(word完整版)2019年高考真題數(shù)學(xué)(江蘇卷含答案),推薦文檔

1、3下圖是一個算法流程圖，則輸出的S 的值是 2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)數(shù)學(xué)I注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1 本試卷共 4 頁，均為非選擇題(第 1 題第 20 題，共 20 題)。本卷滿分為 160 分，考試時 間為 120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3請認(rèn)真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符。4作答試題，必須用0.5 毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5如需作

2、圖，須用 2B 鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：樣本數(shù)據(jù)X1,X2，,Xn的方差S21x X2，其中X - Xini 1ni 1柱體的體積 VSh,其中 S 是柱體的底面積，h 是柱體的咼.錐體的體積V1Sh，其中 S 是錐體的底面積，h 是錐體的咼.3一、填空題：本大題共14 小題，每小題 5 分，共計 70 分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1 已知集合A 1,0,1,6,B x|x 0,XR，則AI B.2已知復(fù)數(shù)(a 2i)(1 i)的實部為 0,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù) a 的值是 .4函數(shù)y 7 6x x2的定義域是.5.已知一組數(shù)據(jù) 6, 7, 8, 8, 9

3、, 10,則該組數(shù)據(jù)的方差是.6從 3 名男同學(xué)和 2 名女同學(xué)中任選 2 名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2 名同學(xué)中至少有 1 名女同學(xué)的概率是.27.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2每1(b 0)經(jīng)過點(3, 4)，則該雙曲線的b漸近線方程是.&已知數(shù)列an( n N*)是等差數(shù)列，Sn是其前 n 項和若a?a5a*0,S927,則S*的 值是 .AiBiCiDi的體積是 120, E 為CCi的中點，則三棱錐 E-BCD 的體積是 9如圖，長方體ABCD10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P 是曲線y x -(x 0)上的一個動點，則點P 至煩線xx+y=0 的距離的最小值是.1

4、1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點 A 在曲線 y=lnx 上，且該曲線在點 A 處的切線經(jīng)過點(-e,-1)(e 為自然對數(shù)的底數(shù))，則點 A 的坐標(biāo)是厶12.如圖，在AABC中，D 是 BC 的中點，E 在邊 AB 上，BE=2EA, AD 與 CE 交于點O.14.設(shè)f(x), g(x)是定義在 R 上的兩個周期函數(shù)，f (x)的周期為4,g(x)的周期為 2,且f (x)是奇函數(shù).當(dāng)x (0,2時，f (x). 1 (x 1),g(x)k(x 2),0 x 11,-,1 x 22其中 k0若在區(qū)間(0，9上，關(guān)于 x 的方程f(x) g(x)有 8 個不同的實數(shù)根，則 k 的 取值范圍是

5、.二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分請在答題卡指定區(qū)域.內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字 說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分 14 分)在厶 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c. 2(1) 若 a=3c, b= 2 , cosB=，求 c 的值；3sin A cosB(2) 若，求sin(B -)的值.a 2b216.(本小題滿分 14 分)如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D , E 分別為 BC, AC 的中點，AB=BC.求證：(1) A1B1/ 平面 DEC1；UJUUULT若AB ACuuu6AOUJUEC,則AB的值是AC13.已知t

6、antan-，則sin 2-的值是 34(2)BE 丄 C1E.17.(本小題滿分 14 分)2 2 2F2(1, 0).過 F2作 x 軸的垂線 I，在 x 軸的上方，I 與圓 F2：(X1) y 4a交于點 A，與橢圓 C 交于點 D連結(jié) AF1并延長交圓 F2于點 B，連結(jié) BF2交橢圓 C 于點 E, 連結(jié) DF1.已知 DF1=5.2(1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 求點 E 的坐標(biāo).18.(本小題滿分 16 分)如圖，一個湖的邊界是圓心為 O 的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路 l，湖上有橋 AB( AB是圓 O 的直徑).規(guī)劃在公路 I 上選兩個點 P、Q,并修建兩段直線型道路

7、 PB、QA.規(guī) 劃要求：線段 PB、QA 上的所有點到點 O 的距離均不小于圓 O 的半徑.已知點 A、B 到直線 l 的距離分別為 AC 和 BD (C、D 為垂足)，測得 AB=10, AC=6, BD=12 (單位:百米).(1)若道路 PB 與橋 AB 垂直，求道路 PB 的長；如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，橢圓 C:2x2a2右1(ab 0)的焦點為F(-4、),(2)在規(guī)劃要求下，P 和 Q 中能否有一個點選在 D 處？并說明理由；(3)對規(guī)劃要求下，若道路 PB 和 QA 的長度均為 d (單位：百米)求當(dāng) d 最小時，P、Q 兩點間的距離.19.(本小題滿分 16 分)設(shè)

