極值點偏移問題的處理策略及探究

1、極值點偏移問題的處理策略所謂極值點偏移問題， 是指對于單極值函數(shù)， 由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)f (x) 在 x x0 處取得極值，且函數(shù) yf ( x) 與直線 yb交于 A(x1, b) , B( x2 ,b) 兩點，則 AB 的中點為 M ( x1 x2 , b) ，而往往 x0x1x2 .如下圖22所示 .極值點沒有偏移此類問題在近幾年高考及各種?？迹?作為熱點以壓軸題的形式給出， 很多學(xué)生對待此類問題經(jīng)常是束手無策。 而且此類問題變化多樣， 有些題型是不含參數(shù)的， 而更多的題型又是含有參數(shù)的。 不含參數(shù)的如何解決？含參數(shù)的又該如何解決， 參數(shù)如何

2、來處理？是否有更方便的方法來解決？其實， 處理的手段有很多， 方法也就有很多， 我們先來看看此類問題的基本特征，再從幾個典型問題來逐一探索！【問題特征】【處理策略】1/12一、不含參數(shù)的問題.例 1.（ 2010 天津理）已知函數(shù)f(x)xex ()x2 ，且 f ( x1 )f ( x2 ) ，x R ，如果 x1證明： x1 x22.【解析】 法一： f ( x)(1 x)ex ，易得 f (x) 在 (,1) 上單調(diào)遞增，在(1,)上 單 調(diào) 遞 減 ， x時 ，f ( x)， f (0)0， x時， f (x)0 ， 函數(shù) f (x) 在 x1處取得極大值f(1) ，且 f (1)1,

3、如圖所示 .e由 f (x1)f ( x2 ), x1x2 ，不妨設(shè) x1x2 ，則必有0x11 x2 ，構(gòu)造函數(shù) F ( x)f (1x) f (1x), x(0,1 ，則 F ( x)f(1x)f (1x)x2 x1)0，所以 F ( x) 在 x (0,1 上單調(diào)遞增，x1 (eeF ( x)F (0)0 ，也即 f (1x)f (1x) 對 x(0,1恒成立 .由 0x11x2 ，則 1x1(0,1 ，所以 f (1 (1 x1 )f (2 x1)f (1 (1 x1)f ( x1 )f ( x2 ) ，即 f (2 x1 )f ( x2 ) ，又因為 2x1 , x2(1,) ，且

4、f ( x) 在 (1,) 上單調(diào)遞減，所以 2x1x2 ，即證 x1x22.法二： 欲證 x1x2 2 ，即證 x22x1 ，由法一知 0x11 x2 ，故 2x1 , x2(1, )，又因為 f (x) 在 (1,) 上單調(diào)遞減，故只需證f ( x2 ) f (2x1 ) ，又因為 f ( x1 )f ( x2 ) ，故也即證f ( x1 )f (2 x1 ) ，構(gòu)造函數(shù)H (x)f ( x)f (2x), x(0,1) ，則等價于證明H ( x)0 對 x(0,1) 恒成立 .由 H ( x)f( x) f(2x)1x x (1e2 x2 )0，則 H ( x) 在 x(0,1)上單調(diào)遞

5、增， 所以eH ( x)H (1)0 ，即已證明 H ( x)0 對 x(0,1) 恒成立，故原不等式x1 x22亦成立 .法三：由 f ( x1)f ( x2 ) ，得 x1e x1x2e x2 ，化簡得 ex2 x1x2，x12/12不妨設(shè) x2x1 ，由法一知，ox11x2 .令 t x2x1 ，則 t0, x2tx1 ，代入式，得 ettx1 ，反解出 x1t，則 x1x22x1t2tt ，故要證： x1x22 ，x1et1et1即證：2tt2，又因為 et10 ，等價于證明： 2t(t2)( et1)0，et1構(gòu)造函數(shù)( )2(t2)( t1),(t0)，則 G (t)(tt1,G

6、(t)t0 ，G tte1)ete故 G (t ) 在 t(0,) 上單調(diào)遞增， G (t )G(0) 0，從而 G (t) 也在 t(0,) 上單調(diào)遞增， G (t )G(0)0，即證式成立，也即原不等式x1x22成立 .法四：由法三中式，兩邊同時取以e 為底的對數(shù)，得x2x1ln x2ln x2 ln x1 ，也即x1x21ln x2ln x11，從而 x1x2( x1x2 ) ln x2ln x1x2x1 ln x2x1ln x2 ，x2x1x2x1x2x1x1x21x1x1令 tx2(t1) ，則欲證： x1x22，等價于證明：t1ln t2，x1t1構(gòu)造 M (t)(t1)ln t(

