2017-2018學年高中數(shù)學第一章不等關系與基本不等式22.1絕對值不等式教學案北師大

1、小對應學生用書 P11不等式的性質自主學習1.實數(shù)大小的比較2 不等式的性質如果bb.性質 1（對稱性）：如果ab,那么bb，bc,那么，ac.性質 3（加法性質）：如果ab，那么a+cb+c. 尸V移項法則：如果a+bc,那么ac-b.推論（加法法則）：如果ab,cd,那么a+cb+d.性質 4（乘法性質）:如果ab,c0，那么acbc,如果ab,c0,那么acb0,cd0,那么acbd.推論 2（平方法則）：如果ab0,那么a2b2.推論 3（乘方法則）：如果ab0,那么anbn（n為正整數(shù)）.推論 4（開方法則 ）:如果那么ab0,anbn（n為正整數(shù)）.合作探究1.怎樣比較兩個代數(shù)式的

2、大小?提示：整式、分式一般用求差的方法來比較大??；而算式則一般用求商的方法來比較大2兩個不同向不等式的兩邊可以分別相減或相除嗎?求差法ab?ab0 ；ab?ab0,b0 時，半1?ab且cb且c d,acbd.3.若ab0，當nbn成立嗎？提示：不成立，如當a= 3,b= 2,n= 1 時，思路點撥本題考查求差比較法及求商比較法在比較代數(shù)式大小中的應用，同時考查了運算及轉化能力，解答此題需要用求差的方法比較，解答(2)需要用求商的方法證明.精解詳析a4b4 4a3(ab)223=(ab)(a+b)(a+b) 4a(ab)223=(ab)(a+b)(a+b) 4a=(ab)(a3+ab2+ba2

3、+b3 4a3)=(ab)(ab2a) + (ba2a3) + (b3a3)222=(ab)(ab) a(a+b) a (a+b+ab)=(ab)2(3a2+ 2ab+b2)2廠b222=(a-b)( 3a+如)+3bwor(當且僅當a=b時取等號).ab w4 a(ab).a ba b證明：ab0, (ab)20,a a b1當a=b時，顯然有(二)=1,b2aabb -a-bTab2a -b3a ab2當ab 0 時，b 1, 0，a ab3當ba 0 時，Ov v1,v0.4由指數(shù)函數(shù)的單調性，均有a 1.丿2_a ba+b綜上可知，對任意正數(shù)a,b,都有ab（ab）.右法-規(guī)律-亦結-

4、比較大小的常用方法及步驟：1 .求差法：ab?ab0,awb?abw0.一般步驟是：作差f變形f判號f定論.變形是作差法的關鍵，配方和因式分解是常用的變形手段.2.求商法：當a0,b0 時，把比較a,b的大小轉化為比較與 1 的大小關系，此即b為作商比較法.理論依據是不等式的性質：aa若a0,b0,則1?ab,wi?awb.一般步驟為：作商f變形f與 1 比較大小f定論.22421 .已知XM0,求證：(X 1)Vx+x+ 1.4證明：(x 1) (X+X+ 1)424=x 2x+ 1 xx 1=3x2v0,“2 八 242“/. (x1)Vx+x+1.ab a+b2a2+b2_a2+b2a+

5、b2ab ab=2 20,a+ba+b所以原不等式成立.法二：ab0,故a2b20.故左邊0,右邊0.2左邊a+b2ab . I=2 = 1 + 212 .設ab0，求證:a2b2aba2+b2a+b.證明：法b2aba+b2a+b5右邊a+ba+b6利用不等式的性質辨別不等式的正誤例 2對于實數(shù)a,b,c判斷下列命題的真假.若ab,則acbc，則ab；若ababb2;若ab|b| ；卄ab(5)右cab0,則 ca cb、I思路點撥本題考查不等式性質的應用及邏輯推理能力.解答此題需要依據實數(shù)的基本性質，實數(shù)的符號的運算法則以及不等式性質，然后經過合理邏輯推理即可判斷.C j精解詳析由于c的符

