極值點偏移問題專題資料

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除極值點偏移問題專題（0 ） 偏移新花樣（拐點偏移）例 1 已知函數(shù) fx2ln xx2x ，若正實數(shù) x1 ， x2 滿足 f x1 +f x2 =4 ，求證 : x1x22 。證明： 注意到 f1=2 ， fx1 +fx2=2f 1fx1 +fx2=2f1fx =210+2xxfx =22 ， f 1 =0 ，則（ 1,2 ）是 f x 圖像的拐點， 若拐點（ 1,2 ）也是 fx 的x2對稱中心，則有x1x2 =2 ，證明 x1x2 2 則說明拐點發(fā)生了偏移，作圖如下想到了“極值點偏移”，想到了“對稱化構(gòu)造”，類似地，不妨將此問題命名為“拐點偏移”，仍

2、可用“對稱化構(gòu)造”來處理不妨設(shè) 0x11x2 ，要證x1x22x22x11fx2f2 x14fx1f2x14fx1f2x1Fxfxf2x， x0,1 ，則Fxfxf2x22x122 2x 1x2xword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除1，4 1 x1 0x 2x得 Fx 在 0,1上單增，有 F xF1 2 1 4，得證。2 、極值點偏移PK 拐點偏移常規(guī)套路1 、 極值點偏移（fx00 ）二次函數(shù)fx1fx2x1x22x0fx1fx2x2 2x0 x1x1x22x02 、拐點偏移fx00f x1 f x2 2 f x0f x1f x2 2 f x0x2 2x0 x1x1 x2

3、 2x0x2 2x0x1極值點偏移問題專題（1 ） 對稱化構(gòu)造（常規(guī)套路）例 1 （ 2010 天津）已知函數(shù)fxxe x （ 1 ）求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間和極值；（ 2 ）已知函數(shù) g x 的圖像與 f x 的圖像關(guān)于直線 x 1 對稱，證明：當(dāng) x 1 時，word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除fxg x ；（3 ）如果 x1x2 ，且 fx1fx2，證明：x1x22點評 ：該題的三問由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點偏移問題的一般方法對稱化構(gòu)造的全過程，直觀展示如下：例 1 是這樣一個極值點偏移問題：對于函數(shù)f x xe x ，已知 f x1f x2 ， x1x

4、2 ，證明 x1 x2 2 再次審視解題過程，發(fā)現(xiàn)以下三個關(guān)鍵點：word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除（1 ） x1 ， x2 的范圍 0x1 1 x2 ；（2 ）不等式fxf2xx1 ；（3 ）將 x2 代入（ 2 ）中不等式，結(jié)合fx 的單調(diào)性獲證結(jié)論把握以上三個關(guān)鍵點，就可輕松解決一些極值點偏移問題例 2（ 2016新課標(biāo)卷）已知函數(shù) f xx 2 ex2a x 1 有兩個零點（1 ）求 a 的取值范圍；（2 ）設(shè) x1 ， x2 是 fx 的兩個零點，證明：x1x22 解：（ 1 ）0,，過程略；（2 ）由（ 1）知 fx 在,1 上，在 1,上 Z，由 f x1f

5、x2 0 ，可設(shè)x1 1 x2 word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除構(gòu)造輔助函數(shù)Fxfxf2xF xf xf2 xx1ex2a1 xe2 x2ax1exe2 x當(dāng) x 1時，x 10 ，exe2 x0，則Fx0 ，得 F x 在,1上Z，又F 10 ，故 F x 0 x1 ，即 f xf 2 xx1 將 x1 代入上述不等式中得f x1f x2f 2 x1 ，又 x21， 2 x11， fx 在1,上 Z ，故 x1 2x1 ， x1x22 通過以上兩例，相信讀者對極值點偏移問題以及對稱化構(gòu)造的一般步驟有所了解但極值點偏移問題的結(jié)論不一定總是x1x22x0 ，也可以是 x1x

6、2x02 ，借鑒前面的解題經(jīng)驗，我們就可給出類似的過程例 3已知函數(shù) fxx ln x 的圖像與直線ym 交于不同的兩點A x1, y1 ， Bx2 , y2 ，求證： x1 x21e2證明：（ i ） fxln x1，得 f x在 0,1上 ，在 1,上 Z；當(dāng) 0x 1 時，eef x0 ； f10；當(dāng) x 1 時， fx0 ；當(dāng) x0 時， fx0（洛必達(dá)法則） ；word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除當(dāng) x時， f x，于是 fx 的圖像如下，得 0 x11x2 1 e小結(jié)：用對稱化構(gòu)造的方法解極佳點偏移問題大致分為以下三步：step1：求導(dǎo)，獲得 f x的單調(diào)性，極值情況，作出f x 的圖像，由 f x1 f x2得 x1 ， x2的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）；step2 ：構(gòu)造輔助函數(shù)（對結(jié)論x1x22x0 ，構(gòu)造 Fxfxf2x0x ；對結(jié)word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除論 x1 x2x02 ，構(gòu)