7、1t2)ln t,( t1)，則 M(t )t 212t ln t ，t11t (t1)2又令(t)t 212t ln t ,( t1) ，則(t )2t2(ln t1)2(t1 ln t) ，由于 t 1ln t對 t(1,) 恒成立，故(t )0 ， (t ) 在 t(1,) 上單調(diào)遞增， 所以(t)(1)0 ，從 而 M (t)0， 故 M(t)在 t(1,)上 單調(diào)遞增，由洛比塔法則知：lim M (t )lim (t1)ln tlim (t1)ln t )lim(lntt1)2 ，即證 M (t)2，即證x 1x1t1x1(t1)x 1t式成立，也即原不等式x1x22成立 .【點評】

8、 以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、 二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達(dá)到消元的目的，方法三、 四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達(dá)到消元的目的.二、含參數(shù)的問題 .例 2.已知函數(shù) f ( x)xaex 有兩個不同的零點x1, x2，求證： x1x22 .3/12【解析】思路 1：函數(shù) f ( x) 的兩個零點，等價于方程xe xa 的兩個實根，從而這一問題與例 1 完全等價，例1 的四種方法全都可以用；思路 2：也可以利用參數(shù)a 這個媒介去構(gòu)造出新的函數(shù).解答如下：因為函數(shù) f ( x) 有兩個零點 x1, x2 ，x1aex1(1)，所以

9、aex2(2)x2由 (1)(2) 得： x1x2a(ex1ex2 ) ，要證明 x1x22 ，只要證明 a(ex1ex2 )2，由 (1)(2) 得： x1x2a(ex1ex2 ) ，即 ax1x2，) ex1ex2x2 ) ex1x2ex1ex2即證： ( xx2(x112 ，12ex1ex2ex1 x21不妨設(shè) x1x2 ，記 tx1x2 ，則 t0, et1，因此只要證明：tet12t2(et1)0 ，et1et12(x1)再次換元令 etx1, tln x ，即證 ln x0x(1,)2( x1)， F(1)x1構(gòu)造新函數(shù) F (x)ln x0x11)2求導(dǎo) F ' ( x)

10、14( x0，得 F (x) 在 (1,) 遞增，x( x1)2x( x1) 2所以 F (x)0 ，因此原不等式x1x22獲證 .【點評】含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元x1, x2 的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù)。例 3.已知函數(shù) f ( x)ln xax ， a 為常數(shù)，若函數(shù)f ( x) 有兩個零點 x1 , x2，試證明： x1 x2e2 .【解析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題：f ( x)0 ln x axln xaeln x ， x1 , x2 是方程f (x

11、)0 的兩根，也是方程 ln xaeln x 的兩根，則ln x1,ln x2 是 xaex ，設(shè) u1lnx1 ,u2ln x2 ， g ( x)xe x ，則g(u1 )g(u2 ) ，從而 x1x2e2ln x1ln x2 2u1u22 ，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1，下略 .法二：利用參數(shù)a 作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè) x1x2 ，4/12 ln x1ax10,ln x2 ax20， ln x1ln x2a(x1x2 ),ln x1ln x2 a( x1x2 ) ， ln x1ln x2a ，欲證明 x1 x2e2，即證 ln x1ln x22.x1x2 ln x1ln x2a( x

12、1x2 ) ，即證 a2，x1x2原命題等價于證明ln x1ln x2x12，即證： ln x12( x1x2 ) ，令 tx1,( t 1) ，x1x2x2x2x1x2x2構(gòu)造 g(t)ln t2(t1) ,t1 ，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例2 中思路二的解答，下略 .t1法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：aln x1ln x2ln x2x2 , 設(shè) x1x2, tx2 ,( t 1) ，x1x2ln x1x1x1則 x2tx1, ln tx1tln tln x1t ，ln x1ln x1反解出： ln x1ln t ,ln x2ln tx1ln tln x1ln tln tt ln t ，t 1t1t1

13、t 1故 x1 x2e2ln x1ln x22ln t2 ，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略 .t1例4. 設(shè)函數(shù)()xfxeaxa aRx軸交于A(x1 ,0) , B( x2,0)兩點，且() ，其圖像與x1x2 .證明： f(x1 x2 )0 .【解析】由x(x2fxeaxafxea，易知： a的取值范圍為(e ,)，f (x)在(),)(,ln a) 上單調(diào)遞減，在 (ln a,) 上單調(diào)遞增 .法一：利用通法構(gòu)造新函數(shù)，略；法二：將舊變元轉(zhuǎn)換成新變元：ex1ax1a 0,兩式相減得：aex2ex1ex2，ax2a 0,x2x1x1x2xxx1 x2x2x1x xe 2記 t,( t0) ，則 f