8、函數(shù)f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f(x)為 f (x)的導(dǎo)函數(shù).(1) 若 a=b=c, f (4) =8，求 a 的值；(2) 若 a豐b, b=c,且 f (x)和 f(x)的零點均在集合3,1,3中，求 f (x)的極小值；4(3)若a 0,0 b, 1,c1，且 f (x)的極大值為 M，求證：M .2720.(本小滿分 16 分)定義首項為 1 且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.*(1)已知等比數(shù)列an(n N )滿足：a?a4a5,a34a?4a40,求證 澈列an 為“ M 數(shù)列”；1求數(shù)列bn的通項公式；2設(shè) m 為正整數(shù)，若存在“ M 數(shù)列”

9、 cn(n N*)，對任意正整數(shù) k,當(dāng) k2.【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計 20 分請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.ab.3，其中 a,b N*，求 a23b2的值.23.(本小題滿分 10 分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)點集An(0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令MnAnU BnU C.從集合 Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量 X 表示它們之間的距離.(1 )當(dāng) n=1 時，求 X 的概率分布;22.(

10、本小題滿分 10 分)設(shè)(1 x)na0a1x2a2xn*a.x , n-4, n N.已知2a32a2a4.(1 )求門的值；(2)設(shè)(1 x3)n2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)I答案、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運算和基本思想方法 每 小 題 5 分 ， 共 計 7 0 分 .571.1,62.23.54.1,75.-6.7.y -2x3108.169.1010.411.(e, 1)12.313.-114.-遼J1034二、解答題15本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力滿分 14 分.解：（1）因為a 3c, b3

11、sin Acos B（2）因為a2b由正弦定理ab得cosBsin B，所以cosB2s inBsin Asin B2bb從而cos2B (2sinB)2,2即cos B24 1 cos B，故cos2B單516本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力滿分 14 分.證明：（1）因為 D , E 分別為 BC, AC 的中點, 所以 ED / AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB / A1B1,由余弦定理cos B2 2 , 2a c bac(3c)2c2(邁)23c c，即c2因為sinB 0，所以cosB 2sinB0，

12、從而cos B因此sinBncosB所以c所以 A1B1/ ED.ii5將 x=i 代入圓 F2的方程(x-i)2+y2=i6，解得 y= 4.因為點 A 在 x 軸上方，所以 A(i, 4).又 Fi(-i , 0)，所以直線 AFi： y=2x+2.由；x2x 2i)2y2i6，得5x26x11 0,解得xii代入2x 2，得i2T，又因為 ED?平面 DECi, A1B1平面 DECi, 所以 AiBi/平面 DECi.(2)因為 AB=BC, E 為 AC 的中點，所以 BE 丄 AC.因為三棱柱 ABC-AiBiCi是直棱柱，所以 CCi丄平面 ABC. 又因為BE?平面 ABC，所

13、以 CCi丄 BE.因為 CiC?平面 AiACCi, AC?平面 AiACCi, CiCnAC=C, 所以BE 丄平面 AiACCi.因為 CiE?平面 AiACCi,所以 BE 丄 CiE.i7.本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力滿分 i4 分.解：(i)設(shè)橢圓 C 的焦距為 2c.因為 Fi( i , 0), F2(i , 0)，所以FiF2=2, c=i.5又因為 DFi=, AF2丄 x 軸，所以2DF2=DFi2FiF225)222因此 2a=DFi+DF2=4,從而a=2.由

14、 b2=a2-c2，得 b2=3.因此，橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2 )解法一:x2由(i)知，橢圓 C:4i,a=2,因為 AF2丄 x 軸，所以點 A的橫坐標(biāo)為 i.因此B（11J5).又F2(1 ,0), 所以直線BF2：y|(x1).3“1)y-(x由242得7x26x130, 解得x1或x13xy1743又因為 E 是線段 BF2與橢圓的交點，所以X 1.333將x 1代入y (x 1)，得y -.因此E( 1,-).422解法二：x2由（1）知，橢圓 C:4因為 BF2=2a, EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB, 從而/ BF1E= / B.因為 F2A=F2B,所以/ A=

15、 / B, 所以/ A= / BF1E，從而 EF1/ F2A.因為 AF2丄 x 軸，所以 EF1丄 x 軸.X 13因為F1（-1, 0），由x2y2，得y -.12433又因為 E 是線段 BF2與橢圓的交點，所以y.23因此E( 1,).218.本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.滿分 16 分.解：解法（1）過 A 作AE BD，垂足為 E.由已知條件得，四邊形ACDE 為矩形，DE BE AC 6, AE CD 8因為 PB 丄 AB,所以cos PBD sinABE 4105.1如圖，連結(jié) EF1

