橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(3)

1、橢圓知識(shí)點(diǎn)一、 橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P 到兩個(gè)定點(diǎn) F1、 F2 的距離之和等于常數(shù)( PF1PF22aF1F2 ) ,這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡叫橢圓 .這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若 ( PF1PF2F1 F2) ，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為線段F1F2 ；若(PF1PF2F1 F2) ，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡無圖形 .二、 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x 2y 21 (ab0) ，其中 c2a 2b2a 2b22當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：y 2x21 (ab0)，其中 c2a 2b 2 ；a 2b 2注： 1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)

2、，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有(ab 0) 和 c2a 2b 2 ；3橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上 .當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0) ， ( c,0) ；當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 0, c) ， (0,c)三、 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓： x 2y 2 1 (ab0)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)a 2b 2（ 1）對(duì)稱性：對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程x 2y 21 (a b 0) 說明：把 x 換成x 、或把 y 換成y 、或把 x 、a 2b2y 同時(shí)換成x 、x2y 21是以 x 軸、 y 軸為對(duì)稱軸的軸y 、原方程都不變，所以橢圓2

3、b2a對(duì)稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。（ 2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線xa 和 yb 所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足xa ， yb 。高中數(shù)學(xué)（ 3）頂 點(diǎn)： 橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。 橢圓 x2y 21(ab0) 與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為a2b 2A1 (a,0) ， A2 (a,0) ， B1 (0,b) ， B2 (0,b) 線段 A1 A2 ， B1 B2 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，A1 A22a ,B1 B22b 。a 和 b 分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。4e 表示，記作e2cc

4、。（ ）離心率： 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用2aa 因?yàn)?(ac0)，所以 e 的取值范圍是 (0e1) 。 e 越接近 1，則 c 就越接近 a ，從而ba2c2e0， c 就越接近0b越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于，從而越接近于 a ，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)， c0 ，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x 2y2a 。注：橢圓 x 2y 21的圖像中線段的幾何特征（如右圖）：a 2b 2（1） PFPF2a ；12PF1PF2e ；（橢圓的第二定義）PM 1PM 2PM 1PM 22a2；c（2） BFBF2a ；OF OF c ；A1 BA2Ba

5、2b2 ；112（ 3） A1F1A2F2a c ； A1F2A2 F1a c ； a cPF1a c ；高中數(shù)學(xué)四、橢圓 x2y 21 與 y2x 21 (a b 0) 的區(qū)別和聯(lián)系a2b 2a2b 2x 2y 2y 2x21 (a b 0)標(biāo)準(zhǔn)方程2b 21 ( a b 0)2b 2aa圖形焦點(diǎn)F1 ( c,0) ， F2 (c,0)F1 (0, c) ， F2 (0, c)焦距F1F22cF1 F22c范圍xa ，ybxb ，ya對(duì)稱性關(guān)于 x 軸、 y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0)， (0,b)(0,a) ， (b,0)性質(zhì)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng) = 2a ，短軸長(zhǎng) = 2b離心率ec (0e1)a準(zhǔn)

6、線方程xa2ya2cc焦半徑PF1aex0 ， PF2aex0PF1aey0 ， PF2aey0注：關(guān)于橢圓 x2y 21與 y 2x21 (ab0) 的說明：a2b 2a 2b2相同點(diǎn) ：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有(ab 0)和 ec (0e1) ， a 2b2c2 ；a不同點(diǎn) ：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。高中數(shù)學(xué)規(guī)律方法：1、如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱中心，兩條對(duì)稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。兩個(gè)定形條件,確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦

7、點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a,b, c 的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a,b,c 三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、 短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：( ab0) ，( ac0) ，且 (a2 b2 c2 ) ?？山柚覉D理解記憶：顯然： a,b, c 恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a 是斜邊， b、 c 為兩條直角邊。3、如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x 2 ， y 2 的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4、 方程