6、號未知，因而不能判斷ac,bc的大小關系，故該命題是假命題.(2)由ac2bc2知CM0,而c20,ab,故該命題是真命題.aab；a0-ab,babb2，故該命題是真命題.(4)兩個負實數(shù)，較小的離原點遠，其絕對值反而大，故該命題是真命題.ab0?av bv0cab0A J*? 0cb0ab 0a b cacb，故該命題是真命題.右法-規(guī)律-和結-在利用不等式性質判斷不等式真假時，關鍵是依據題設條件，正確恰當?shù)剡x擇使用不等原不等式成立7式的性質，當否定一個結論時只需舉一個反例即可；有時也可采用特殊方法比較判斷.83.若abc,則下面不等式中一定成立的是()A. a|c| b|c|B. aba

7、c1 1 1 C.a-1c| b-|c| Da b c解析：選項 A 需要c豐0,選項 B 需要a0,選項 D 需要a, b,c同號.答案：C4.利用不等式的性質判斷下列各命題是否成立，并簡述理由.x xab? 2a2b.(2)ab,cd?acbd.a b(3)ab,cvd,cdK?-.c d1 1Wavbv0?.ab a解：成立.因為 2x 0,由性質知 2xa2xb.(2)不成立.令a= 5,b= 4,c= 3,d= 1，有acvbd.a b(3)不成立.當ab0,cv0,d 0 時顯然有-v.c d(4)不成立.1利用不等式的基本性質求代數(shù)式的取值范圍x例 3 已知 60vxv84,28

8、vyv33,則xy的取值范圍為 _ ,y的取值范圍為1x思路點撥利用不等式性質，先求一y和勺的取值范圍，再求xy和y的取值范圍. 精解詳析xy=x+ (y), 所以需先求出一y的取值范圍；x11-=xX-,所以需先求出-的取值范圍.yyy1 1 1一33v-yv-28, 33vyv2860 x841ab1a a ab1 1,由avbv,可得obva.又 60vxv84, 27vxyv9v_v 33y2810片法-規(guī)律結-本題不能直接用x的取值范圍去減或除y的取值范圍，應嚴格利用不等式的基本性質去 求得取值范圍；其次在有些題目中， 還要注意整體代換的思想，即弄清要求的與已知的“取值范圍”間的聯(lián)系

9、.如已知20 x+y 30,15 xy 18,要求 2x+ 3y的取值范圍，不能分別求出x,y的取值范圍，再求 2x+ 3y的取值范圍，應把已知的“x+y”“xy”視為整51/JX, J體，即 2x+ 3y=了(x+y) -(xy)來求 2x+ 3y的取值范圍，或根據線性規(guī)化知識求目標函數(shù)z= 2x+ 3y的取值范圍.5.已知一 1wa+bw1,1wabw3,求 3ab的取值范圍.解：設 3ab=x(a+b) +y(ab) = (x+y)a+ (xy)b.即眾y 3.答案27xy 5620 xiiy3x+y= 3,xy= i,由+X2得:x= i,11y=2.1+25+b)+2(ab)1+3X

10、2,即 13abb0,cd0,ebd；e；(2) *-ac思路點撥本題考查不等式性質的應用及邏輯推理能力解答本題可先比較bd2 bd, (ac)2與(bd)2的大小，進而判斷一丄與宀，1_2與Jd2的大小，再ac bd acbd兩邊同乘以負數(shù)e,得出要證明的結論.精解詳析cdd0,/ab0,acbd0. (*)11(1)由(*)式知 (bd)20,1 12一bd acee2ac bd方法-規(guī)律小結利用不等式的性質證明不等式， 一定要建立在記準、記熟不等式性質的基礎之上，如果 能由不等式的性質直接進行推理論證， 則嚴格按不等式性質成立的條件論證； 否則可以先分 析需要證明的不等式的結構，再利用不