14、2 )e2e2e 1(2ttt) ，2(1x2x12t( e e2設(shè)()2(tet ),(t0)，則 g (t)2(etet)0，所以 g(t ) 在 t(0,) 上單g tte5/12x1x2調(diào)遞減，故 g(t )g (0)0 ,而 e 20 ，所以 f ( x1x2 )0 ，2t2又 f ( x)exa 是 R 上的遞增函數(shù)，且x1 x2x1x2， f ( x1x2 ) 0 .2容易想到，但卻是錯解的過程：(x2 )0，即要證： f ( x1x2x1x20 ，也即證： ex1x2a2 ，欲證： fx1) 0 ，亦要證 e2a2很自然會想到：對ex1ax1a 0,ex1a( x11),ex2

15、ex2兩式相乘得：ax2a 0,a( x21),ex1 x2a2 ( x11)(x21) ， 即 證 ： ( x1 1)( x21)1.考慮用基本不等式( x1 1)(x21)( x1x22)2 ，也即只要證： x1 x24 . 由于 x11,x2ln a . 當(dāng)取 ae32將得到 x23 ，從而 x1x24. 而二元一次不等式x1x24 對任意 a(e2 ,) 不恒成立，故此法錯誤 .【迷惑】 此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失?。績墒较鄿p的思想基礎(chǔ)是什么？其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路?【解決】此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景.拉格朗日中值定理：若函數(shù)f ( x)

16、 滿足如下條件：（1）函數(shù)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；（2）函數(shù)在開區(qū)間( a, b)內(nèi)可導(dǎo)，則在 (a,b) 內(nèi)至少存在一點，使得 f (f (b)f (a)a.b當(dāng) f (b)f (a) 時，即得到羅爾中值定理 .上述問題即對應(yīng)于羅爾中值定理，設(shè)函數(shù)圖像與x 軸交于 A(x1,0), B( x2 ,0), 兩點，因此kAB 0f ( x2 )f ( x1 )0(ex2ex1 )a(x1 x2 )0， aex2ex1，x2x12x2x1由于 f ( x1 ) f (x2 )0 ，顯然 f ( x1 )f (x1)0 與 f ( x1 )f (x1 )0 ，與已知f ( x1 )f (x2 )

17、 0 不是充要關(guān)系，轉(zhuǎn)化的過程中范圍發(fā)生了改變.例 5.（ 11 年，遼寧理）已知函數(shù) f ( x) ln x ax2(2a)x.6/12（I ）討論f ( x) 的單調(diào)性；（II ）設(shè) a0 ，證明：當(dāng)0x1時，1x)1x) ；af (f (aa（III ）若函數(shù) yf ( x) 的圖像與 x 軸交于 A, B 兩點，線段 AB 中點的橫坐標(biāo)為x0 ，證明：f (x0 )0 .【解析】（ I ）易得：當(dāng) a0 時， f (x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時， f ( x) 在 (0, 1 )1a上單調(diào)遞增，在,) 上單調(diào)遞減 .(a111（II ）法一：構(gòu)造函數(shù)g( x)x)x),(0

18、xf (f () ，利用函數(shù)單調(diào)性證明，方aaa法上同，略；法 二 ： 構(gòu) 造 以 a為 主 元 的 函 數(shù) ， 設(shè) 函 數(shù) h(a)f (1x)1x)， 則af (ah(a)ln(1ax)ln(1ax)2ax ，h (a)xx2x2x3a2，由1ax1ax1a2 x20 x，1a解得 0a10a1時， h (a)0 ，而 h(0)0， 所以 h( a)0，故當(dāng) 0x1，當(dāng)xa1x1x)x) .時， f (f (aa0 時，且 f ( x) 的最大值 f (1 )（III ）由（ I）知，只有當(dāng)a0 ，函數(shù) yf ( x) 才會有兩a個零點，不妨設(shè)A(x1 ,0), B(x2 ,0),0x1x

19、2 ，則 0x11x2，故1x1(0, 1) ，由f ( 2f ( 11f ( 1( 1aaa（ II ）得：x1 )x1)x1 )f ( x1 )f ( x2 ) ，又由 f(x)在aaaaa( 1 ,) 上單調(diào)遞減，所以 x22x1 ，于是 x0x1x21，由（ I ）知， f(x0 )0.aa2a【問題的進(jìn)一步探究】對數(shù)平均不等式的介紹與證明ab( ab),兩個正數(shù) a 和 b 的對數(shù)平均定義：L(a,b)ln aln ba(ab).對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：abL(a, b)ab（此式記為 對數(shù)平均不等式 ）2取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab 時，等號成立 .只證：當(dāng) ab 時，a

20、bL( ,)a bab.證明如下：.不失一般性，可設(shè)a b27/12（I ）先證：abL(a, b)不等式構(gòu)造函數(shù)ln aln babln aab2ln xx1 (其中 xa1)abbbaxbf ( x)2ln x( x1),( x 1) ，則 f ( x)211(11)2.因為 x1時，xxx2xf (x)0 ，所以函數(shù)f ( x) 在 (1,) 上單調(diào)遞減， 故 f (x)f (1)0 ，從而不等式成立；（II ）再證：(, )a bL a b22(ab)a2( a1)2(x 1)a不等式ln aln blnbln x(其中 xabba( x1)1)(1)bb構(gòu)造函數(shù) g (x)ln x2

