專題1整式的乘除章末重難點(diǎn)題型舉一反三北師大版原卷版

1、專題1.1整式的乘除章末重難點(diǎn)題型【北師大版】考點(diǎn)6分解因式.'君點(diǎn)1專的基本運(yùn)篇考扁7利用因式分解求d / 考輕8利用秦法公式求值考劇專的混合運(yùn)算考晶9因式分解探充題/ 瑚4副泄向朋考亦10乘法武樣電糞 考點(diǎn)E整式化茴求值【考點(diǎn)i幕的基本運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】 同底數(shù)幕的乘法法則：am?an amn （ m,n都是正整數(shù)）同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。幕的乘方法則：（am）n amn （ m, n都是正整數(shù)）幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。積的乘方法則：（ab）n anbn （ n是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。同底數(shù)幕的除法法則：am an am

2、 n （ a 0, m, n都是正整數(shù)，且 m n）同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。【例1】（2019?黔東南州期中）下列運(yùn)算正確的是（）A . x2+x3= x5B （ 2a2） 3=- 8a6C. x2?x3= x6D x6+ x2= x3【變式1-1】(2019?蜀山區(qū)期中)下列運(yùn)算中，正確的是(3c c 26A . 3x ?2x = 6x)B .x5十x= 2x4C.(2x2) 3= 6x6A. a2?a3= a6(-a2)3=- a5C.a10十 a9= a (a 豐 0)D. (- be)4+(- be) 2=- b2e2【變式1-3】(2019春?成安縣期中)下列運(yùn)算正確的是(

3、)34 4A . (- 2ab) ?( - 3ab)=- 54a b2c/c 3、2“ 12B. 5x ?(3x )= 15xC. (- 0.16)?( - 10b2) 3=- b7D. (2 X 10n)(丄X 10n)= 102n【考點(diǎn)2因式分解的概念】【方法點(diǎn)撥】因式分解：(1) 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.(2) 分解因式是對(duì)多項(xiàng)式而言的，且分解的結(jié)果必須是整式的積的形式(3) 分解因式時(shí)，其結(jié)果要使每一個(gè)因式不能再分解為止.。【例2】(2019春?莘縣期末)下列從左到右的變形，是因式分解的是()2A . (3 - x) (3

4、+x)= 9 - x2B. (y+1) (y- 3) = ( 3 - y) (y+1)2C. 4yz-2y z+z= 2y (2z- zy) +z2 2D. - 8x +8x- 2 =- 2 (2x- 1)【變式2-1】(2019春?邢臺(tái)期末)下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是()3A . a (x- y) = ax - ayB . x - x= x (x+1) (x - 1)2 2C. (x+1) (x+3) = x +4x+3D . x +2x+1 = x (x+2) +1【變式2-2】(2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中)下列各式從左到右的變形屬于分解因式的是()2A. (a+1) (a-

5、 1)= a - 1B. x2- 4=( x+2) (x- 2)C. x2 - 4+3x=( x+2) (x- 2) +3x【變式1-2】(2019?淄博期中)下列運(yùn)算正確的是(【變式2-3】(2019春?瑤海區(qū)期末)下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是(111 2 2 2A .士- 1=(丄+1)(丄-1)B . (a+b) 2= a2+2ab+b2C. x - x- 2=( x+1) (x- 2)D . ax- ay- a= a (x - y)- 1【考點(diǎn)3幕的混合運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】掌握幕的基本運(yùn)算公式是解題的關(guān)鍵【例3】(2019春?銅山區(qū)期中)計(jì)算：(1) (y2) 3 十 y6

6、?y(2) y4+ (y2) 4r4- (- y2) 2【變式3-1】(2019春?海陵區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算(1) x3?x5 -( 2x4) 2+x10 十 x2.(2) (- 2x2) 3+ (- 3x3) 2+ (x2) 2?x2【變式3-2】(2019秋？資中縣月考)計(jì)算：(1) (m4) 2+m5?m3+ (- m) 4?m4(2) x6十 x3?x2+x3?( - x) 2.【變式3-3】(2019春?海陵區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算(1) (- 1) 2019+ ( n- 3.14) 0-(寺)-1.(2) (- 2x2y) 3-( - 2x3y) 2+6x6y3+2x6y2【考點(diǎn)4幕的逆向運(yùn)算