16、.因此道路 PB 的長為 15 （百米）（2）若 P 在 D 處，由（1）可得 E 在圓上，則線段 BE 上的點（除 B, E）到點 O 的距離均小于圓 O 的半徑，所以 P 選在 D 處不滿足規(guī)劃要求若 Q 在 D 處，連結(jié) AD，由（1）知AD .ED 10，所以線段 AD 上存在點到點 O 的距離小于圓 O 的半徑.因此，Q 選在 D 處也不滿足規(guī)劃要求綜上，P 和 Q 均不能選在 D 處.（3）先討論點 P 的位置.當(dāng)/ OBP 90 時，對線段 PB 上任意一點 F , OF 俎 B,即線段 PB 上所有點到點 O 的距離均 不小于圓 O 的半徑，點 P 符合規(guī)劃要求設(shè)R為 I 上一

17、點，且RB AB，由（1）知，RB=15,3此時PD PBsin PBD PB cos EBA 15 9;5當(dāng)/ OBP90 時，在PPB中，PB PB 15.由上可知，d 15.再討論點 Q 的位置由（2 ）知，要使得 QA 15 點 Q 只有位于點 C 的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求 當(dāng) QA=15 時,CQ QA2AC2. 152623、21.此時，線段 QA 上所有點到點 O 的距離均不小于所以PBBDcos PBD12a15.從而cos BAD2 2 2AD AB BD2 AD AB7250,所以/ BAD 為銳角.綜上，當(dāng) PB 丄 AB，點 Q 位于點 C 右側(cè)，且 CQ=321時，d

18、 最小，此時 P, Q 兩點間的距離PQ=PD+CD + CQ=17+3 21.因此，d 最小時，P, Q 兩點間的距離為 17+3 21(百米)解法二：(1)如圖，過 0 作 0H 丄 I，垂足為 H.以 0 為坐標(biāo)原點，直線 0H 為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因為 BD=12, AC=6，所以 0H=9，直線 I 的方程為 y=9，點 A, B 的縱坐標(biāo)分別為 3, -3.因為 AB 為圓 0 的直徑，AB=10，所以圓 0 的方程為 x2+y2=25.3從而 A ( 4, 3), B (-4, -3)，直線 AB 的斜率為.4因為 PB 丄 AB，所以直線 PB 的斜率為所以 P (

19、-13, 9),PB ( 13 4)2(9 3)215.因此道路 PB 的長為 15 (百米)(2)若 P 在 D 處，取線段 BD 上一點 E (-4, 0),則 EO=45，所以 P 選在 D 處不滿足規(guī) 劃要求若 Q 在 D 處，連結(jié) AD，由(1)知 D (-4, 9),又 A (4, 3),3所以線段 AD:y x 6( 4剟x 4).4在線段 AD 上取點 M (3,15)，因為0M , 321 5. 32425,4V 4所以線段 AD 上存在點到點 0 的距離小于圓 0 的半徑.因此 Q 選在 D 處也不滿足規(guī)劃要求 綜上，P 和 Q 均不能選在 D 處.直線 PB 的方程為y2

20、53此時f(x) (x 3)(x 3)2,f(x)3(x 3)(x 1)(3)先討論點 P 的位置.當(dāng)/ OBP90 寸，對線段 PB 上任意一點 F , OF RB,即線段 PB 上所有點到點 0 的距離均 不小于圓 0 的半徑，點 P 符合規(guī)劃要求設(shè)R為 I 上一點，且RB AB，由(1)知，RB=15，此時 R (-13, 9);當(dāng)/ OBP90 時，在PRB中，PB RB 15.由上可知，d 15.再討論點 Q 的位置由(2)知，要使得 QAM5，點 Q 只有位于點 C 的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求當(dāng) QA=15 時，設(shè)Q(a, 9),由AQ ,. (a 4)2(9 3)215(a 4)，

21、得 a=4 3一21，所以 Q(4 3 21,9)，此時，線段 QA 上所有點到點 O 的距離均不小于圓 O 的半徑.綜上，當(dāng) P (- 13, 9), Q (4 3 21, 9)時，d 最小，此時 P, Q 兩點間的距離PQ 4 3何(13)17 3何.因此，d 最小時，P, Q 兩點間的距離為17 21(百米)19 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力滿分 16 分.解：(1)因 為a b c,所以f (x) (x a)(:x b)(x c) (x3a)因為f(4)8，所以(4 a)38，解得a 2(2) 因為bc,所以f(x)2(x