21、( x1) ,( x1) ，則 g ( x)1( x4( x1)2.因為 x1 時，( x 1)x1)2x( x1)2g (x)0 ，所以函數(shù) g(x) 在 (1,) 上單調(diào)遞增，故g( x)g(1)0 ，從而不等式成立；綜合（ I）（ II ）知，對a, bR ，都有對數(shù)平均不等式abL(a, b)ab成立，當(dāng)且2僅當(dāng) ab 時，等號成立 .前面例題用對數(shù)平均不等式解決例 1.（ 2010 天津理）已知函數(shù)f(x)xex(x)，如果 x1x2，且 f ( x1 )f ( x2 ) ，R證明： x1 x22.【解析】法五：由前述方法四，可得1x1x2，利用對數(shù)平均不等式得：ln x1ln x2

22、1x1x2x1x2 ，即證： x1x22，秒證 .ln x1ln x22說明：由于例2，例 3 最終可等價轉(zhuǎn)化成例1 的形式，故此處對數(shù)平均不等式的方法省略.例4.設(shè)函數(shù)f (x)exaxa(aR) ，其圖像與x 軸交于A( x1,0) , B( x2 ,0) 兩點，且x1x2 .證明： f (x1x2 )0 .【解析】 法三：由前述方法可得： aex1ex2(1x1ln ax2 ) ，等式兩邊取以 e 為x11x218/12底的對數(shù)， 得 ln ax1 ln( x11)x2ln( x21)(x11)( x21)，由，化簡得： 11)ln( x2 1)ln( x1對數(shù)平均不等式知：(x11)(

23、 x21)( x1 1)(x2 1) ，即 x1x2( x1x2 ) 0 ，11)ln( x21)ln( x1故要證 f ( x1x2 )0證 x1x2ln a證2x1x2 x1ln( x11)x2ln( x21)證 ln( x11)ln( x2 1)x1x22x1x2證 ln( x1x2( x1x2 )1)x1 x22 x1x2 x1 x2(x1x2 )0 ln( x1 x2(x1x2 )1)ln10 ，而 x1 x22 x1 x2( x1x2 )20 ln( x1x2 ( x1x2 )1)x1x22 x1x2 顯然成立，故原問題得證 .例 5.（ 11 年，遼寧理）已知函數(shù) f ( x)l

24、n xax2(2 a)x.（I ）討論 f ( x) 的單調(diào)性；（II ）設(shè) a0 ，證明：當(dāng) 0x1時， f ( 1x)f ( 1x) ；aaa（III ）若函數(shù) yf ( x) 的圖像與 x 軸交于 A, B 兩點，線段 AB 中點的橫坐標(biāo)為x0 ，證明：f (x0 )0 .【解析】（ I ）（ II ）略，（III ）由 f ( x1)f ( x2 ) 0ln x1ax12(2 a)x1ln x2ax2 2(2 a) x20ln x1ln x22( x1x2 ) a( x12x22x1x2 )ln x1ln x22( x1x2 )ax12x22x1 x2故要證 f( x0 )0x1x21

25、x02ax1 x2x12x22x1x2x1x212ln x1ln x22( x1x2 )ln x1ln x22x1x29/122ln x1ln x2 .根據(jù)對數(shù)平均不等，此不等式顯然成立，故原不等式得證.x1 x2x1x2【挑戰(zhàn)今年高考壓軸題】（2016 年新課標(biāo) I 卷理數(shù)壓軸21 題）已知函數(shù) f (x) ( x2)exa( x1)2 有兩個零點 x1 , x2 .證明： x1x22.【解析】 由 f ( x)( x2)exa( x1)2 ，得 f (x)( x1)(ex2a) ，可知 f (x) 在 (,1)上單調(diào)遞減，在(1,) 上單調(diào)遞增 .要使函數(shù) yf (x) 有兩個零點 x1 , x2 ，則必須 a0 .法一：構(gòu)造部分對稱函數(shù)不妨設(shè) x1x2 ，由單調(diào)性知x1(,1), x2 (1,)，所以 2x2(,1) ，又 f ( x) 在( ,1) 單調(diào)遞減，故要證：x1x22 ，等價于證明：f (2x2 )f ( x1 )0 ，又 f (2 x2 )x2 e2 x2a(x2 1)2 ，且 f (x2 ) ( x22)ex2a( x21)20 f (2x2 )x2 e2 x2( x22)ex2，構(gòu)造函數(shù) g( x)xe2x(x2) ex,( x(1,) ，由單調(diào)性可證，此處略.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得： f x1fx20