7、】【例4】(2019春?茂名期中)已知：xm= 4, x1 = 8(1) 求 x2m 的值；(2) 求 xm+n 的值；(3) 求 x3m-2n 的值.【變式4-1】(2019春?天寧區(qū)校級(jí)期中)根據(jù)已知求值：(1) 已知 am= 2, an= 5,求 am+n 的值；(2) 已知 32X 9mX 27= 321，求 m 的值.【變式4-2】(2019春?丹陽(yáng)市期中)已知 10x= a, 5x= b,求:(1) 50x 的值;(2) 2x的值；(3) 20x的值.(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)【變式4-3】(2019春?鹽都區(qū)月考)基本事實(shí)：若am= an (a>0,且a工1, m、n都

8、是正整數(shù))，則m= n.試 利用上述基本事實(shí)解決下面的兩個(gè)問題嗎？試試看，相信你一定行！ 如果2 X 8xx 16x= 222，求x的值； 如果2x+2+2x+1 = 24，求x的值.【考點(diǎn)5整式化簡(jiǎn)求值】【例5】(2018春?高新區(qū)校級(jí)期中)先化簡(jiǎn)，再求值： (2x+y) 2+ (2x+y) (y-2x)- 6y - 2y,其中x=-丄,y= 3.【變式5-1】(2018秋?南召縣期末)先化簡(jiǎn)，再求值：當(dāng)|x- 2|+ ( y+1) 2= 0時(shí)，求(3x+2y) ( 3x- 2y) +(2y+x) (2y- 3x) - 4x 的值.【變式5-2】(2019春?成都校級(jí)月考)已知將(x2+ n

9、x+3) (x2 - 2x- m )乘開的結(jié)果不含 x3和x2項(xiàng).(1) 求m、n的值；(2) 當(dāng)m、n取第(1)小題的值時(shí)，求(m- n) (m2+mn+n2)的值.【變式5-3】(2019春？青羊區(qū)校級(jí)期中)若：/丁，-二 訂的積中不含x與x3項(xiàng).(1) 求m、n的值；(2) 求代數(shù)式(-2m2n) 2+ (3mn) - 1+m2017n2018.【考點(diǎn)6分解因式】【方法點(diǎn)撥】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不能再分為止！不能分解的不要死搬硬套【例6】(2019秋?惠民縣期末)分解因式：(1) (3x- 2) 2 -( 2x+7) 2(2) 8a

10、b- 8b2- 2a2.【變式6-1】(2019春?婁底期中)因式分解：(1) 2x (a - b) +3y (b - a)2 2(2) x (x2- xy)-( 4x2- 4xy)【變式6-2】(2018春？臨清市期末)因式分解：(1) 3x2y- 18xy2+27y3(2) x2 (x- 2) + (2 - x)【變式6-3】(2019秋？和平區(qū)期末)分解因式：(1) 1 - a2 - b2- 2ab;(2) 9a2 (x - y) +4b2 (y - x).【考點(diǎn)7利用因式分解求值】【例 7】已知 Axy2-4x+10y+26 = 0,求 6x-二y 的值.5【變式7-1】(2019秋?

11、崇明縣期中)已知 x+y= 4, x2+y2= 14,求x3y- 2x2y2+xy3的值.【變式7-2】(2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中)已知 m2= n+2，n2= m+2，其中m n.求m3-2mn+n3的值.【變式7-3】利用分解因式求值.(1) 已知：x+y = 1，夏產(chǎn)丄，利用因式分解求：x (x+y) (x- y)- x (x+y) 2的值.2(2) 已知a+b= 2,ab= 2，求討2b鶴山的值.【考點(diǎn)8利用乘法公式求值】【例8】(2019春？新津縣校級(jí)月考)已知 m-n = 3, mn=2,求：(1) (m+n) 2 的值；(2) m2- 5mn+n2 的值.【變式8-1】(201

12、9春?杭州期末)已知 a- b= 7, ab=- 12.(1) 求 a2b - ab2 的值；(2) 求 a2+ b2 的值；(3) 求 a+b 的值.【變式8-2】(2019春?邵東縣期中)已知有理數(shù)m, n滿足(m+n) 2= 9, (m- n) 2= 1,求下列各式的值.(1) mn;22(2) m +n - mn.【變式8-3】(2019春?杭州期中)已知(a+b) 2= 5, ( a- b) 2= 3,求下列式子的值：(1) a2+b2;(2) 6ab.【考點(diǎn)9因式分解探究題】【例9】(2018秋?江漢區(qū)校級(jí)月考)閱讀材料：若m2- 2mn+2n2 - 8n+16 = 0,求m, n