8、Ax 2By 2C (A, B, C均不為零） 是表示橢圓的條件方程 Ax 2By 2C 可化為 Ax 2By 21，即 x2By 21，所以只有 A 、 B、 C 同號(hào)，且 A BCCCCAB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)CC 時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上；當(dāng) CC 時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上。ABAB5、 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)a, b, c 的值。其主要步驟是“先定型，再定量”； 定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則

9、c 相同。與橢圓 x2y 21 (a b 0) 共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為a2b2高中數(shù)學(xué)a2x2y 21 ( mb 2 ) ，此類問題常用待定系數(shù)法求解。mb2m7判斷曲線關(guān)于 x 軸、 y 軸、原點(diǎn)對(duì)稱的依據(jù) ： 若把曲線方程中的x 換成x ，方程不變，則曲線關(guān)于y 軸對(duì)稱； 若把曲線方程中的y 換成y ，方程不變，則曲線關(guān)于x 軸對(duì)稱； 若把曲線方程中的x 、 y 同時(shí)換成x 、 y ，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。8如何求解與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P 為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問題？思路分析：與焦點(diǎn)三角形PF1F2 有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)， ?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理） 、三角形面

10、積公式 S PF F21 PF1PF2sinF1 PF2 相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)12線 段 PF1 、PF2 、F1F2，有關(guān)角 F1PF2 (F1PF2F1BF2 )結(jié)合起來，建立PF1 PF2、 PF1PF2 之間的關(guān)系 .焦點(diǎn)三角形面積公式：S PFFb2 tanF1 PF2(P 為橢圓上任一一點(diǎn) )1229如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率ec (0 e 1) ，因?yàn)?c2a 2b 2，aa c 0，用、表示為 e1 ( b ) 2 ( 0 e1) 。a ba顯然：當(dāng) b 越小時(shí)， e(0e1) 越大，橢圓形狀越扁；a當(dāng) b

11、越大， e(0 e1) 越小，橢圓形狀越趨近于圓。a高中數(shù)學(xué)（一）橢圓及其性質(zhì)1、橢圓的定義（ 1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn) 2 的距離的和等于常數(shù)（大于| F 1 F 2| ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。（ 2）一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)(0,1) 內(nèi)常數(shù) e ，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e 就是離心率22222、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y21 ab 0或 y2x21 ab0abab3、橢圓的參數(shù)方程xa cos為參數(shù) )y(b sin4、離心率 : 橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比ece1( b )

12、20e1aa5、橢圓的準(zhǔn)線方程：左準(zhǔn)線l1 : xa2右準(zhǔn)線 l 2 : xa 2cc（二）、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式：焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的焦半徑公式：MF1 =aex0（ 其中 F1,F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)）M F2 =aex0焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓的焦半徑公式：MF1aey0（ 其中 F1, F2分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）MF2aey0（三）、直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）1、弦長(zhǎng)公式：若直線l : y kxb 與圓錐曲線相交與A 、 B 兩點(diǎn)， A（ x1 , y1 ), B( x2 , y2 )則：弦長(zhǎng)AB(x1x2 ) 2( y1y2 ) 2(x1 x2 ) 2( kx1 k

13、x2 ) 21 k 2 x1 x21 k 2 ( x1 x2 ) 24x1 x2例 1. 已知橢圓 4x2 y2 1 及直線 y x m。（ 1）當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；（ 2）求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線的方程。高中數(shù)學(xué)2、已知弦 AB 的中點(diǎn)， 研究 AB 的斜率和方程AB 是橢圓x2y2，y0) ，2 21(a>b>0) 的一條弦， 中點(diǎn) M 坐標(biāo)為 ( x0ab則 AB 的斜率為b2x0.2 0a y運(yùn)用點(diǎn)差法求AB 的斜率，設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)22x12 y12 1，、abA B 都在橢圓上，x22y22a2 b2 1，12

