三角恒等變換的常見技巧復習課程

1、精品文檔三角恒等變換的常見技巧注：有*的內容選看！一、教學內容：三角恒等變換的常見技巧、學習目標1、掌握引入輔助角的技巧；2、掌握常見的拆、拼角技巧；3、掌握公式的變用、逆用技巧；4、掌握三角對等式、齊次式的處理技巧；5、掌握弦切互化、異名化同名、異次化同次、異角化同角等變形技巧 三、知識要點1、三角恒等變換中的“統(tǒng)一”思想：三角恒等變換的主要目的是異名化同名、異次化同 次、異角化同角、異構化同構，即化異為同，也就是將待證式左右兩邊統(tǒng)一為一個形式，或將條件中的角、函數式表達 為問題中的角或函數式，達到以已知表達未知的目的?；厩腥朦c是統(tǒng)一角，往往從統(tǒng)一角入手便能全面達到化異為同的目的。2、 統(tǒng)

2、一思想的應用引入輔助角：對y asinx bcosx型函數式的性質的研究，我y a si nx bcosx va2 b2 si n（x）, ta n們常常引入輔助角。即化a，然后將該式與基本三角函數 y Asinx進行比照研究?！拔恢孟嗤匚黄降取笔翘幚碓瓌t。3、統(tǒng)一思想的應用一一拆、 拼角，如 2等;4、 統(tǒng)一思想的應用一一弦切互化，如利用萬能公式，把正余弦化為正切等等；對關于正 余弦函數的齊次式的處理也屬于“弦化切”技巧；5、統(tǒng)一思想的應用一一公式變、逆用，主要做法是將三角函數式或其一部分整理成公式 的一部分，然后利用公式的這一部分與另一部分的等量關系代入t21si nx cosx t,

3、s in xcosx *6、代換思想的應用一一關于正余弦對等式的處理，常以2代入，把函數式化為關于t的函數式進行研究；另外，三角代換也是處理函數最值、值域等問題的重要技巧。四、考點解析與典型例題考點一 引入輔助角研究三角函數的性質0 ）的周期為且最大值f（ 12）=4 ；1）求、a、b的值；2）若 、為f （x）=0的兩個根（tan(+）的值。x ), tan-【解】f (x)a2b2 sin(1）a，則例 1.設 f (x)=asin x +bcos x ( a，b，終邊不共線），求精品文檔f(x)周期為,f(X)maxa2b2'一 a2 b24tan23f (x)4 si n(2x

4、由上可知：，令f(x)2x因為終邊不共線，故tan(考點二拆、拼角例2.已知cos(sin，且2,0cos2【分析】觀察已知角和所求角，可作出 后利用余弦的差角公式求角?！窘狻康呐錅惤亲儞Q，然2®5542sirrn(244 2 4222"22 24.554 522 2(cos(2逼1些辭華砂 33 9 93339 2237 527考點三化弦為切0例3.當n時，函數心)2cos x2cosxsinx sin x的最小值是()(A) 4【解析】(B)(C) 2(D)注意到函數的表達式的分子與分母是關于sin x與cosx的齊二次式，所以,n20 x 分子與分母同時除以cos x

5、轉化為關于tanx的函數進行求解因為4，所以f(x1tan x tan2 xtanx0ta n x 1，所以考點四巧用公式例 4.求 tan17tan28tan17 tan28 的值。ta解】7原式28tan(17tan128 tan28an17an1728an28an17 tan 28tan45 (1 taa>n45tan28an17an1728an28an17 tan 281【說明】對于兩個角的正切的三角函數的和與積的形式的求值問題，通常利用tan()tan1 tantantan的變形式tantantan()(1 tan tan )考點五“1”的拆變冗tan 2 1例5.已知4，求

6、2sin coscos2的值.【分析】由已知易求得tan 的值，而所求三角函數式中的分母所涉及的函數是正、余2 2弦函數且各式都為二次式，而分子是常數1，可將1化為sin cos，再利用同角三角函數基本關系將所求式轉化為正切函數進行求解.tan 【解】由 41 tan1 tan-2 2 . 2sin costan2于是原式 2 si nc os cos2tan【說明】對于題中所給三角式中的常數(如：12，比照特殊角的三角函數值，將它們化為相應的三角函數，如.2 2 sin x cos xtan 4tan x cot x等，參與其它三角函數的運算，在解題中往往起著十分奇妙的作用.考點六三角代換a

7、,b,-2 1*例6.已知正數ab ,【解】1 . 2 22sin x, 一cos xa babcos2 x 2 sin2 x求ab min。122 sin x2cos x222sin xcos xsinx2 22(sin x cos x)2cos x2 2sin x cos xa b (a b) 1 (a b)(丄2)3 2a b法一:abb a【說明】 本題解題方法十分豐富，以下方法僅供參考:3 2、2x法二：設a b x a x b代入條件式，解出b2 bb 2然后利用數形結合或函法三：由條件式解出bab 2代入b2bb 2，下同法數最值求解方法或利用求導方法或利用不等式知識求解；五、數

8、學思想方法三角函數式恒等變形 是三角函數最重要的學習內容，無論是研究三角函數式的性質，或是三角函數式的化簡、求值和證明，都需要對三角函數式進行恒等變形，方法和技巧十分豐富，其中也蘊含著數形結合、化歸、函數與方程、換元、等量代換、圖形變換等諸多思想方法，學習中要注意對典型題型和典型方法進行總結整理，加強對數學思想方法 的培養(yǎng)和訓練，以及對數學思維品質的培養(yǎng)和訓練?！灸M試題】、選擇題1、函數y=cos4x -sin4x的最小正周期是A、2B、C、2D、42、對任意的銳角a,3,下列不等關系中正確的是A. sin ( a +B >sina +sin 3B. sin ( a+ 3 >co

9、s a+cos 3C. cos ( a +) <sind- sin 3D. cos ( a+) <cos cos 333、已知(2 ,),sin=5 ,則 tan (4 )等于11A. 7B. 7C. - 7D.-73 sin 7024、2 cos 10=1癥A. 2B. 2C. 2D.25、已知tan2, i2 則sinsincos 2cos24534A. 3B. 4C. 4D.5cos2巨sinn26、若4，貝U cossin 的值為11二A.2B. 212C. 2D.2cot A*7、已知ABC中，5 ,則 cosA12_512A. 13B.13C. 13D.13、填空題8、tan 10 tan20 +3 (tanlO + tan20 )的值為9、 函數y 2cos x sin 2x的最小值是 .三、解答題(ta n10v3)-C0S1°10、化簡：si n501m11、已知sinmsi n(2),tan()tan (m