11、等式的性質進行逆推，尋找使其成立的充分條件.a c6.已知abcd0,且 =，求證：a+db+c.b d/ (ab)d= (cd)b.又abcd 0,b ab0,cd0,bd 0 且& 1,ab b-= 1,cd dabcd, 即卩a+db+c.-本節(jié)熱點命題關注-本課時內容是不等式的基礎， 是高考的重要考點， 主要考查比較大小問題，不等式正誤的判斷以及利用不等式性質確定代數(shù)式的取值范圍問題.一般與函數(shù)、方程等知識交匯命題.考題印證232xX一 一（江辦高考）設x,y為實數(shù)，滿足 3xy 8,4 - 9,則y4的最大值是 _ .命題立意又/e ac bd又/e0,ebd證明:abcdb

12、=d，13本題主要考查不等式的性質與函數(shù)的最大值的概念的綜合應用及函數(shù)方程思想、轉化分類及運算求解能力.14自主嘗試由題設知，實數(shù)x,y均為正實數(shù),則條件可化為 lg 3 0,b 1 0,0 0,aba=a(b 1) 0.二aba.又abab2=ab(1 b) 0,abab2.22又aab=a(1 b) ababaab2解析：a 0, 1bab2a 1,4xy1 1w -2 w 8 一23yw27，即7的最大值是 27.2w 3，xy33一xy1522- aaba.161i2,b= 4,則ab 0,則aa=bb,答案：B二、填空題答案：D2.設ab1,cb；aloga(b-c).A.B.C.D

13、.解析：由11c ccc cab1,c0 得，ab a簾；幕函數(shù)y=xc（c0）是減函數(shù)，所以acbc，所以 logb(ac)loga(ac)loga(bc)，均正確. 答案：D3.設角ann,3滿足2 V a V 3 V，則的范圍是（A. n VB.nC. VD.7t且a 3 V0. - - n V a 3 V0.答案：A4.若ab0,則下列各式中恒成立的是2a+b aA 砲 bb2+ 1b2B.aV!a21 1 Ca+ab+a bD. ab解析：選取適當?shù)奶厥庵担鬭= 2b= 1 可知2aa 2,b知a2b 4a=2b2,由此可知選項 A 不成立.利用不等式的性質可知，當ab 0 時，a

14、b0,P= 3a32b3,Q=3a2b2ab2，則P與Q的大小關系是 _1833222222解析：P Q= 3a+ 2b- (3a b+ 2ab) = 3a(ab) + 2b(ba) = (3a 2b)(ab). 因為ab 0,所以ab0,a2b20.所以 3a23b2 2b2,即卩 3a2 2b2 0.22從而(3a 2b)(ab) 0,即 3a3+ 2b33a2b+ 2ab2,即卩PQ答案：PQ6.若a,b R,且ab,下列不等式:b b 12222一：(a+b) (b+ 1):(a 1) (b 1).a a 1其中不成立的是b b 1abbab+aab解析：a尸=a a1= k!因為ab

15、0,a(a 1)符號不確定，不成立；取(b+ 1) 0，不成立；取a= 2,b= 2，則(a 1)2= 1, (b 1)2= 9,不成立.答案：7有以下四個條件:b0a; 0ab;a0b;ab0.解析：Tb0,.b0.b22，則(a+b) = 0,1 1其中能使訐石成立的有個條件.d11avb.1 1ba.Ta0b,ii 一 0, -V 0.ab191Tav0,.v0. arx.1 1ab.答案：3&若 1a3, 4b2,則a |b|的取值范圍是 _解析：T 4b2,ow|b|4,4|b|0又T1a3,. 3a |b| 0，一av0, (a+、j2a+1)(a ；.2a+1)v(a+a+1)(aa+1).1 1 110.已知abc,求證：百 +b+1 1 1證明：原不等式變形為：r+ -.ab bc ac又abc,acab0.1 1從而有 -,ab ac1 1 1 1又- 0 -+- -bc ab bc acTab0,1 1_vavb.綜上知，均能使*成立.201 1 1即 +0.ab bc ca11.已知一次函數(shù)f(x) =ax+b,且一 1f( 1) 2, 2f(2) 3,求f(3)的取值范 圍.解：法一：(不等式基本性質)1 a+b 2,一 22a+b3.14又f(3) = 3a+b= -( a+b) + -(2a+b),3313亍211w a+bw2,法