14、 x2212 y22兩式相減得：x2 yb2 0，ax1x2x1 x2y1 y2y1y2a2b2 0，y1 y2b2x1 x220即： 2b xy y2 .x x2aa y011220故： kAB b2x .a y0例 2、過橢圓 x 2y21內(nèi)一點(diǎn) M (2,1) 引一條弦，使弦被M 點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。164高中數(shù)學(xué)（四）、四種題型與三種方法四種題型x 2y 21、已知橢圓 C：1內(nèi)有一點(diǎn) A（ 2，1）， F 是橢圓 C 的左焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn) .25165求： PA + PF的最小值。x2y2P 是橢圓上動(dòng)點(diǎn) .2、已知橢圓1內(nèi)有一點(diǎn) A（2， 1）， F 為

15、橢圓的左焦點(diǎn)，2516求： PA + PF|的最大值與最小值。x2y2P 為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P 到 l 的距離為 d，3、已知橢圓1外一點(diǎn) A（ 5， 6）， l 為橢圓的左準(zhǔn)線，2516求： |PA|+ 3 d 的最小值。52b2x 2y21(a b 0) 上移動(dòng) .4、定長(zhǎng)為 d( d)的線段 AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓2b 2aa求： AB 的中點(diǎn) M 到橢圓右準(zhǔn)線l 的最短距離。高中數(shù)學(xué)三種方法1、橢圓 x2y21 的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B 兩點(diǎn)，求：三角形 OAB 的最小面積 。a2b2x2y22、已知橢圓1和直線l:x-y+9=0，在 l 上取一點(diǎn)M ，經(jīng)過點(diǎn)M 且以橢圓的焦12

16、3點(diǎn) F1 , F2 為焦點(diǎn)作橢圓，求M 在何處時(shí)所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求此橢圓方程。3、過橢圓 2x2y22 的焦點(diǎn)的直線交橢圓A,B 兩點(diǎn)，求AOB 面積的最大值。高中數(shù)學(xué)課后同步練習(xí)x 2y2, 離心率是 _ ，準(zhǔn)線方程是 _.1. 橢圓1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是251692.已知 F1、 F2 是橢圓x2y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1 的直線與橢圓交于M 、N 兩點(diǎn)，則 MNF2 的周長(zhǎng)為169()A 8B16C 25D 323.x 2y 21 上一點(diǎn) P 到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則 P 到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）橢圓925A. 5B. 6C. 4D. 104.已知橢圓方程為x2y 21,那么它的焦距是（

17、）2011A. 6B. 3C.3 31D.315.如果方程 x2ky 22 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k 的取值范圍是A.（ 0，+）B. (0,2)C. (1,+ )D. (0,1)6設(shè) F1 , F2 為定點(diǎn)， | F1 F2 |=6，動(dòng)點(diǎn) M 滿足 | MF1| |MF2 |6 ，則動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是（）A. 橢圓B. 直線C. 圓D. 線段7.已知方程x 2+y2m 的取值范圍為.=1，表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則m 12m8.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1（ -2，0），F(xiàn)2（ 2，0），并且經(jīng)過點(diǎn) P（5 ,3），則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ _229.x 2y 2_過點(diǎn) A（ -

18、1，-2）且與橢圓61 的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是910.過點(diǎn) P（3 ， -2）， Q（ -23 ， 1）兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ _11.x2y2.若橢圓81的離心率是 1 ，則 k 的值等于k9212. 已知 ABC 的頂點(diǎn) B 、 C 在橢圓 x2 y2 1 上，頂點(diǎn) A 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在3BC 邊上，則 ABC 的周長(zhǎng)是.x2y23 的正三角形，則 b213.F1、 F2 分別為橢圓 a2+ b2 =1 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在橢圓上， POF2 是面積為的值是14.x2y21上一點(diǎn)， F1、 F2F1MF2，則 S MFF設(shè)M是橢圓為焦點(diǎn)，225166115.在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為2