13、的值.2 2 2 2 2解：T m - 2mn+2n - 8n +16 = 0, '( m - 2mn+n ) + (n - 8n +16) = 0.m - n)2+(n- 4)2 = 0, v( m- n) 2>0, (n- 4)2>0,.( m- n)2= 0,(n-4)2= 0n= 4,m= 4.根據(jù)你的觀察,探究下面的問題：22(1) 已知：x +2xy+2y +2y+1 = 0,求 2x+y 的值；(2) 已知： ABC的三邊長(zhǎng)a, b, c都是正整數(shù)，且滿足：a2+b2- 12a- 16b+100 = 0,求厶ABC的最大邊 c 的值；2(3) 已知：a - 5

14、b+2c= 20, 4ab+8c +20C+125 = 0,直接寫出 a 的值.變式 9-1 】( 2017 春?靖江市校級(jí)期中)在理解例題的基礎(chǔ)上,完成下列兩個(gè)問題：例題：若 m2+2mn+2n2 - 6n+9 = 0.求 m 和 n 的值.解：因?yàn)?m2+2mn+2n2- 6n+9 =( m2+2mn+n2) + (n2-6n+9) = ( m+n) 2+ (n- 3) 2= 0所以 m+n = 0, n 3= 0 即 m = 3. n= 3問題：( 1)若 x2+2xy+2y2- 4y+4= 0,求 xy 的值.(2)若a、b、c是厶ABC的長(zhǎng)，滿足a2+b2= 10a+8b - 41,

15、 c是厶ABC中最長(zhǎng)邊的邊長(zhǎng)，且 c為偶數(shù)， 那么c可能是哪幾個(gè)數(shù)？變式 9-2】(2019春?上虞區(qū)期末)閱讀下列材料,然后解答問題：?jiǎn)栴}：分解因式： x3+3x2- 4.解答：把 x=1 代入多項(xiàng)式 x3+3x2- 4,發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為 0,由此確定多項(xiàng)式 x3+3x2- 4 中有因式( x -1)，于是可設(shè) x3+3x2 - 4= (x- 1)(x2+mx+n)，分別求出 m, n 的值，再代入 x3+3x2- 4= (x- 1)(x2+ mx+ n), 就容易分解多項(xiàng)式 x3+3x2- 4.這種分解因式的方法叫“試根法” .( 1 )求上述式子中 m, n 的值；( 2)請(qǐng)你用“試根

16、法”分解因式：x3+x2- 16x- 16.【變式9-3】(2018秋?雨花區(qū)校級(jí)月考)教科書中這樣寫道："我們把多項(xiàng)式 a2+2ab+b2及a2 - 2ab+b2叫做完全平方式”,如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式,我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng),使式子中出 現(xiàn)完全平方式,再減去這個(gè)項(xiàng),使整個(gè)式子的值不變,這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決 問題的數(shù)學(xué)方法,不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式,還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題 或求代數(shù)式最大值,最小值等.例如：分解因式 x2+2x- 3=( x2+2x+1)- 4=(x+1)2- 4=( x+1+2)(x+1- 2)=

17、( x+3)(x- 1)；例 如求代數(shù)式 2x2+4x- 6 的最小值 .2x2+4x- 6=2(x2+2x- 3)= 2(x+1)2- 8.可知當(dāng) x=- 1 時(shí), 2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：2(1) 分解因式：m2- 4m- 5 =.(2) 當(dāng)a, b為何值時(shí)，多項(xiàng)式 2a2+3b2- 4a+12b+18有最小值，并求出這個(gè)最小值.(3) 當(dāng)a, b為何值時(shí)，多項(xiàng)式 a2 - 4ab+5b2- 4a+4b+27有最小值，并求出這個(gè)最小值.【考點(diǎn)10乘法公式探究題】【例10】(2019春?東臺(tái)市期中)如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中

18、虛線用剪刀平均分成四塊圖1圈2S312(1) 圖2中的陰影部分的面積為 ;(2) 觀察圖2請(qǐng)你寫出(a+b) 2、(a- b) 2、ab之間的等量關(guān)系是 ;(3) 根據(jù)(2)中的結(jié)論，若 x+y = 5, x?y= =，則 x- y=;(4) 實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式如圖3,你有什么發(fā)現(xiàn)？ .【變式10-1】(2019春?牟定縣校級(jí)期末)圖(1)是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均 分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖(2)的形狀拼成一個(gè)正方形.n旳 (1) 你認(rèn)為圖(2)中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于多少？ ;(2) 請(qǐng)用兩種不同的方法求圖(2)中陰影部分面積.方法一：；方法二：；(3) 觀察圖(2),你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：(m+n) 2, (m - n) 2, 4mn. ;(4) 根據(jù)(3)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若