46、. 含有絕對值的不等式，當a> 0 時，有? 2x < a < a <> -a < x < a .x > ax > a 或x < -a大射線小線段! iu68. (1)理解絕對值的兒何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：a + b<a + b, a,b w r ；a-h<a-c + c-hf a,b w r .(2) 會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式： ax+ b<c ； ax+ h>c ；x-c + x-b> a.69. 無理不等式/(x) > 0(1)> jg(x

47、) o、g(x) > 0；/(兀)> g(x)/(x) > 0廠八r / (x) > 0 j./ (x) > g(兀)o g(兀)n o 或 ；? g(x) < 0l/(x) > g(x)23/(x) > o(3) j/(x) v g(x) o < g(x) > 070. 指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1) 當 al 時，fm > org > a8(x) o f (兀)> g(x) ； log“ f (x) > log“ g(x) o < g(x) > 0/(x) > g(x)(2) 當0 vqv

48、1 時，am > ag(x) o /(x) < g(x);/> 0log%) > log“ g(x) o < g(兀)> 0fm < g(x)第八章 立體幾何71. 常用公理和定理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平而內(nèi)，那么這條直線在此平而內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點，有門只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理：空間屮如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補. 平而外一條直線與此平而內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平而平行. 一個平面

49、內(nèi)的兩條相交直線與另一個平而平行，則這兩個平面平行. 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直. 一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直. 一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平ifii的交線與該直線平行. 兩個平血平行，則任意一個平而與這兩個平而相交所得的交線相互平行. 垂直于同一個平面的兩條直線平行. 兩個平血垂肓，則一個平血內(nèi)垂肓于交線的肓線與另一個平面垂肓.72.三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）?tl 了、 i ezet 亡c 土、 八 小 口一 r-u a/, /-r73. 空間兩點間的距離公式若人（召,兒可），b（x2,j；2,z2）,拐則

50、 da b = ab 1= ab ab = /七一兀孑+一y）2+（z2zj2 ./74. 面積射彫定理：5 = .（平面多邊形及其射影的面積coso氣分別是s、s',它們所在平面所成銳二面角的為&）如圖。75. 己知：長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為訂“、國（x、卩、丫 ,因此有cos 6z + cos2 0 + cos? / = 1 ;若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為q、0、y ,則wcos2 a + cos2 0 + cos2 y = 2。（線線面 12）76棱錐的平行截面的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相

51、似，截面面積與底面面積 的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相 似多邊形，相似多邊形而積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比 等于頂點到截而距離與棱錐高的平方比）若每個頂點引出的棱數(shù)為加，貝山.77. 球 球的半徑是r,貝u其體積v = -ttr3 ,其表面積s = 4兀2 :3 球的半徑（r）,截面圓半徑（廠），球心到截面的距離為（d）構(gòu)成直角三角形，因而有關(guān) 系：r = r2-d2 ,它們是計算球的關(guān)鍵所在。78. 球的組合體（1）球與長方體的紐合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.（2）球與正方體的纟r合體：正方體

52、的內(nèi)切球的肓徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的宜 徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線氏.（3）球與正四面體的組合體：棱長為q的正四面體的內(nèi)切球的半徑為a,外接球的半79. 柱體、錐體的體積v=sh （s是柱體的底面積、是柱體的高）；&體=丄$力（s是錐體的底面積、 力是錐體的高）.80. 空間向量的直角處標運算：設(shè)q =（x, j/,z）,5 = （*2,夕2,z?）,貝iq + b = （x +兀2，必 + 尹2，可 +z2）； q b = （x 工2,必一尹2，可一乙2）； qb = xx2 + y2z2 ；a 厶 u> x二 ax2,y = ay

53、2,z, = xz2 （a g 7?）=；一"一兀2旳 z281.a 丄為 o xjx2 + yy2 + zjz2 = 0 二而角a-l-p的平而角計算（夾角）公式：設(shè)方z為平而a, 0的法向量。通常情況下,若已知° =（西,兒可）,了 =（兀22,22），則cosq,»ylx+y+z； ylx +y+z82. 空間兩點的距離公式：設(shè)/i = （xpy,z1）,5 = （x2,2,z2）, 則 如b = j（x】一兀2+（/ -尹2+（可一勺）2 -83. 高中數(shù)學角的范圍： 向量夾角:0° ,180° ； 直線的傾斜角:0° ,18

54、0° ）； 共面直線的夾角:0° ,90° ； 直線和平面夾角:0° ,90° ； 界面直線夾角：（0° ,90° ； 二面角：0° , 180° jo第九章平面解析幾何84. 斜率公式_/ 龍、 k = （r（x,y）、px2,y2） = tan <7 a 豐一.卷_禹i 2丿 曲線y=f（x）在點e（xo,坯）處的切線的斜率£ = /"（%）,切線方程： "廣（兀0）（兀-兀0）-坯 直線y = kx + b的一個方向向量為（1,町85. 直線的五種方程（二腰兩處斜

55、截砸）（1）點斜式y(tǒng)-y =kx-x （直線/過點斥（x,yj,且斜率為/：）.（2）斜截式y(tǒng) = kx + b為總線/在y軸上的截距）.（3）兩點式 （h h%）（斥（x|j）、只（u2）（壬工也）.yi-y兀2_旺-（4）截距式 - + = 1（ b分別為直線的橫、縱截距，a、bho）a h（5）一般式 ax+by + c = 0（k中 a、b 不同吋為 0）.86. 兩條直線的平行和垂直（1）若 h： y = k、x + b, l2: y = k2x + b2£ iia u> 何=k2,b h d ；厶丄 a o kk? = -1 （2）若 /, ax + by 4- cj = 0,厶：?尹 + g = 0,且 a】、a2、b】、b2 都不為零,厶11厶0竝=邑工5；厶