22、 a)(x b) x32(a 2b)x2b(2a b)x ab,從而f(x)3(x b) x-令f(x)0,得x b或x2a b332a b因為a,b,旦衛(wèi)，都在集合 3,1,3中，且a b,32a b所以2-b1,a 3,b33272 b2b1 (b 1)b(b 1)9令f(x)0，得x 3或x 1列表如下:x(,3)3(3,1)1(1,)f(x)+00+f (x)Z極大值極小值Z所以f(x)的極小值為f(l) (1 3)(1 3)232.32(3)因為a 0,c1，所以f(x) x(x b)(x 1) x (b 1)x bx,f(x) 3x22(b 1)x b.因為0 b 1，所以4(b

23、1)212b(2 b 1)230,則f(x)有 2 個不同的零點，設(shè)為x1,x2x2.由f(x) 0，得x, 口必L一b b 1.33列表如下:x(,xjX1EKX2(X2,)f(x)+00+f(x)Z極大值極小值Z所以f(x)的極大值M f x1解法一:b(b 1)2(b 1)2(b 1)2727M f x-!x；(b 1)x：3xf2(b1)為bb(b 1)92b(b 1)244因此M -27272727解法二：因為0 b 1，所以x,(0,1)當(dāng)x (0,1)時，f(x)x(x b)(x 1)x(x1)221令g(x) x(x1)，xW)，則g(x)3 x3(x1)1令g(x) 0,得x

24、.列表如下:3x(0,1)313(1,1)g(x)+0g(x)Z極大值11所以當(dāng)x 時，g ( x)取得極大值，且是最大值，故g(X)maxg 3344所以當(dāng)x (0,1)時，f(x) g(x)，因此M -272720.本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力滿分解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,所以 a1M0, q0.42716分.a2a4a5a34a?4a0，得24a1q2aq4a1q，解得4q 4a10a11q 2因此數(shù)列an為M 數(shù)列”(2)因為1Sn2bn2bn-，所以1bn021由Sn2bnbn

25、1，得bn 6 12(bn 1bn)，1S2J,則b22.b2當(dāng)n 2時，bnbn 1bn 1bn由bnSnSi 1，得n2 bb2 bb，2 bn 1bn2 bnbn 1整理得bn 1bn 12bn.所以數(shù)列bn是首項和公差均為 1 的等差數(shù)列因此，數(shù)列bn的通項公式為 bn=nn N由知，bk=k,k N.因為數(shù)列cn為 M -數(shù)列”設(shè)公比為 q,所以 ci=1, q0.因為 Ckbk 1;,亠ln kln k當(dāng) k=2, 3，m 時，有-ln qkk 1In x1 In x設(shè) f (x)=(x 1)，則f(x)xx令f(x)0，得 X=e.列表如下:經(jīng)檢驗知qk 1k也成立.因此所求 m

26、 的最大值不小于 5.若 m6,分別取 k=3 , 6,得 3 角3,且 q5 243 且 q15 216x(1,e)e(e,+s)f(x)+0f(x)極大值f(k)max罟，所以3f罟ln8 In 96 6取q33，當(dāng) k=1，2，3, 4, 5 時,ln k ,k=lnq，即k q，10 分.3所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.綜上，所求 m 的最大值為 5.數(shù)學(xué)H(附加題)參考答案10 分.321.【選做題】A .選修 4 - 2 :矩陣與變換本小題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.滿分3 1解：(1)因為A2 233 1 23 11 2115232

27、 22 12 2：=106(2)矩陣 A 的特征多項式為f()令f ( ) 0,解得 A 的特征值11,24.B 選修 4 - 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力滿分解：(1 )設(shè)極點為 0在 OAB 中，A (3,), B(、3 ,),42由余弦定理，得 AB=,.32( /2)22 32 cosq J(2)因為直線 I 的方程為sin(-) 3,又BC-2)，所以點 B 到直線 I 的距離為(32.2) sin(3)242C .選修 4 吒：不等式選講本小題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解和推理論證能力.滿分所以A23 13 12 2 2 210分.4.10分.則直線 I 過點(3-2，-)，傾斜角為3_42.10 分.31解：當(dāng) x0 時，原不等式可化為x 1 2x 2，解得 x2,即 x_時，原不等式可化為 x+2x-12，解得 x1.2綜上，原不等式的解集為x|x（2）由（1）知，n 5.a b、3.解法一：因為a,b N*，所以a C03C5